2024届高考数学全国理科甲卷第18题讲题比赛课件

1.真题再现 2.题目溯源 3.解法探究 4.一题多变 5.教学建议 目录 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二、题目溯源 等比数列求和公式推导过程；人教A版必修二P56 第11，12题 做差求数列通项公式与“差比积型”求和在近几年的高考试题中曾多次出现，在教材中也存在，如下： 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 五、教学建议 数列“差比积型”问题得通法总结 错位相减法求和，不管怎么讲，总有一些学生算错，原因如下：1.不知道为什么错位，思维不清楚导致书写紊乱，最终只能半途而废；2.错位后不知道如何相减，乱成一团；3.错位相减后最后一项前的减号忘记了；4.错位相减后，对新数列项多少判断失误；5.错位相减后，对新数列求和后的合并、化简错误. 第5条也是错误率最高的一步，看着计算接近尾声了，就是计算不出正确答案.对于这一步在教学中，要求学生指数运算过关. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 针对以上5个原因，所以笔者对错位相减进行改良，就有了以下6种另解方法：1.错位相减，及错位相减万能公式；2.裂项相消；3.构造常数列；4.分组求和；5.构造新数列；6.导数法. 虽然有6种新的解法，但除过学习好的学生考虑这几种方法外，其他大部分学生还是喜欢用通法通解——错位相减.在平时教学中，除过让学生理解错位相减的思想外，还需要多训练他们的计算，让计算过关. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 一、真题再现 2024年全国甲卷理科18题 18. 记 为数列 的前 项和，已知 ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 考查目标：数列常规题，第（1）问考利用 求通项公式，第（2）问“差比积型”. 三、解法探究 第（1）问两种思路，思路1：利用 求解. 思维导图如下： 解法1：递推公式法 写出� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ��� 证明等比数列 做差 解法2：构造新数列法 把� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���换成� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ��� 证明等比数列 构造新数列 � EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ��� 解：（1）方法1：因为 ，所以 ， 两式作差得： ，即 ， 又因为 ，所以 ，即 ， 故数列 是以4为首项，-3为公比的等比数列， 所以 . 方法2：因为 ，所以 ， 即 ，所以 ， 所以数列 是以 为首项，-3为公比的等比数列， 所以 ，即 ， 所以 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， 当 满足上式，所以 . （2）分析：数列“差比积型” 解：因 ， 设 ，所以 ，设 是数列 的前 项和， . 方法1：错位相减法 � EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���两边同乘公比3 利用等比数列求和公式 错位做差 方法2：构造常数列法 把式子化成� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���是常数列 构造 方法3：列项相消法法 利用待定系数法把� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ��� 化成两个式子差 列项相消化简得结果 � EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ��� 方法5：分组求和法 把� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���分成� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���组式子求和 每组利用等比数列求和公式 方法4：构造新数列法 把式子化成� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ��� 利用待定系数法把� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���构造成新数列� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���是等比数列 方法6：求导法 � EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���利用等比数列求和公式化简 对� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���求导，再令� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ��� 方法1：错位相减 因为 是数列 的前 项和， 所以 ，① 所以 ，② ①-②得： ， 所以 ， 所以 . 感悟提升：错位相减万能公式 已知 ，则 的前 项和 ， ，其中 ， . 注：①等比数列首项必须化为1;②在求解过程中如果 与 不容易求，可以利用 特殊值求出 与 值.小题秒杀，但大题写成错位相减模式，可以省去大量计算，及繁琐的化简.此法值得推荐. 万能公式推导过程： 数列 ， 分别是等差数列与等比数列，它们的通项为 ，则 的前 项和： ① ② ②-①得： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 所以 ， 令 ， ，故 . 用万能公式求解 解：因为 ，所以 ， 设 是数列 的前 项和，设 , 所以 ，解得 ， 所以 ，所以 . 方法2：构造常数列法 因为 ， 所以 ， 设 ， 则 ， 即 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 所以数列 为常数列， 因为 ， 所以 ，即 ， 所以 . 方法3：列项相消法 设 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 所以 . 方法4：构造新数列法 因为 ， 所以 ， 所以 ，即 ， 设 ，解得： ， 所以 ， 所以 是以 为首项，以 为公比得等比数列， ，即 . 方法5：分组求和法 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， 所以 . 方法6：导数法 因为 ， 两边求导，得： ， 在上式中，令 得： ， . 四、一题多变 变式1：(2023年全国甲卷理科·第17题) 设 为数列 的前 项和，已知 ． (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 ． 解析：(1)因为 ， 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 ， 当 时， ，所以 ， 化简得： ， 当 时， ，即 ， 当 时都满足上式，所以 ． （2）因为 ， 所以 ， ， 两式相减得： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， 即 ． 变式2：已知 是数列 的前 项和，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 的通项公式为 ，求 的值． 解：（1）当 时， ，可得 ， 当 时， ，可得 ，则 ， 所以 是首项为1，公比为3的等比数列， 故 . （2）由题设， ，① ，② ①-②得： ， 所以 . $$