2024届高考数学上海卷第21题讲题比赛课件

1 真题呈现 函数新定义，考察素养 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2 逐题讲解与分析 析题第（1）问 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 知识技能：利用基本不等式求函数最值 感悟：加深对题干的理解，为后几问的解决提供思路 思想方法：分析问题能力、转化划归的思想 数学素养：逻辑推理、数学运算 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 析题第（2）问 问题 构造函数，求其最值 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 利用导数求函数的最值 构造函数 思维导图 证明垂直 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 第（2）问 感悟：1、再次加深对题干的理解 2、出现垂直的结论，为第（3）问的突破解决提供思路 思想方法：分析问题能力、转化划归的思想 数学素养：逻辑推理、数学运算、直观想象 知识技能：利用导数研究函数的最值、斜率的求法 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 析题第（3）问 难点 问题 数学素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路分析 思考1：如何形成解题思路，都可以从哪些方面入手进行处理呢？ 利用前几问的解题思路 结合已知结论 从题干、概念入手 寻找本质 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思维导图 ？ ？ 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路1：投石问路——“降维分析”探究发现本质 探究思路 思考2：我们学过的图象、解析式都比较简单的特殊函数是哪个函数呢？你能举例吗？ 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体探究过程 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体探究过程 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 具体探究过程 思考3：如何将结论推广至一般，即如何证明呢？ 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思考4：如何证明呢？ 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 法1：数形结合，反证法 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 法2：回归概念，代数运算 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 方法总结 思路1：将函数特殊化至直线进行降维分析，更容易探究与发现问题的本质，确定解题路径，揭示命题技术和命题意图，突出对解法系统的研究 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路2：利用题干，代数运算 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思考5：结合以往经验，对于上式可以怎样处理呢？ 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 由于目标不明确，所以接下来再往哪走，依据本方法是很难的！ 法3 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 法4 思考7：这个结论能说明单调性吗？ 思考8：接下来还要完成一件什么事情才能说明单调性呢？ 回归题干，从概念入手 同法2 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 方法总结 思路2，通过前两问的解决，学生是可以想到的，可以获得部分分数，但是运算量大，运算技巧强。获得等式后，法3由于没有目标是很难往下进行的。法4需要利用极值和最值的定义进行深刻构造，思维要求高. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路3、法5：数形结合，寻找P点，反证法证明 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3 方法分析与解题感悟 方法分析 思路3比较简单但难以想不到；思路2可以想到开头，但是很难进行到底；思路1降维分析探究的方法，目标明确思路清晰完全可以执行到底。 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解题感悟 1、学会探究与发现，大胆猜想 没有大胆的猜想， 就没有伟大的发现！ 当题目难度大，思路不明显时，要培养探究的能力，由特殊到一般、由易到难的降维分析往往可以收到很好的效果，进而归纳猜想证明。探究试验要用好草稿纸，要多举例、画图、列表，敢于想象命题者会怎样设计，往往灵感来自特殊点，特殊值，特殊位置…… 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解题感悟 2、重视阅读理解 所谓新定义就是一种情境，考查的是运用基本知识、思想方法解决问题的能力．要通过试题的结构，理解命题意图，学会顺藤摸瓜寻找思路，这就是阅读与理解． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 感悟升华 抽象函数解题难，探究相伴不惧繁。 理解命题开始端，顺藤摸瓜走泥丸。 降维分析是通法，数形结合更直观。 抓住本质是关键，步步为营尽开颜。 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 教学感悟 1、在教学设计中充分考虑学生思维的发展、已有的经验、认知规律、学习动机等，注重启发性，帮助学生思维由低阶向高阶的迈进，关注学生素养的发展。 2、课堂教学中，教师要让学生经历理解、模仿、运用、分析、迁移等探究过程，积累利用数学思维和方法解决问题的经验。 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 本题以函数“新定义”为问题背景，以函数的最值为考查内容，着重考查学生利用题干的“新定义”分析问题的能力和转化问题后解决问题的能力，蕴含了探究猜想、数形结合、转化划归、函数模型等思想，体现了数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等素养． 命题立意 4 命题溯源 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 4 命题溯源 1、课程标准 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。由此可见从特殊“形”入手探索问题，再进行一般性论证的研究方法是高中必须培养的能力。 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2、教材 每节正文以研究一个数学对象的基本套路为依据，以“问题引导学习”为指导，根据需要安排“观察”“思考”“探究”“归纳”等栏目，引导学生的数学活动，再内容展开过程中重视对学生“类比”“归纳”“特殊化”“一般化”等逻辑方法的培养。 而每章都有的“阅读与思考”“探究与发现”等栏目，不仅加深学生对相关知识的认识，亦增加了学生探究的经验。 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3、中国高考评价体系（一核四层四翼） “实践探索”是指学习者在面对生活实践或学习探索问题时，组织整合相应的知识和能力、运用不同的技术和方法进行各种操作活动以解决问题的综合品质。 “实践探索”是完成认知学习和实践的关键环节，包含3个二级指标：研究探索、操作运用、语言表达。 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解析：本题与上海题21题第（3）问类似，两个函数都是抽象函数，没有解析式，题干给出其满足的特殊条件，证明结论。 5 链接（变式） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 对于一个函数 和一个点 ，定义 ，若存在 ， ，使 是 的最小值，则称点 是函数 到点 的“最近点”． （1）对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 到点 的“最近点”； （2）对于 ， ，请判断是否存在一个点 ，它是 到点 的“最近点”，且直线 与 在点 处的切线垂直； （3）已知 存在导函数 ，函数 恒大于零，对于点 ， ，点 ， ，若对任意 ，存在点 同时是 到点 与点 的“最近点”，试判断 的单调性． （1）对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 到点 的“最近点”； （1）当 时， ，当且仅当 即 时取等号，故对于点 ，存在点 ，使得该点是 在 的“最近点”； 对于 ， ，请判断是否存在一个点 ，它是 到点 的“最近点”，且直线 与 在点 处的切线垂直； （3）已知 存在导函数 ，函数 恒大于零，对于点 ， ，点 ， ，若对任意 ，存在点 同时是 到点 与点 的“最近点”，试判断 的单调性． 思路2：利用题干，代数运算 （设 ，依据点 ，构造双变量双方程，函数 和 ，再利用导数研究其最值） 第（2）问的结论是直线 与 在点 处的切线垂直，即 思路1：投石问路 （从特殊函数入手探究，数形结合寻找 点的几何位置） 所以 ， ， 三点共线 构造函数 ， 最小值为极小值， 所以存在 为两个函数的极小值点， 所以 ， 法5：利用三角形三边关系得出结论， 再利用反证法证明 为中点坐标为 ， ， 三点共线 在 上单调递减 法3：对①式②式运算 法4：由①②相等得， 法1：数形结合 反证法 法2：回归概念 代数运算 思路3：数形结合 由题设以及难点分析 思路1：投石探路 思路2：代数运算 将函数特殊化进行降维分析 先利用特殊函数找到问题的本质， 再利用一般进行证明 利用特殊函数探究，假设 为最简单的函数，寻找 点位置，再通过证明将结论推广至一般。猜测： 即 ， ， 三点共线，再根据点 ， 平移特点，不难发现：点 为 EMBED Equation.KSEE3 的中点，即 为 . 对于函数 ，由于 本质就是将曲线上的点 向左平移1个单位再向下移动 个单位， 本质就是将点 向右平移1个单位再向上平移 个单位，且 由计算得始终为 ， 的中点 由图2.1-1得，不可能存在点 同时到点 ， 的距离最小． 反之，假设 ， ，再平移点 得 ， 结合图象2.1-2，不难发现：存在 点满足题意，此时 为 EMBED Equation.KSEE3 的中点！且 单调递减； 推广至较一般再探究：假设 ,因为 ， 的本质就是点 的移动，数形结合探究分析可得： 为 ， 的中点，坐标为 ，且此时 ，即函数单调递减． 发现本质： 为 EMBED Equation.KSEE3 的中点坐标为 ，函数 单调递减 联想第（2）问，推广到一般： 若 为 的最近点，则 为函数的最小值点也是极小值点，所以 所以 ； 所以 ，即 三点共线 法1：数形结合，反证法 法2：回归概念，代数运算 目标！！ 证 为 的中点 即证 所以， 点与 点必然重合，否则 离 其中一点较 更远（如图2.1-3、图2.1-4所示），与 同时为 最近点矛盾，所以 为 的中点，即 ．所以函数单调递减 由题意设 的中点为 ，则坐标为 ，其也在函数 的曲线上，且 三点共线，则 可能四点共线 因为 既是 的最小值点，也是 的最小值点， 则 , ， 令 即 ③ ④得 ， 即 ， 则 ，解得 ，所以 ．所以函数单调递减 由题意，构造函数 若对任意的 ，存在点 同时是 ， 在 的“最近点”，设 ， ，则 既是 的最小值点，也是 的最小值点，因为两函数的定义域均为 ，则 也是两函数的极小值点，则存在 ，使得 ， 则 则存在 ，使得 ， 即 ， 分别对①式②式运算得 ， 说明： ，所以 ，即 ， ， 三点共线 接下来求 点坐标以及证单调性的步骤同思路1 由①②相等得 ，即 ， 即 ，又因为函数 在定义域 上恒正，则 恒成立 接下来，需要将 与 建立联系 则 ，解得 ， ．所以函数单调递减 因为 既是 的最小值点，也是 的最小值点， 则 , ， 因为 ，所以令 即 ③ ④得 ， 即 ， 设 EMBED Equation.KSEE3 的中点 ， 点坐标为 假设 点与 点不重合，（如图3-2或图3-3） 则 但是 ，所以假设不成立， 所以 点与 点重合，所以 点坐标为 ． 又因为 为 EMBED Equation.KSEE3 的最近点， 所以 在 处取得最小值，也是极小值 所以 ，即 所以 ，所以 在 上单调递减． 设 是可导函数.若曲线 与 不相交， 在曲线 上， 在曲线 上.证明：当 取得最小值时， . $$