专题04 一元二次方程的实际应用（8题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪科版）

专题04 一元二次方程的实际应用 1 传播问题 （1）病毒传播问题：公式a(1+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数 特点：传染源不会消失，但继续传播。 （2） 树枝分叉问题：公式：a（1＋x＋x²）＝b。 特点：分裂源不会消失。 （3） 细胞分裂问题：公式：ax²＝b. 特点：分裂源消失. 2 增长率问题 技巧：b=a(1±x)n ， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率 3形积问题 技巧：根据图形的性质和面积公式，联系一元二次方程的根，注意涉及到面积的和差，切勿混淆！ 4数字问题 技巧：注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程即可！, 5商品销售问题 技巧：销售总额＝单件售价×数量 总利润：单件利润×数量＝（售价－进价）×数量 利润＝成本×利润率 6动点几何问题 技巧：先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列方程！, 7相互问题（循环、握手、互赠礼品等） 技巧：循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题n(n-1). 压轴题型一：传播问题 √满分技法 （1）病毒传播问题：公式a(1+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数. 特点：传染源不会消失，但继续传播。 （4） 树枝分叉问题：公式：a（1＋x＋x²）＝b。 特点：分裂源不会消失。 （5） 细胞分裂问题：公式：ax²＝b. 特点：分裂源消失. 1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选D． 2．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次； (2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； (3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论； (4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值． 【答案】(1)3；10； (2)8人 (3) (4)10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）将线段数当成人握手次数来解决问题,（4）根据题意列出方程求解即可． （1）由握手总数=参加聚会的人数参加聚会的人数，即可求出结论；由参加聚会的人数为n（n为正整数），可知每人需跟人握手，即可求出握手总数； （2）由（1）的结论结合共握手28次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）将线段数当成人握手次数，结合（1）即可得出结论． （4）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：，． 解：∵参加聚会的人数为n（n为正整数）， ∴每人需跟人握手， ∴共握手次． 故答案为：3；10； （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：参加聚会的人数为8人． （3）解：∵线段上共有m个点（不含端点A，B）， ∴可当成共有个人握手， ∴线段总数为． （4）解：根据题意得，， 解得．即边数n的值为10． 压轴题型二：增长率问题 √满分技法 b=a(1±x)n ， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率。 4．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，受益于支持政策的影响，澄迈县大丰镇才存村大学生自主创立的公司利润逐年提高，据统计，2021年利润为200万元，2023年利润为288万元，设该公司从2021年到2023年利润的年平均增长率．下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用，准确理解题中的等量关系是解题的关键．根据增长率列出方程即可． 【详解】解：设该公司从2021年到2023年利润的年平均增长率， 故， 故选A． 5．（24-25九年级上·重庆大渡口·期末）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具售价应定为多少元? 【答案】(1) (2)2元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算． （1）设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据1月份销售400个，3月份的销售量达到576个列出方程，解方程即可； （2）设这种台灯每个降价y元时，根据总利润单个的利润总销量，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）解：设这种台灯每个降价y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：该这种台灯应降价2元． 6．（重庆南岸区2024-2025学年九年级上期期末数学质量检测题）某水果基地种植了大量的脐橙，10月份是脐橙成熟的高峰期，该月脐橙产量达到了50吨，此后每个月脐橙的产量逐渐减少，到12月份时，脐橙的产量为32吨． (1)求该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是多少？ (2)10月份，一水果批发商从该基地以4元的价格购进了脐橙，目前脐橙的市场零售价是5元．如果将这批脐橙放在冷库中冷藏起来，每个星期需要支付400元的冷藏费用，且每个星期脐橙会自然损坏，但是每个星期脐橙的市场零售价会上涨1元，若这批脐橙从冷库中提取出来后能一次性卖完，为了尽快清空库存，求这批脐橙冷藏几个星期后出售可以获得利润6960元？ 【答案】(1) (2)4个 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是x，根据10月份是脐橙成熟的高峰期，该月脐橙产量达到了50吨，此后每个月脐橙的产量逐渐减少，到12月份时，脐橙的产量为32吨，据此列出一元二次方程求解并取符合题意的值即可； （2）设存放a个星期后出售，则脐橙会自然损坏千克，根据出售可以获得利润6960元，列出一元二次方程求解并取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是x，由题意可得∶ ． 解得：，（舍去）． 答：该基地11月，12月平均月减少率为． （2）解：设存放a个星期后出售，由题意可得： ． 解方程，得，（舍去）． 答：存放4个星期后出售能获得6960元的利润． 压轴题型三：与图形有关的问题 √满分技法 根据题意，利用所求图形的面积公式，通过列方程求解。 7．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，其小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：； 乙： 其中正确的是（   ） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】A 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解决本题的关键是找出图形中面积之间的相等关系，把各部分的面积用含的代数式表示出来，并列出等式，即可得到需要的一元二次方程． 【详解】解：矩形的长为，宽为，则矩形的面积为，小路占地面积为， 种植花草的面积为， 从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为，宽为， 矩形的面积为， 可列方程， 甲列的方程正确； 两条竖着的小路的长为，宽为， 两条竖着的小路的面积为， 横着的小路的长度为，宽为， 横着的小路的面积为， 三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为的正方形， 重叠部分的面积为， 小路的面积可表示为， 可列方程为， 乙列的方程错误； 综上所述，甲对、乙不对． 故选： A． 8．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在老师的指导下，同学们在劳动实践基地，一边靠墙另三边用栅栏围成一块矩形实验菜园．墙长为42m，栅栏总长为80m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形田菜园与墙垂直的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)直接写出实验田的面积（用含的代数式表示）； (2)矩形菜园的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； 【答案】(1) (2)能达到， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （）设与墙平行的一边长为，根据，得到，根据矩形面积公式即可求解； （）先求出的取值范围，再将代入中，求出的值即可判断求解． 【详解】（1）解：设与墙平行的一边长为 ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：能达到． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 即 ， 解得（不合，舍去），（符合题意）， ∴当时，矩形实验田的面积能达到． 9．（24-25九年级上·广东东莞·期末）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【答案】(1)剪去的小正方形的边长为； (2)①收纳盒的高为厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【分析】本题主要考查用一元二次方程的运用， （1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为厘米，宽为厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列式可得， ②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 （2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ②∵， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 压轴题型四：数字问题 √满分技法 注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程即可。 如果是日历类的问题，注意找到日历中的数字规律，通过列方程求解。 10．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数．（请用方程知识解答） 【答案】这个最大的数为16 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最大的数为16． 11．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 12．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 【答案】（）；（），；（）． 【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解； （）根据题意，结合图形规律，即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了图形类规律以及解一元二次方程，根据图形找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， ∴第个图案中“”的个数是个， 故答案为：； （）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数是个， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中“○”的个数是， ∴第个图案中“○”的个数是， 故答案为：，； 由题意可得，， 整理得，， 解得：（舍去）或． 压轴题型五：销售利润问题 √满分技法 销售总额＝单件售价×数量 总利润：单件利润×数量＝（售价－进价）×数量 利润＝成本×利润率 13．（2024九年级上·全国·专题练习）宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为元．则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数即可得解，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 【详解】∵房价定为x元，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用， ∴每间房的利润为元， ∵当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房， ∴可住间房， ∵宾馆当天的利润为10890元， ∴． 故选：A． 14．（24-25九年级上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． (1)求商家购买A书籍和B书籍的进价； (2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 【答案】(1)商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元 (2)29元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元，根据购买书籍的数量是书籍的2倍建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，根据利润（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量建立方程，解方程求出的值，再根据要促进书籍的销量，选择较小的值即可得． 【详解】（1）解：设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则， 答：商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元． （2）解：设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵要促进书籍的销量， ∴， 答：每本书籍的售价为29元． 15．（24-25九年级上·重庆江北·期末）开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． (1)求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； (2)商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10％．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 【答案】(1)商家购进每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元； (2)每个套尺的售价为11元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、列出方程是解题的关键． （1）设商家购进每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的单价是元，由题意：商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍列出分式方程求解即可； （2）设每个套尺的售价为m元，使笔和圆规平均每天的总获利为400元，列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设商家购进每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的进价是元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴． 答：商家购进每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元． （2）解：设每个圆规的售价为m元， 由题意得：， 整理得：，解得：或， ∵降价幅度不超过， ∴，解得：， ∴． 答：每个套尺的售价为11元． 压轴题型六：动态几何问题 √满分技法 先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列方程。 16．（20-21九年级上·山西太原·阶段练习）如图，中，，，，动点P从点A出发沿边以秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿边以秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当的面积为时，t的值（   ） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：当运动时间为秒时，，， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 故选：B． 17．（22-23九年级上·广东东莞·期末）在中，，，，一动点P从点C出发沿方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿C方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，是等腰直角三角形？ (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中，线段能平分的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)t (2) (3)不能，理由见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的面积的求法． （1）先表示出，，判断出，进而建立方程求解，即可得出答案； （2）利用“”建立方程求解，即可求出答案； （3）假设在运动过程中，线段能平分的面积，进而利用“”建立方程，判断出此方程无实数根，即可得出答案． 【详解】（1）解：由运动知，，， ∴， ∵点P在从C向点A运动，点Q从点A向点C运动， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在运动过程中，线段不能平分的面积； 理由：假设在运动过程中，线段能平分的面积， 则， 由（2）知，， ∴， ∴， 而， ∴此方程无实数根， ∴在运动过程中，线段不能平分的面积． 18．（24-25九年级上·广西来宾·期中）如图，在矩形中，，，P，Q，M，N分别从点A，B，C，D同时出发，分别沿，，，移动，且当有一个先到达所在边的另一个端点时，其他各点也随之停止移动．已知移动一段时间后，若，则，，． (1)当x为何值时，P，N两点重合？ (2)四个点移动过程中是否存在四边形的面积是矩形面积的一半？若存在请求x的值；若不存在，请说明理由． (3)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)当时，P，N两点重合 (2)不存在，见解析 (3)当或时，四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查一元二次方程与平行四边形的性质综合，根据等量关系，列出方程，时是解题的关键． （1）当P，N两点重合时，即，建立方程，解方程即可； （2）根据四边形的面积是矩形面积的一半建立方程，解方程，再求出此时值进行判断即可； （3）分别根据P，N两点重合前和重合后两种情况进行讨论，根据平行四边形对边相等建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当P，N两点重合时，即， ∵，，， ∴， 解得，（舍去） ∴，当时，P，N两点重合． （2）解：不存在． ∵，， ∴， ∵， ∴ 整理得： 解得， 当时，，即各点停止运动． ∴四个点运动过程中不存在四边形的面积是矩形的面积的一半． （3）解：①P，N两点重合前，四边形是平行四边形，即， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ②P，N两点重合后，四边形是平行四边形，即， ∴ 整理得： 解得，（舍去） 综上所述：当或时，四边形是平行四边形． 压轴题型七：图表问题 19．（21-22九年级上·宁夏银川·阶段练习）根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【答案】D 【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断 【详解】时，， 时，， 则的解的范围为， 即一元二次方程的解大概是4.5． 故选D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键． 20．（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可； （2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可． 【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨， 1．6×140＝224＜264， 所以需加收:(元)， 即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40， 又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标 故答案为a＝100； （2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x； 当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100． 即y 用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）． 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键． 21．（2019·河北唐山·二模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【答案】（1）证明见解析；（2）这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确． 【分析】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）、设最大数为x，列出方程组解答即可； （3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， =a2﹣1﹣（a2﹣49）， =48． （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：设这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确． 【点睛】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答． 压轴题型八：循环问题 √满分技法 循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题n(n-1). 22．（24-25九年级上·重庆万州·期末）2024年12月8日，在四川成都举行的国际乒联混合团体世界杯比赛中中国队卫冕冠军．本次比赛一共有支队伍参赛，在第一轮的比赛中组委会把支队伍平均分成4组，每组内以循环赛的形式展开角逐，即组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，第一轮一共安排了24场比赛，则x满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． 根据题意，每组有支队伍，每支队伍都要与其余的支队伍进行比赛，组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，由此列式即可求解． 【详解】解：第一轮的比赛中组委会把支队伍平均分成4组， ∴每组有支队伍， ∴每支队伍都要与其余的支队伍进行比赛， ∵组内的x个队相互之间都要安排一场比赛， ∴， 故选：B ． 1．（22-23九年级上·福建泉州·期中）2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染疾病。 (1)在新冠初期，人们因为不了解这种病毒所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染将会有144人感染了“新冠”，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人? (2)后来，大家众志成城，全都隔离在家，但玲玲爷爷种的糖心苹果遇到了滞销，于是玲玲在朋友圈帮爷爷销售，糖心苹果的成本为8元/千克，她发现当售价为12元/千克时，每天可卖出40千克，而每涨1元时，每天就少卖出10千克.如果每天要达到150元的利润而且又最大限度地帮爷爷增加销量，请你帮玲玲确定销售单价． 【答案】(1)11人 (2)11元 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了人，根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144人感染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． （2）设小玲应该将售价定为元，则每天可以卖出千克，根据总利润=每斤的利润销售数量，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 依题意，得：， 即 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了11人． （2）解：设玲玲应该将售价定为元，则每天可以卖出千克， 依题意得： ， 整理，得：， 解得：， 最大限度的帮爷爷增加销量， 小玲应该将售价定位11元， 答：小玲应该将售价定为11元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（24-25九年级上·重庆丰都·期末）为了切实加强青少年消防安全教育，增强青少年消防安全意识，某团县委动员全县各级团（队）组织开展“全民消防•生命至上”主题活动．据了解，某县某消防器材专卖店月份销售某款手提式干粉灭火器个，月份销售个． (1)求该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率； (2)若该款手提式干粉灭火器的进价为元/个．销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题中的数量之间的关系列方程求解，并把不符合实际情况的解舍去． 设该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为，根据连续增长两个月后销量由原来的个增加到个，可列关于的一元二次方程，其中的负数解不符合题意应舍去； 设该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为元，根据销量单件利润总利润列出关于的方程，为了尽可能让顾客得到实惠应选择较低的定价． 【详解】（1）解：设该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(舍去)， 该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为元， 根据题意可得：， 解得：，， 当售价定为元或元时月销售利润都能达到元， 为了尽可能让顾客得到实惠，售价应定为元． 3．（22-23九年级下·四川广安·阶段练习）如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用砌墙），现有砌长的墙的材料． (1)当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为； (2)能否围成面积为的矩形花园，为什么？ 【答案】(1)当矩形的长为25米时，矩形花园的面积为； (2)不能围成面积为的矩形花园，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键． （1）设矩形的长为，则，依题意列出方程，求解方程再检验方程的解是否符合题意，即可解答； （2）依题意列出方程，求解方程再检验方程的解是否符合题意，即可得出结论． 【详解】（1）解：设矩形的长为，则， 由题意得，， 整理得：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ． 答：当矩形的长为25米时，矩形花园的面积为． （2）不能围成面积为的矩形花园，理由如下： 设矩形的长为，则， 由题意得，， 整理得：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不合题意，舍去； 不能围成面积为的矩形花园． 4．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图所示的是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点． (1)根据上面的内容，请直接写出是三角点阵中前行的点数和； (2)请直接写出三角点阵中前行的点数和_____； (3)三角点阵中前行的点数和能是吗？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型； （1）由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，则前行共有个点，然后求它们的和，前行共有个点，则，然后解方程得到的值； （2）将代入，即可求解； （3）由（1）得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点， 前行共有个点， ∴前行共有个点， 由题意可得：， 整理得， ，， 为正整数， ． 故答案为：． （2）解：∵前行共有个点， ∴当时，，即三角点阵中前行的点数和为， 故答案为：． （3）依题意，得， 即， 解得：或， 为正整数， ． 当时，三角点阵中前行的点数的和是． 5．（24-25九年级上·山西长治·期中）项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为65元时日销售量为20个，销售单价为50元时日销售量为50个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为65元时，日销售量为20个， 当销售单价为50元时，日销售量为50个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)直接写出________，________（用含有的代数式表示）； (2)求四边形的面积（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查列代数式，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键． （1）根据路程=速度×时间解答即可； （2）根据可表示出四边形的面积，利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可； （3）利用（2）的结论建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：∵运动的时间为t，点P的速度为，点Q的速度为， ，． 故答案为：，； （2）解：． ， ． （3）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 不在x的取值范围内． ∴四边形的面积不能等于． 7．（19-20九年级上·山东·课后作业）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 【答案】(1)超过部分应交(元)；(2) ；(3) 8月份该户居民交电费元． 【分析】根据题意直接一元二次方程求解，即可得到题目所问. 【详解】解：(1)超过部分应交(元)； (2)由9月份交电费元，该户9月份用电量已超过规定的，所以9月份超过部分应交电费，即，解得，，由10月份的交电费元看，该户10月份的用电量没有超过，所以．所以． (3)当时，超过部分应交元，所以8月份该户居民交电费元． 【点睛】本题考查了学生对一元二次方程在实际生活中的应用，掌握根据题意列方程是解决此题的关键. 8.（24-25九年级上·江西赣州·期中）阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式我们把形如（，，是常数，）的多项式叫做关于的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：．下面是代数推理过程： 解： ． 即． 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： (1)已知，是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是________． (2)因式分解：的结果是________． (3)请用阅读内容中的方法，因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，一元二次方程的应用， （1）读懂题目根据题意并进行因式分解即可得到答案； （2）读懂题目根据题意先解一元二次方程，在结合题意分解因式即可得到答案； （3）读懂题目根据题意进行因式分解即可得到答案； 正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：， 即， 故答案为：； （2）解得， ， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解得， ， ∴，， ∴． 9．（24-25九年级上·广东佛山·期末）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食推位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米，      (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入为元？ 【答案】(1)道路的宽为米； (2)每个车位月租金上涨元时，停车场月租金收入为元． 【分析】（）根据道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设月租金上涨元，月租金收入为元，根据题意得，然后解方程并检验即可； 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； （2）解：设月租金上涨元，月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：每个车位月租金上涨元时，停车场月租金收入为元． 10．（24-25八年级上·上海·期末）互联网经济已经成为了我国经济的重要发展方向，下图是某电商平台上某商品第四季度的销售额y（元）和销售量x（件）之间的函数图像，线段表示某商品以原价销售时的函数图像，线段表示由于“双十一”活动阶段商品以某一幅度降价时的函数图像，线段表示由于“双十二”活动阶段商品以相同的幅度再次降价时的函数图像， (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)该商品原价每件为______元．第二次降价后该商品每件为______元． (3)该商品每次降价的百分率为_______． 【答案】(1) (2)10， (3) 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质、从函数图像中获取信息、一元二次方程的应用，从函数图像中正确获取信息是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）根据函数图像可得每件的原价等于销售额1000元除以销售量100件；第二次降价后该商品每件的价格为销售额元除以销售量100件，由此即可得； （3）设该商品每次降价的百分率为，结合（2）的结果，建立一元二次方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设线段所在直线的函数解析式为， 将点代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为． （2）解：由线段表示的函数图像可知，该商品原价每件为（元）， 由线段表示的函数图像可知，第二次降价后该商品每件为（元）， 故答案为：10，． （3）解：设该商品每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以该商品每次降价的百分率为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次方程的实际应用 1 传播问题 （1）病毒传播问题：公式a(1+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数 特点：传染源不会消失，但继续传播。 （2） 树枝分叉问题：公式：a（1＋x＋x²）＝b。 特点：分裂源不会消失。 （3） 细胞分裂问题：公式：ax²＝b. 特点：分裂源消失. 2 增长率问题 技巧：b=a(1±x)n ， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率 3形积问题 技巧：根据图形的性质和面积公式，联系一元二次方程的根，注意涉及到面积的和差，切勿混淆！ 4数字问题 技巧：注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程即可！, 5商品销售问题 技巧：销售总额＝单件售价×数量 总利润：单件利润×数量＝（售价－进价）×数量 利润＝成本×利润率 6动点几何问题 技巧：先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列方程！, 7相互问题（循环、握手、互赠礼品等） 技巧：循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题n(n-1). 压轴题型一：传播问题 √满分技法 （1）病毒传播问题：公式a(1+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数. 特点：传染源不会消失，但继续传播。 （4） 树枝分叉问题：公式：a（1＋x＋x²）＝b。 特点：分裂源不会消失。 （5） 细胞分裂问题：公式：ax²＝b. 特点：分裂源消失. 1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 3．（2024九年级上·全国·专题练习）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次； (2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； (3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论； (4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值． 压轴题型二：增长率问题 √满分技法 b=a(1±x)n ， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率。 4．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，受益于支持政策的影响，澄迈县大丰镇才存村大学生自主创立的公司利润逐年提高，据统计，2021年利润为200万元，2023年利润为288万元，设该公司从2021年到2023年利润的年平均增长率．下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·重庆大渡口·期末）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具售价应定为多少元? 6．（重庆南岸区2024-2025学年九年级上期期末数学质量检测题）某水果基地种植了大量的脐橙，10月份是脐橙成熟的高峰期，该月脐橙产量达到了50吨，此后每个月脐橙的产量逐渐减少，到12月份时，脐橙的产量为32吨． (1)求该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是多少？ (2)10月份，一水果批发商从该基地以4元的价格购进了脐橙，目前脐橙的市场零售价是5元．如果将这批脐橙放在冷库中冷藏起来，每个星期需要支付400元的冷藏费用，且每个星期脐橙会自然损坏，但是每个星期脐橙的市场零售价会上涨1元，若这批脐橙从冷库中提取出来后能一次性卖完，为了尽快清空库存，求这批脐橙冷藏几个星期后出售可以获得利润6960元？ 压轴题型三：与图形有关的问题 √满分技法 根据题意，利用所求图形的面积公式，通过列方程求解。 7．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，其小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：； 乙： 其中正确的是（   ） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 8．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在老师的指导下，同学们在劳动实践基地，一边靠墙另三边用栅栏围成一块矩形实验菜园．墙长为42m，栅栏总长为80m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形田菜园与墙垂直的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)直接写出实验田的面积（用含的代数式表示）； (2)矩形菜园的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； 9．（24-25九年级上·广东东莞·期末）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 压轴题型四：数字问题 √满分技法 注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程即可。 如果是日历类的问题，注意找到日历中的数字规律，通过列方程求解。 10．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数．（请用方程知识解答） 11．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 12．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 压轴题型五：销售利润问题 √满分技法 销售总额＝单件售价×数量 总利润：单件利润×数量＝（售价－进价）×数量 利润＝成本×利润率 13．（2024九年级上·全国·专题练习）宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为元．则有（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． (1)求商家购买A书籍和B书籍的进价； (2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 15．（24-25九年级上·重庆江北·期末）开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． (1)求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； (2)商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10％．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 压轴题型六：动态几何问题 √满分技法 先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列方程。 16．（20-21九年级上·山西太原·阶段练习）如图，中，，，，动点P从点A出发沿边以秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿边以秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当的面积为时，t的值（   ） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4 17．（22-23九年级上·广东东莞·期末）在中，，，，一动点P从点C出发沿方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿C方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，是等腰直角三角形？ (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中，线段能平分的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 18．（24-25九年级上·广西来宾·期中）如图，在矩形中，，，P，Q，M，N分别从点A，B，C，D同时出发，分别沿，，，移动，且当有一个先到达所在边的另一个端点时，其他各点也随之停止移动．已知移动一段时间后，若，则，，． (1)当x为何值时，P，N两点重合？ (2)四个点移动过程中是否存在四边形的面积是矩形面积的一半？若存在请求x的值；若不存在，请说明理由． (3)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？ 压轴题型七：图表问题 19．（21-22九年级上·宁夏银川·阶段练习）根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 20．（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 21．（2019·河北唐山·二模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 压轴题型八：循环问题 √满分技法 循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题n(n-1). 22．（24-25九年级上·重庆万州·期末）2024年12月8日，在四川成都举行的国际乒联混合团体世界杯比赛中中国队卫冕冠军．本次比赛一共有支队伍参赛，在第一轮的比赛中组委会把支队伍平均分成4组，每组内以循环赛的形式展开角逐，即组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，第一轮一共安排了24场比赛，则x满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·福建泉州·期中）2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染疾病。 (1)在新冠初期，人们因为不了解这种病毒所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染将会有144人感染了“新冠”，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人? (2)后来，大家众志成城，全都隔离在家，但玲玲爷爷种的糖心苹果遇到了滞销，于是玲玲在朋友圈帮爷爷销售，糖心苹果的成本为8元/千克，她发现当售价为12元/千克时，每天可卖出40千克，而每涨1元时，每天就少卖出10千克.如果每天要达到150元的利润而且又最大限度地帮爷爷增加销量，请你帮玲玲确定销售单价． 2．（24-25九年级上·重庆丰都·期末）为了切实加强青少年消防安全教育，增强青少年消防安全意识，某团县委动员全县各级团（队）组织开展“全民消防•生命至上”主题活动．据了解，某县某消防器材专卖店月份销售某款手提式干粉灭火器个，月份销售个． (1)求该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率； (2)若该款手提式干粉灭火器的进价为元/个．销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为多少元？ 3．（22-23九年级下·四川广安·阶段练习）如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用砌墙），现有砌长的墙的材料． (1)当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为； (2)能否围成面积为的矩形花园，为什么？ 4．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图所示的是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点． (1)根据上面的内容，请直接写出是三角点阵中前行的点数和； (2)请直接写出三角点阵中前行的点数和_____； (3)三角点阵中前行的点数和能是吗？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 5．（24-25九年级上·山西长治·期中）项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 6．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)直接写出________，________（用含有的代数式表示）； (2)求四边形的面积（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 7．（19-20九年级上·山东·课后作业）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 8.（24-25九年级上·江西赣州·期中）阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式我们把形如（，，是常数，）的多项式叫做关于的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：．下面是代数推理过程： 解： ． 即． 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： (1)已知，是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是________． (2)因式分解：的结果是________． (3)请用阅读内容中的方法，因式分解：． 9．（24-25九年级上·广东佛山·期末）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食推位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米，      (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入为元？ 10．（24-25八年级上·上海·期末）互联网经济已经成为了我国经济的重要发展方向，下图是某电商平台上某商品第四季度的销售额y（元）和销售量x（件）之间的函数图像，线段表示某商品以原价销售时的函数图像，线段表示由于“双十一”活动阶段商品以某一幅度降价时的函数图像，线段表示由于“双十二”活动阶段商品以相同的幅度再次降价时的函数图像， (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)该商品原价每件为______元．第二次降价后该商品每件为______元． (3)该商品每次降价的百分率为_______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$