2024届高考数学北京卷圆锥曲线讲题比赛课件

解:(1)易得E： ， 离心率为 01 试题展示与解法赏析 例1.已知椭圆方程 ，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2 的正方形．过点 且斜率存在的直线与椭圆 E 交于不同的两点A，B，过点 A 和 的直线与椭圆的另一个交点为D． (1)求椭圆 E 的离心率；(2)若直线的斜率为 0 ，求 的值． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 题意：过点 且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过A点和 的直线AC与椭圆E的另一个交点为D，BD的斜率为0，求t． 思路1 线参法：引入变量斜率k，在联立直线AB或AD与椭圆方程后，根据A、C、D三点共线及B、D关于y轴对称，利用韦达关系式求M坐标.   思路2 点参法：引入变量x1，x2，y1，y2，根据A、C、D三点共线及B、D关于y轴对称，利用截距公式，合比性质或韦达关系式求t.   2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 题意：过点 且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过A点和 的直线AC与椭圆E的另一个交点为D，BD的斜率为0，求t． 思路3 数形结合：注意到B、D关于y轴对称，点C、M均在y轴上，由对称性可知： ，利用等角定理知识求t.   思路4 借力向量工具：利用椭圆上两点A，B及其定比分点M的关系，引入变量λ，利用λ为x1与x2，y1与y2满足的关系“搭桥”，从而求出t. 思路5 高观点：利用椭圆上的仿射变换，或者极点极线等高观点知识，求出t. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路1： 思路1：线参法 解法1：设 ，联立椭圆与直线AB方程，再利用lAD过点 ，利用韦达定理求t．   解法2：设 ，利用 过点D，再代入直线AB方程，最后利用韦达定理求t．   解法3：设 ，联立椭圆与直线AB方程，再利用 的截距公式及韦达定理求t．   解法4：设 ，联立椭圆与直线AD方程，再利用 的截距公式及韦达定理求t．   2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 ，即 ， 解法1(AB线参法+韦达定理求C点)： 设 ， ， ， , 联立 ， 整理得 ， 故 ， ，又 ， 令 ，得 故 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 ， 解法2(AB线参法+AC点参法)： 设 ， ， ， , AC过点 ， 即 (1)， 设 ， 将 ， 代入(1)得： 整理得 ， 后同解法1 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 ， 解法3(AB线参法+截距公式求C点)： 设 ， ， ， , 同解法1得 ， ， 由 ，得 ， 由A，C，D三点共线得： ， 即 ， 整理得 ， 后同解法1 ， 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法4(AD线参法+截距公式求 t )： 设 ， ， ， , 联立 ， 整理得 ， 由A，B， 三点共线得 ， 故 故 ， ， ，后同解法1 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路2： 思路2：点参法 解法5：设 ，联立椭圆与直线方程，再利用再利用的截距公式及韦达定理求t．     解法6：利用lAB的截距公式及和差对偶法构造x1y2与x2y1的关系式，最后利用lAB的截距公式求t．   解法7：利用lAD的截距公式及和差对偶法构造x1y2与x2y1的关系式，最后利用lAB的截距公式求t．     解法8：利用A、C、D三点共线及点在椭圆上，根据合比性质推出lAB过定点 ，从而求t．   2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法5(单动点D+AB截距公式)： 设 ， ， ， , 联立 ， 整理得 ， ，由A，B， 三点共线得 又 ， ， 后同解法1 ，故 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法6(AB截距公式+和差对偶) 设 ， ， ， , 由A，B， ， 即 (1)， 即 (4)，故 又 三点共线得 ， (2)， 由(1)(2)得 (3)， 由A，D，C三点共线得 ， 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 三点共线得 ， 解法7(AC截距公式+和差对偶) 设 ， ， ， , 由A，C，D， 即 (1)， 故 又 (2)， 由(1)(2)得 (3) ， 由A，B， 三点共线得 ， 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 三点共线得 ， 解法8(合比性质) 设 ， ， ， , 由A，B，D ， 故 (1)， 由 ， ， ， 故 又 (2)， 由合比性质， (3)， ， 直线AB过定点 ， 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 ，故 , 得 ，即 解法9(利用等角定理) 设 ， ， ， , 设 ， 联立 ， 整理得 又设直线DM与椭圆E的交点为N， 故 ， ， 由B、D关于y轴对称， 思路3：数形结合 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法10(定比点差法) 设 ， ， ， , 设 ， 思路4：借力向量工具 即 ， 整理得 (1) ， 联立 ， 可得 (3)， (2)， 由(1)(2)(3)得， (4)， 又 ， ， 由A，C，D三点共线得 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法10(定比点差法) 设 ， ， ， , 设 ， 思路4：借力向量工具 由(1)(2)(3)得， (4)， 又 ， ， 由A，C，D三点共线得 即 ， (5)， 由(4)(5)得 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 且 ，圆C 过 ， 解法11(仿射变换)： 思路5：高观点 作仿射变换 ： ， 则椭圆C ： 可化为圆C ： ， 由圆对称性知 ： 因为直线BD斜率为 0 ， 与 重合 所以 , 即 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路5：高观点 解法12(极点极线)： 根据极点极线定义： ， 所以过 的直线方程为： ， 即 ，所以 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 02 试题背景与结论探究 实际上，北京卷的圆锥曲线压轴题与早些年的高考题（2015年全国1卷，2018年全国1卷，2015年四川卷）异曲同工，使用常规解法具有一定的运算量.实际上这些题目以极点极线为背景命制的，利用极点极线的知识可以“秒杀”，但由于高考解法的限制，这里对和差对偶法的原理进行推广和应用. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 02 试题背景与结论探究(椭圆) 结论1.已知点 ， 在椭圆E： 上，若直线AB过点 ，则： 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 证明： 由 ， ， 三点共线得 即 ， 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 式1. 原理说明： 来自于 ， 意义为A，B，P三点共线， 对 进行变形可得 ， 记 ，则该式的意义为 ， 即圆锥曲线中的等角定理， 点 关于椭圆的极线为 , Q在极线上 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 结论2.已知椭圆方程E： ，斜率存在的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，过点B和 的直线BQ与椭圆E的另一个交点为A´．若直线AA´的斜率不存在，则直线l 过定点 ． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 证明： 由 ， ，同结论1证明过程得 ，直线AA´的斜率不存在，故 ， 设l与x轴交点为 ， 故 ， 直线l 过定点 . 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 结论3.已知椭圆方程E： ，过点 且斜率存在的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，A点关于x轴的对称点为为A´．则直线A´B 过定点 ． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 证明： 由 ， ，同结论1证明过程得 ，直线AA´的斜率不存在，故 ， 设A´与x轴交点为 ， 故 ， 直线l 过定点 . 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 结论4.已知AD，BC是椭圆方程E： 的两条相交弦，交点为 ，若直线AD，BC的倾斜角互补(A，C在x轴上方)，则AC与BD的交点为 ． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 即 ， 证明： 设 ， ， ， , 则 ， ， ， 即 ， 同结论1易证直线AC过定点 ， ， 同理得直线BD过定点 ， 故直线AC与BD的交点为定点 . 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 02 试题背景与结论探究(双曲线) 结论5.已知双曲线方程E： ，斜率存在的直线l与双曲线E交于不同的两点A，B，过点B和 的直线BQ与双曲线E的另一个交点为A´．若直线AA´的斜率不存在，则直线l 过定点 ． 结论6.已知双曲线方程E： ，过点 且斜率存在的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，A点关于x轴的对称点为为A´．则直线A´B 过定点 ． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 结论7.已知点 ， 在抛物线E： 上，若直线AB过点 ，则： 03 试题背景与结论探究(抛物线) 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 又 证明： 由 ， ， 三点共线得 即 ， 由(1)(2)得 . (1)， (2)， 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 结论8.已知抛物线方程E： ，斜率存在的直线与抛物线E交于不同的两点A，B，过点B和 的直线BQ与抛物线E的另一个交点为A´．若直线AA´的斜率不存在，则l过定点 ． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 证明： 由 ， ，同结论7证明过程得 ，直线AA´的斜率不存在，故 ， 设l与x轴交点为 ， 故 ， 直线l 过定点 . 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 结论9.已知抛物线方程E： ，过点 且斜率存在的直线与抛物线E交于不同的两点A，B，点A关于x轴的对称点为A´，则直线A´B过定点 ． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 证明： 由 ， ，同结论7证明过程得 ，直线AA´的斜率不存在，故 ， 设A´与x轴交点为 ， 故 ， 直线l 过定点 . 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 结论10.已知AD，BC是抛物线方程E： 的两条相交弦，交点为定点 ，若直线AD，BC的倾斜角互补(A，C在轴上方)，则AC与BD的交点为 . 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 即 ， 证明： 设 ， ， ， , 则 ， ， ， 又 ， ， 故 ， 即AC过点Q(-t，0) ， 同理BD过点Q(-t，0) ，即AC与BD交点为(-t，0) 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 04 变式题训练 1.(2015四川)椭圆E： 的离心率是 ，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2． (1)求椭圆E的方程； (2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得 恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 04 变式题训练 2.F是直线x=1上的动点，过点F的直线l1与x轴交于点 ，过点G且斜率不为0的直线l2交椭圆E： 于不同两点S，R，是否存在实数n，使直线SF，GF 和 RF的斜率成等差数列？请说明理由. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 $$