2024届高考数学北京卷第21题讲题比赛课件

2024年高考结束，数学试题可谓异彩纷呈，尤其今年全国新I卷的压轴题，是一道新定义型的创新题，引导考生从“死记硬背” “机械刷题”“题海战术”式的解题转向基于深度理解的问题解决、策略选择，使数学关键能力与学科素养得到有效考查． 众所周知，北京卷在这方面有着多年探索，故下面以2024年高考北京卷创新题为例，对题目及其解法做一个分析． 一．引言 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二．题目再现 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 设集合．对于给定有穷数列A: a1, a2, …, a8, 及序列，定义变换：将数列A的第项加1，得到数列；将数列的第项加1，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为． （I）给定数列和序列，写出； 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （II）是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的； 若不存在，请说明理由； （III）若数列的各项均为正整数，且为偶数， 证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为 “”． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 三．解法分析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （I）给定数列和序列，写出； 一是通过具体例子，写一写、看一看 二是转换不同的数学语言 三是联想新定义与课内学过的哪些概念、定理、公式有关 分析： 对于一个新定义，我们可以从三个方面去熟悉它 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （I）给定数列和序列，写出； A 1 3 2 4 6 3 1 9 2 3 7 2 3 4 3 9 4 5 4 10 2 3 7 2 3 4 8 3 4 5 4 10 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （II）是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的； 若不存在，请说明理由； 结论1 将数列的第1, 2项视作第一组，第3, 4项视作第二组，以此 类推. 则每次变换后，这四组均“+1”； 分析： 每一次变换后，每组的和的奇偶性会改变； 经历奇数次变换后，每组的和的奇偶性改变，反之亦然； 经历偶数次变换后，每组的和的奇偶性不变，反之亦然…… 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 结论2 基于的一次变换后，数列各项增加值 的和为4. 记数列各项的增加值分别为zki(i=1, 2, …, 8)，则 zk1+zk2+…+zk8=4； 分析： 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 分析： 结论3 基于的一次变换后，数列奇数项增加值 的和与偶数项增加值的和的差是4的倍数. 即(zk1+zk3+zk5+zk7)(zk2+zk4+zk6+zk8)是4的倍数； 实际上，由新定义知zk1+zk3+zk5+zk7为偶数，又由结论2知 zk1+zk2+…+zk8=4， 因此(zk1+zk3+zk5+zk7)(zk2+zk4+zk6+zk8)=2(zk1+zk3+zk5+zk7)4 是4的倍数. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 分析： 因此，对于本题为的情形，我们可以利用结论1，从 可以看出共进行8次“+1”变换，而从可以看出共进行6次“+1”变换，这就产生了矛盾，因此不存在符合条件的． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 引申1： 对于为的情形，我们可以利用结论2，可以看出各项增加值的和为31，不为4的倍数，因此不存在符合条件的； 引申2： 对于为的情形，我们可以利用结论3，从(2+6+7+4)(6+2+1+4)=6，不为4的倍数，因此不存在符合条件的. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （III）若数列的各项均为正整数，且为偶数， 证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为 “”． 第（I）（II）小问从正反两个方面对新定义进行了考查. 第（III）小问逆向设问，给定初始数列和目标数列，考虑如何找到符合条件的. 分析： 对于本问的必要性，由（II）中的结论1即可得，现考虑充分性． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 记，一个最自然的想法是将数列A变成常数列{n}，如下表所示． 初步试探 数列A a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 常数列 n n n n n n n n 那么，n是怎样的一个数呢？它与a1, a2, …, a8有什么关系呢？ 由a1+a3+a5+a7=4n(a2+a4+a6+a8)为偶数，可知a2+a4+a6+a8为偶数． 现在，只需要将a1进行a2次“+1”变换，将a2进行a1次“+1”变换，将a3进行a4次“+1”变换，将a4进行a3次“+1”变换，… 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 初步试探 即对于, k=1, 2, …, n，令ik= jk= sk= 即可实现a1→n, a2→n, …, a6→n． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 初步试探 但由于i+j+s+t为偶数，因此a7, a8进行“+1”变换会有所限制． 令tk= 这时a1=a2=…=a6=n, 而a7, a8不一定等于n，如下表所示． 数列A a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8   n n n n n n p q 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 局部调整 由p+q(a7+a8)=n知p+q=2n．若p=q=n，则得证； 不妨设p<q，现在考虑进一步对a1,a2,…, a8进行“+1”变换，使得最终变为常数列． 数列A a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8   n n n n n n p q 为此，需先考虑p，q有什么特点．注意到ik+jk+sk+tk为偶数，则每次要么不对a1, a3, a5, a7进行“+1”变换，要么对a1, a3, a5, a7中某两个进行“+1”变换，要么对a1, a3, a5, a7全部进行“+1”变换， 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 局部调整 数列A a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8   n n n n n n p q 每次变换都使得数列的第1, 3, 5, 7项的和的增加值为偶数，因此3n+p(a1+a3+a5+a7)为偶数，由a1+a3+a5+a7为偶数知p与n奇偶性 相同．qp=2(np)为4的倍数． 故考虑对a7进行“+1”变换4次，对a8进行“+1”变换0次，a7+a8整体变换4次，因此a1+a2, a3+a4, a5+a6均整体变换4次． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 局部调整 为了最终变为一个常数列，如下表所示，则需对a1, a2, a3, a4, a5, a6各变换2次． 数列A a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8   n n n n n n p q 常数列 q q q q q q q q 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 局部调整 将每次变换对应的(ik′, jk′, sk′, tk′)做成一个表格如下．   ik′ jk′ sk′ tk′ k=1       7 k=2       7 k=3       7 k=4       7 则第1列有两个1，两个2，第2列有两个3，两个4，第3列有两个5，两个6，第4列有四个7．并注意到表格的每一行四个数相加均为偶数． 下表是一个可能的填法． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 局部调整   ik′ jk′ sk′ tk′ k=1 1 4 6 7 k=2 1 3 5 7 k=3 2 3 6 7 k=4 2 4 5 7 持续进行如上表的变换，则最终可将数列A变为常数列，此题得证． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法2 利用最小数原理 设序列Tk…T2T1(A)为{ak,n} (k=1, 2, …；n=1, 2, …,8). 设Ts…T2T1(A)是所有可能的数列Ω(A)中使得|as,1  as,2|+|as,3  as,4| +|as,5  as,6|+|as,7  as,8|最小的一个. 下证|as,1  as,2|+|as,3  as,4|+|as,5  as,6|+|as,7  as,8|=0. 用反证法，假设|as,1  as,2|+|as,3  as,4|+|as,5  as,6|+|as,7  as,8|>0. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法2 利用最小数原理 ① 若 |as,1  as,2|, |as,3  as,4|, |as,5  as,6|, |as,7  as,8|这四个数中最大的数不小于2，其他数为0； ② 若|as,1  as,2|, |as,3  as,4|, |as,5  as,6|, |as,7  as,8|这四个数中最大的数不小于2，其余数中某个数不小于1； ③若|as,1  as,2|, |as,3  as,4|, |as,5  as,6|, |as,7  as,8|这四个数中最大的数等于1，不妨设as,1  as,2=1. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法2 利用最小数原理 ① 若 |as,1  as,2|, |as,3  as,4|, |as,5  as,6|, |as,7  as,8|这四个数中最大 的数不小于2，其他数为0，不妨设as,1  as,2≥2, as,3  as,4=as,5  as,6 =as,7  as,8=0. 则由as,1  as,2=(as,1+as,3+as,5+as,7)(as,2+as,4+as,6+as,8) =2(as,1+as,3+as,5+as,7)(4s+4n) 是4的倍数可知，as,1  as,2≥4. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法2 利用最小数原理 则施行如下一组变换   ik′ jk′ sk′ tk′ k=1 2 3 5 8 k=2 2 3 6 7 k=3 2 4 5 7 k=4 2 4 6 8 可以发现，|as+4,1  as+4,2|+|as+4,3  as+4,4|+|as+4,5  as+4,6|+|as+4,7  as+4,8| 比原来至少减少4，与|as,1  as,2|+|as,3  as,4|+|as,5  as,6|+|as,7  as,8| 最小矛盾； 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法2 利用最小数原理 ② 若|as,1  as,2|, |as,3  as,4|, |as,5  as,6|, |as,7  as,8|这四个数中最大 的数不小于2，其余数中某个数不小于1，不妨设as,1  as,2≥2, as,3  as,4≥1.   ik′ jk′ sk′ tk′ k=1 2 4 5 7 k=2 2 4 6 8 可以发现，|as+2,1  as+2,2|+|as+2,3  as+2,4|+|as+2,5  as+2,6|+|as+2,7  as+2,8| 比原来至少减少2，与|as,1  as,2|+|as,3  as,4|+|as,5  as,6|+|as,7  as,8|的 最小性矛盾； 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法2 利用最小数原理 ③若|as,1  as,2|, |as,3  as,4|, |as,5  as,6|, |as,7  as,8|这四个数中最大的数 等于1，不妨设as,1  as,2=1. 则由as,i  as,i+1与as,i + as,i+1奇偶性相同，且as,1+as,2, as,3+as,4, as,5+as,6, as,7+as,8奇偶性相同（因为每次操作均会使两数之和的 奇偶性改变，而初始值 ，其奇偶性相同）则可得到 |as,3  as,4|=|as,5  as,6|=|as,7  as,8|=1. 设as,1  as,2 , as,3  as,4 , as,5  as,6 , as,7  as,8中有x个1, 4x个1， 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法2 利用最小数原理 设as,1  as,2 , as,3  as,4 , as,5  as,6 , as,7  as,8中有x个1, 4x个1， 则由x×1+(4x)×(1)=2x4=2(as,1+as,3+as,5+as,7)(4s+4n)是4的倍数 可知，x为偶数. 则可以对该数列进行一次变换使得成为常数列. 综上，命题得证. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 四．解题反思 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1．不盲目补充课外知识 国家鼓励创新拔尖人才的培养，但高考作为高校选拔的重要依据和课堂教学的指挥棒，绝不是鼓励给每一位学生去补充数论、组合数学等内容，也绝不是鼓励每一位学生都去超前学习高等数学等知识． 而是通过创新题的方式，考查学生通过以往的学习，是否具有良好的思维习惯和思维品质，能否在新的情境下发现、提出问题以及分析、解决问题，是否具有良好的数学核心素养． 因此在课堂教学中，教学不能因为高考要考创新题，就盲目补充很多课外知识，这无疑会加大学生的负担，也违背了高考考查此类问题的初衷． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2．重视“写一写、看一看、猜一猜、证一证”的研究思路 从本文涉及的高考真题的思路分析可以看出，在教学中应教会学生思考这类问题正确的思考方式. 教会学生在面临一道创新题时，要立足“新定义”去动手实践，写一写. 用数学的眼光去观察、发现. 从特殊的情形去体会“新定义”新在哪儿，和课内知识的联系又在哪儿，在此基础上大胆猜想、小心证明，这种动手实践、猜想证明的方法远比补充一些课外知识来得重要． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3．根据学生实际，由浅入深开展教学 在教学中应根据学生实际，由浅入深，由易到难，层层递进开展教学：在课内教学中，应根据具体内容，设置恰当的问题链，引导学生思考问题的本质，在问题的关键处多给学生思考、讨论的时间，培养良好的数学思维习惯；在创新题专题教学中，教会学生思考问题、解决问题的方法，如“恰当转换数学语言”，“从特殊、简单、极端的情形入手”，“适当联想、大胆猜想”等，并逐步培养学生用符号语言进行表达；在课后布置任务时，应鼓励学生在独立思考的基础上和同伴积极讨论，勤思考多总结，坚持不懈，逐步提高． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 五．试题链接 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （2018，北京东城高三期末，20） 已知数列 满足 且 ，数列 满足 ，其中 ， 表示 中与 不等的项的个数. （I）数列 ：1，1，2，3，4，请直接写出相应的数列 ； （II）证明： ； （III）若数列 相邻两项均不等， 与 为同一个数列，证明： . $$