5.3 诱导公式 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

诱导公式 年 级：高一 学 科：数学（人教A版） 1 复习回顾 1. 任意角的三角函数的定义 设任意角 的终边与单位圆交于点 ，则 正弦 sin𝛼=𝑦 余弦 cos𝛼=𝑥 正切 tan𝛼= (𝑥≠0) 2 2. 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 3 3. 三角函数的诱导公式一 大角化小角 4 设角 α 是第一象限角。 （1） 的终边与 π+ 的终边有什么位置关系？（关于原点对称） （2）设  与 π+ 的终边分别交单位圆与点 P，P'， 则点 P 与 P' 有什么位置关系？（关于原点对称） （3），π+ 三角函数值有何关系？（x,y分别互为相反数） y x o P(x,y) (1,0) α ． 公式二： = 探究1 大角化小角 5 y x o P(x,y) (1,0) α ． 设角 α 是第一象限角，利用角 α 的三角函数值，你还能 求出哪些角的三角函数值？ 探究2 1.与 α 终边关于 x 轴对称的角是什么？ -α (-a) 公式三： 6 设角 α 是第一象限角，利用角 α 的三角函数值，你还能 求出哪些角的三角函数值？ 探究2 2.与 α 终边关于 y轴对称呢？（ ) y相同x互为相反数 y x o P(x,y) (1,0) α ． π-α π-α 公式四： 例：sin150°= sin120°= 7 公式一： 公式二： 公式三： 公式四： y x o (1,0) α ． -α π+α π-α 8 × × √ × ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 －1 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 利用诱导公式求三角函数值的步骤 　 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 －tan α ‹#› 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：特殊关系角的终边对称性，诱导公式二、三、四及应用． 2．须贯通：诱导公式一～四在化简、求值、证明过程中，一般遵循如下顺序：负化正→大化小→锐角→求值． 3．应注意：(1)诱导公式中“符号”的确定； (2)三角函数名称不变．　 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 如图，设任意角𝛼的终边与 单位圆的交点 于是: 关于y=x对称的角的三角函数关系？ 公式五 30 证明：sin（+α） = sin[-(-α)] = cos(-α) = cosα cos（+α）= cos[-(-α)] = -sin(-α) = sinα 公式六 31 诱导公式中的角只能是第一象限角吗？ 思考： y x o (1,0) -α ． α π-α π+α 不是 以为第四象限角为例 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数,一般按下面步骤进行: 负角的 三角函数 正角的 三角函数 0～2π 角 的三角函数 锐角的 三角函数 注意：诱导公式可否统一为 的三角函数与α的三角函数之间的关系？ 奇变偶不变，符号看象限. 注意点：把看成锐角 化简 = = = = × × √ × ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ √ √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 3．计算：sin211°＋sin279°＝________． 解析：sin211°＋sin279°＝sin211°＋cos211°＝1. 4．已知cos 81°＝m，那么sin 729°＝________． 解析：sin 729°＝sin(360°×2＋9°)＝sin 9°＝sin(90°－81°)＝cos 81°＝m. 1 m ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 (1)利用诱导公式进行化简求值时，要特别注意函数名称和符号的确定． (2)解题的主要步骤：去负—脱周—化锐． ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子． (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．　 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 1 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 谢 谢 观 看 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)tan 150°＝eq \f(\r(3),3).(　　) (2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．(　　) (3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　) (4)sin(α－π)＝sin α.(　　) 2．(多选)下列各式中，值为 eq \f(1,2)的是(　　) A．sineq \f(5π,6) B．sin(－210°) C．coseq \f(11π,6) D.eq \f(\r(3),2)tan 240° coseq \f(11π,6)＝cos(2π－eq \f(π,6))＝coseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，C错误； eq \f(\r(3),2)tan 240°＝eq \f(\r(3),2)tan(180°＋60°)＝eq \f(\r(3),2)tan 60°＝eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)＝eq \f(3,2)，D错误．故选AB. 解析： sineq \f(5π,6)＝sin(π－eq \f(π,6))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，A正确； sin(－210°)＝－sin(180°＋30°)＝sin30°＝eq \f(1,2)，B正确； 3．化简：eq \f(sin 210°＋cos 120°,tan 225°)＝________． 解析：eq \f(sin 210°＋cos 120°,tan 225°) ＝eq \f(sin（180°＋30°）＋cos（180°－60°）,tan（180°＋45°）) ＝eq \f(－sin30°－cos 60°,tan 45°)＝eq \f(－\f(1,2)－\f(1,2),1)＝－1. 【解析】　由sin(π－α)＝－eq \f(2,3)，得sin α＝－eq \f(2,3)，而α∈(－eq \f(π,2)，0)，于是cos α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－（－\f(2,3)）2)＝eq \f(\r(5),3)，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－eq \f(\r(5),3).故选C. eq \a\vs4\al(二　给值（式）求值) 　(1)若sin(π－α)＝－eq \f(2,3)，且α∈(－eq \f(π,2)，0)，则cos(π＋α)的值为(　　) A．±eq \f(\r(5),3) B.eq \f(\r(5),3) C．－eq \f(\r(5),3) D.eq \f(2,3) －eq \f(1,3) 【解析】　因为cos(α＋eq \f(π,6))＝eq \f(1,3)，所以cos(α＋eq \f(7π,6))＝cos[(α＋eq \f(π,6))＋π]＝－cos(α＋eq \f(π,6))＝－eq \f(1,3). (2)已知α为锐角，若cos(α＋eq \f(π,6))＝eq \f(1,3)，则cos(α＋eq \f(7π,6))＝________． 解析：因为α为锐角，且cos(α＋eq \f(π,6))＝eq \f(1,3)，所以α＋eq \f(π,6)也是锐角， 所以sin(α＋eq \f(π,6))＝eq \r(1－cos2（α＋\f(π,6)）)＝eq \r(1－（\f(1,3)）2)＝eq \f(2\r(2),3). sin(eq \f(5π,6)－α)＝sin[π－(α＋eq \f(π,6))]＝sin(α＋eq \f(π,6))＝eq \f(2\r(2),3). 【变式探究】 (设问变式)本例(2)条件不变，求sin(eq \f(5π,6)－α)＝________． eq \f(2\r(2),3) [跟踪训练1] (1)若tan(π＋α)＝－eq \f(1,2)，则tan(3π－α)的值为(　　) A.eq \f(1,2) B．2 C．－eq \f(1,2) D．－2 解析：由已知得tan(π＋α)＝tan α＝－eq \f(1,2)，所以tan(3π－α)＝－tan α＝eq \f(1,2).故选A. 解析：因为－180°<α<－90°， 所以－105°<75°＋α<－15°， 又cos(75°＋α)＝eq \f(1,3)， 所以sin(75°＋α)＝－eq \r(1－（\f(1,3)）2)＝－eq \f(2\r(2),3)，所以sin(255°＋α)＝sin(180°＋75°＋α)＝－sin(75°＋α)＝eq \f(2\r(2),3). (2)已知cos(75°＋α)＝eq \f(1,3)，且－180°<α<－90°，则sin(255°＋α)＝________． eq \f(2\r(2),3) eq \a\vs4\al(三　利用诱导公式化简) 　(对接教材例2)化简： (1)eq \f(tan（2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α）,cos（α－π）sin（5π－α）)； 【解】　原式＝ eq \f(tan（－α）sin（－α）cos（－α）,cos（π－α）sin（π－α）)＝eq \f(tan αsin αcos α,－cos αsin α) ＝－tan α. (2)eq \f(sin（1440°＋α）cos（1080°－α）,cos（－180°－α）sin（－α－180°）). 【解】　原式＝eq \f(sin（4×360°＋α）cos（3×360°－α）,cos（－180°－α）sin（－α－180°）) ＝eq \f(sin αcos α,－cos αsin α)＝－1. [跟踪训练2] (1)已知f(α)＝ eq \f(tan（π－α）cos（2π－α）cos（π－α）,cos（－α－π）)，则f(－eq \f(25π,6))的值为(　　) A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2) 解析：f(α)＝ eq \f(tan（π－α）cos（2π－α）cos（π－α）,cos（－α－π）) ＝eq \f(－tan αcos α（－cos α）,cos（α＋π）) ＝eq \f(－\f(sin α,cos α)cos α（－cos α）,－cos α)＝－sin α. 所以f(－eq \f(25π,6))＝－sin(－eq \f(25π,6))＝sineq \f(25π,6)＝sin(4π＋eq \f(π,6))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2).故选A. (2)化简：eq \f(sin（α－π）tan（5π－α）,tan（2π－α）cos（－2π－α）)＝__________． 解析：eq \f(sin（α－π）tan（5π－α）,tan（2π－α）cos（－2π－α）) ＝eq \f(－sin α（－tan α）,－tan αcos α)＝－tan α. 解析：由诱导公式可得，cos(－eq \f(16π,3))＝coseq \f(16π,3)＝cos(5π＋eq \f(π,3))＝cos(π＋eq \f(π,3))＝－coseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).故选A. 1．(教材P191T2改编)计算：cos(－eq \f(16π,3))＝(　　) A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2) 解析：因为sin(3π－α)＝sin α＝eq \f(3,5)，α∈(eq \f(π,2)，π)，所以cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－（\f(3,5)）2)＝－eq \f(4,5)，所以tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(3,4).故选BD. 2．(多选)设sin(3π－α)＝eq \f(3,5)，α∈(eq \f(π,2)，π)，以下正确的是(　　) A．tan α＝eq \f(3,4) B．tan α＝－eq \f(3,4) C．cos α＝eq \f(4,5) D．cos α＝－eq \f(4,5) 解：因为sin(53°－α)＝eq \f(1,5)， 所以sin(127°＋α)＝sin[180°－(53°－α)]＝sin(53°－α)＝eq \f(1,5). 3．已知sin(53°－α)＝eq \f(1,5)，且－270°<α<－90°. (1)求sin(127°＋α)的值； 解：因为sin(53°－α)＝eq \f(1,5)，且－270°<α<－90°，所以143°<53°－α<323°，又sin(53°－α)＝eq \f(1,5)>0，所以143°<53°－α<180°， 所以cos(53°－α)＝－eq \r(1－sin2（53°－α）)＝－eq \r(1－（\f(1,5)）2)＝－eq \f(2\r(6),5)， 所以cos(233°－α)＝cos[180°＋(53°－α)]＝－cos(53°－α)＝eq \f(2\r(6),5). (2)求cos(233°－α)的值． 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．(　　) (2)sin(α－eq \f(π,2))＝cos α.(　　) (3)若α为第二象限角，则sin(eq \f(π,2)＋α)＝cos α.(　　) (4)对任意角α， sin(eq \f(π,2)－α)＝sin α都不成立．(　　) 2．(多选)下列结论正确的是(　　) A．sin(α－eq \f(π,2))＝－cos α B．cos(α－π)＝－cos α C．tan(－α－π)＝－tan α D．cos(eq \f(5π,2)＋α)＝sin α 对于B，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α，故B正确； 对于C，tan(－α－π)＝－tan(α＋π)＝－tan α，故C正确； 对于D，cos(eq \f(5π,2)＋α)＝cos(2π＋eq \f(π,2)＋α)＝cos(eq \f(π,2)＋α)＝－sin α，故D错误．故选ABC. 解析：对于A，sin(α－eq \f(π,2))＝－sin(eq \f(π,2)－α)＝－cos α，故A正确； eq \a\vs4\al(二　利用诱导公式化简、求值) 　(1)(对接教材例4)化简： eq \f(sin（π＋α）cos（3π＋α）cos（\f(π,2)＋α）,cos（6π＋α）sin（\f(5,2)π－α）sin（－π－α）)＝(　　) A．－1 B．1 C．tan2α D．－tan α 【解析】　原式＝eq \f(－sin α·（－cos α）·（－sin α）,cos α·cos α·sin α)＝－eq \f(sin α,cos α)＝－tan α.故选D. 【解析】 cos(α－eq \f(π,6))＝cos[(α＋eq \f(π,3))－eq \f(π,2)]＝sin(α＋eq \f(π,3))＝－eq \f(3,5). (2)(对接教材例5)已知sin(α＋eq \f(π,3))＝－eq \f(3,5)，则cos(α－eq \f(π,6))＝________． －eq \f(3,5) 解析：因为cos(α－eq \f(2π,3))＝eq \f(4,5)，即cos[(α－eq \f(π,6))－eq \f(π,2)]＝eq \f(4,5)，所以sin(α－eq \f(π,6))＝eq \f(4,5)，则sin(eq \f(π,6)－α)＝sin[－(α－eq \f(π,6))]＝－sin(α－eq \f(π,6))＝－eq \f(4,5).故选A. [跟踪训练1] (1)若cos(α－eq \f(2π,3))＝eq \f(4,5)，则sin(eq \f(π,6)－α)＝(　　) A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) eq \f(3,2) 解析：由题意知tan α＝－eq \f(3,2)， 则eq \f(cos（\f(π,2)＋α）sin（π＋α）,cos（π－α）sin（3π－α）) ＝eq \f(－sin α（－sin α）,－cos αsin α)＝－eq \f(sin α,cos α) ＝－tan α＝eq \f(3,2). (2)已知tan α＝－eq \f(3,2)，则eq \f(cos（\f(π,2)＋α）sin（π＋α）,cos（π－α）sin（3π－α）)的值为________． eq \a\vs4\al(三　利用诱导公式证明恒等式) 　求证：eq \f(cos（π－θ）,cos θ[sin（\f(3π,2)－θ）－1])＋ eq \f(cos（2π－θ）,cos（π＋θ）sin（\f(π,2)＋θ）－sin（\f(3π,2)＋θ）)＝eq \f(2,sin2θ). 【证明】　等式左边 ＝eq \f(－cos θ,cos θ（－cos θ－1）)＋eq \f(cos θ,－cos θ cos θ＋cos θ) ＝eq \f(1,1＋cos θ)＋eq \f(1,1－cos θ)＝eq \f(2,1－cos2θ)＝eq \f(2,sin2θ)＝等式右边，所以原等式成立． [跟踪训练2] 求证：eq \f(2sin（θ－\f(3π,2)）cos（θ＋\f(π,2)）－1,1－2sin2（π＋θ）)＝eq \f(tan（9π＋θ）＋1,tan（π＋θ）－1).　 证明：等式左边 ＝eq \f(2sin（θ＋\f(π,2)）（－sin θ）－1,1－2sin2θ) ＝eq \f(－2sin θ cos θ－1,1－2sin2θ) ＝eq \f(－2sin θcos θ－（sin2θ＋cos2θ）,sin2θ＋cos2θ－2sin2θ) ＝eq \f(－（sin θ＋cos θ）2,（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）) ＝eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ). 等式右边＝eq \f(tan（π＋θ）＋1,tan（π＋θ）－1)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1) ＝eq \f(\f(sin θ,cos θ)＋1,\f(sin θ,cos θ)－1)＝eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ). 所以原等式成立． 解析：因为sin(eq \f(π,2)－α)＝eq \f(3,5)，所以cos α＝eq \f(3,5).故选D. 1．(教材P195 T5改编)已知sin(eq \f(π,2)－α)＝eq \f(3,5)，则cos α＝(　　) A．－eq \f(4,5) B.eq \f(4,5) C．－eq \f(3,5) D.eq \f(3,5) 2．(多选)cos(eq \f(π,4)＋α)＝(　　) A．sin(eq \f(5π,4)＋α) B．sin(eq \f(π,4)－α) C．cos(－eq \f(3π,4)＋α) D．cos(eq \f(7π,4)－α) sin(eq \f(π,4)－α)＝sin[eq \f(π,2)－(eq \f(π,4)＋α)]＝cos(eq \f(π,4)＋α)，B正确； cos(－eq \f(3π,4)＋α)＝cos(－π＋eq \f(π,4)＋α)＝－cos(eq \f(π,4)＋α)，C错误； cos(eq \f(7π,4)－α)＝cos[2π－(eq \f(π,4)＋α)]＝cos(eq \f(π,4)＋α)，D正确．故选BD. 解析：sin(eq \f(5π,4)＋α)＝sin[π＋(eq \f(π,4)＋α)]＝－sin(eq \f(π,4)＋α)，A错误； 3．(教材P194练习T3改编)化简：eq \f(sin（\f(3π,2)－α）tan（α－3π）,cos（α＋\f(π,2)）)＝________． 解析：eq \f(sin（\f(3π,2)－α）tan（α－3π）,cos（α＋\f(π,2)）) ＝eq \f(（－cos α）tan α,－sin α)＝eq \f(（－cos α）·\f(sin α,cos α),－sin α)＝1. 4．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，求证：sin(eq \f(A,2)＋eq \f(π,4))＝cos(eq \f(B＋C,2)－eq \f(π,4))． 证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π，则eq \f(B＋C,2)＝eq \f(π－A,2).所以cos(eq \f(B＋C,2)－eq \f(π,4))＝cos(eq \f(π－A,2)－eq \f(π,4))＝cos(eq \f(π,2)－eq \f(A,2)－eq \f(π,4))＝cos[eq \f(π,2)－(eq \f(A,2)＋eq \f(π,4))]＝sin(eq \f(A,2)＋eq \f(π,4))，故原等式得证． 1．已学习：诱导公式五、六及应用，利用诱导公式进行化简、求值与证明． 2．须贯通：诱导公式可以统一概括为“k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)”，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原三角函数值的符号． 3．应注意：(1)诱导公式中“符号”的确定； (2)三角函数名称改变．　 $$