专题 平行线的性质与判定的综合运用（基础题&提升题&压轴题）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大版）七年级下册数学《第2章 相交线与平行线》 专题 平行线的性质与判定的综合运用 （基础题&提升题&压轴题） 一、基础题 1．（2024秋•武功县期末）如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，还需要添加条件（　　） A．∠B＝∠1 B．∠1＝∠3 C．∠B＝∠3 D．∠B＝∠2 2．（2024秋•丹东期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE 3．（2024秋•莲池区期末）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（　　）度时，AM∥BE． A．15 B．65 C．70 D．115 4．（2024秋•望花区校级期末）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论： ①BC平分∠ABE； ②AC∥BE； ③∠BCD+∠D＝90°； ④∠DBF＝60°． 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2024秋•玉门市期末）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　） A．∠1＝180°﹣∠3 B．∠1＝∠3﹣∠2 C．∠2+∠3＝180°﹣∠1 D．∠2+∠3＝180°+∠1 6．（2024春•泰山区期中）如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．判断直线AB、CE是否平行？并说明理由． 7．（2024秋•德城区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于F．求证：BE∥DF． 8．（2024秋•辉县市校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF． 9．（2024春•平罗县期末）如图，∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°． （1）若∠2＝125°，求∠C的度数； （2）若∠1和∠D互余，你能试着判断AB∥CD吗？ 10．（2024秋•太康县期末）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED． （1）求证：DF∥AB． （2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠C的度数． 11．（2024春•临川区校级月考）如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF，EC平分∠DEF． （1）试说明：AE⊥CE； （2）若∠1＝∠A，∠2＝∠C，试说明：AB∥CD． 2、 提升题 1．（2024秋•北碚区校级期末）如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，AB∥CD，EP与FP交于点P，且∠FEP＝2∠BEP，∠EFP＝3∠DFP，∠BEP＝40°，则∠P＝ 　 　． 2．（2024秋•黔江区期末）将一副三角板如图放置，则下列结论中正确的是（　　） ①如果∠2＝30°，则有AC∥DE； ②∠BAE+∠CAD＝180°； ③如果BC∥AD，则有∠2＝45°； ④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C． A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 3．（2024秋•丹徒区期末）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳，此时∠EDC的大小为　 　． 4．（2024秋•淮阳区校级期末）一副直角三角尺按如图1所示的方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2的位置．在此转动过程中，若BC与三角尺ADE的一直角边平行，则∠CAE的度数为 　 　． 5．（2023秋•芜湖县期中）四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线． 求证： （1）∠1+∠2＝90°； （2）BE∥DF． 6．（2024春•卢龙县期末）如图，∠A＝59°，∠D＝121°，∠1＝3∠2，∠2＝24°，点P是BC上的一点． （1）求∠DFE的度数； （2）若∠BFP＝48°，请判断CE与PF是否平行． 7．（2024春•滨海县月考）已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F， ∠BED＝90° （1）AB与CD平行吗？试说明理由． （2）试探究∠EFD与∠BDE的数量关系，并说明理由． 8．（2024秋•达川区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D，过点D作DF∥BE交AC于点F． （1）求证：DF是∠ADE的平分线； （2）若∠BED＝28°，若∠ACB＝81°，求∠AFD的度数． 9．（2024春•长安区校级期中）如图，直线EF与直线AB，CD分别相交于点M，O，OP，OQ分别平分∠COE和∠DOE，与AB交于点P，Q，已知∠OPQ+∠DOQ＝90°． （1）若∠DOQ：∠DOF＝2：5，求∠FOQ的度数； （2）对AB∥CD说明理由． 10．（2024秋•青山区期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD． （1）求证：CE∥GF； （2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠EHF＝100°，∠D＝30°，求∠AEM的度数． 11．（2024春•双流区校级月考）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上． （1）填空：∠1＝　 　°，∠2＝　 　°； （2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值； （3）如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至第一次与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t（s）．在旋转过程中，是否存在BM∥QN；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 三、压轴题 1．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 　 时，CD与AB平行． 2．（2024秋•徐州校级期末）如图，AB∥CD，，，DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为：　 　． 3．（2024秋•城关区校级期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板ABC的AB边平行于三角板EDC的某一边时（不包含重合的情形），此时t的值为 　 　． 4．如图，已知AB∥CD，P是射线AB上一动点（不与点A重合），CE，CF分别平分∠ACP与∠PCD，分别交射线AB于点E，F． （1）若∠A＝52°，求∠ECF的度数； （2）在点P的运动过程中，∠CPA与∠CFA的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CPA与∠CFA的数量关系； （3）当点P运动到使∠AEC＝∠ACF时，探究∠ACE与∠FCD的数量关系，并证明你的结论． 5．（2024秋•沙坪坝区校级期末）已知，四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°． （1）如图1，若DF平分∠ADC，BE平分∠ABC的邻补角，判断DF与BE的位置关系； （2）如图2，若BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DF与BE的位置关系． 6．（2024秋•双流区期末）已知：AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点P是线段EF上一点，M，N分别在射线EB，FD上，连接PM，PN． （1）如图1，求证：∠MPN＝∠EMP+∠FNP； （2）如图2，当MP⊥NP时，MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，求∠MQN的度数． 7．（2024春•翁源县期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，设∠ACE＝x． （1）填空：∠BCE＝　 ，∠ACD＝　 　；（用含x的代数式表示） （2）若∠BCD＝5∠ACE，求∠ACE 的度数； （3）若三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，当∠BCE等于 　 度时，CD∥AB，请说明理由． 8．【问题情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G． 【问题探究】（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由； 【问题解决】（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 9．（10分）（2024春•望奎县期末）三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°． （1）如图1，求证：CF∥AB； （2）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数． 10．（2024秋•崇川区期末）如图1，点E在BC的延长线上，已知AD∥BE，∠B＝∠D． （1）求证：AB∥CD； （2）连接AE，∠BAE的平分线和∠DCE的平分线所在的直线相交于点F（点F与点C不重合）． ①如图2，若∠BAE＝66°，∠DCE＝70°，且点F在∠DCE平分线的反向延长线上，则∠AFC＝　 　°； ②试探究∠DAE与∠AFC之间的数量关系，并说明理由． 11．（2024春•龙湾区校级期中）如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P． （1）∠EPF与∠PEF相等吗？请说明理由． （2）若∠FHG＝3∠EPF，求∠EFD的度数． （3）点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）七年级下册数学《第2章 相交线与平行线》 专题 平行线的性质与判定的综合运用 （基础题&提升题&压轴题） 一、基础题 1．（2024秋•武功县期末）如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，还需要添加条件（　　） A．∠B＝∠1 B．∠1＝∠3 C．∠B＝∠3 D．∠B＝∠2 【分析】根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，得出∠1＝∠B，再根据平行线的判定定理，找出符合要求的答案． 【解答】解：A、∵∠B＝∠1，可由EF∥AB得出，不用添加，不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意； B、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠1＝∠3，则∠B＝∠3，还是不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意； C、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠3，则∠1＝∠3，还是不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意； D、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠2，则∠1＝∠2，∴DF∥BC，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 2．（2024秋•丹东期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE 【分析】根据平行线的判定和性质一一判断即可 【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°， ∴∠1＝∠3，故A错误． ∵∠2＝30°， ∴∠1＝∠3＝60° ∴∠CAE＝90°+60°＝150°， ∴∠E+∠CAE＝180°， ∴AC∥DE，故B正确， ∵∠2＝45°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝45°， ∵∠E+∠3＝∠B+∠4， ∴∠4＝30°， ∵∠D＝60°， ∴∠4≠∠D，故C错误， ∵∠2＝50°， ∴∠3＝40°， ∴∠B≠∠3， ∴BC不平行AE，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2024秋•莲池区期末）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（　　）度时，AM∥BE． A．15 B．65 C．70 D．115 【分析】根据已知易得：AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC＝60°，再利用三角形内角和定理可得∠ACB＝70°，最后根据内错角相等，两直线平行可得当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，即可解答． 【解答】解：∵AB∥l，CD∥l， ∴AB∥CD， ∴∠BCD＝∠ABC＝60°， ∵∠BAC＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°， ∴当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 4．（2024秋•望花区校级期末）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论： ①BC平分∠ABE； ②AC∥BE； ③∠BCD+∠D＝90°； ④∠DBF＝60°． 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】由BC⊥BD得到∠CBE+∠DBE＝90°，∠BCD+∠D＝90°，则可对③进行判断；再由平行线的性质得∠D＝∠DBF，由角平分线定义得∠DBF＝∠DBE，则∠CBE＝∠BCE，而∠ABC＝∠BCE，所以∠ABC＝∠CBE，则可对①进行判断；接着由BC平分∠ACD得到∠ACB＝∠BCE，所以∠ACB＝∠CBE，根据平行线的判定即可得到AC∥BE，于是可对②进行判断；当∠DBF＝2∠ABC，3∠ABC＝90°，∠ABC＝30°，∠DBF＝60°，利用平行线的性质得到∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，又因为∠D＝∠DBE＝∠DBF，∠D≠∠BED，于是可得∠DBF≠2∠ABC，当则可对④进行判断． 【解答】解：∵BC⊥BD， ∴∠CBD＝90°，即∠CBE+∠DBE＝90°， ∴∠BCD+∠D＝90°，所以③正确； ∵AF∥CD， ∴∠D＝∠DBF， ∵BD平分∠EBF， ∴∠DBF＝∠DBE， ∴∠CBE＝∠BCE， ∵AB∥CE ∴∠ABC＝∠BCE， ∴∠ABC＝∠CBE， ∴BC平分∠ABE，所以①正确； ∵BC平分∠ACD， ∴∠ACB＝∠BCE， ∴∠ACB＝∠CBE， ∴AC∥BE，所以②正确； 当∠DBF＝2∠ABC时，3∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝30°， ∴∠DBF＝60°， ∵∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC， 而∠D＝∠DBE＝∠DBF， ∠D≠∠BED， ∴∠DBF≠2∠ABC， ∴∠DBF≠60°．故④错误． 故正确的结论有3个． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 5．（2024秋•玉门市期末）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　） A．∠1＝180°﹣∠3 B．∠1＝∠3﹣∠2 C．∠2+∠3＝180°﹣∠1 D．∠2+∠3＝180°+∠1 【分析】根据平行线的性质可得到∠2+∠BDC＝180°，∠BDC+∠1＝∠3，从而可找到∠1、∠2、∠3之间的关系． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠2+∠BDC＝180°，即∠BDC＝180°﹣∠2， ∵EF∥CD， ∴∠BDC+∠1＝∠3，即∠BDC＝∠3﹣∠1， ∴180°﹣∠2＝∠3﹣∠1，即∠2+∠3＝180°+∠1， 故选：D． 【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补． 6．（2024春•泰山区期中）如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．判断直线AB、CE是否平行？并说明理由． 【分析】根据角平分线的定义结合对顶角得到∠ECD＝∠ACB，则可证明∠B＝∠ECD，根据平行线的判定即可证明AB∥CE． 【解答】解：AB∥CE，理由如下： 因为CD平分∠ECF， 所以∠ECD＝∠FCD． 因为∠ACB＝∠FCD， 所以∠ECD＝∠ACB． 因为∠B＝∠ACB， 所以∠B＝∠ECD． 所以AB∥CE． 【点评】本题考查了平行线的判定，掌握“同位角相等，两直线平行”是解题的关键． 7．（2024秋•德城区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于F．求证：BE∥DF． 【分析】根据四边形内角和定理及角平分线定义求出∠EBC+∠FDC＝90°，结合直角三角形的性质推出∠EBC＝∠DFC，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解． 【解答】证明：∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠EBC∠ABC，∠FDC∠ADC， ∴∠EBC+∠FDC（∠ABC+∠ADC）＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠FDC+∠DFC＝90°， ∴∠DFC＝∠EBC， ∴BE∥DF． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 8．（2024秋•辉县市校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF． 【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理即可解答． 【解答】解：∵∠3＝∠4（已知）， ∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠EDC＝∠5（两直线平行，内错角相等）， ∵∠5＝∠A（已知）， ∴∠EDC＝∠A（等量代换）， ∴DC∥AB（同位角相等，两直线平行）， ∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 即∠5+∠2+∠3＝180°， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换）， 即∠BCF+∠3＝180°， ∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）． 【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键． 9．（2024春•平罗县期末）如图，∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°． （1）若∠2＝125°，求∠C的度数； （2）若∠1和∠D互余，你能试着判断AB∥CD吗？ 【分析】（1）根据平行线的判定得出CF∥EB，再根据平行线的性质得出∠C+∠2＝180°，据此计算即可得出答案； （2）先根据∠1＝∠B，余角的性质得出∠BFD＝∠D，推出∠BFD＝∠D，即可证明结论． 【解答】（1）解：∵∠1＝∠B， ∴CF∥EB， ∴∠C+∠2＝180°， 又∵∠2＝125°， ∴∠C＝55°； （2）证明：∵∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°， ∴∠1+∠BFD＝90°， 又∵∠1和∠D互余，即∠1+∠D＝90°， ∴∠BFD＝∠D， ∴AB∥CD． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 10．（2024秋•太康县期末）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED． （1）求证：DF∥AB． （2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠C的度数． 【分析】（1）根据DE∥BC，得出∠AED＝∠B，又因为∠1＝∠AED，等量代换得∠B＝∠1，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）根据DE∥BC，得出∠EDF＝∠1＝50°，再根据DF平分∠CDE，得出∠CDF＝∠EDF＝50°，最后在△CDF中利用三角形内角和等于180°即可求解． 【解答】解：（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠B， 又∵∠1＝∠AED， ∴∠B＝∠1， ∴DF∥AB； （2）∵DE∥BC， ∴∠EDF＝∠1＝50°， ∵DF平分∠CDE， ∴∠CDF＝∠EDF＝50°， 在△CDF中， ∵∠C+∠1+∠CDF＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°． 答：∠C的度数为80°． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系． 11．（2024春•临川区校级月考）如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF，EC平分∠DEF． （1）试说明：AE⊥CE； （2）若∠1＝∠A，∠2＝∠C，试说明：AB∥CD． 【分析】（1）根据垂直的定义，角平分线的定义解答即可； （2）根据平行线的判定解答即可． 【解答】证明：（1）∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF， ∴∠1BEF，∠2DEF， ∵∠BEF+∠DEF＝180°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴AE⊥CE； （2）∵∠1＝∠A，∠2＝∠C， ∴∠1+∠A+∠2+∠C＝2（∠1+∠2）＝180°， ∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠2）＝360°﹣2（∠1+∠2）＝180°， ∴AB∥CD． 【点评】此题考查平行线的判定和角平分线的定义，关键是根据平行线的判定定理解答． 2、 提升题 1．（2024秋•北碚区校级期末）如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，AB∥CD，EP与FP交于点P，且∠FEP＝2∠BEP，∠EFP＝3∠DFP，∠BEP＝40°，则∠P＝ 　 　． 【分析】由∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°，得到∠FEP＝80°，∠BEF＝120°，由平行线的性质推出∠EFD+∠BEF＝180°，得到∠EFD＝60°，求出∠EFP60°＝45°，由三角形内角和定理即可得到∠P的度数． 【解答】解：∵∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°， ∴∠FEP＝80°，∠BEF＝3∠BEP＝120°， ∵AB∥CD， ∴∠EFD+∠BEF＝180°， ∴∠EFD＝60°， ∵∠EFP＝3∠DFP， ∴∠EFP60°＝45°， ∴∠P＝180°﹣45°﹣80°＝55°． 故答案为：55°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推∠EFD+∠BEF＝180°． 2．（2024秋•黔江区期末）将一副三角板如图放置，则下列结论中正确的是（　　） ①如果∠2＝30°，则有AC∥DE； ②∠BAE+∠CAD＝180°； ③如果BC∥AD，则有∠2＝45°； ④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C． A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据平行线的性质与判定，余角的性质，等逐项分析并选择正确的选项即可． 【解答】解：①∵∠2＝30°，∴∠1＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正确； ②∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠BAE+∠CAD＝∠2+∠1+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故②正确； ③∵BC∥AD， ∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°， 又∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝45°， ∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故③正确； ④∵∠CAD＝150°，∠DAE＝90°， ∴∠1＝∠CAD﹣∠DAE＝150°﹣90°＝60°， ∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE， ∴∠4＝∠C，故④正确； 故选：D． 【点评】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质与判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 3．（2024秋•丹徒区期末）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳，此时∠EDC的大小为　 　． 【分析】过C作CF∥AB，得到CF∥DE∥AB，根据平行线的性质和角的和差关系即可得出结果． 【解答】解：∵BC⊥AB， ∴∠B＝90°， 过点C作CF∥AB， ∵DE∥AB， ∴CF∥DE∥AB， ∴∠EDC＝180°﹣∠DCF， ∠BCF＝180°﹣∠B＝180°﹣90°＝90°， ∵∠DCF＝∠DCB﹣BCF＝140°﹣90°＝50°， ∴∠EDC＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130°． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是过C作CF∥AB，得到CF∥ED，由平行线的性质来解决问题． 4．（2024秋•淮阳区校级期末）一副直角三角尺按如图1所示的方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2的位置．在此转动过程中，若BC与三角尺ADE的一直角边平行，则∠CAE的度数为 　 　． 【分析】如图，当BC∥DE时，当AD∥BC时，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°； 如图，当AD∥BC时，∠CAE＝45°+60°＝105°； 综上所述，若BC与三角尺ADE的一直角边平行，则∠CAE的度数为15° 或 105°， 故答案为：15° 或 105°． 【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键． 5．（2023秋•芜湖县期中）四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线． 求证： （1）∠1+∠2＝90°； （2）BE∥DF． 【分析】（1）根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC＝180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出； （2）由互余可得∠1＝∠DFC，根据平行线的判定，即可得出． 【解答】证明：（1）∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线， ∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠ADF， ∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴2（∠1+∠2）＝180°， ∴∠1+∠2＝90°； （2）在△FCD中，∵∠C＝90°， ∴∠DFC+∠2＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠DFC， ∴BE∥DF． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握四边形内角和为360度，同位角相等，两直线平行． 6．（2024春•卢龙县期末）如图，∠A＝59°，∠D＝121°，∠1＝3∠2，∠2＝24°，点P是BC上的一点． （1）求∠DFE的度数； （2）若∠BFP＝48°，请判断CE与PF是否平行． 【分析】（1）根据同位角、内错角以及同旁内角的定义，即可得出结论； （2）根据平行线 的判定定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠A＝59°，∠D＝121°， ∴∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠DFE＝∠1， ∵∠1＝3∠2，∠2＝24°， ∴∠DFE＝72°； （2）CE∥PF， 理由：∵∠DFE＝72°， ∴∠BFC＝72°， ∵∠BFP＝48°， ∴∠PFC＝72°﹣48°＝24°， ∵∠2＝24°， ∴∠PFC＝∠2， ∴CE∥PF． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质、同位角、内错角以及同旁内角，解题的关键是：（1）能够找出一个角的同位角、内错角以及同旁内角；（2）得出AB∥CD；（3）熟悉各平行线的判定定理．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角证出两直线平行是关键． 7．（2024春•滨海县月考）已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F， ∠BED＝90° （1）AB与CD平行吗？试说明理由． （2）试探究∠EFD与∠BDE的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠FBD+∠BDE＝90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行． （2）已知∠BED＝90°，那么∠EFD+∠FDE＝90°，将等角代换，即可得出∠EFD与∠BDE的数量关系． 【解答】解：（1）AB与CD平行，理由如下： ∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC， ∴∠FBD∠ABD，∠BDE∠BDC； ∵∠BED＝90° ∴∠FBD+∠BDE＝90°， ∴∠ABD+∠BDC＝180°， ∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行） （2）∠EFD+∠BDE＝90°，理由如下： ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE＝∠FDE； ∴∠BED＝90°＝∠DEF， ∴∠EFD+∠FDE＝90°， ∴∠EFD+∠BDE＝90°． 【点评】此题主要考查了平行线的判定， 平行线的判定定理是解题的关键，难度不大． 8．（2024秋•达川区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D，过点D作DF∥BE交AC于点F． （1）求证：DF是∠ADE的平分线； （2）若∠BED＝28°，若∠ACB＝81°，求∠AFD的度数． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，再利用平行线的性质可得∠DEB＝∠CBE，从而可得∠DEB＝∠ABE，然后再利用平行线的性质可得∠ADF＝∠ABE，∠EDF＝∠DEB，从而利用等量代换可得∠ADF＝∠EDF，即可解答； （2）利用平行线的性质可得∠AED＝∠ACB＝81°，然后利用平行线的性质可得∠EDF＝∠BED＝28°，再利用三角形的外角性质可得∠AFD＝∠FDE+∠DEF＝109°，进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠CBE， ∴∠DEB＝∠ABE， ∵DF∥BE， ∴∠ADF＝∠ABE，∠EDF＝∠DEB， ∴∠ADF＝∠EDF， ∴DF是∠ADE的平分线； （2）解：∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝81°， ∵DF∥BE， ∴∠EDF＝∠BED＝28°， ∵∠AFD是△DFE的一个外角， ∴∠AFD＝∠FDE+∠DEF＝28°+81°＝109°， ∴∠AFD的度数为109°． 【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义，以及平行线的性质是解题的关键． 9．（2024春•长安区校级期中）如图，直线EF与直线AB，CD分别相交于点M，O，OP，OQ分别平分∠COE和∠DOE，与AB交于点P，Q，已知∠OPQ+∠DOQ＝90°． （1）若∠DOQ：∠DOF＝2：5，求∠FOQ的度数； （2）对AB∥CD说明理由． 【分析】（1）由OQ分别平分∠DOE，得到∠EOQ＝∠DOQ，又∠DOQ：∠DOF＝2：5，推出∠EOQ180°＝40°，即可求出∠FOQ＝180°﹣∠EOQ＝140°； （2）由角平分线定义推出∠POQ∠COD180°＝90°，得到∠PQO+∠OPQ＝90°，又∠OPQ+∠DOQ＝90°，得到∠PQO＝∠DOQ，推出AB∥CD． 【解答】解：（1）∵OQ分别平分∠DOE， ∴∠EOQ＝∠DOQ， ∵∠DOQ：∠DOF＝2：5， ∴∠EOQ：∠DOQ：∠DOF＝2：2：5， ∵∠EOQ+∠DOQ+∠DOF＝180°， ∴∠EOQ180°＝40°， ∴∠FOQ＝180°﹣∠EOQ＝140°； （2）∵OP，OQ分别平分∠COE和∠DOE， ∴∠POM∠COM，∠QOM∠DOM， ∴∠POM+∠QOM（∠COM+∠DOM）， ∴∠POQ∠COD180°＝90°， ∴∠PQO+∠OPQ＝90°， ∵∠OPQ+∠DOQ＝90°， ∴∠PQO＝∠DOQ， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查平行线的判定，角平分线定义，关键是掌握平行线的判定方法；由角平分线定义，推出∠POQ∠COD180°＝90°． 10．（2024秋•青山区期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD． （1）求证：CE∥GF； （2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠EHF＝100°，∠D＝30°，求∠AEM的度数． 【分析】（1）根据同位角相等两直线平行，可证CE∥GF； （2）根据平行线的性质可得∠C＝∠FGD，根据等量关系可得∠FGD＝∠EFG，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，再根据平行线的性质可得∠AED与∠D之间的数量关系； （3）根据对顶角相等可求∠DHG，根据三角形外角的性质可求∠CGF，根据平行线的性质可得∠C，∠AEC，再根据平角的定义可求∠AEM的度数． 【解答】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD， ∴CE∥GF； （2）解：∵CE∥GF， ∴∠C＝∠FGD， ∵∠C＝∠EFG， ∴∠FGD＝∠EFG， ∴AB∥CD， ∴∠AED+∠D＝180°； （3）∵∠DHG＝∠EHF＝100°，∠D＝30°， ∴∠CGF＝100°+30°＝130°， ∵CE∥GF， ∴∠C＝180°﹣130°＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠AEC＝50°， ∴∠AEM＝180°﹣50°＝130°． 【点评】考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补． 11．（2024春•双流区校级月考）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上． （1）填空：∠1＝　 　°，∠2＝　 　°； （2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值； （3）如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至第一次与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t（s）．在旋转过程中，是否存在BM∥QN；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据∠2恰好是∠1的倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据∠AQN＝∠ABM画出图形，列方程可解得答案． 【解答】解：（1）∵DG∥EF， ∴∠AQG＝∠ABC＝60°，∠2＝∠ACF＝90°， ∴∠1＝180°﹣60°＝120°； 故答案为：120，90； （2）∵∠2恰好是∠1的倍， ∴90+n， 解得n＝36， ∴n的值是36； （3）存在BM∥NQ，理由如下： 如图：则∠FBM＝（2t）°，∠AQN＝（3t）°， ∵BM∥NQ， ∴∠AQN＝∠ABM＝∠ABF﹣∠FBM， ∴3t＝60﹣2t， 解得t＝12； 如图： ∵BM∥NQ， ∴∠ABM＝∠BQN， ∴2t﹣60＝180﹣3t， 解得t＝48， 综上所述，t的值为12或48． 【点评】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． 三、压轴题 1．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 　 时，CD与AB平行． 【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【解答】解：分三种情况： 如图①，AB与CD在EF的两侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF， 即120°﹣（6t）°＝100°﹣t°， 解得t＝4； 此时（180°﹣60°）÷6＝20， ∴0＜t＜20； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧时， ∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即300°﹣（6t）°＝100°﹣t°， 解得t＝40， 此时（360°﹣60°）÷6＝50， ∴20＜t＜50； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧时， ∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣100°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即（6t）°﹣300°＝t°﹣100°， 解得t＝40， 此时t＞50， ∵40＜50， ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行． 故答案为：4秒或40秒． 【点评】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 2．（2024秋•徐州校级期末）如图，AB∥CD，，，DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为：　 　． 【分析】根据拐角∠F和∠Q的特性，作FT∥CD，QK∥AB，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角∠DFT，∠TFB，∠DQK，∠KQB对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出∠DFB，∠DBQ两者的数量关系． 【解答】解：过点F作FT∥CD，过点Q作QK∥AB ∵AB∥CD， ∴CD∥FT∥QK∥AB， ∴∠DFT＝∠CDF，∠TFB＝∠ABF，∠DQK＝∠GDQ，∠KQB＝∠QBH， ∴∠DFB＝∠DFT+∠TFB＝∠CDF+∠ABF∠DQB＝∠DQK+∠KQB＝∠GDQ+∠QBH， ∵， ∴， ∴， ∵DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE， ∴， ∵∠GDE+∠CDE＝180°，∠HBE+∠ABE＝180°， ∴， ∴∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键． 3．（2024秋•城关区校级期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板ABC的AB边平行于三角板EDC的某一边时（不包含重合的情形），此时t的值为 　 　． 【分析】分情况讨论：当AB∥DE时；当AB∥CE时；当AB∥CD时；结合图形求出∠ACE的度数，即可求出t的值． 【解答】解：如图1，当AB∥DE时， 此时BC与CD重合， ∴∠ACE＝30°+45°＝75°， ∴t＝75°÷5°＝15（s）； 如图2，当AB∥CE时， ∴∠BCE＝∠B＝90°， ∴∠ACE＝90°+45°＝135°， ∴t＝135°÷5°＝27（s）； 如图3，当AB∥CD时， ∴∠BCD＝∠B＝90°， ∴∠ACE＝90°+30°+45°＝165°， ∴t＝165°÷5°＝33（s）； 综上，t＝15或27或33， 故答案为：15或27或33． 【点评】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，关键在于数形结合，分类讨论． 4．如图，已知AB∥CD，P是射线AB上一动点（不与点A重合），CE，CF分别平分∠ACP与∠PCD，分别交射线AB于点E，F． （1）若∠A＝52°，求∠ECF的度数； （2）在点P的运动过程中，∠CPA与∠CFA的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CPA与∠CFA的数量关系； （3）当点P运动到使∠AEC＝∠ACF时，探究∠ACE与∠FCD的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）根据AB∥CD，可得∠A+∠ACD＝180°，从而得到∠ACD＝128°，再由角平分结的定义，可得，即可求解； （2）根据AB∥CD，可得∠CPA＝∠PCD，∠CFA＝∠FCD，再由，可得∠PCD＝2∠FCD，即可求解； （3）根据AB∥CD，可得∠AEC＝∠ECD，再由∠AEC＝∠ACF，可得∠ACE＝∠FCD，即可求解． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠A+∠ACD＝180°， 又∠A＝52°， ∴∠ACD＝128°， ∵CE，CF分别平分∠ACP与∠PCD， ∴，， ∴； （2）在点P的运动过程中，∠CPA与∠CFA的数量关系不随之发生变化，∠CPA＝2∠CFA．理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠CPA＝∠PCD，∠CFA＝∠FCD， 又∵， ∴∠PCD＝2∠FCD， ∴∠BPA＝2∠BDA； （3）∠ACE＝∠FCD．理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠AEC＝∠ECD， ∵∠AEC＝∠ACF， ∴∠ECD＝∠ACF， 即∠ACE+∠ECF＝∠FCD+∠ECF， ∴∠ACE＝∠FCD． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 5．（2024秋•沙坪坝区校级期末）已知，四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°． （1）如图1，若DF平分∠ADC，BE平分∠ABC的邻补角，判断DF与BE的位置关系； （2）如图2，若BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DF与BE的位置关系． 【分析】（1）由题意可知∠ADC＝∠NBC，在△BOG和△COD中，利用三角形内角和求出∠BGO＝∠DCO＝90°即可得结论； （2）再由角平分线的定义可得∠DHF∠ADM＝90°，再由（1）可得BE∥DF． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC+∠NBC＝180°， ∴∠ADC＝∠NBC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADO＝∠CDO， ∵BE平分∠ABC的邻补角， ∴∠OBE＝∠NBE， ∴∠OBE＝CDO， ∵∠DOC＝∠BOE， ∴∠DCO＝∠OGB， ∵∠DCB＝90°， ∴∠BGO＝90°， ∴DF⊥BE； （2）过点D作DH平分∠ADC交BE于点H， 由（1）可知，DH⊥BE， ∵DF平分∠MDC， ∴∠MDF＝∠CDF， ∵BH平分∠ADC， ∴∠DHF∠ADM＝90°， ∴DH⊥BE， ∵DH⊥DF， ∴BE∥DF． 【点评】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义，四边形的内角和定理是解题的关键． 6．（2024秋•双流区期末）已知：AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点P是线段EF上一点，M，N分别在射线EB，FD上，连接PM，PN． （1）如图1，求证：∠MPN＝∠EMP+∠FNP； （2）如图2，当MP⊥NP时，MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，求∠MQN的度数． 【分析】（1）过点P作PH∥AB，证明AB∥PH∥CD得∠MPH＝∠EMP，∠NPH＝∠FNP，∠MPH+∠NPH＝∠EMP+∠FNP，由此即可得出结论； （2）根据角平分线的定义设设∠EMQ＝∠PMQ＝α，∠DNQ＝∠PNQ＝β，则∠EMP＝2α，∠DNP＝2β，进而得∠FNP＝180°﹣2β，∠FNQ＝180°﹣β，然后根据（1）的结论得∠MPN＝∠EMP+∠FNP，∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ，由∠MPN＝∠EMP+∠FNP，得β﹣α＝45°，由∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ即可得出答案． 【解答】（1）证明：过点P作PH∥AB，如图所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥PH∥CD， ∴∠MPH＝∠EMP，∠NPH＝∠FNP， ∴∠MPH+∠NPH＝∠EMP+∠FNP， 即∠MPN＝∠EMP+∠FNP； （2）∵MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP， ∴设∠EMQ＝∠PMQ＝α，∠DNQ＝∠PNQ＝β， ∴∠EMP＝2α，∠DNP＝2β， ∴∠FNP＝180°﹣∠DNP＝180°﹣2β， ∴∠FNQ＝∠FNP+∠PNQ＝180°﹣2β+β＝180°﹣β， ∵MP⊥NP， ∴∠MPN＝90°， 由（1）的结论得：∠MPN＝∠EMP+∠FNP，∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ， 由∠MPN＝∠EMP+∠FNP，得：90°＝2α+180°﹣2β， ∴β﹣α＝45°， ∴∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ＝α+180°﹣β＝180°﹣（β﹣α）＝135°． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，理解垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 7．（2024春•翁源县期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，设∠ACE＝x． （1）填空：∠BCE＝　 ，∠ACD＝　 　；（用含x的代数式表示） （2）若∠BCD＝5∠ACE，求∠ACE 的度数； （3）若三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，当∠BCE等于 　 度时，CD∥AB，请说明理由． 【分析】（1）根据题意直接得出即可； （2）先得出∠BCD＝180°﹣x，再根据∠BCD＝5∠ACE解得x的值即可； （3）分情况讨论求值即可． 【解答】解：（1）由题知，∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣x，∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣x， 故答案为：90°﹣x，90°﹣x； （2）∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD， ∴∠BCD＝90°+（90°﹣x）＝180°﹣x， ∵∠BCD＝5∠ACE， ∴180°﹣x＝5x， 解得x＝30°， 即∠ACE＝30°； （3）若CD∥AB分以下两种情况： ①如图①，此时∠BCD+∠B＝180°， ∵∠B＝60°，∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°+∠BCE， ∴（90°+∠BCE）+60°＝180°， ∴∠BCE＝30°； ②如图②所示， 此时∠BCD＝∠B＝60°， ∵∠DCE＝90°，∠BCE＝∠BCD+∠DCE， ∴∠BCE＝90°+60°＝150°， 综上，当∠BCE等于30或150度时，CD∥AB． 故答案为：30或150． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 8．【问题情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G． 【问题探究】（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由； 【问题解决】（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 【分析】（1）根据平行线的判定得AB∥EF，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行； （2）根据平行线的判定和性质得∠FEA的度数，再运用角平分线定义计算求得∠GEC的度数，进一步求得∠FEC的度数，最后根据平行线的判定得EF∥CD，即可得出结论； （3）分析思路同（2），只是把具体角的度数抽象为字母表示，通过列方程即可得出三者之间的关系． 【解答】（1）解：EF∥CD，理由如下： ∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠AEF＝∠MAE， ∵∠MAE＝45°，∠FEG＝15° ∴∠AEG＝60°， ∵EG平分∠AEC， ∴∠CEG＝∠AEG＝60°， ∴∠CEF＝∠CEG+∠FEG＝75°，∠NCE＝75°， ∴∠NCE＝∠CEF， ∴EF∥CD． （2）解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠FEA+∠MAE＝180°，∠MAE＝140°， ∴∠FEA＝40°，∠FEG＝30°， ∴∠AEG＝70°， ∵EG平分∠AEC， ∴∠CEG＝∠AEG＝70°， ∴∠FEC＝100°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠NCE+∠FEC＝180°， ∴∠NCE＝80°． （3）证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠MAE+∠FEA＝180°， ∴∠FEA＝180°﹣∠MAE， ∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG， ∵EG平分∠AEC， ∴∠GEC＝∠AEG， ∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG， ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴EF∥CD， ∴∠FEC+∠NCE＝180°， ∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°， ∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE， 即∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键掌握平行线的性质与判定． 9．（10分）（2024春•望奎县期末）三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°． （1）如图1，求证：CF∥AB； （2）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成证明； （2）如图2，过点E作EK∥AB，可得CF∥AB∥EK，再根据平行线的性质即可得结论； （3）根据∠EBC：∠ECB＝7：13，可以设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，然后根据∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，13x+7x+100＝180，求出x的值，进而可得结果． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B， ∵∠BCF+∠ADE＝180°． ∴∠BCF+∠B＝180°． ∴CF∥AB； （2）解：如图2，过点E作EK∥AB， ∴∠BEK＝∠ABE＝40°， ∵CF∥AB， ∴CF∥EK， ∴∠CEK＝∠ACF＝60°， ∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°； （3）∵BE平分∠ABG， ∴∠EBG＝∠ABE＝40°， ∵∠EBC：∠ECB＝7：13， ∴设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°， ∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°， ∴13x+7x+100＝180， 解得x＝4， ∴∠EBC＝7x°＝28°， ∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG， ∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 10．（2024秋•崇川区期末）如图1，点E在BC的延长线上，已知AD∥BE，∠B＝∠D． （1）求证：AB∥CD； （2）连接AE，∠BAE的平分线和∠DCE的平分线所在的直线相交于点F（点F与点C不重合）． ①如图2，若∠BAE＝66°，∠DCE＝70°，且点F在∠DCE平分线的反向延长线上，则∠AFC＝　 　°； ②试探究∠DAE与∠AFC之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）先由AD∥BE得∠D＝∠DCE，再根据∠B＝∠D，由此可得∠B＝∠DCE，据此根据平行线的判定可得出结论； （2）①过点F作FM∥AB，延长FC交AE于H，先根据角平分线的定义求出∠BAF＝33°，∠DCH＝35°，再证AB∥FM∥CD，进而得∠AFM＝∠BAF＝33°，∠CFM＝∠DCH35°，然后∠AFC＝∠AFM+∠CFM可得出∠AFC的度数； ②过点F作FN∥AB，延长FC交AE于P，设∠BAF＝α，∠DCP＝β，由角平分线的定义得∠EAF＝∠BAF＝α，∠BAE＝2α，∠DCE＝2∠PCE＝2β，由AB∥CD得∠B＝∠DCE＝2β，由AD∥BE得∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣2β，据此可得∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝180°﹣2（α+β），然后证FN∥AB∥CD，则∠AFN＝∠BAF＝α，∠CFN＝∠DCP＝β，由此得∠AFC＝∠AFN+∠CFN＝α+β，据此即可得出∠DAE与∠AFC之间的数量关系． 【解答】（1）证明：如图1所示： ∵AD∥BE， ∴∠D＝∠DCE， ∵∠B＝∠D， ∴∠B＝∠DCE， ∴AB∥CD； （2）①过点F作FM∥AB，延长FC交AE于H，如图2所示： ∵∠BAE＝66°，AF平分∠BAE， ∴∠BAF∠BAE＝33°， ∵∠DCE＝70°，点F在∠DCE平分线的反向延长线上， ∴CH平分∠DCE， ∴∠DCH∠DCE＝35°， 由（1）可知：AB∥CD， ∴AB∥FM∥CD， ∴∠AFM＝∠BAF＝33°，∠CFM＝∠DCH35°， ∴∠AFC＝∠AFM+∠CFM＝33°+35°＝68°； 故答案为：68． ②∠DAE与∠AFC之间的数量关系是：∠DAE+2∠AFC＝180°，理由如下： 过点F作FN∥AB，延长FC交AE于P，如图3所示： 设∠BAF＝α，∠DCP＝β， ∵AF平分∠BAE， ∴∠EAF＝∠BAF＝α，∠BAE＝2α， ∵点F在∠DCE平分线的反向延长线上， ∴CP平分∠DCE， ∴∠DCE＝2∠PCE＝2β， 由（1）可知：AB∥CD， ∴∠B＝∠DCE＝2β， ∵AD∥BE， ∴∠B+∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣2β， ∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝180°﹣2β﹣2α＝180°﹣2（α+β）， 由（1）可知：AB∥CD， 又∵FN∥AB， ∴FN∥AB∥CD， ∴∠AFN＝∠BAF＝α，∠CFN＝∠DCP＝β， ∴∠AFC＝∠AFN+∠CFN＝α+β， ∴∠DAE＝180°﹣2（α+β）＝180°﹣2∠AFC， 即∠DAE+2∠AFC＝180°． 【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，准确识图，正确地作出辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质，理解角平分线的定义是解决问题的关键． 11．（2024春•龙湾区校级期中）如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P． （1）∠EPF与∠PEF相等吗？请说明理由． （2）若∠FHG＝3∠EPF，求∠EFD的度数． （3）点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数． 【分析】（1）根据角平分线得∠PEA＝∠PEF，再根据AB∥CD得∠PEA＝∠EPF，由此可得出结论； （2）设∠EPF＝α，则∠FHG＝3α，由（1）可知∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α，根据AB∥CD得∠EFD＝∠AEF＝2α，然后根据EF∥GH得2α+3α＝180°，由此解出α即可得出∠EFD的度数； （3）设∠EQF＝β，则∠PEQ＝50°+β，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段GH上时，证明∠1∠EFD，∠2∠AEF，根据AB∥CD得∠1＝∠2，则PE∥FQ，再根据平行线的性质得50°+β+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数；②当点Q在线段GH的延长线上时，过点Q作QR∥CD交EF的延长线于R，证明∠3+∠2＝90°，AB∥QR，则∠AEQ+∠EQR＝180°，进而得∠2+50°+β+∠3+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数；综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）∠EPF与∠PEF相等，理由如下： ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠PEA＝∠PEF， ∵AB∥CD， ∴∠PEA＝∠EPF， ∴∠EPF＝∠PEF； （2）设∠EPF＝α， ∴∠FHG＝3∠EPF＝3α， 由（1）可知：∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α， ∴∠AEF＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEF＝2α， ∵EF∥GH， ∴∠EFH+∠FHG＝180°， 即2α+3α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠EFD＝2α＝72°； （3）设∠EQF＝β， ∵∠PEQ﹣∠EQF＝50°， ∴∠PEQ＝50°+β， ∵点Q为射线GH上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段GH上时，如图1所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH， ∴∠1∠EFD， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠2∠AEF， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD， ∴∠1＝∠2， ∴PE∥FQ， ∴∠PEQ+∠EQF＝180°， 即50°+β+β＝180°， 解得：β＝65°， 即∠EQF＝β＝65°； ②当点Q在线段GH的延长线上时， 过点Q作QR∥CD交EF的延长线于R，如图2所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH，∠3＝∠QFH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH＝∠3， ∴∠RFH＝2∠1＝2∠3， ∵∠RFH＝∠PFE， ∴∠PFE＝2∠3， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠AEF＝2∠2， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴2∠3+2∠2＝180°， ∴∠3+∠2＝90°， ∵AB∥CD，QR∥CD， ∴AB∥QR， ∴∠AEQ+∠EQR＝180°， 即∠2+50°+β+∠3+β＝180°， 解得：β＝20°， ∴∠EQF＝β＝20°， 综上所述：∠EQF的度数为65°或20°． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$