2024届高考数学全国理科甲卷第20题讲题比赛课件

平行证明坐标法，追本溯源探本质 —2024年全国甲卷（理）第20题多视角解析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 目录 一 试题呈现 二 思维导图 三 试题解析 四 变式猜想 五 归纳总结 六 教学建议 2024年全国甲卷（理）第20题多视角解析 平行证明坐标法，追本溯源探本质 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 试题呈现 2024年全国甲卷（理）第20题多视角解析 平行证明坐标法，追本溯源探本质 一 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 真题再现（20题） （类型：常规解析几何） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 溯源评析 人教A版选择性必修一P136页例5，教材例题是抛物线背景，而全国甲卷数学（理）20题是椭圆背景，但求证结论几乎一致.由此可以得到全国甲卷数学（理）20题证明启示，要证明轴，只需要证明纵坐标相等即可. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思维导图 2024年全国甲卷（理）第20题多视角解析 平行证明坐标法，追本溯源探本质 二 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 点纵坐标相等 如何求解点纵坐标？ 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 试题解析 2024年全国甲卷（理）第20题多视角解析 平行证明坐标法，追本溯源探本质 三 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 20题（1） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路一：设线 在圆锥曲线问题中，选择不同的方式设定直线方程，会对计算难度产生显著影响.不同的直线方程形式在与圆锥曲线方程联立后，会得到不同形式的二次方程，这些二次方程的复杂程度直接决定了后续的计算难度. 20题（2） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法一：直线纵截式 ①设直线、联立方程、∆、韦达定理 ②表示A、Q纵坐标：yA=y1、则yQ？ 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 ③利用韦达定理证明yA=yQ 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法二：直线横截式 ①设直线、求点 先观察yQ结构 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 ②联立方程、∆、韦达定理 ③根据yQ结构变形使用韦达定理 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法一、解法二分别采用纵截式与横截式设定直线方程，看似只是直线方程形式不同，核心思路仍然是联立方程、利用韦达定理进行解题，但纵截式的计算量明显大于横截式，因为目标是两个点的纵坐标相等，设横截式，方便消去保留. 解法二中，两根之和与两根之积之间还有较直接的等式关系，易进行和积互化，再结合的表达式，目标较解法一更为明确，变形转化相对容易. 方法对比： 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解决圆锥曲线问题的众多思路中，通性通法始终是一种直接且广泛适用的方法.这种方法的核心优势在于其普遍性和适用性，它并不依赖于特定题目的独特性质或特殊条件，而是深深植根于圆锥曲线的一般性质和基本公式之中. 因此，无论面对何种类型的圆锥曲线难题，通性通法都能够提供一种有效的解决途径.在解题过程中，通常遵循一定的步骤：设定直线方程，然后将其与圆锥曲线方程联立，充分利用韦达定理和题目给定的条件进行求解.尽管通性通法的逻辑清晰明了，但在实际操作中，往往涉及复杂的代数运算和推导.这些运算和推导可能包括方程的变形、变量的替换、公式的应用等，因此对计算能力的要求相对较高。 总结： 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法三：直线参数方程 ①分析转化：轴⟺ 轴 ⟺ NP ⟺ ⟺ ②以P为定点设直线、联立、韦达定理 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 ③表示，利用韦达定理化简、证明 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路二：设点 在圆锥曲线问题中，除设线法外还常通过设出动点坐标，找到动点间的关系或动点所满足直线和曲线方程寻求突破口，建立关系（方程），也就衍生出点差法、定比点差法等蕴含“设而不求”思想的重要解题方法. 值得一提的是在抛物线作为无心曲线，抛物线方程形式独特，为此常通过其方程形式特点巧妙设点，将横纵坐标统一成相同变量，实现双变量到单变量的消元目的，简化运算. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法四：两点式，椭圆参数方程设点. ①设点、表示直线 ②利用已知条件P点坐标建立ɑ、β的等式 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （两点式，利用积化和差、和差化积公式进行化简 注解： ③利用ɑ、β的等式关系化简 万能公式 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法五：三点共线，对偶构造 ①直线斜率相等 ②对偶构造平方差，求解出x2y1与x1y2 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 注解： ③通分，利用x2y1进行等量代换 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法六：定比点差法 ①用分点P的左边表示A、B两点坐标 ②定比点差常规 解题步骤 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 注解： 重要等量代换表达式 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路三/解法7：极点极线 ①重要比例关系 ②调和点列的调和不变性 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法七：极点极线 注解： ③调和点列的等差性质 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 变式猜想 2024年全国甲卷（理）第20题多视角解析 平行证明坐标法，追本溯源探本质 四 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 准线 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 准线与x轴交点 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 设计意图：上述练习题和24年全国甲卷数学（理）20题类型一致，读者可用类似思路方法求证.重点考查学生知识迁移和转化能力，有利于读者对几何问题代数化等基本思想的进一步理解与加强。 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 归纳总结 2024年全国甲卷（理）第20题多视角解析 平行证明坐标法，追本溯源探本质 五 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解析几何属于高考必考题型，涉及知识深广，方法技巧灵活多变，几何问题代数坐标化、数形结合、化归与转化是解决此类问题基本思想，如何利用好图形本身具有的几何性质翻译成代数表达式恰为重点； 此类题目的切入点较广，通性通法适用面较广，思维难度较小，但往往伴随运算繁琐、基本代数运算能力和技巧要求高的特点，选择合理的入手点和解题策略显得尤为重要；题型条件千变万化，把握这类问题的几何本质，全方位、多角度地思考问题，进而优化运算过程提升解题策略颇为关键. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 教学建议 2024年全国甲卷（理）第20题多视角解析 平行证明坐标法，追本溯源探本质 六 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 近年来，为有助于创新人才选拔，高考试题有别于传统试题，“题海战术”、“肌肉记忆”和“二级结论秒杀”一去不复返. 另一方面，教师要尽力打造高效课堂，注重教材所构建的知识架构和经典习题，梳理清楚知识脉络的同时，讲透典型例题背后的数学问题本质.以学习者为中心，以提高学生的核心素养为目的，以培养学生深度思考，自主探究的能力为主，助力国家双减政策的落地。 一方面不仅要求学生需要以不变应万变的解题能力面对新高考下的创新试题，还需要学生在日常学习中增长审题能力、拓宽解题视野、提高知识迁移、知识应变探究转化能力. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 圆锥曲线七法解，纵截横截思路开。 参数点差对偶妙，定比极线巧安排。 代数几何共辉映，思维火花映日辉。 解题策略多变化，圆锥曲线任徘徊。 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 设椭圆 的右焦点为，点在上，且轴. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点， 证明：轴. 解：由题意，可知. 根据椭圆定义，有，. 即所求椭圆的方程为. 解：由题意可得直线率必存在.设直线,设点, 由点满足椭圆方程，有可得. 因，故，且, 因,故直线.令，. 所以 . 故，即轴. 解：设,设直线的方程为, 因，故直线：. 令，则. 由可得. 因，故或. 由韦达定理得.故,即 故，即.故轴. 设直线的方程为（为参数），将方程代入椭圆的方程中， 得.设， 由韦达定理得.① 因,故直线. 令， 要证明轴，只需要证明. 即证明，即证明. 由①式，可得. 故轴. 解：设, 直线的方程为. 令，得，故，即. 展开得,即. ① 因,故直线. 令，. 将①式代入，.即轴. 解法四利用椭圆的参数方程写出两点的坐标，再利用两点式写出直线方程，这一过程计算量很大，难度也高，需要利用积化和差、和差化积公式进行化简；利用已知条件，建立参数之间的等式关系.解题思路与解法一、解法二较为相似.但解法四涉及积化和差、和差化积、万能公式等公式的应用，计算难度较高. 解：设点 ，且三点共线，即. 所以 ， .① 因为点在椭圆上，满足椭圆方程 ，.② 对①式左右同乘： 并将②代入，有.③ 由①③联立，可知. 又因为点三点共线，，. 即有. 即. 对偶构造方法有别于圆锥曲线的传统曲直联立解韦达定理，而主要是利用三点共线转化为同一条直线斜率相等，找到关于的表达式，再利用平方差公式对其进行变形构造，解出和，最后将其化简计算出为0，从而证得轴.此方法的技巧性较强，对学生代数式观察和构造能力有较高要求. 故.即直线轴. 解：设点，且三点共线，即， 所以，. ① 化简，得，. ② 又因为点在椭圆上满足椭圆方程，所以 两式相减，得. 1 式代入，有，化简得. ③ 1 - ③得.又因为点三点共线，， 即.即直线轴. 定比点差法作为点差法的推广，相对通性通法处理三点共线、相交弦、定点问题、比例问题和调和点列问题具有计算量小、解题步骤常规、适用题型突出的特点.在定比点差法解题中设点，则有，，其本质是分点的坐标可由起点、终点的坐标以及定比表示. 解：由极点极线的定义可知点关于椭圆的极线为，过点作椭圆的割线 交椭圆于两点，即有. 因此：四点为调和点列，为调和线束. 用轴截取调和线束和的反向延长线，设被轴 截取交于轴负半轴于点，根据调和点列的调和不变性可知： 四点也为调和点列. 即点右侧三线段的倒数成等差， 因为 .同乘，有. 即.① 此法是利用高等数学中极点极线背景下的二级结论可直接求证轴，辅助确定结果，但在高考解答题时谨慎使用，对于选填题则可达到秒杀效果！ 又因为点为点和点的中点，所以 . 即. ② 由①②可得，即直线轴. 20.设椭圆 的右焦点为，点在上，且轴. （2）过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点， 证明：轴. 猜想1设椭圆的右焦点为，点在上，且轴. （1）求的方程；（2）过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴. 猜想2设双曲线的右焦点为，点在上，且轴. （1）求的方程；（2）过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴. 变式1设双曲线的右焦点为，点在上，且轴. （1）求的方程；（2）过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴. 变式2设椭圆 的右焦点为，点在上，且轴. （1）求的方程；（2）过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴. $$