2024届高考数学天津卷第18题讲题比赛课件

基础知识筑巢 多维切入探秘 2024年高考数学天津卷第18题解说目录 一、问题再现 二、问题分析 三、问题解决 四、试题链接 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 我们将针对该题目从以下4个部分展开讲解，具体涵盖问题再现、问题分析、问题解决以及试题链接。 1、问题再现 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 请大家先认真阅读题目，顿10秒 1、问题再现 解答题既注重相应主题单元知识的综合考查，也注重不同主题单元知识的交叉融合，如第18题综合考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量的运算、函数的性质等基础知识，引导中学教学要注重知识的交叉融合，重视“四能”培养。此外，数学试卷在“改变相对固化的试题形式，增强试题开放性”等方面也进行了积极探索。 几何性质 直线与椭圆的位置关系 向量的运 算 函数的性质 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 天津考试院指出本道题既注重相应主题单元知识的综合考查，也注重不同主题单元知识的交叉融合，如第18题综合考查了椭圆的标准方程与（点鼠标）几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量的运算、函数的性质等基础知识，引导中学教学要注重知识的交叉融合，重视“四能”培养。此外，数学试卷在“改变相对固化的试题形式，增强试题开放性”等方面也进行了积极探索。 下面有请赵静老师为我们进行问题分析 2、问题分析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 我们一起来看本题第一问：根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量,从而直接得到椭圆的标准方程（x2/12+y2/9=1）.属于基础题目。 2、问题分析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 下面我们重点分析一下第二问，第（Ⅱ）问采用开放式问法，鼓励学生运用创造性、发散性思维分析问题和解决问题.（椭圆考查双动点问题，并且结合向量的数量积运算，注意讨论直线斜率是否存在，本题计算量比较大，对学生计算能力要求很高，超过往年高考题）第二问主要从“在y轴上是否存在点T使得TP.TQ≤0恒成立”这个问题出发,聚焦于已知条件,拓宽解题思路。 2、问题分析 以问促学，培养数学运算能力、数学抽象能力与逻辑推理能力 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 大体上有如下解题思路：思路1从方程的角度出发,考虑使用线参法，分别利用韦达定理、极化恒等式、余弦定理、双根式4种解法简化解题过程；思路2从参数方程的角度出发,用参数t表示直线的方程,与向量的数量积结合,求出点的纵坐标范围；思路3考虑到向量共线,利用“定比点差法”进行求解；思路4想到可以用圆的知识解决椭圆问题，以PQ为直径做圆,完成几何条件的转化． 总的来说，以问促学，培养数学运算能力、数学抽象能力与逻辑推理能力.。。。下面由邵与其老师给大家介绍第二问的具体解法。 3、问题解决 思路1：线参法 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3、问题解决——思路1：线参法 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 首先，我们将过定点的直线分为两种情况，分别是斜率是否存在。 当斜率存在时,设该直线方程为： 先联立直线方程与椭圆方程并消元,确定直线定与椭圆恒有两交点，再依据韦达定理得到X1+X2和X1X2的含有K的取值 3、问题解决——方法1：（直接法） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 再结合向量数量积的坐标运算,将两向量数量积用含有未知数k，t的式子，再根据向亮乘想想小于等于0得到t的取值。 当然，若过点的动直线的斜率不存在 综上可得到若过点的动直线的斜率不存在,需。 该方法充分彰显了解析几何的基本分析思路. 3、问题解决——方法2：（极化恒等式） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 面对向量的数量积问题可以转化为更加直观的向量模长关系,因此学生可以考虑应用极化恒等式表示向量TP与向量TQ的数量积。 3、问题解决——方法3：（余弦定理） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 题干由可知两向量夹角为钝角,利用解三角形及适当代数变形进行求解,不过在计算过程中计算量较大.见方法3 3、问题解决——方法3：（余弦定理） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3、问题解决——方法4：（点乘双根法） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 在圆锥曲线中遇到向量的数量积问题,除了直接运用韦达定理,当P、Q为直线与圆锥曲线的交点时,学生可以利用点乘双根法简便运算 由直线与椭圆联立可得三加4k方乘x的平方-12kx-27=0 有点乘双根法可知 3、问题解决——方法4：（点乘双根法） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路2：参数方程 根据人教版A版选择性必修一的教材中提到的方向向量与直线的参数方程相关知识,虽然高考对这一内容不做过多要求,但是参数方程依然能作为解决问题的有力工具,可以简化平面解析几何的运算 3、问题解决 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （还能如何优化一下我们的计算？再观察这道题，涉及到了到定点的距离及向量夹角，因此我们也会自然想到使用直线的参数方程） 根据人教版A版选择性必修一的教材（探究与发现中）提到的方向向量与直线的参数方程相关知识（右图所示）,虽然高考对这一内容不做过多要求,但是参数方程依然能作为解决问题的有力工具,可以简化平面解析几何的运算，本题考虑从直线PQ的参数方程入手研究问题。 下面我们一起来看具体解法 3、问题解决——方法5：（直线的参数方程） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3、问题解决——方法5：（直线的参数方程） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3、问题解决——方法5：（直线的参数方程） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3、问题解决 思路3：点差法 在解决圆锥曲线问题时,点差法通常适用于中点问题,若不是中点问题,点差法不适用,此时可采用进阶法——定比点差法. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 ：共线点列的问题可以考虑运用直线的参数方程，还可以用——定比点差法。定比点差法在处理圆锥曲线上过定点直线的问题上往往可以起到简化运算的作用。问：该方法在教材中有所体现吗？定比点差法的基本思维来源于人教A版必修第二册教材的探究. 若,则称点P为点P1，P2的定比分点 同时在解决圆锥曲线问题时,点差法通常适用于中点问题,若不是中点问题,点差法不适用,此时可采用进阶法——定比点差法. 接下来我们一起来看具体解法。 3、问题解决——方法6：（定比点差法） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3、问题解决——方法6：（定比点差法） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 利用单调性，取其在端点处，使上式不等式恒成立，得到 3、问题解决——一般性结论 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 当点位于坐标轴,定比点差法作为一种设点方法,能够建立向量比例参数与点坐标的直接关系,并没有联立韦达，作为优等生扩宽思维方法之一。 3、问题解决 思路4：图形特征 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 前面的思路都是从代数角度出发进行解题，还可以从几何角度进行深挖，把圆与之关联，我们知道直径所对的圆周角为直角，本题考虑到点在圆内的条件，要求数量积小于零，也就意味着点与直径的端点连线的张角为钝角或平角，据此可以得到方法七。 3、问题解决——方法7：（几何条件转化） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 同样的在解题时首先作以pq为直径的原，交y轴与mn两点，设斜率存在与椭圆方程进行联立，利用韦达定理求出直径的长度，此时子需要让mc的长度小于含有参数的半径即可，当k=0，m点纵坐标为，当k=∞，m点纵坐标为，利用极限条件求出纵坐标范围为－三到二分之三 3、问题解决——方法7：（几何条件转化） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 其次当直线斜率不存在，直接可求出qp的坐标，从而可知t的取值范围在-3到3之间，最后两种情况取交集即可，从动态图中我们也可以看出直角时的范围，小于此范围即为此题的答案。 好，我们组的七种解法介绍完毕，下面由王老师继续讲解相关试题 4、试题链接 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 圆锥曲线中求参数取值范围的题型一直是圆锥曲线的重点和难点，它所涉及的基础知识多，可操作性强，综合性较为灵活，考查学生各方面的计算能力，是高考命题中的常见题型，以下为与本题类似的例题。第一题为10年湖北理科试卷， 4、题1解析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 该题@第二问中过点的直线与开口向右的抛物线有两个交点，则设该直线的方程为(包括无斜率的直线)；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；@再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现数量积小于0的等价转化；@最后通过的不等式求出的取值范围。从揭发上来看，今年的天津考卷题型与之非常相似，在题目都设置上巧妙地结合了几何曲线与代数条件，通过设定独特的距离关系和内积条件，考察学生对几何性质和代数技巧的综合运用能力。题目进一步要求学生求出参数的取值范围。这一要求增加了题目的深度，考察了参数变化对几何图形影响的理解，展示了出题者的巧妙设计和深厚功力。虽然试题时间上较为久远，但是从解题方法上来看历久弥新，并且该题存在多种解题路径，学生可以通过几何直观、代数运算、或图形分析等多种方式解题。 4、试题链接 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 第二题为2024年北京通州区高三模拟题，该题与前两题的解法基本一致， 4、题2解析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 首先也是设直线然后联立方程组，@利用韦达定理以及tm，tn的直线解析式求出qp坐标 4、题2解析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 进而求出向量坐标，进行数量级计算，@最后根据条件求出定值。通过与近些年的北京、天津卷中的圆锥曲线做对比，能够发现高考命题趋势中的规律。在题目设置上都偏向于新颖设问，但是本质还是韦达定理，基础知识和基本技能的考察始终是核心。圆锥曲线的题目往往与其他数学知识点结合，如直线与圆锥曲线的交点问题，参数方程与普通方程的转换，面积和周长的计算等。这种综合性考察了学生对数学知识的整体理解和运用能力。题目可能涉及较复杂的推理和计算过程，体现出较高的难度和挑战性。最后由邵老师为我们做一下反思建议。 5、反思建议 (1)引导学生从不同角度去思考 (2)展示多种解法,拓宽学生思路 (3)组织小组讨论,互相学习和启发 (4)注重培养逻辑思维、创新思维和综合运用知识的能力 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 5、反思建议 几何曲线画中诗, 椭圆直线共相思, 交点参数妙推理, 内积巧算重基础. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 $$