2024届高考数学天津卷第15题讲题比赛课件

天津卷第15题 绝对值混根式带参数函数的零点讨论 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 一.试题呈现（2024年天津卷第15题） 零点问题 抓住函数零点定义 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 一.试题呈现（2024年天津卷第15题） 已知零点个数求参数取值范围 含参分类讨论 直接求解方程 数形结合找交点 实现参变分离等 常用方法 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 一.试题呈现（2024年天津卷第15题） 含参讨论 函数形式复杂：含有参数、根式、绝对值 难度叠加 难点：对于不熟悉的函数图象如何作图，如何抓住关键性质、关键点 数形结合 难点：既要对参数 分类，又要对变量 分段 难点分析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二.思路分析与具体解答——主线一：含参讨论 思 路 二 思 路 一 思 路 三 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号       换元后两边平方去根号，研究一元二次方程根的个数问题 两边平方后，实现分参，参变分离后研究方程根的个数   对参数进行分类讨论 二.思路分析与具体解答——主线一：含参讨论 思路一 体现了分类讨论 函数与方程思想 转化与化归思想 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路二 通过换元法转化， 等价变形整理 体现了分类讨论 利用零点存在定理找零点 二.思路分析与具体解答——主线一：含参讨论 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路三 通过换元法转化， 实现参变分离 体现了分类讨论 数形结合思想方法 二.思路分析与具体解答——主线一：含参讨论 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 方法点评：通过换元法转化实现分参，这就需要对题目的特点进行分析，通过换元，能够使得方程左右两边一边含有参数，一边不含参数，这样容易实现参变分离，然后通过等价变形利用数形结合转化为一水平直线与一曲线的交点个数的问题. 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思 路 四 思 路 五 二.思路分析与具体解答——主线二：数形结合 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号         思路四 体现了分类讨论 数形结合思想方法 二.思路分析与具体解答——主线二：数形结合 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路五 通过换元法转化， 等价变形整理 体现了分类讨论 数形结合思想方法 二.思路分析与具体解答——主线二：数形结合 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体解答 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 三.试题研究——教材溯源（人教A版必修一第156页第13题） 教材溯源（人教A版必修一第160页第4题） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 试题研究——高考链接（天津卷） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 试题研究——链接练习 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 试题研究——链接练习 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 函数的零点问题是高中数学中常见的一类问题，此类问题综合性较强，考查方式灵活多变. 研究高考题，把握高考考向，指导平时的教育教学工作应注意以下几点：一方面要加强基础，学生需要具备扎实的基础知识、严谨的逻辑思维和灵活运用数学方法的能力.对于零点问题，抓住解决问题的关键，函数零点、方程的根以及函数的图象与x轴交点的横坐标三者之间的相互转化，体会转化与化归思想，函数与方程思想，分类讨论的思想，数形结合的思想方法. 四.讲题总结 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 其次是增加灵活性，特别是对已学知识的迁移，例如见到带有根号函数的图象不会作图，想到能否平方去根号，进行变形整理，结合所学知识三角函数平移变换法则研究未知函数图象的特点；见到含有绝对值的式子比较抵触，能否去掉绝对值进行分类讨论. 总之，抓住解决函数零点问题的两大类方法就是含参讨论和数形结合，无论遇到多么复杂的问题，研究思路不变.方程与函数零点问题突出数学运算核心素养及逻辑推理核心素养的考查，在不断的练习和总结中，能够逐渐提高解决这类问题的水平. 四.讲题总结 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 已知 有唯一零点，则 的取值范围_______. 已知 有唯一零点，则 的取值范围_______. 已知 有唯一零点，则 的取值范围_______. 函数解析式中含有绝对值，需要进行分类讨论去掉绝对值来研究问题 借助零点存在定理，利用导数工具和分析法讨论研究零点个数和所在区间 函数定义域为分成两个区间研究零点 对参数进行分类讨论 （由对称性，只需讨论） 函数图象与轴有唯一交点 函数有唯一零点 已知 有唯一零点，则 的取值范围_______. 方法一：函数的零点函数图象与轴交点的横坐标，直接含参讨论： 当时，，，此时有两个零点，不符合题意舍去； 将函数解析式中， 用代替，用代替，不变，只需讨论. 当时， 定义域，由题意可知在和内只有一个零点，则下面分区间讨论： 时，,是连续函数，，， 当时，，由零点存在定理，当时，在以及中各有一个零点，不合题意舍去； 方法一：当时，，事实上，，由于以及，上式总成立. 故在单调递减，又，，由零点存在定理，在有且只有一个零点， 若保证原函数有唯一零点，则当时，无零点. 方法一：验证当时，，且， ， 当，， 当，，， 由零点存在定理，当时，在中必有一个零点，不符合题意舍去. 方法一：当，当时，，， 事实上由于， ， 当时，在中必有一个零点，不符合题意舍去. 方法一：当，能够验证恒成立.， 当，即，， 当时，，当时，， 若，上式总成立，若时，， 又. 方法一：当，即，当时，； 当时，， . 综上当，恒成立. 当时，由对称性可得有唯一零点，的取值范围 综上，已知有唯一零点，的取值范围. 方法点评：对于参数 的正负讨论，对称性注意到 的取值范围必然关于原点对称，于是在分类讨论的时候重点讨论 与 的情况，其中 的情况较为复杂，关注函数定义域， 在 和 内只有一个零点分区间讨论.这样的方法逐渐缩小参数 与变量 的取值范围.方法虽然严谨但是分类讨论比较繁琐，计算量比较大，在有限的时间内能讨论出来是相当不容易的。 令，，原方程转化为 ，其中 两边平方去根号： 在内只有一根，不妨假设，讨论与1和3 的关系，进而研究(1)(2)两个方程根的问题 方程有唯一根，观察左右两边都有，考虑换元转化 函数有唯一零点 问题（1）容易求解出根，优先研究，压缩参数范围，再配合研究问题（2）主要利用二次方程根与图象的关系，结合零点存在定理，得到参数的范围 方法二：换元后从解方程的角度研究方程解的个数 函数 的零点 方程 的根，即： 有唯一根. 若 时， ， ，此时 有两个零点，不合题意去； 若 时，令 ， ，原方程转化为 ，其中 .原问题转化为方程 即 在 内只有一根. 方法二：不妨假设 . 1. 时，即 ， 由（1） ,一方面 ， ，可检验 ， 另一方面 ， 此时问题（1）有两个实根，不合题意舍去. 2. 时，即 ， ，由（1） 舍去， ，则问题（1）已有一根，而问题（2）不能有根. 方法二：由（2） ，相应的二次函数为 ，开口向上，对称轴小于0， 由函数递增，问题（2）无实根，符合题意. 3. ，即 ， ，由（1） ,当 时， ，由（2） ，方程有两个根，不合题意.当 时，由（1） ， ，问题（1）只能有一根，则 不是根，那么 ， .由（2） ，二次函数为 开口向上，对称轴小于0， ， 在 上必有一个零点，原方程有两个实根.由对称性， . 令，，原方程转化为 ，其中 两边平方，参变分离转化为 ，数形结合，得到参数的范围 两边平方，参变分离转化为 ，数形结合，得到参数的范围 方程有唯一根，观察左右两边都有，考虑换元转化 函数有唯一零点 方法三：换元后分参 函数 的零点 方程 的根，即： 有唯一根. 若 时， ， ，此时 有两个零点，不合题意去； 若 时，令 ， ，原方程转化为 ，其中 . 当 时，由于 不满足方程，所以 ， ，两边平方化简 ，， ，令 ， ，则 ； 方法三：当 时， ，两边平方化简可得 ， ，令 ， ， ；参变分离， 方式一： 则转化为 ，数形结合，由图 ，解得： ， 的取值范围 方式二： 参变分离时也可如下，当 时， ，两边平方化简可得 ，参变分离， 不满足上式， ， ，当 时， ，两边平方化简可得 ， ，参变分离， ， ，转化为 ， ，得 . 与图象是将双曲线向右平移个单位的轴及其上方的图象，过定点，以为顶点的折线，关于对称，研究直线与双曲线位置关系，须抓住渐近线，即参数与2作比较分类讨论. 与有唯一的交点 方程有唯一根 函数有唯一零点 方法四：函数 的零点 方程 的根，即： 有唯一根 EMBED Equation.DSMT4 与 两图象有唯一的交点. 若 时， ， ，此时 有两个零点，舍去； 若 时， 定义域为 ，由 变形整理 ，配方可得 ，进一步整理可得 ，由此可知其图象是将双曲线 向右平移 个单位的 轴及其上方的图象，相应的渐近线方程 也向右平移 个单位 ，如图： 另一方面， 过定点 ，以 为顶点的折线，关于 对称，研究折线和双曲线的部分图象的交点，必然得研究渐近线与折线的位置关系. 当 时， 此时数形结合， 与 有两个交点，不合题意舍去； 当 时，此时数形结合，联立 与 ，判别式大于0，有两个交点，不符合题意舍去； 当 时，此时 满足不等关系 即可，解得 . 若 时，由对称性同理可得 . 综上，已知 有唯一零点， 的取值范围 . 令，，原方程转化为 ，其中 转化为与只有一个交点，图象为双曲线的部分，渐近线方程为，图象为两条射线. 方程有唯一根，观察左右两边都有，考虑换元转化 函数有唯一零点 方法五：换元后数形结合解决问题，图象角度出发研究 函数 的零点 方程 的根，即： 有唯一根.若 时， ， ，此时 有两个零点，不符合题意舍去； 若 时，令 ， ，原方程转化为 ，其中 .转化为 与 只有一个交点. 不妨假设 ， ，两边平方 ，配方后整理可得： ，由此可知图象为双曲线的部分，渐近线方程为 ， 当 ，即 ，渐近线斜率 ，此时两图象有两个交点，不符合题意， 当 ，即 ，渐近线的斜率 ， 此时两图象只有一个交点，符合题意 当 ，即 ，渐近线的斜率 若 ，渐近线的斜率 两图象左右两支各有一个交点. 若 ，渐近线的斜率 ，两图象左右支各有一个交点. 若 ，两图象左支有两个交点，右支无交点. 数形结合，由对称性， 综上，可得 的取值范围 . 方法点评：运用数形结合完成本题解法相对较为简洁，运算量减小，更加高效，但是对于图象的把握，要求比较高，这就需要落实学生的直观想象的核心素养，一方面注意问题的转化，作图具有可行性；另一方面需要精准把握图象的特点.例如双曲线的渐近线，在研究直线和双曲线位置关系是需要重点关注的，再有就是抓住图象是否过定点，是否具有对称性等细节. 有一道题“若函数 在区间 内恰有一个零点，求实数 的取值范围”，某同学给了如下解答： 由 ，解得 .所以，实数 的取值范围是 .上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答. 已知函数 求使方程 的实数解个数分别是1，2，3时 的相应取值范围. （2023年第15题）若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为_______. （2022年第15题）设 .对任意实数 ，用 表示 ， 中的较小者.若函数 至少有3个零点，则 的取值范围为_______. （2021年第9题）设 ， ，若 在区间 内恰有6个零点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2020年第9题）已知函数 若函数 恰有4个零点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2024年十二校联考一模第15题）已知函数 有且仅有2个零点，则实数 的取值范围为 . 方法一：含参讨论 根据 是否有零点，去掉绝对值，分类讨论，当 时， 恒成立，根据题意求解即可；当 ， 时， 恒成立，不符合题意，当 ， 时，结合二次函数性质讨论得 没有实数根，最后计算可得. 方法二：数形结合 有且仅有2个零点，即方程 有两个根，两边同时除以 可得，即 ，令 ，转化为 与 有两个交点. 变式题——提升 2．已知函数 ，若函数 恰有4个零点，则实数 的取值范围是 ． 思路分析：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.根据给定条件，讨论当 时， ，当 且 时， ，确定函数零点只可能在 且 的情况，再分析含绝对值符号的二次函数即可得解. $$