2024届高考数学上海卷第12题讲题比赛课件

一、题目呈现 (2024上海秋季高考12题)等比数列的首项，公比，记，若对任意的正整数，是闭区间，则的取值范围是_______. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二、分析与思维导图 本题是一道数列背景下的新定义类题目，其重点不是考查等比数列的性质，而是考查对数学符号的理解能力和逻辑推理能力，也就是说，本题的难点不是有关等比数列的运算，而是理解是一个怎样的集合，这不能一看就发现，怎么办？取特殊值，再找规律！这是面对新定义问题及数列填选题的常用做法. (2024上海秋季高考12题)等比数列的首项，公比，记，若对任意的正整数，是闭区间，则的取值范围是_______. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二、分析与思维导图 取，，则. (i)当时，； (ii)当时，； (iii)当时，则的最大值为，最小值为，此时； (iv)同理，当时，. 因此，是闭区间. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二、分析与思维导图 取，，， ， 因为，所以，此时不能构成闭区间. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二、分析与思维导图 是关于原点对称的集合： . 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二、分析与思维导图 ，此时，能构成闭区间；而，此时，不能构成闭区间. 所以，原题中要能构成闭区间，必须，否则不能构成闭区间. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二、分析与思维导图 思路一 依次写出、、时的区间. 或时，由于，属于一个闭区间，自然是闭区间；在时，我们需要对，是在还是中进行分类讨论，在四种情形下分别写出的范围，即可得到，再通过从特殊到一般的方式归纳写出一般情形下的表达式. 接着对区间端点的位置关系做出正确的判断即可列出关于的不等式. 由于该不等式是恒成立的，再通过分类讨论或参变分离就能够得到的取值范围. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二、分析与思维导图 思路二（区间对称性） 由于中，遍历，并且我们考察的是，因此一定是关于原点对称的集合，这点我们在用特殊值探路时也可以看到. 由该对称性可以设，所以对，是在还是进行分类讨论时只有三种情形，这时再去考察的范围时就比较简单. 剩余与思路一类似，判断区间端点的位置关系得关于的不等式，再考察一个不等式恒成立问题即可. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二、分析与思维导图 判断区间端点的位置关系得到关于的不等式 写出、、时的情形，归纳写出一般情形下的表达式 由对称性可设，对，是在还是进行分类讨论写出的范围 思路一 思路二 选取特殊值探路：令，取或，求相应的，通过进行归纳 参变分离或分类讨论，求出使得上述不等式恒成立的的取值范围 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 三、试题解答 思路一 由题，等比数列递增，且，因此也为递增数列. 当时，为闭区间，满足题意； 当时，为闭区间，满足题意； 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 三、试题解答 思路一 当时，. 下面通过分类讨论写出： (i)当，时，； (ii)当时，； (iii)当且时，； (iv)当且时，， 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 三、试题解答 思路一 因此 若为闭区间，则，解得，由题意自然满足. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 三、试题解答 思路一 当时， . 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 三、试题解答 思路一 . 对任意，当时，上述不等式左边非负，显然恒成立；而当时，当时，，不满足. 综上，. 若为闭区间，则，由等比数列通项公式得，化简得，即 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 三、试题解答 思路二 由于中，遍历，并且我们考察的是，因此一定是关于原点对称的集合，所以不妨设. (i)当，时，； (ii)当时，； (iii)当且时，. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 三、试题解答 思路二 若为闭区间，则，由等比数列通项公式代入化简得. 当时，上述不等式可化简为，即对于任意的恒成立，显然不满足. 当时，上述不等式可化为，不等式左边恒正右边恒负，显然恒成立. 综上，. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 四、试题评价及备考建议 本题是一道数列背景下的新定义类题目，其以集合的并运算为载体，定义了一类与等比数列相关的集合，同时也涉及到不等式恒成立等问题，要求学生熟悉数学语言，真正理解习题中的数学概念和性质，综合性较强，对学生的思维能力和学科素养要求较高. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 “新定义”主要是定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题.新定义类题目由于其集新颖性、独特性、探究性、综合性为一体，一直是以背景新颖、题目创新而著名的上海卷的热点. 自2024年1月九省联考出现新定义题之后，不少模拟卷都相继出现了新定义题，目前它有向全国卷发散的趋势. 四、试题评价及备考建议 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 新定义题目的难点往往在于题目中所给的新定义、新符号太抽象、看不懂，学生拿到题目后只有“望题兴叹”. 以本题为例，考生大多反映难以理解是一个怎样的集合，更不可能在考场上用规范的过程解答. 那对于这一类问题应该用什么策略？第一种常用解题策略就是分析中的特殊值法，比如此题中以或代q，虽然有点冒险，但成功概率较大，另外用特殊值分析时也能够发现的取值范围关于原点对称，这是的一个重要的性质，如此解题可以省出大量时间. 四、试题评价及备考建议 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 除此之外，破解新定义题的关键还是必须充分理解新定义的本质思想，弄清与相近已知概念之间的联系与区别. 比如此题中的集合虽与等比数列各项有关，但将固定时，求的范围无非就是在分类讨论的基础下，作不等式的运算，最后再将集合并在一起即可；而求出后，再将变动时，又转换成了不等式恒成立问题. 这些都是在学生的能力范围内的，反复训练的内容，只不过在赋予新的定义时，就比较难以识别. 因此，在备考时应加强对数学基础知识的学习与巩固，深入理解数学概念的背景和内涵，“以旧攻新，化新为旧”. 四、试题评价及备考建议 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 五、试题溯源 本题可以视为高等数学中二元函数值域的问题. 当固定时，定义二元函数，定义域为，那么所求集合就是的值域. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 五、试题溯源 利用坐标系容易作出函数定义域所覆盖的区域，如图所示为四块小矩形，此时再分别写出这四块区域下二元函数的值域，比如当在绿色区域时，意味着且，因此，这样依次进行，就能够得到 =. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 五、试题溯源 另外，本题中的也可以看作以下两个集合的和集：，，即，同样也可以用分类讨论的方法得到. 在这点上，本题与2024年上海春季高考12题有视角相同之处. (2024年上海春季高考数学12题)已知，，，. 若存在实数、、、，使得，则所有符合条件的有序数组的个数为___． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 五、试题溯源 定义集合，集合，则题目中的集合是和集，是和集. 以上两题均涉及到了等比数列的性质及集合的运算等问题，并且在解法上也有相似之处，一定程度上说明春考指引着秋考的备考方向. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 六、试题链接（练习） 1.(改编)等差数列的首项，公差，等差数列的首项，公差、记，若对任意的正整数，是闭区间，则的取值范围是_______. 2.(改编)设集合，其中数列为正项等比数列，且公比为有理数. 定义，则集合中的元素个数=_______. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 六、试题链接（解答） 1.解：当时，为闭区间，满足题意；当时，，下面通过分类讨论写出： (i)当，时，； (ii)当时，； (iii)当且时，； (iv)当且时，， 因此，即，化简得. 于是对于任意的，恒成立，因此. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 六、试题链接（解答） 2.解：由题意等比数列的通项公式为. 由于为正项等比数列，且为有理数，则不妨设，其中、是互质的正整数. 假设存在正整数、、、，满足，使得，则有 ，即 ，则，因此. 上式左边是的倍数，不是的倍数，而右边是的倍数，但、互质，因此上式不可能成立，与假设矛盾，这就意味着对于任意，不可能成立. 因此=. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 $$