专题01 二次根式的四种化简形式和分母有理化（5题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪科版）

专题01 二次根式的四种化简和分母有理化 1.二次根式的性质 （）² 从运算顺序看 先开方，后平方 先平方，后开方 从取值范围看 a≥0 A取任何实数 从运算结果看 a |a| 意义 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根 1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。 2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。 3．当a≧0时， 2.复合二次根式的化简 对二次根式的化简而言，只含有数字的二次根式由于数字的直观性，相对比较好掌握些；而对于含有字母的二次根式的化简，则相对比较抽象，显得比较难掌握.。其实，对于二次根式的化简，我们首先要记住，使二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0（也可以说被开方数非负），这也是解题常用的条件之一，其次要用到的就是=lal,然后利用去绝对值符号的方法去掉绝对值符号就完成了二次根式的化简. 对于含复合二次根式的代数式的化简，除了熟悉基本公式外，还应根据含复合二次根式的代数式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧，才能化难为易，化繁为简.本文介绍几种常用方法，供读者参考. 复合二次根式的变形公式是 ① 其中，，. 由公式①可知， . 这是化简含复合二次根式的代数式的两个基本公式. 压轴题型一：根据数轴进行化简 √满分技法 二次根式的化简要根据二次根式的性质，先对数轴上的字母的正负进行分析，再根据性质进行化简。 1．（2023八年级下·浙江·专题练习）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 2．（21-22八年级上·山东青岛·阶段练习）已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图，化简的结果是 ． 3．（19-20七年级下·吉林四平·阶段练习）实数a在数轴上对应的位置如图所示，化简=                 压轴题型二：根据三角形的三边关系进行化简 √满分技法 二次根式的化简，根据三边关系进行化简会涉及到非负数的性质，三角形三边之间的关系，对于二次根式下的式子先进行化简，然后再根据正负号的判断去根号即可。 4．（22-23八年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知三角形三边为a，b，c，其中a，b两边满足，那么这个三角形的最大边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（19-20八年级上·全国·单元测试）在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（    ） A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a 6．（22-23八年级下·湖北恩施·期中）已知的三边之长分别为2、5、m，则等于（    ） A． B． C．10 D．4 7．（22-23八年级下·安徽合肥·阶段练习）若，，是的三边，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 8．（21-22八年级下·浙江杭州·期中）在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2的结果为（　　） A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a 9．（21-22八年级下·广东珠海·期中）有一个利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦----秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p =，那么三角形的面积为S =．已知△ABC的三边长分别为4，5，7，则△ABC的面积为（　　） A．8 B．16 C． D． 压轴题型三：根据字母的取值范围进行化简 √满分技法 根据字母范围，确定根号下的式子的正负情况。根据性质化简即可。 10．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）若，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 13．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 15．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）若，则等于（    ） A． B． C． D． 压轴题型四：复合二次根式的化简 √满分技法 复合二次根式的变形公式是 ① 其中，，. 由公式①可知， . 这是化简含复合二次根式的代数式的两个基本公式. 16．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 17．（11-12九年级上·安徽芜湖·期中）把根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 18．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 19．（22-23九年级上·四川遂宁·阶段练习）若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 20．（21-22八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 21．（20-21八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·全国·假期作业）把中根号外的因式移到根号内，得（    ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 24．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； （2）形如可以化简为，即，且a，b，m，n均为正整数，用含a，b的式子分别表示m，n，得 ， ； （3）若，且x，y均为正整数，求x的值； 【解决问题】 （4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不计，参考数据）； 型号 长 宽 高 A型 B型 C型 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 25．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 压轴题型六：复杂二次根式的分母有理化 √满分技法 分母有理数两大形式： 1， 分母为单独的根式或乘积形式时，先将分母化为最简，分子分母同时乘以根式即可； 2， 分母为加减形式时，利用平方差公式，分子分母同时乘以有理化因式； 26．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）阅读下列解题过程： ；；；…… 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． (1)计算________； (2)比较大小：________（用“>”“<”或“=”填空）； (3)比较大小：________（用“>”“<”或“=”填空）； (4)计算： 27．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题． 【思维启迪】 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【学以致用】 (1)化简； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求a、b的值． ②求的值． 28．（23-24八年级下·河北张家口·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：， 方法二：． (1)请用两种不同的方法化简：； (2)化简： 29．（2025八年级下·全国·专题练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 30．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 31．（2025八年级下·全国·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： 按照规律，计算． 32．（24-25八年级下·全国·单元测试）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简： （ⅰ）． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （ⅱ）还可以用以下方法化简：． (1)请用不同的方法化简． ①参照（ⅰ），化简：； ②参照（ⅱ），化简：； (2) 化简： 33．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． (2)根据上述思路，化简并求出的值． (3)设的小数部分为b，求证：． 1．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）若为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B． C． D． 2．（21-22八年级上·山东枣庄·期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海·期中）化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 6．（2019·湖北·中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　） A． B． C． D． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）当时， ；若，则 ． 8．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）先阅读下列材料： 材料一：像，这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：， 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的：，， 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 9．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式的四种化简和分母有理化 1.二次根式的性质 （）² 从运算顺序看 先开方，后平方 先平方，后开方 从取值范围看 a≥0 A取任何实数 从运算结果看 a |a| 意义 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根 1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。 2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。 3．当a≧0时， 2.复合二次根式的化简 对二次根式的化简而言，只含有数字的二次根式由于数字的直观性，相对比较好掌握些；而对于含有字母的二次根式的化简，则相对比较抽象，显得比较难掌握.。其实，对于二次根式的化简，我们首先要记住，使二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0（也可以说被开方数非负），这也是解题常用的条件之一，其次要用到的就是=lal,然后利用去绝对值符号的方法去掉绝对值符号就完成了二次根式的化简. 对于含复合二次根式的代数式的化简，除了熟悉基本公式外，还应根据含复合二次根式的代数式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧，才能化难为易，化繁为简.本文介绍几种常用方法，供读者参考. 复合二次根式的变形公式是 ① 其中，，. 由公式①可知， . 这是化简含复合二次根式的代数式的两个基本公式. 压轴题型一：根据数轴进行化简 √满分技法 二次根式的化简要根据二次根式的性质，先对数轴上的字母的正负进行分析，再根据性质进行化简。 1．（2023八年级下·浙江·专题练习）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】﹣2a 【分析】先根据数轴的定义得出再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可得：， 故 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键． 2．（21-22八年级上·山东青岛·阶段练习）已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图，化简的结果是 ． 【答案】b-2a / -2a+b 【分析】由数轴知a<0<b，进而可判断a-2b及a+b的符号，从而可对绝对值及二次根式进行化简，最后可求得化简后的结果． 【详解】由数轴知，a<0<b，|a|>b ∴a-2b<0，a+b<0 ∴ 故答案为：b-2a 【点睛】本题考查了数轴上比较实数的大小，实数的加减法则，绝对值的化简及算术平方根的性质，关键是根据实数的加减法则确定出a-2b及a+b的符号，这是正确脱去绝对值和化简二次根式的前提． 3．（19-20七年级下·吉林四平·阶段练习）实数a在数轴上对应的位置如图所示，化简=                 【答案】 【分析】先确定的范围，再根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握是解题关键． 压轴题型二：根据三角形的三边关系进行化简 √满分技法 二次根式的化简，根据三边关系进行化简会涉及到非负数的性质，三角形三边之间的关系，对于二次根式下的式子先进行化简，然后再根据正负号的判断去根号即可。 4．（22-23八年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知三角形三边为a，b，c，其中a，b两边满足，那么这个三角形的最大边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，，再结合三角形的三边关系与最长边的含义可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， 解得：，， ∴， ∵三角形的最大边为c， ∴， ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，非负数的性质，三角形三边之间的关系，熟练的利用二次根式的性质进行化简是解本题的关键． 5．（19-20八年级上·全国·单元测试）在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（    ） A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a 【答案】B 【分析】首先根据三角形的三边关系得到根号内或绝对值内的式子的符号，再根据二次根式或绝对值的性质化简． 【详解】解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴a+c＞b，a+b＞c， 即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0； ∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，=a；a＜0时，=-a；a=0时，=0．绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数；正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0． 6．（22-23八年级下·湖北恩施·期中）已知的三边之长分别为2、5、m，则等于（    ） A． B． C．10 D．4 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系可得出，再根据二次根式有意义的条件即可将原式化简求值． 【详解】的三边之长分别为2、5、m， 即 ， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形三边关系及二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中的被开方数为非负数是解题的关键． 7．（22-23八年级下·安徽合肥·阶段练习）若，，是的三边，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系判断出，再利用二次根式的性质化简，然后计算即可． 【详解】解：∵，，是的三边， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，三角形的三边关系，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 8．（21-22八年级下·浙江杭州·期中）在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2的结果为（　　） A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系化简求解即可． 【详解】∵a，b，c是△ABC的三边， ∴，， ∴|a﹣b+c|﹣2 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，化简绝对值和二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 9．（21-22八年级下·广东珠海·期中）有一个利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦----秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p =，那么三角形的面积为S =．已知△ABC的三边长分别为4，5，7，则△ABC的面积为（　　） A．8 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得三角形的周长的一半p的值，然后代入公式，化简即可求解． 【详解】解：∵△ABC的三边长分别为4，5，7， ∴p = 那么三角形的面积为S = 故选C 【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 压轴题型三：根据字母的取值范围进行化简 √满分技法 根据字母范围，确定根号下的式子的正负情况。根据性质化简即可。 10．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据，得到，再利用化简即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 11．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）若，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的化简，绝对值的化简．先判断，，再根据 ，化简代数式并合并即可． 【详解】解：， ，， ． 故选：C． 12．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的性质，由题意可得，，再由二次根式的性质和绝对值的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 13．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定的取值范围是解题的关键． 利用二次根式的性质进行化简，即可求解； 【详解】解：， ， ； 故答案为：B 14．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 15．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 压轴题型四：复合二次根式的化简 √满分技法 复合二次根式的变形公式是 ① 其中，，. 由公式①可知， . 这是化简含复合二次根式的代数式的两个基本公式. 16．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 17．（11-12九年级上·安徽芜湖·期中）把根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了复合二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键． 18．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 19．（22-23九年级上·四川遂宁·阶段练习）若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，有意义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出是解题的关键． 20．（21-22八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 21．（20-21八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 22．（23-24八年级下·全国·假期作业）把中根号外的因式移到根号内，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 23．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：，，； （2）， ． 24．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； （2）形如可以化简为，即，且a，b，m，n均为正整数，用含a，b的式子分别表示m，n，得 ， ； （3）若，且x，y均为正整数，求x的值； 【解决问题】 （4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不计，参考数据）； 型号 长 宽 高 A型 B型 C型 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 【答案】（1）；（2）；；（3）；（4）符合条件的包装纸箱型号有两种，选择C型号包装纸箱 【分析】本题考查二次计算与化简与应用， （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的、与、的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可； （4）先判断B，C两种型号的包装纸箱符合条件，再求出体积进行比较即可； 解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）∵，且a，b，m，n均为正整数， ∴， 即， ∴，， 故答案为：；； （3）∵，且x，y均为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴x的值为； （4）∵，， ∴底面积的饰品盒底面边长为， 底面积的饰品盒底面边长为， ∵，， ∴两个正方形的长之和：， ∴B，C两种型号的包装纸箱符合条件， B型号的包装纸箱的体积为：， C型号的包装纸箱的体积为：， ∵， ∴应选择C型号包装纸箱． 25．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 压轴题型六：复杂二次根式的分母有理化 √满分技法 分母有理数两大形式： 1， 分母为单独的根式或乘积形式时，先将分母化为最简，分子分母同时乘以根式即可； 2， 分母为加减形式时，利用平方差公式，分子分母同时乘以有理化因式； 26．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）阅读下列解题过程： ；；；…… 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． (1)计算________； (2)比较大小：________（用“>”“<”或“=”填空）； (3)比较大小：________（用“>”“<”或“=”填空）； (4)计算： 【答案】(1) (2)> (3)> (4) 【分析】本题考查二次根式的化简和分母有理化，利用平方差公式将二次根式的分母变为整数是解题的关键． （1）根据分数的基本性质，将分子分母同乘以，化简即可； （2）根据分母有理化得到，，判断即可解答； （3）根据，，且，即可解答； （4）根据分母有理化将各项化简即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＞ （3）解： ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：＞ （4）解： ． 27．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题． 【思维启迪】 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【学以致用】 (1)化简； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求a、b的值． ②求的值． 【答案】(1) (2)①3，；② 【分析】本题考查分母有理化，与无理数整数部分有关的计算： （1）根据分母有理化进行化简即可； （2）先进行分母有理化，再根据无理数的估算方法，确定的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：； （2）①， ∵， ∴， ∴， ∴，； 故答案为：3，； ②∵，， ∴． 28．（23-24八年级下·河北张家口·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：， 方法二：． (1)请用两种不同的方法化简：； (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化等知识点，熟练掌握题中所给的两种化简方法是解题的关键． （1）按照题中所给的两种化简方法进行化简即可； （2）先进行分母有理化，再进行二次根式的加减混合运算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 29．（2025八年级下·全国·专题练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化得到，，然后比较大小即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式； （3）先利用分母有理化得到，则移项得到，再两边平方可得到，然后把变形位，最后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 【答案】(1) (2) (3)选①，；选②， 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式． （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式； （2）先求出，，得到，再代入求解即可； （3）选①，将原子化成和，两式相加，进一步计算即可求解； 选②，先将分子分母分别用结合律重新整理后，再有理化，接受运用乘法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； （3）解：选①， ∵， ∴， 同理， 两式得， ∴； 选②，∵ ． 31．（2025八年级下·全国·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： 按照规律，计算． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 找出规律后，根据运算法则进行运算即可． 【详解】解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第个等式：； ∴． 32．（24-25八年级下·全国·单元测试）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简： （ⅰ）． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （ⅱ）还可以用以下方法化简：． (1)请用不同的方法化简． ①参照（ⅰ），化简：； ②参照（ⅱ），化简：； (2)化简： 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、分母有理化是解决问题的关键． （1）①分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； ②利用二次根式的性质把2化为两数的平方差，然后约分即可； （2）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：原式 ． 33．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． (2)根据上述思路，化简并求出的值． (3)设的小数部分为b，求证：． 【答案】(1)5；； (2)9 (3)证明见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据题意即可作答； （2）根据题意分别将两个式子算出，进而即可求解； （3）根据题意得出值，进而得出b值，代入求出值证明结论． 【详解】（1）解：根据题意可得 ， 故答案为：5；；； （2）解：原式 ． （3）解：， 又， ， ， ， ． 1．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）若为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形的三边关系求出的取值范围，然后对二次根式进行化简求值即可． 【详解】解：由三角形三边关系可知：， ∴，， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 2．（21-22八年级上·山东枣庄·期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 【答案】C 【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，化简算术平方根，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴， ∴ ， 故选：C． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故选C 4．（24-25八年级上·上海·期中）化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先判断m、n的符号，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 6．（2019·湖北·中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可. 【详解】设，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴原式， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键. 7．（2025八年级下·全国·专题练习）当时， ；若，则 ． 【答案】 1或2 【分析】此题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质进行化简和求值即可． 【详解】解：当时，， 若，则或， 解得，1或2， 故答案为：，1或2 8．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）先阅读下列材料： 材料一：像，这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：， 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的：，， 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式、代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先化简，然后代入计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：原式 （3）解： 9．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 【答案】(1)； (2)2023； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：2023， （3）解：依题意， ． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$