河南省九师联盟2024-2025学年高三下学期2月开学考试数学试卷

高三数学 考生注意： 1,本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范图：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.下列集合中，与集合{xx≥0}不相等的是 A{x|y=√x) B.{yly=√E} C.(yly=e) D.(yly=In(x2+1)) 2已知a,bcR,年十白=1，若&=a+i,则1到= A.1 B.2 C.3 D.2 3.已知圆台OO的上底面半径为2，母线长为4，母线与底面所成的角为60°，则圆台QO的体积为 A5 B53 3π C.193π D.18√3π 4已知精圆C:若+芳-1的左，右焦点分别为R,F,P是C上在第二象限内的-点，且P,一PE =2,则直线PF2的斜率为 A号 B-号 c D- 5.在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为、2一1的菱形 D 称为“白银菱形”，如图，在白银菱形ABCD中，若AD·AB=入AC,则A=A A.32-2 B3-22 2 c②-1 2 n22 6.若方程2 sin wx=√5(w>0)在区间[0，π]上有4个不同的实根，则u的取值范围为 A[3》 B[) c[3》 [》 【高三开学考·数学 第1页（共4页）】 G 7.如图1，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD,AB=2BD=2.沿BD将△ABD A 折起，使点A到达点P的位置，得到三棱锥P-BCD,如图2，若PC=3,则三 棱锥P-BCD外接球的表面积为 # A.6π B.8π C.9π 图1 D.12元 &如图，已知双曲线C号-苦=1o>0,6>0)的左，右焦点分别为，R,过 F2作渐近线l:bx一ay=0的垂线交l于点M,连接MF2交C于点N,若 cos∠FR,NE,=一号，则C的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知随机变量X~N(一1,1)，Y~N(3,1),则 A.E(X)=E(Y-3) B.D(3X)=9D(Y) C.P(X<1)=P(Y>1) D.P(X≤-2)+P(Y≥2)=1 10已知函数f)=己之士8国)帝南++则 A.f(x)为奇函数 B.f(x)在(0,1)上单调递减 C.g(x)的图象关于点（一2,3）对称 D.方程g(x)=3的实根之和为一4 11.如图，正方形ABCD的边长为1，M,N分别为边BC,CD上的点，AE⊥MN,E为垂D 足，若CM=m,CN=n,∠MAN=45°，则 A.2(m十n)-mn=2 B.△CMN的周长大于2 C.△AMN面积的最小值为√2一1 D笼的最小值为22-②) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知定义在R上的函数满足君-1，且0)-2，则e)的一-个解折式为)- 13.已知a,B∈[0,2π)，6cosa一4cos=1,6sina-4sin3=k,则|k|的最小值为 14.如图，O是正八边形A1A2A:A4AAsA,Ag的中心，从其八个顶，点中随机取出四个顶点为顶点作四边 形，则可作平行四边形的概率为 ,则可作梯形的概率为 .(用数字作答) 0 【高三开学考·数学第2页（共4页）】 G 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) “八段锦”，起源于北宋，已有八百多年的历史.古人把这套动作比喻为“锦”，意为五颜六色，美而华贵。 体现其动作舒展优美，视其为“祛病健身，效果极好，编排精致，动作完美”，此功法分为八段，每段一个 动作，故名为“八段锦”作为传统养生功法，对人体有着很多的益处.为了继续推广“八段锦”，吸引更 多的老年市民练习“八段锦”，促进老年市民的延年益寿，市老体协统计了全市的男性老年人和女性老 年人（不小于60岁的均为老年人）练习“八段锦”的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了练习“八段 锦”的200位老年人，得到了性别与年龄的有关数据，并整理得到以下列联表： 年龄n(岁) 类型 合计 60≤n≤65 n>65 男性 36 111 女性 25 合计 200 (1)补全2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为老年人的性别与年龄是否 大于65岁有关联？ (2)在这200位老年人随机抽取一位，求在该老人年龄大于65岁的情况下，为女性老年人的概率. n(ad-bc)2 附：X-a+bc十a)a+c6+dD,其中n=a+b+c+d. a 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16.(本小题满分15分) 记数列{an}的前n项和为S.,已知a1=d(d≠0)，2na.+1=2Sn十n(n十1)d. (1)求{an}的通项公式； (2)是否存在m和点，使得，】是己和，(>2)的等差中项？若存在，求出m和k的值：若不存在， am+l am amtk 请说明理由。 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱柱ACD-A1CD1中，点E,E分别在棱CD,CD1上，且A,E,E1,A1四点共面. (1)证明：四边形AEEA1为平行四边形； (2)若点B,满足B1D1=AD1十CD1,侧面CCDD⊥底面ACD,AD⊥AC,AD=AC,CD=DD1= 2,∠CDD,=60,若平面ABE,A与平面AB,D夹角的余弦值为品，求瓷的值 D 【高三开学考·数学第3页（共4页）】 G 18.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,M是C上在第一象限内的点，若直线MF的倾 斜角为60°，点M到l的距离为4. (1)求C的方程： (2)设直线x一ay一1=0(a>0)与C交于A,B两点，过点P(一1,2a)作直线PQ∥x轴，与C交于点 Q,直线QF与C交于另一点R (i)求QR的最小值： (ⅱ)探讨直线PA与C公共点的个数 19.(本小题满分17分) 张景中院士在《与中学教师谈微积分》一文中，给出了“差商有界”函数和“广义差商有界”函数的定义， 即若函数f(x)在区间I上有定义，并且存在一个正数m,使得Hu,v∈I且u<v,不等式 Lfo）二f≤m恒成立，则称f(x)在I上为“差商有界”函数；若函数f(x)在区间1上有定义，并 v-u 且存在一个正整数，使得Vu,ve1且u<0,不等式上o)二wL≤1恒成立，则称f(x)在1上为 v-ul “广义差商有界”函数 (1)已知f(x)=√x,判断f(x)在区间[0,1]上是否是“差商有界”函数？若是，请说明理由；若不是，请 讨论是否是“广义差商有界”函数？ (2)已知函数f(x)=xlnx. (1)判断f(x)在区间(0,1)上是否是“差商有界”函数？并说明理由； (i)若f(x)在区间(0,1)上是“广义差商有界”函数，求正整数r的最小值. 【高三开学考·数学第4页（共4页）】 G高三数学参考答案、提示及评分细则 1,C{xy=√E}={yy=√x)={yy=ln(.x2+1)=[0,十o∞)，{yly=e}=(0,十o∞).故选C. a+b=2.a=1, 2.B去分母，得(a十b)十(b-a)i=2,根据复数相等的定义，得 解得 则x=1+i,=1一i,所以|=√2 b-a=0, b=1, 故选B. 3A由题意，得圆台的高为23，下底面半径为2+2=4，所以圆台的体积为3元×23×(2+2×4+4)-563元故 选A. 4.D由椭圆的定义，得PF|+PF2|=14,结合PF|一|PF|=2,解得PF=6,|PF:=8,所以PF|+1PF:= FF,从而PF⊥PF,所以km,=-an∠PF,F=-子.故选D 5C设0是AC与D的交点，则票-肥-2-1，则d·A=Oi-0动.O成-O成 D =(-0i-0)·(0i-0i)-0-0亦-0i-(2-1)'Oi=2w2-1)(2Ad 2C所以x故选C 2 6.B设1=o,得0≤1≤，则问题转化为直线y=号与曲线y 2 s血1在[0m]上有4个交点，于是2x+学<m<红+号，解得号 <<导故选B 7.C在R△BCD中，BC=√BD+CD=√T+2=5,又PB=2,PC=3,所以PB+B=PC,所以 PB⊥BC,同理可得CD⊥PD.取PC的中点O,则OP=OB=OC=(OD,所以O为三棱锥P-BCD外接球的 球心，所以三棱锥P-BCD外接球的表面积为4x×(号)）=9m故选C 8.A设FE=2,则1MR,=x=oO=c=b,OM1=OFP-MF下=a,从而sin∠NF,E a+ 名，由正弦定理，得竖=，所以NF=受，NF,=NF-2a=号由余弦定理，得4=2实+号-2·受· 2 5 号×（一子），化简得c=②a,所以e=二=区.故选A 9.BCD由题意，得E(X)=-1,E(Y=3,而E(Y-3)=E(Y)-3=3-3=0,则A错误：又D(X)=1,则D(3X)=9D(X) =9,而D(Y)=1,所以D(3X)=9D(Y),则B正确；因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线x=1对称，所以 P(X<1)=P(Y>1),则C正确：由对称性，得P(X≤一2)=P(X≥0)=P(Y≤2)，所以P(X≤-2)+P(Y≥2)=P(Y≤2) +P(Y≥2)=1，则D正确.故选BCD. 【高三开学考·数学参考答案第1页（共6页）】 G 10CD因为fu的定义城为0≠士1，且-)=古z十是-有=-（片士）=-， 所以f)为奇函数，则A正确：因为f)=+之十D>0,所以fx)在0.D上单调递增，则B错误： 面)-3=本一1+1+号-1=-(h十2+3)=x+2》,即g)=x+2)+3.所以g 的图象关于点(-2,3)对称，则C正确：又当x>1时，f(x)<0,则f(x)在(1，+o∞)上无零点：当0<x<1时，若x→0， 则f(x)→一oo:若x→1，则(x)→十oo,则f(x)在(0,1)上仅有一个零点x1.根据对称性，f(x)在（一o,-一1）上无零 点，在（一1,0）上仅有一个零点x2.由此，f(x)仅有两个零点和x2,且十x=0.而g(x)一3=f(x十2)，将f(x)的 图象左移2个单位长度，即得函数f(x十2)的图象，所以f(x十2)仅有两个零点x一2，一2，且这两个零点之和为(x 一2)十(x一2)=(x1十x2)一4=一4，则D正确.故选ACTD 11,AC如图，由∠MAN=45°，得∠BAM+∠DAN=45°：由CM=m及CN=n,得DN=1-,BMD1-头n =1-m,所以m45=m∠BAM+∠DAM=已0点得分=1，整理得2m+)-m= 2,期A正确：由如十.得7-√)-2m=√写-2严所& 2 以△CMN的周长为m十n十√m+_m,+2+2,m=2,为定值，则B错误：由2十mm=2(m十n)≥4√m(当且仅 2 2 当m=n时取等号)，得（√/m)2一4√wn十2>0，解得m≤(2-√2）2或≥(2十√2)2，考虑到0<m<1和0<1<1， 可得0<<1，应舍去mm≥(2+√2)2，由此mn≤(2一√2)2（当且仅当m=n=2一√2时取等号）：△AMN的面积为1 21-m-21-W-2mm=含m+w-mm)=21+罗-m)=合(1-2m)≥2[1-2-2)r]-巨- 1,则C正确：设AE=x,ME-y,NE=&,由tan45°=tan(∠NAE+∠MAE)=x 1-三.y =1，整理得x2=x(y十x)十 ,即<+)+6十，即（生）+4×生-4>0，解得生≥22-1所以当且仅当y==W2-1x 时，的最小值为22-D.则D错误故选AC 12.x2+2由题意，得f(x)为偶函数，且Vx∈R,f(x)≠0，又f(0)=2,可得f(x)=x2+2. 1品，厅法一：将已知两个等式两边平方后，再相加，得36十16一48c0sa一=：十1，即os(a一m=5引。，考虑到一2云 <a2,所以1cos(。-B1=8E1≤1，解得3<≤99，即1k≥3.由k=5,得cos(a-)=1,则a=月=吾或 48 =日一受，符合题意。 法二：由已知，得6cosa=4cos3十1,6sina=4sinB+k,两边平方后再相加，得(6cosa)2十(6sina)2=(4cosB+1)2十 (4sin3+k)2,整理得20-(k2+1)=8(cos3+ksin)≤8√R+1,即(k2+1)+8√+1-20≥0，解得vR+1≥2，即 ≥3.将=3代人os计sin√F+,得im(计吾)=1，考虑到音<计吾<，可得计吾=受，解得8 =子，代人6c0sa=4c0s计1，结合6sina一6sin3,解得a=晋，所以当a==受时，k=5:同样可得当a=罗 时，k=一原，综上，当a=号或a=时，k的最小值为. 【高三开学考·数学参考答案第2页（共6页）】 G 14是(2分)号（3分)从八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形，可得四边形的个 数为C:八个顶点的连线中有4条过中心O,即有4条直径，每两条直径可确定一个平行四A 边形，可得平行四边形的个数为G,所以可作平行四边形的概率为号-需：棉形可由两条 平行但不等的弦的四个顶点构成.如图，设，n分别为正八边形的两条不同类型的对称轴。 (1)以m为对称轴的平行弦A1A,AA,,AA,AA中，有2对平行且相等，所以4条平行 弦可构成C一2个梯形，而类似的平行弦共有4组，所以可构成梯形4(C一2)=16个：(2)以n为对称轴的平行弦 A:Ag,AA:,AA中，有1对平行且相等，所以3条平行弦可构成C一1个梯形，而类似的平行弦共有4组，所以可构 成梯形4G-1D=8个，综合12)可得共有梯形24个，放可作梯形的既率为哈-号 15.解：(1)补全2×2列联表如下： 年龄n(岁) 类型 合计 60≤≤65 n>65 男性 36 75 111 女性 64 25 89 合计 100 100 200 …4分 零假设为H:老年人的性别与年龄是否大于65岁无关联 根据列联表中的数据，得 X-200852-提×器×26>26>10.828=m 100×100×111×89 …8分 依据小概率值α=0,001的独立性检验，推断H。不成立，即老年人的性别与年龄是否大于65岁有关联，该推断犯错误 的概率不大于0.001. …10分 (2)设事件A=“抽取的一位老年人年龄大于65岁”，事件B=“抽取的一位老年人为女性老年人”，…11分 25 法一：所求概率为P(BA)= P(AB)_2001 P(A) 100 ……13分 200 法二：所求概率为P(BA)=CAB)=25 n(A)-100 13分 16.解：(1)因为2na+1=2S.十n(n十1)d,① 所以2(n-1)a.=2Sw-1十(n-1)nd(n⊙2)，② 1分 ①-②，得2naw+1-2(n-1)aw=2a.+2nd(n≥2)， 化简，得a+1一am=d(n≥2).… 3分 由a1=d,S=a2-d,得a=2d,仍适合aw+1一an=d, 5分 所以数列{a}是公差为d的等差数列， 所以an=d十(n一1)d=d.… 7分 (2)假设是士和≥2)的等差中项.则二=止+ 8分 即m子a点十ma化简，得品+ 2 m十1mm十表 …9分 【高三开学考·数学参考答案第3页（共6页）】 G 当m=1时，吊=}十中则。=0，显然不成立…10分 当>2时，由品-十解得=2计 2 …11分 当m=2时，k=4,则上是上和上的等差中项： 12分 当m=3时，k=3,则是士和的等差中项： …13分 当m>4时名N,则kEN,不适合题意.… 14分 综上，存在m=2且k=4或m=k=3,使得1是1和1(k≥2)的等差中项。 15分 17.(1)证明：因为AA1∥DD,DD,C平面CC,DD,AA庄平面CCDD, 所以AA∥平面CCDD. 1分 又AA,C平面AEEA,平面AEEA∩平面CCDD=EE, 所以AA∥EE. …2分 因为平面ACD∥平面ACD,平面AEEA∩平面ACD,=AE,平面AEEA∩平 面ACD=AE, 所以AE:∥AE, 3分 所以四边形AEEA,为平行四边形. 4分 (2)解：如图，取CD的中点O,连接OD,OA, 由CD=DD,=2及∠CDD,=60°，得△CDD,为等边三角形. 所以(OD⊥CD,… …5分 又侧面CCDD⊥底面ACD,所以OD⊥底面ACD,从而OD⊥OA:…6分 由ADLAC及AD=AC.得△ACD为等腰直角三角形 所以OACD.… …7分 以O为坐标原点，直线OA,(C,OD1分别为x轴，y轴，x轴建立空间直角坐标系O-xyx,如图所示，则O(0,0,0), A(1,0.0).C(0,1,0).D(0,-1,0),D1(0,03),则A4=DD=(0,1,3)…8分 设E(0,,0)(-1≤≤1)，则AE=(-1,t,0). m·AM=0,y+3=0. 设平面AEEA的法向量为m=(x,yz),由 积 m·A元=0， x十ty=0. 取y=3,则m=(5t5,一1). 10分 AD=(-1,03),D,B=D,A+D,C=Di+DC=(1,1,0)+(0,2,0)=(1,3,0), fn·AD=0, -a十√3c=0, 设平面ABD的法向量为n=(a,b,c,),由 n.DB=0. a+3b=0. 取a=3,则n=(3,一1，W3),…12分 m·n 133-2313 所以cos(m,m=m·n=3r干·8 整理得27：-391十10=0， 【高三开学考·数学参考答案第4页（共6页）】 0 …15分 1 18.()解：根据抛物线的定义，得引MF=4… 1分 过M作MN⊥x轴，N为垂足，则|FN|=2,lMN|=23, 又F(号.0），所以M(号+2,25），… 3分 代入y=2p,得(23)=2p(号+2)，整理得P+4p-12=0, 解得p=一6（舍去）或p=2. 故C的方程为y=4x …5分 y=2a, r=a-, (2)解：(1)由 解得 即Q(a2,2a),… 6分 y2=4x, y=2a, 又F(1,0),所以直线QF的方程为x=, )”9年年年m年g年e年，9g卡 代人y=.整理得)广-2c。D-4=0. 则avR=一4，由%=2a,得次=- a 代人y=4,得w=是，即R(一) 小小9分 所以QR=Ve-3）+(2a+2)=@少 =++2≥4 a 当且仅当a=1时取等号. 故当a=1时，QR。=4.… …11分 （i)由A(m)在直线x一ay-1=0上，得n一ay-1=0,即a=4二」 12分 由A(,为)在C上，得听=4.石，…13分 所以M=边-2e”一2X41 1=-2m+2_40-2+2-2 x1+1+1 (和+1)y(0+1)4y …14分 所以PA的方程为y一当=名（红一).结合=4n,化简得r=兰y一，… 15分 3y1 代入y=4x,整理得y一2yy十4=0， 因为△=4y-16.m=4(y-4x)=0, 所以直线PA与C仅有一个公共点. …17分 19.(1)解：f(x)在[0,1门上不是“差商有界”函数.… …1分 理由如下：假设f(x)在[0,1]上是“差商有界”函数，则有正数m,使得H,vE[0,1]且<w,不等式一√a≤m一a恒 成立，即1长m+a≤2m,可见2m≥l:取4=0，v-代人而-a<mv一u,得n一01<m-01,即 2≤1，产生矛盾，故f(x）在[0,1们上不是“差商有界”函数.………4分 f(x)在[0,1门上是“广义差商有界”函数。………5分 证明如下：设，E[0,1]且u<,f()-fw1=15-a=面-+m1=g二4≤，即 √6+√a +mW元-√u 【高三开学考·数学参考答案第5页（共6页）】 G 1f(0)-fw≤-，又f()-f01=W-√a,所以1f)-f0≤-u,其中r=2. -a 故f(x)在区间[0,1门上是“广义差商有界”函数.… …8分 (2)解：(1)f(.x)在区间(0,1)上不是“差商有界”函数.… 9分 理由如下： f(x)=lnx+1=lnx一lne,当0<xr<e时，h'(x)<0,则f(x)在区间(0，e1)上单调递减. 取Hu,v∈(0，ew1)二(0，l)(其中m>0)且<，若满足ln-lnu≤m-u,则n-ln≤nw-mu, 即wlnu十muu≤nv十u.① 设H(x)=xnx十nx(0<x<e-t).则H(x)=nx十m十1=lnx-lnem-l<0,所以H(x)在区间(0，em-1)上单 调递减，从而H(u)>H(),即nu十m>nu十mw,这与①矛盾， 故f(x)在区间(0,1)上不是“差商有界”函数。… …11分 (i)f)-f≤w-,得1)-f01≤v-u片，令a=上，则0<a<1. 设=是，则=，>l,0<<},则dn一na≤一a,即2nu-na≤是-l·, 即lnt+(t-1)nu≤t-1·-1,即-(t-1)·1≤nt+(t-1)lnu≤(t-1)°·1.…12分 设x)=l血+(-1lnx-(1-1·r(0<x<}）,则p()=+(1-a(1-1)·>0,所以p(x在 (0,)上单调递增，从面6x)<p(）=n1一(1-)广<n1一+1<0，即(x)≤0，符合题意.…13分 设gx)=h1+1-1)nx+(-1)·x(0<x<）则g(x)=+(a-1)-1D·x =-D·x[x-1-a)-10门=-1)·r(x-)(其中=片·1-a). …14分 若≥，则g(x)<g()≤0，则q(x)在(0，)上单调递减，从而qx)>q(）=ln1+(1-1>0,符合 题意.……15分 若k<},则)在(0，k)上单调递减，在(k,)上单调递增。 所以ga-)=h+-1h-+Dh-a 1-a 设w=h+-Dh片+Dh-a 1-a 当1+lh(1-a)≥0，即0<a<。时，g(x)≥n(0>0.符合题意. 当1+1a1-a)<0,即。<a≤1时，设1=-1+出h。0.则>0，m0)=lh+-1Dn,片一-1D. I-a 因为h(1+片)1-1D=ne->h《2少（利用>0时e>号r),所以<n+-1Dx古 -h“号少=-hD令n兴D=0,解得6士e士e正>1，则存在∈1，+o,即存在6= 2et 2et 。一·1一a)古∈(0,1)，使)=m)<0,不合题意，（不取特值，利用极限代替不扣分） 综上，0<<。，即0<<。，解得≥。片故正整数r的最小值为2. …17分 【高三开学考·数学参考答案第6页（共6页）】 G