第七章相交线与平行线7.3定义、命题、定理同步练习2024-2025学年人教版数学七年级下学期

人教版七年级下册第七章相交线与平行线7.3定义、命题、定理 一、单选题 1．下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 2．下列语句是命题的是（    ） A．一起向未来 B．今天，你微笑了吗？ C．多彩的青春 D．垃圾分类是一种生活时尚． 3．下列命题是真命题的是（    ） A．单项式的系数为2 B．一个有理数不是整数就是分数 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 4．下列命题是假命题的是（   ） A．在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等 B．矩形的对角线相等且相互平分 C．一组邻边相等的矩形是正方形 D．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等 5．下列命题错误的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形为菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．直角三角形的两直角边长是3和4，则斜边长是5 D．顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相互垂直 6．下列能作为证明依据的是(     ) A．已知条件 B．定义和基本事实 C．定理和推论 D．以上三项都可以 7．数学课上，老师让同学将图中的证明过程补充完整，下列判断不正确的是（    ）． 如图，已知，，   求证：． 证明：∵（已知）， ∴（△）． ∵（已知） ∴◎（同角的补角相等） ∴（※） ∴（□） A．△表示两直线平行，同旁内角互补 B．◎表示 C．※表示内错角相等，两直线平行 D．□表示两直线平行，内错角相等 8．给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．下列命题正确的是（      ） A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有相交、垂直和平行 B．平方根是它本身的数只有0 C．-32的平方根是±3 D．的平方根是±5 二、填空题 10．如图，直线被直线l所截，．求证：．下面是某同学的证明过程，则①为 ． 证明：， （对顶角相等）． ， ． （①）． 11．如图所示，，那么 ，依据是 ． 12．有下列命题：①两直线平行，同位角相等；②垂线段最短；③同角的余角相等；④同旁内角互补；⑤两点确定一条直线．其中真命题是 （填序号）． 13．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 14．定义：若一个多项式有两项且两项的次数相同，则这样的多项式就叫做“齐次二项式”．若关于，的多项式是“齐次二项式”，在数轴上表示的点在表示的点的右侧距离5个单位长度处，则 ． 三、解答题 15．当n为正整数时，的值一定是质数吗？ 16．如图，矩形草坪的长为a米，宽为b米（），沿草坪四周外围有宽为x米的环形小路． （1）草坪的长与宽的比值________，外围矩形的长与宽的比值________；（用含有a、b、x的代数式表示） （2）请比较m与n的大小； （3）图中的两个矩形相似吗？为什么？ 17．将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出题设与结论． (1)两直线平行，同位角相等； (2)两点确定一条直线． 18．如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．    (1)这三个命题中，真命题有______个； (2)选择一个真命题，并且完成证明过程． 19．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 20．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教版七年级下册第七章相交线与平行线7.3定义、命题、定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D B A B D D A B 1．B 【解析】略 2．D 【分析】根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、一起向未来，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； B、今天，你微笑了吗？没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； C、多彩的青春，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； D、垃圾分类是一种生活时尚，是命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题，命题都是由题设和结论两部分组成． 3．B 【分析】本题考查真假命题判定．涉及命题定义、单项式、平行线性质、平行线判定等知识．根据相关几何判定与性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、单项式的系数为，原命题是假命题，本选项不符合题意； B、一个有理数不是整数就是分数，是真命题，本选项符合题意； C、在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，原命题是假命题，本选项不符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题，本选项不符合题意； 故选：B． 4．A 【分析】根据圆周角定理、矩形的性质、正方形的判定定理、线段垂直平分线的性质，即可一一判定． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等或互补，所以A选项为假命题； B、矩形的对角线相等且相互平分，所以B选项为真命题； C、一组邻边相等的矩形是正方形，所以C选项为真命题； D、三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，所以D选项为真命题． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理、矩形的性质、正方形的判定定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握和运用各图形的判定与性质是解决本题的关键． 5．B 【分析】利用菱形、正方形的判定方法、勾股定理、中点四边形的知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不符合题意； B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，符合题意； C、直角三角形的两直角边长是3和4，则斜边长是5，正确，不符合题意； D、顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相互垂直，正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形、正方形的判定方法、勾股定理、中点四边形的知识，难度不大． 6．D 【详解】解：已知条件、定义和基本事实、定理和推论都可以作为证明的依据．故选D． 7．D 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：证明：∵（已知）， ∴（△两条直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴◎（同角的补角相等）， ∴（※内错角相等，两条直线平行）， ∴（□两条直线平行，同位角相等）， 故选：D． 8．A 【分析】本题主要考查了命题的真假判断，绝对值的性质，实数的运算等知识点，根据绝对值的性质对①进行判断；根据实数的运算对②，③，④进行判断即可，熟练掌握其性质并能正解对命题进行判断是解决此题的关键． 【详解】解：①若，则，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ②若，则同时为0，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ③两个负数的差一定是负数，是假命题，如就不成立，不符合题意； ④如果，那么，是假命题，如，就不成立，不符合题意； 故选：A． 9．B 【分析】根据命题、平方根、两条直线位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有相交和平行，即选项A不正确； 平方根是它本身的数只有0，即选项B正确； ∵，且没有平方根 ∴选项C不正确； ∵，的平方根为 ∴选项D不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根、命题、两条直线位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、命题的性质，从而完成求解． 10．同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟记“同旁内角相等，两直线平行”．由此即可求解． 【详解】证明：， （对顶角相等）． ， ． （同旁内角相等，两直线平行）． 故答案为：同旁内角相等，两直线平行． 11． ， 同角的余角相等 【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD. 【详解】解：∵， ∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°， 根据同角的余角相等， ∴∠AOC=∠BOD； 故答案为，同角的余角相等. 【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理. 12．①②③⑤ 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟记平行线的性质及判定方法、对顶角的定义、余角的性质、确定直线的条件等知识．利用平行线的性质及判定方法、对顶角的定义、余角的性质、确定直线的条件等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，正确，是真命题，符合题意； ②直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，简称“垂线段最短”，正确，是真命题，符合题意； ③同角的余角相等，正确，是真命题，符合题意； ④两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题，不符合题意； ⑤两点确定一条直线，正确，是真命题，符合题意． 故答案为：①②③⑤ ． 13．C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 14．8 【分析】该题主要考查了多项式的次数和数轴上点的特征，乘方等知识点，解题的关键是算出m，的值． 根据多项式是“齐次二项式”求出m，再根据在数轴上表示的点在表示的点的右侧距离5个单位长度处，求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是“齐次二项式”， ∴， 解得：， ∵表示的点在表示的点的右侧距离5个单位长度处， ∴， ∴， 故答案为：8． 15．不一定 【分析】寻找一个正整数n，代入代数式求解出结果，使得这个结果不是质数即可． 【详解】解：不一定． ∵当时，，是一个合数， ∴n为正整数时，的值不一定是质数． 【点睛】本题意在让学生继续体会：实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，明白为什么需要证明． 16．（1）， ；（2）；（3）图中的两个矩形不相似，见解析 【分析】（1）根据即可求解出m的值，然后分别求出外围矩形的长为a+2x，宽为b+2x由此求解即可； （2）利用作差法进行求解即可得到答案； （3）假设两个矩形相似那么m=n与事实矛盾，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵矩形草坪的长为a米，宽为b米， ∴草坪的长与宽的比值，外围矩形的长与宽的比值； （2） ， ∵， ∴， ∴； （3）若图中的两个矩形相似，则， ∵， ∴图中的两个矩形不相似． 【点睛】本题主要考查了假设法，分式的混合运算，相似图形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查命题的改写，确定题设、结论是解题的关键． （1）按照“如果……那么……”的形式改写，确定命题的题设和结论即可； （2）按照“如果……那么……”的形式改写，确定命题的题设和结论即可． 【详解】（1）解：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等． 题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：同位角相等． （2）解：如果过已知两点画直线，那么能画且只能画一条直线． 题设：过已知两点画直线，结论：能画且只能画一条直线． 18．(1)3 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可； （2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：这三个命题中，真命题有3个；理由见（2） 故答案为：3； （2）已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平形线的判定定理和性质定理． 19．(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 20．(1)条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；真命题 (2)条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；假命题 (3)条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；真命题 【分析】本题考查命题的真假性，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （2）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （3）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可． 【详解】（1）解：条件：两个角是直角；结论：这两个角相等； 直角为，故原命题是真命题； （2）解：条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等； 绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题； （3）解：条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于； 钝角大于，故两个钝角的和一定大于，故原命题是真命题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$