2024届高考数学天津卷第20题讲题比赛课件

天津卷第20题 “题眼题根”若隐若现 猜想探究发现本质 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 试题呈现 考点：运用导数解决函数型不等式问题 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算 突破方式：找出“题根”和“题眼”，通过“多想少算”快速突破 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 试题分析 考查必备知识：导数运算、导数的几何意义 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 试题分析 探究函数型不等式如何变形构造 多想少算 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 第（2）题的思维导图 对数单身 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 比较复杂 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 第（2）题的思维导图 换元简化结构 对数单身 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 法1 观察结构找到“题根” （1,0） 题根 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 法2 观察结构，寻找“题眼” 必要性探路 观察 极点效应 题眼 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 法3 未能寻找到“题根题眼” 换元法 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 试题解答 多变量问题 单变量问题 消元思想 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 第（3）分析 本质 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 证明不等式左边 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 证明不等式右边 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 法一 本质解法：放缩+同构 同构 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 法二 拉格朗日中值定理的变形 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 法四：主元法 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 由图象可得 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 溯源--课标 能够从函数的观点认识方程和不等式，感悟函数学知识之间的关联，认识函数的重要性。 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 溯源--课本 新人教版选修二89页例4 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 溯源--课本 新人教版选修二94页练习2 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 变式探究 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 溯源高考 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 溯源高考 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1、高考真题研究是本质性备考 该题展现了高考真题的风采，通过新的代数结构设计，在常见的函数型不等式情境下，指向猜想、探究和发现，运用基本的观察特值、构造放缩、寻找讨论标准、思想方法解决问题．这些精雕细琢的高考真题就是教学备考的最重要财富，必须研究透彻和领悟明白，总结出一类问题的解题规律和方案．课堂教学中，要让学生经历从理解开始，经历模仿、运用、分析、迁移等过程，积累利用数学思维和方法解决问题的经验． 反思与建议 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2、加强探究与发现，积累分析问题和解决问题的经验 该题通过巧妙结构变形，将“题根和题眼”若隐若现的设置于题目中，需要解题者深入阅读思考，大胆猜想探究，多想少算，最终形成解题方法．要建立解题思路同时，准确找到“本质解法”，其他解法仅为补充和辅助，不宜“喧宾夺主”，建立科学的解法结构并突出本质解法，方法不是越多越好，抓本质的方法才是关键． 反思与建议 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 青玉案·本质 结构变形有良方 多想少算是关键 众里寻他千百度 蓦然回首 主元辅元 本质探究处 题根题眼 2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 题目：（2024年天津卷第20题） 已知函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线； （2）若 ，在 时恒成立，求 的取值范围； （3）若 ，证明： 探究1：若构造函数 ， 则 ．比较复杂 直接求导 ． 探究2：构造函数 ， ； ①若 ，则 ， 单调递增，存在 不符合题意； ③若 ，则 在 单调递减，在 单调递增； ， 令 ，所以 , 所以 在 单调递增，在 单调递减.因为，所以 ， , 所以， . 探究2：构造函数 ， 探究1：若构造函数 ， 则 ．比较复杂 探究3：令 ，则 ， 所以只需证： ； 直接求导 ．比较复杂 观察 ． 观察结构能否利用与 有关的切线放缩？ 联想一： ， ， 所以 ， 联想二：由（1）函数 在点 处的切线方程为 ． ． 下面直接讨论，因为 ， 观察 ． 令 观察结构能否通过放缩构造 ，不妨令 得到 ②基于猜想 进行证明 因为 ，所以 ， 所以 ①基于猜想 进行证明 放缩： 构造函数 在 单调递减 需要证： ； 只需证： ； 令 ， ，所以 在 上单调递减. 证法1：放缩 ， 证法2求二阶导数 设 的导数为 ， 所以 放缩： 单调递增 当 时，只需证： ； 只需证： ；只需证明： 在 单调递增； 令 ，则 . 证法1 由（2）知： ，显然，直接放缩无法消掉“ ”； 如何利用放缩同时“消掉”“ ”和“ ”呢？ 可如此放缩： ， 因为 ， 所以 ， 所以， 在 单调递增，得证． 证法2 设 的导数为 ，所以 ， 所以， 在 单调递减，在 单调递增； 所以 ， 所以， 在 单调递增，得证． 先证明一个结论：对 ，有 ． 证明：前面已经证明不等式 ， 故 ， 且 ， 所以 ，即 ． 由 ，可知当 时， ，当 时 ． 所以 在 上单调递减，在 上单调递增． 不妨设 ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论． 情况一：当 时，有 ，结论成立； 情况二：当 时，有 对任意的 ，设 ，则 由于 单调递增，且有 ， 且当 时，由 可知， ． 所以 在 上存在零点 ，再结合 单调递增，即知 时 ， 时 故 在 ， 上递减，在 ， 上递增． ①当 时，有 （c） ； ②当 时，由于 ，故我们可以取 ． 从而当 时，由 ， 可得 ， 再根据 在 ， 上递减，即知对 都有 ； 综合①②可知对任意 ，都有 ， 即 ． 根据 和 的任意性，取 ， ， 就得到 所以 情况三：当 时，根据情况一和情况二的讨论， 可得 ， ， 而根据 的单调性， 知 或 ． 故一定有 成立． 综上，结论成立． 法三：拉格朗日中值定理 不妨设 ，当 时，由拉格朗日中值定理有，存在 ， 使得 那么 当 ，原不等式等价于 ①先证不等式的右边：即 令 为主元，设 ， 所以 . 容易看出 在 上单调递增，且当 且当 ，这说明 在 上先减后增，那么 ①再证不等式左边：即 同理，令 ，设 ， 所以 ， 即 单调递减，所以 得证。 令 ，要证本题，即证 令 为主元，设函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， 所以 ，所以 所以 即证 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 观察可得 与 的图象关于 对称，则只需证 由法一知 ，所以 显然成立. 当 时， ； 当 时， 综上： 设 ， ， ，两个函数的图象如图所示．判断 ， 的图象与 ， 之间的对应关系． 证明不等式： ， $$