专题03 不等式组的特殊解和含参不等式（3题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪科版2024）

专题03 不等式组的特殊解和含参不等式 一、一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． 3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 二、解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 压轴题型一：解特殊不等式（组） 1．（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式； 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式组，绝对值等知识点，分和两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】解：①当即， 解集为， ②当，即， 解集为， 综上可知，原不等式的解集为． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，解不等式组，绝对值等知识点，分和，两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】①当，即， 解集为； ②当，即：， 解集为； 综上可知，原不等式的解集为． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 4．（21-22七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题． （2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题． 【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得： ①或②， 解不等式组①，无解；解不等式组②， 的解集为 （2）由两数相除，同号为正，得： ①或②， 解不等式组①，；解不等式组②， 不等式的解集为或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 5．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 6．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 压轴题型二：不等式特殊解 √满分技法 与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法： 类型一 求一元一次不等式特殊解的方法 解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值． 解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【详解】解； 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， ∴， 去括号：， 合并同类项：， ∵不等式组有5个整数解， ∴不等式组的解集为，且5个整数解为：2，1，0，，， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、求不等式组的整数解等知识点，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集，最后确定所有整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 9．（24-25八年级上·浙江温州·期末）解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，熟练掌握该知识点是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的非正整数，即可得到答案． 【详解】解： 解①得， 解②得， 原不等式组的解为： 非正整数解为、、、0 所有非正整数解的和为． 10．（2023·江苏扬州·一模）解不等式组：并求出它的所有整数解的和． 【答案】， 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解的和即可． 【详解】 解：不等式组， 由①得， 由②得：， 不等式组的解集为，即整数解为，，，0，1， 则整数解的和为． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）若是三边的长，且满足关系式是不等式组的最大整数解，求三边的长． 【答案】三边的长分别为 【分析】本题考查绝对值、偶次方的非负性及不等式组的解法及整数解的确定，求不等式组的解集，应遵循以下原则∶同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 先根据题意，求出a和b的值，再求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可． 【详解】解：∵满足关系式， ∴， ∴． ∵不等式组的解集是， ∴最大整数解是5， ∴5． 故三边的长分别为． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． (1)解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； (2)求整数的值． 【答案】(1)方程组的解为 (2)的整数值为 【分析】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，用转化的思想思考问题． （1）利用加减消元法解关于，的方程组即可； （2）将（1）中关于，的方程组的解代入不等式组，得到关于的不等式组，解得的取值范围，再求出的整数值即可． 【详解】（1）解：， ，得：， 解得：， 把代入①，得：， ∴方程组的解为； （2）解：将代入不等式组， 得：，即， 解不等式得：； 解不等式得：； 则不等式组的解集为：， ∴的整数值为． 13．（24-25八年级上·浙江·期中）解不等式（组）： (1)解不等式：； (2)解不等式组，并求该不等式组的非负整数解． 【答案】(1) (2)，不等式组的非负整数解为0，1 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先去括号，再移项、合并同类项即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （2）解：解不等式①得： 解不等式②得： 原不等式组的解集为 不等式组的非负整数解为0，1． 压轴题型三：含参不等式 √满分技法 压轴题型一：不等式特殊解 √满分技法 与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法： 类型一 求一元一次不等式特殊解的方法 解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值． 解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． ①将参数当成“常数”，解不等式，即用参数表示不等式的解集； ②根据已知解集得到参数之间的关系； ③代入另一个不等式求出不等式的解集. 14．（24-25七年级下·全国·期末）若关于和的二元一次方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)是否存在一个整数使不等式的解集为．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，1，2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）首先对方程组进行化简即可求得含a的表示x和y得代数式；根据方程的解满足的解满足得到不等式组，解不等式组就可以得出a的范围； （2）根据不等式的解集为，求出a的取值范围，即可解答. 【详解】（1）解： ，得 ． ，得 ． 解得：． （2）解：存在．理由如下： 变形为． 原不等式的解集为， ． 由（1）得 ． 为整数， 的值为1，2． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组恰有两个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 则不等式组的解集是． 不等式组只有两个整数解，是0和1． 根据题意，得， 解得． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组的解集是，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键．解两个不等式得出且，根据不等式组的解集为得，解之可得答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 则， 所以． 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：若不等式组的解集是，且满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若关于x的不等式组的解集是一个“对称集”，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握“对称集”的定义是解答此题的关键．解每个不等式得出，根据“对称集”的定义得出，解方程即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组的解集是一个“对称集”， ∴， 解得． 18．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求代数式的值，根据不等式组的解集求出m与n的值是解题的关键；先解不等式组，根据不等式组的解集得关于m与n的方程，求出m与n的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：令 解不等式①，得．解不等式②，得． 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足． (1)的取值范围是________； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组； （1）根据得，，得出，根据，即可求解； （2）先解不等式得出，根据不等式组的解集为，可得不等式的解集为．进而得出，结合（1）得结论，且为正整数，即可求解． 【详解】（1）解： 得， ∴ ∵ ∴ 解得： 故答案为：． （2）解不等式，得． ∵不等式组的解集为， ∴不等式的解集为． ∴，解得． 由（1）知， ∴，且m为正整数，故正整数m的值为1． 20．（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 【详解】解：．不等式可化为， ∴． ； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴． ． 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程转化为一般的方程，然后求解，再解不等式即可． 【详解】解：根据题意，当时， 解得： 此时，解得 当时， 解得： 此时，解得或 综上所述，或 故答案为：或． 2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．首先将变形为．再将代入不等式，，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，且，， ∵， ∴，即， 解得：， 将代入，得，即， 解得， 的取值范围为：． 故答案为：． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）要使方程组有正整数解，则整数a有 个． 【答案】4 【分析】先解方程组，用含a的代数式表示出方程组的解，根据方程组有正整数解求出a的范围，再求出符合的整数a即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 即方程组的解是， ∵方程组有正整数解， ∴， 解得：， ∴整数a有，，0，4，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 4．（江西省上饶市部分学校2024——2025学年上学期八年级1月份期末联考数学试题）若关于x 的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”确定不等式组的解集是解题的关键． 解不等式组得到,根据题意得，解不等式组即可得到． 【详解】解： 解得：， 关于x 的不等式有且仅有4个整数解， 整数解为， ， 解得：， 故答案为： ． 5．（24-25七年级下·全国·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解，再根据已知得出答案即可． 【详解】解：， ∵解不等式①得：， 又∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得m的取值范围． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有四个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握其解法是解题的关键． 分别解出每个不等式，然后根据不等式组的解集是，即可得到一个关于m的不等式，从而求解． 【详解】解：， 由得，， 由得，， 关于的不等式组的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可．结合分式有意义的条件，解答即可， 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有5个整数解，分别为， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则关于x的不等式组的整数解共有 个． 【答案】2 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，求出不等式组的解集为，根据确定整数解即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵， ∴该不等式组的整数解是3和4，共有2个． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出的取值范围． 先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有个整数解可以是，，，，，即可得到，解得，可以求得满足条件的整数的值，然后求出它们的和即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解是，，，，， ， 解得：， 满足条件的整数的值为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 不等式组的特殊解和含参不等式 一、一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． 3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 二、解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 压轴题型一：解特殊不等式（组） 1．（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式； 2．（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 4．（21-22七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 5．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 6．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 压轴题型二：不等式特殊解 √满分技法 与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法： 类型一 求一元一次不等式特殊解的方法 解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值． 解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 8．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 9．（24-25八年级上·浙江温州·期末）解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 10．（2023·江苏扬州·一模）解不等式组：并求出它的所有整数解的和． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）若是三边的长，且满足关系式是不等式组的最大整数解，求三边的长． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． (1)解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； (2)求整数的值． 13．（24-25八年级上·浙江·期中）解不等式（组）： (1)解不等式：； (2)解不等式组，并求该不等式组的非负整数解． 压轴题型三：含参不等式 √满分技法 压轴题型一：不等式特殊解 √满分技法 与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法： 类型一 求一元一次不等式特殊解的方法 解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值． 解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． ①将参数当成“常数”，解不等式，即用参数表示不等式的解集； ②根据已知解集得到参数之间的关系； ③代入另一个不等式求出不等式的解集. 14．（24-25七年级下·全国·期末）若关于和的二元一次方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)是否存在一个整数使不等式的解集为．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组恰有两个整数解，求的取值范围． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组的解集是，求，的值． 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：若不等式组的解集是，且满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若关于x的不等式组的解集是一个“对称集”，求m的值． 18．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足． (1)的取值范围是________； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 20．（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，则的取值范围是 ． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）要使方程组有正整数解，则整数a有 个． 4．（江西省上饶市部分学校2024——2025学年上学期八年级1月份期末联考数学试题）若关于x 的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围为 ． 5．（24-25七年级下·全国·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 6．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是 ． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是 ． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则关于x的不等式组的整数解共有 个． 10．（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$