2024届高考数学天津卷第19题讲题比赛课件

山重水复探试题奥秘 柳暗花明显创新思维 ——天津卷数学第19题解法探析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 一 题目呈现 三 试题解析 四 试题小结 二 命题分析 目录 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 已知数列是公比大于0的等比数列，其前项和为.若, . （1）求数列前项和； （2）设,,其中是大于1的正整数. （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求. 一、题目呈现 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 等差数列 数列通项 不等式证明 数列求和 递推关系 等比数列 核心 素养 “四基” “四能” 创 新 思 维 二、命题分析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 已知数列是公比大于0的等比数列， 其前项和为.若,. （1）求数列前项和； 三、试题解析 试题分析 等比数列通项公式以及前项和公式 转化与化归 方程组思想 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 第(1)问试题分析： 该问考查了等比数列通项公式以及前n项和公式，题目给出特定项及前n项和的数量关系，进而可以转化为等比数列基本量首项𝑎_1与公比𝑞二元方程组，考查学生在解决问题时转化与化归的能力和方程组思想。其中在转化𝑆_2时，可以用𝑆_𝑛定义式展开，还可以使用等比数列前n项和公式展开，故而产生两种不同的解题思路. 用定义式表达 思路1 解：由定义式知，. 因为,. 即 即, 因为， 可得, 整理得, 解得或（舍去）， 所以. 回归基本量 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路1 用𝑆_𝑛定义式表达𝑆_2：即𝑆_2=𝑎_1+𝑎_2.（点击给出解题过程） 根据等比数列通项公式转化𝑎_2 和𝑎_3 得到关于首项𝑎_1和公比𝑞的方程，回归到基本量,整理得𝑞^2−𝑞−2=0,解出公比，最后根据等比数列求和公式求得𝑆_𝑛. 等比数列求和公式表达 思路2 1时， ， , 不满足题意，舍去； ② 1时， ， 所以, 整理得, 解得或（舍去）， 所以. 分类讨论 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路2 等比数列求和公式表达𝑆_2 因为公比𝑞未知，所以使用求和公式表示𝑆_2时要分情况讨论，（点击给出解题过程） 1𝑞=1时，不满足题意，舍去； 2𝑞≠1时，代入公式,整理得𝑞^2−𝑞−2=0, 注意分类讨论 小结:本问主要考查学生数学运算、逻辑推理核心素养，题目较基础，较易得分。但对于的处理，不同思路所用时间不同，明显思路2 涉及分类讨论，对思维严谨性要求较高，也会占用较多的答题时间，所以对于较小的的表达更倾向于用定义式展开，在平时教学时要注意引导培养学生对不同方法辨别分析，寻找最佳答题思路. 用定义式表达 思路1 用等比数列求和公式表达 思路2 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 小结 本问主要考查学生数学运算、逻辑推理核心素养，题目设置较基础，较易得分。但对于𝑆_2的处理，不同思路所用时间不同，思路2 涉及分类讨论，对思维严谨性要求较高，会占用较多的答题时间，所以对于𝑛较小的𝑆_𝑛的表达更倾向于用定义式展开，在平时教学时要注意培养学生对不同方法辨别分析，寻找最佳答题思路. （2）设,,其中是大于1的正整数. （ⅰ）当时，求证：； 分段插项问题： ①第，取 ②第 等差的项. -1 试题分析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 试题分析：这一问主要考查学生解读数学语言和分析数学问题的能力。对于数列新定义问题，分析分段定义，确定是分段插项问题：①第一段，第𝑎_𝑘 项，𝑏_𝑛取 ②第二段，第𝑎_𝑘 项与"第" 𝑎_(𝑘+1) 项之间，插入等差的项.公差为2𝑘，即为分段区间左面的项𝑎_𝑘的下角标的2倍。 当𝑛=𝑎_(𝑘+1)时，代入第一段，求出此时𝑏_𝑛=𝑘+1. 𝑏_(𝑛−1)的求取是该题的难点所在. 首先确定𝑛−1的范围，从而确定所属区间，在𝑘≥2的前提下，不难算出𝑎_𝑘<2^𝑘−1<𝑎_(𝑘+1), 𝑛−1满足给定的分段区间，所以可以代入，注意是𝑛−1代入，进而得到𝑏_(𝑛−1)=𝑏_(𝑛−2)+2𝑘。 思维导图 思路3 累加法 ——递推化归 若 当时，求.   解法1 含n与k 解法2 仅含k   思路2 迭代法 ——逐层转化   思路1 定义法 ——通项公式 首项 尾项 公差 等差数列 思路4 观察法 ——列举归纳 迭代 求值 化归 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 结合以上分析，下面给出用𝒌表示𝒃_(𝒏−𝟏)思维导图： 思路一：根据递推公式，可抽象出数列{𝑏_𝑛 }局部成等差, 可利用等差数列通项公式求𝑏_(𝑛−1). 思路2 迭代法——逐层转化，𝑏(𝑛−1)可以向前层层递推至确定项，进而求得𝑏_(𝑛−1). 思路3相邻两项差为定值，累加法，具体操作可以有两种解法， 含n与k两个变量累加，消元到仅含𝑘一个变量累加 当抽象思维受到限制，可以利用具象思维的优势，逐一列举𝑏𝑛，直观想象观察其特点，归纳总结𝑏_(𝑛−1). 思路1 定义法——通项公式 详解：当时，， ，所以， 在数列各项中，第项到第()项 构成局部的等差数列，公差为. 由等差数列任意两项之间的关系可得： ， 即. 关键点： 从 公差为 数学语言转化 抽象思维 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 下面是以上四个思路的详细解答： 思路1 定义法 根据等差数列任意两项之间的关系求取𝑏_(𝑛−1) 关键点：抽象出数列{𝑏_𝑛 }各项中，从第𝑎_𝑘项到第(𝑎_(𝑘+1)−1)项构成局部的等差数列，公差为2𝑘，较容易确定两项之间差了多少个2𝑘，这种方法的难点在于数学语言的精准转化，一步到位抽象出等差数列，对于考生的抽象思维有一定的要求。 思路2 迭代法——逐层转化 所以. 关键点 向前迭代，迭代到确定项； 迭代几次，累加了多少个 逻辑思维 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路2 迭代法——逐层转化 关键点：向前迭代，迭代到哪一项，转化为与已知项𝑏_(𝑎_𝑘 )有关的式子，最终迭代几次，累加了多少个2𝑘，可以用大减小加1的方式求取。需要具有一定的逻辑思维。 思路3 累加法——递推化归 解法1 含n与k两个变量累加 得到. 所. 将以上个式子累加， 关键点 累加到哪个式子； 共有多少个式子累加，共累加了多少个 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路3 累加法——递推化归 解法1 含n与k两个变量累加 关键点：累加到哪个式子，累加到已知项𝑏_(𝑎_𝑘 )为止；共有多少个式子累加，共累加了多少个𝟐𝒌.与前一种方法一样，通过角标变化推出式子个数。 思路3 累加法——递推化归 所以 解法2 仅含一个变量累加 当时,, 因为，而,即, 将以上个式子累加， 得到所以. 精准找到累加的最后等式 更容易找到累加了多少个等式 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法2 仅含𝑘一个变量累加，消元的思想提示给我们，统一变量，将所以递推公式统一转化成关于k的式子， 此种方法优点精准找到累加的最后等式，因为2^𝑘−2^(𝑘−1)=2^(𝑘−1),为确定项，即为第ak项。更容易发现累加了多少个等式 思路4 观察法——列举归纳 递推 迭代 求值 化归 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路4 观察法——列举归纳 首先列举前七项。 递推：由分段数列的第一段，不难得出𝑏_2和𝑏_4，由第二段，依次递推出𝑏_3 、𝑏_5 〖、𝑏〗_6 〖、𝑏〗_7. 进一步迭代处理，b7和b4相差3的公差，也可具体求值， 再做进一步观察，每一段等差数学的公差2𝑘，而起始项为𝑘,二者之间存在关系，可进行统一化归，把每一项都用该段等差数列的起始项表示。 思路4 观察法——列举归纳 递推 迭代 求值 化归 …… …… …… …… …… 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 用以上四种思路再次一一列举出下一段等差数列，也就是从𝑏_8到𝑏_15，加以验证我们找到的规律。首先一一递推，然后迭代出每一项，注意观察归纳每项下角标和公差倍数之间的关系。𝑏_15和𝑏_8相差7个公差。可做求值处理，规律已出也可不再具体求出每一项的值。进一步寻找化归成起始项的规律，得出𝑏_15=15𝑏_8的结论。 思路4 观察法——列举归纳 = 递推 迭代 求值 化归 …… …… …… …… …… 具体到抽象、特殊到一般 形象思维、 抽象思维 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 最后用列举法找到的规律归纳出𝑏_(𝑛−1)，首先𝑏_𝑛=𝑘+1,那前一项𝑏𝑛−1所属的等差数列起始项为𝑏(𝑎𝑘 )，下一项为𝑏_(𝑎_𝑘+1)，下一项为𝑏_(𝑎_𝑘+2)，先递推，再迭代，下角标差即为公差的倍数，求值即可得到结论。也可通过化归成起始项的结论，直接得出，𝑏_(𝑛−1)和𝑏_(𝑎_𝑘 )的倍数关系，即𝑏_(𝑛−1)=(𝑛−1)𝑏_(𝑎_𝑘 ). 列举法，是从具体到抽象，特殊到一般的解题方法，是形象思维到抽象思维的转化。 小结:以上方法体现了逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养. 在对的表达式进行推断时，可以探索条件中给出的取值规律，结合等差数列的定义及递推公式进行推导，因此得到前三种解题思路.如若没有抽象出所求数列的本质，还可以通过递推关系将数列中各项的取值逐一列举，再去观察、猜想各项取值与对应序号之间存在的关系，归纳得到的表达式. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 下面有请周黎黎老师对后续不等式的证明进行讲解 证明思维导图 与0比大小 变形转化   要证 思路1 作差法   思路2 分析法   思路3 数学归纳法     即证   2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 在判断差式与0的大小关系时 有如下多种处理方法 思路1 作差法 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法1 构造数列 令, 则 因为,且单调递增， 所以且,即, 所以单调递增， 所以,所以 解法2 因式分解法 因为， 所以 (时同时取等号), 所以. 思路1 作差法 巧妙构造！ 辐合思维 发散思维 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法3 放缩法(1) 因为所以则 当且仅当时，等号成立， 所以. 解法3 放缩法(2) 因为所以则 因为 所以 所以. 思路1 作差法 注意取等条件！ 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法4 导数法 令 -1 因为,所以，， 所以 ，所以在单调递增， 所以，所以. 思路1 作差法 函数思想 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路2 分析法 利用分析法将上面不等式 转化为易证明的形式 要证 , 即证 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 变形1 两边估值 即证, 因为， , 所以, 所以. 变形2 取倒数 要证, 即证, 即证, 因为， 所以， 所以, 所以. 思路2 分析法 倒数 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 变形3 构造单调函数 即证 , 即证 , 因为在单调递增， 所以，所以. 思路2 分析法 构造函数 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 变形1 两边估值 即证, 因为， , 所以, 所以. 变形2 取倒数 要证, 即证, 即证, 因为， 所以， 所以, 所以. 变形3 构造单调函数 即证 , 即证 , 因为在单调递增， 所以， 所以. 转化与化归 思路2 分析法 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 当时,,不等式成立. 假设时,不等式成立， 即,即, 当时， 综上，由(1)、(2)知不等式成立. 思路3 数学归纳法 要证 ,即证 (1)归纳奠基 (2)归纳递推 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思维导图   要证 思路1 作差法   思路2 分析法   思路3 数学归纳法     与0比大小 即证   解法3放缩法   解法2因式分解   解法1构造数列   解法4导数法         单调递增，   ，在单调递增， 0 变形1:两边估值 即证 变形3: 单调函数 即证 变形2: 取倒数 即证 k-1 1 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 求 思路2 分组求和 数列局部成等差数列 解法1 基本量公式求和 解法2 首尾项公式求和 错位相减法 错位相减法结论 裂项相消法 思路1 并项求和 求 得 则 求 故 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 由（1）可知： ； 当 可知等差数列 思路1 并项求和 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法1 基本量公式求和 解法2 首尾项公式求和 每小组的尾项为 差比型数列 思路1 并项求和 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法1 错位相减法 ① ② ①-②得 所以 同乘公比 形成错位 公差 合并整理要注意 做题一定走到底 的求解 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法2 错位相减法结论 因为 所以 则 所以 错位相减的二级结论 解答题中使用要证明 的求解 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 的求解 差比数列的前 所以 解得 ，所以 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 实际： 解法3 裂项相消法 求和本质 通项如何分裂 待定系数法 阿贝尔变换 的求解 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 的求解 解法3 裂项相消法 所以解得 所以 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 故 解法3 裂项相消法 注意相消有规律 的求解 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 列举后按结构重新分组 找准规律是关键 书写形式符号化 复合结构双变量 思路2 分组求和 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 等差求和用公式 细节处理要到位 合并收敛回差比 思路2 分组求和 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 观察天津市近几年高考题可以发现，数列大题的命题方式一脉相承，第一问均为特殊数列基本量的计算，后两问的设问基础是以定义方式给出一个新数列的递推公式，考查学生解读数学语言和分析数学问题的能力，在此基础上第二问考查等量关系或不等量关系的证明，第三问考查数列求和问题. 四、试题小结 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 其中数列求和的考查形式也从以往单一的一种求和方法转变为两种及以上求和方法的考查，并进一步进阶为近三年考题中出现的先利用并项方法对项进行变形处理，再运用其他方法求和.其中并项求和这种处理方法在16年、19年的考题中均有出现，22-24三年的出现其实可以看作老高考在新高考中的延续. 四、试题小结 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 本题的命题方式延续了天津市以往“低起点、高观点”的命题风格，在对数列“四基”考查的同时，结合考查了学生对具有抽象性、简洁性等特点的数学语言的理解能力，综合考查了学生数学核心素养.其目的在于鼓励教学中注重培养学生的创新意识和探索精神，对打破固化僵化的复习模式、破除备考中的单纯套路训练和“机械刷题”现象具有积极的影响，有助于引导中学教学把握数学本质，回归课堂课本， 有利于推进学生的关键能力与数学核心素养的提升. 四、试题小结 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 数列求和比较难， 分组并项巧转换， 首尾相加高斯法， 裂项错位公式算。 不等问题作差法， 直接困难分析好， 数列函数子母胎， 还有数学归纳法。 山重水复疑无路，柳暗花明又一村。 勇于探索寻奥秘，多样解法显思维！ 等差等比问题多， 通项公式n项和， 方程化归基本量， 通性通法育素养。 深研教材寻本质， 迭代递推思维现。 列举归纳多观看， 抽象思维不可少。 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 $$