第26章 反比例函数与一次函数相结合题型总结-2024-2025学年人教版数学九年级下学期

第26章 反比例函数与一次函数相结合题型总结 题型一、函数图像共存问题 【解题思路】 一次函数 y=kx+b(k≠0) k，b的符号 k>0 k <0 大致图像 经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 反比例函数 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 【强化训练】 1、在同一直角坐标系中，函数y＝和y＝kx﹣2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2、函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3、已知抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）. A.  B.   C.   D. 4、在同一坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5、函数y=-kx﹣3与y=（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=（c≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（　　） A．B．C．D． 7、在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 8、在同一直角坐标系中，函数与的大致图象是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 题型二、图象相交与不等式解集或自变量取值范围 【解题思路】 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围。 例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 【强化训练】 1、如图，一次函数为y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）图象交于A（1，t+1），B（t﹣5，﹣1）两点，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为_____． 2、如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点的横坐标分别为，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 3、如图，若一次函数与反比例函数的图象交两点，过点B作轴，垂足为C，且，则不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 4、已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 6、如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、两点，与双曲线交于点、两点，． (1)求，的值； (2)求点坐标并直接写出不等式的解集； 8、如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． （1）求对应的函数表达式； （2）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集． 9、如图，已知一次函数b为常数，的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数为常数，的图象在第二象限内交于点C，作轴于D，若． 求一次函数与反比例函数的解析式； 观察图象直接写出不等式的解集； 题型三、求函数图像相交后几何图形的面积 【解题思路】 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； （3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 【强化训练】 1、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）． （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求△DOC的面积． 2、如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，与x轴交于点E，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积； 3、如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y2=（x）的图像交于点C，连接AB,AC，求的面积． 4、如图，反比例函数的函数与y=2x的图象相交于点C，过直线上一点A（a，8）作AAB⊥y轴交于点B，交反比函数图象于点D，且AB=4BD． （1）求反比例函数的解析式； （2）求四边形OCDB的面积． 题型四、动点问题求点的坐标 【强化训练】 1、如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点M在x轴上，若，求点M的坐标． 2、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标． 3、如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点． （1）k＝　　； （2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：； （3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：　　． 4、在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与一次函数的图象相交于横坐标为3的点A． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如图，已知点在这个一次函数的图象上，点在反比例函数（）的图象上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点.如果点恰好是的中点，求点的坐标． 5、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）． （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD全等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 6、如图，已知一次函数b为常数，的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数为常数，的图象在第二象限内交于点C，作轴于D，若． 求一次函数与反比例函数的解析式； 在y轴上是否存在点P，使得是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． 7、如图，直线反比例函数图象交于点，交y轴于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，将沿射线方向平移，平移后A、O、B的对应点分别为，，，当点恰好落在反比例函数的图象上时，求点的坐标； (3)设，过P作x轴的平行线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求n的取值范围． 8、已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．   (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 9、如图，四边形是菱形，点B在x的正半轴上，直线交y轴于点D轴交x轴于点B，反比例函数的图象经过点． (1)求直线的解析式 (2)如图1，点P是直线上一动点，点M是x轴上一动点（点M不与点O点重合）．当最小时，求点P的坐标； 10、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11、已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点． (1)求反比例函数的关系式； (2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 12、如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．    (1)求反比例函数的表达式： (2)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析 题型一、函数图像共存问题 1、一次函数图像与y轴交点（0，-2）， 排除A，C选项； 反比例函数K值与一次函数K值相等， 两函数图像通过一、三象限或二、四象限，排除D选项，故选：B. 2、解：， 、异号， 当，时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限； 当，时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限． ∴选项A、B、D中图象不符合题意，选项C中图象符合题意， 故选：C． 3、由二次函数图像可得：，∴a “左同右异”，∴b 抛物线与Y轴交于负半轴，∴c； 抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac； x=1时，函数值y=a+b+c，∴由图像得a+b+c， ∴一次函数图像过一、二、三象限；反比例函数图像过二、四象限。 故选：A 4、A 解：当k＞0时，一次函数y=-kx-k 经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限， 当k＜0时，一次函数y=-kx-k经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限． 令-kx-k=，整理得x2+x+1=0， ∵Δ=1-4×1＜0， ∴两函数图象没有交点， 故选：A． 5、排除A，D选项； ， 一次函数过一三、反比例函数过二、四；或者一次函数过二、四，反比例函数过一、三，排除B选项；故选：C 6、【答案】A 【提示】根据二次函数（a≠0）的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0，然后对照四个选项中的图像判定即可． 【详解】解：因为二次函数的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0，所以一次函数y=ax+b经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限．故选：A． 【名师点拨】本题主要考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像等知识点，根据二次函数图像得到a＞0、b＜0、c＜0是解题的关键． 7、【答案】A 【提示】根据a，b的取值分类讨论即可． 【详解】解：若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意； 若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意； 若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意； 若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意．故选：A． 【名师点拨】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键． 8、【答案】B 【详解】解：当k＞0时， 一次函数y=kx-k经过一、三、四象限， 函数的（k≠0）的图象在一、二象限， 故选项②的图象符合要求． 当k＜0时， 一次函数y=kx-k经过一、二、四象限， 函数的（k≠0）的图象经过三、四象限， 故选项③的图象符合要求． 故选：B． 题型二、图象相交与不等式解集或自变量取值范围 1、将点A（1，t+1）代入y2＝ 得，m=t+1，将点B（t﹣5，﹣1）代入反比例函数得，t=2， 点A（1，3），点B（-3，-1）， 当y1＞y2时，x＞1或-3＜x＜0 故答案：x＞1或-3＜x＜0 2、一次函数y值反比例函数y值， 一次函数图像直线在反比例函数图像双曲线上方， 故选：B 3、解：由题知，，即为， 由图象可知，不等式的解集为或， ∵， ∴长为2，底边上的高为， ∴三角形的面积为， ∴， ∵点的图象在反比例函数的图象上， ∴，即， ∵， ∴， ∴不等式的解集为或． 故选：D． 4、【答案】B 详解：解：根据所给的函数图象可知， 图象在直线右侧，且在轴左侧的部分， 一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 即， 图象在直线右侧的部分， 一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 即． 所以当或时，．故选：B． 5、【答案】B 详解：解：∵， ∴ 函数的图象和函数图象如下： 由图象可知，不等式的解集是或，故选：B． 6、【答案】A 【提示】先根据反比例函数图像的对称点求出点的坐标，然后根据的解集即为反比例函数在一次函数上方的部分可得答案． 【详解】解析：正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点， ， 由图像可知，当时，x的取值范围是或， 故选：A． 7、（1）∵点在直线上，∴解得 过作轴于点∴ ∵∴∴∴ ∴在中，令，得∴∴∴． （2）∵点是和交点∴解得， ∵点在第三象限∴∴由图象得，当或时， 不等式的解集为或． 8、【答案】（1），；（2）或 【详解】 解：（1）把点代入反比例函数解析式得：， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴，解得：， ∴， 把点A、B作代入直线解析式得：，解得：， ∴； （2）由（1）及图象可得：当时，x的取值范围为或． 9、解： ， ， ， ， ， ，，， 把A、B两点的坐标分别代入可得，解得， 一次函数解析式为， 反比例函数的图象经过点C， ， 反比例函数的解析式为； 由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围， 即线段包含A点，不包含C点所对应的自变量x的取值范围， ， 的解集为； 题型三、求函数图像相交后几何图形的面积 1、（1），m=1；（2）=1.5； （1）∵点C（1，2）在反比例函数图象上， ∴k=2， ∴反比例函数解析式为， ∵点B（2，m）在反比例函数图象上， ∴m==1． （2）如图，过点C作⊥OA于E，过点D作DF⊥OA于F， ∵C（1，2），D（2，1）， ∴CE=2，DF=1， ∵C、D在一次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为y=-x+3， 当y=0时，x=3， ∴A点坐标为（3，0）， ∴OA=3， ∴=S△AOC-S△AOD===1.5． 2、（1），；（2）3 （1）∵点在双曲线上， ∴，解得，， ∴反比例函数解析式为：， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 则点B的坐标为， 把，代入 得：，解得； ∴一次函数解析式为： （2）对于，当时，， ∴点C的坐标为， ∵点D与点C关于x轴对称， ∴点D的坐标为， ∵点B、D的纵坐标相同 ∴BD⊥y轴，且BD=2 ∵点A到BD的距离为2+1=3 ∴的面积； 3、（1）解：把代入中，， 解得， ∴， 把代入中，， 解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入可得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴C点坐标为， 过点C作轴，交于点， 在中，当时，， ∴， ∴． 类型四，动点问题求动点坐标 1、【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入，可得， 解得， 经检验，是方程的解， ， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，可得， 解得， ， ， ， ， ， ， M在O点左侧时，； M点在O点右侧时，， 综上，M点的坐标为或． 2、【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0） 【详解】解：（1）由题意可得： 点B（3，-2）在反比例函数图像上， ∴，则m=-6， ∴反比例函数的解析式为， 将A（-1，n）代入， 得：，即A（-1，6）， 将A，B代入一次函数解析式中，得 ，解得：， ∴一次函数解析式为； （2）∵点P在x轴上， 设点P的坐标为（a，0）， ∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2， ∴直线AB与x轴交于点（2，0）， 由△ABP的面积为4，可得： ，即， 解得：a=1或a=3， ∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）． 3、【答案】（1）2；（2）见解析；（3），． 【详解】解：（1）点是反比例函数图象上的点， ， 解得， 故答案为：2； （2）在和中， ， ， ， 点坐标为，则可得， ，， 即， 整理得； （3）设点坐标为， 则，， ，， ， 即， 解得（舍去）或， 点的坐标为，． 4、【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵横坐标为3的点A在反比例函数（）的图象上， ∴将代入得， 点A的坐标为， ∵点A在直线上， ∴， ， 一次函数的解析式为； （2）解：设点， ∵点是的中点， ∴点， 点在反比例函数（）的图象上， ， 解得，， 点在第一象限内， 点的坐标为． 5、答案：（1），m=1；（2）=1.5；（3）P（，）或P（-，） （1）∵点C（1，2）在反比例函数图象上， ∴k=2， ∴反比例函数解析式为， ∵点B（2，m）在反比例函数图象上， ∴m==1． （2）设点P坐标为（n，）， ∵C（2，1），D（1，2）， ∴OC=OD， ∵△POC和△POD全等， ∴PC=PD， ∴， 解得：， ∴P（，）或P（，）， ∴双曲线上存在一点P，使得△POC和△POD全等，P（，）或P（，）． 6、答案： 解：， ， ， ， ， ，，， 把A、B两点的坐标分别代入可得，解得， 一次函数解析式为， 反比例函数的图象经过点C， ， 反比例函数的解析式为； ，， ， 是以BC为一腰的等腰三角形， 有或两种情况， 当时，即， ，或， 点坐标为或； 当时，则点C在线段BP的垂直平分线上， 线段BP的中点坐标为， 点坐标为； 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或． 7、【答案】(1)； (2)；(3) 解：（1）∵直线过点， ∴ ∴点的坐标为， 将代入， ∴， ∴； （2）如图所示， ∵沿射线方向平移，直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立直线及反比例函数解析式，得：， 解得：，（舍去） ∴点的坐标为； （3）如图，过作平行于轴的直线如图所示： 在函数中，当时，； 在函数中，当时，； 当点P纵坐标点A纵坐标时，即时， ，即， 令， ， 经检验：，都是原方程的根，不合题意，舍去， 结合函数图像可得：； 当点P纵坐标点A纵坐标时，即时， ，即，同理可得：． 综上所述，． 8、【答案】(1)；(2)；(3)点． 解：（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 9、【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴，即， ∴点A为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点B的坐标为：； 设直线为， ∴， 解得， ∴直线的解析式； （2）连接、，与相交于点P，则，即当有最小值时，有最小值，如图 ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴点C是点O关于的对称点， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 即当时，有最小值， ∵点C是点A向右平移5个单位得到， ∴点C的坐标为：， 把代入，则， ∴点P的坐标为：； 10、【答案】(1)(2)或或 （1）解：把代入一次函数，得，解得，， 把代入反比例函数，得，，反比例函数的表达式为； （2）解：存在，理由如下： 当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即； 当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即； 当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即； 综上，P点坐标为或或． 11、【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：把代入，得，解得，，所以反比例函数解析式是； （2）存在点P使△ABP周长最小，理由： 解和得，和，，和， ， 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段 的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小， △ABP的周长= ， ． 12、【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴反比例函数的表达式； （2）解：如图所示，设直线交y轴于点， ∵，， ∴，，， ∵是以点A为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为或．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$