5.1.2 弧度制 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第5章 三角函数 5.1.2 弧度制 复习回顾：0°-360° 任意角 象限角（轴线角） 终边相同的角（角位于多个终边问题) 区域角 n分之a角所在区域的判断 姚明身高 姓名：姚明 身高： 7尺6寸 体重：310磅 英文名：Yao Ming 身高：226厘米 体重：134公斤 思考：度量长度单位有哪些？度量重量又有哪些？ 1. 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？ 4. 在角度制下，当把两个带着度、分、秒为单位的角相加、相减时，由于运算进率不是十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？ 3. 角度制的单位有：度、分、秒。1度=60分，1分=60秒 情境导入 2.用“度”作单位来度量角的单位制称作 “角度制”， 规定：1度的角等于周角的 （2）分别计算对应弧长与半径之比. 探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？ （1）分别计算相对应的弧长l（ ）; 角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3,4时， 半径r r1=1 r2=2 r3=3 r4=4 弧长l 弧长与半径的比值 （1）当n=300时 思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？ ①圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关； ②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关； （2）当n=600时，请同学们自己计算一下 2.弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。 一、弧度的概念 O A B r 1rad l =r 1.1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用符号rad表示，读作弧度。 3.我们把半径为1的圆叫做单位圆，在单位圆中， 长等于1，就是1弧度的角 （ AB 一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。 4.弧度的计算公式： （弧度的绝对值等于弧长除以半径） 注意：α的正负由角α的终边的旋转方向决定 ①半圆所对的圆心角为： ②整圆所对的圆心角为： 思考：半圆与整圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？ 一般地，只需根据       两边同除以180 两边同除以π 就可以进行角度和弧度的换算了. 弧度数=角度数× 角度数=弧度数×     二、角度与弧度的换算 练习（P174）：填写一下特殊角的度数与弧度数的对应表： 度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360° 弧度 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数解R之间建立起一一对应关系。 正角 零角 负角 正实数 0 负实数 √　 × √　 √　 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 3．若圆O上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角(正角)的大小为________． 解析：圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角． 1弧度 新知学习 探究 返回导航 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(包含边界)的角θ的集合是______________________________． 新知学习 探究 返回导航 例2.若用R表示圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角， 是扇形弧长，S是扇形面积，利用弧度制证明下列关于扇形的公式：         显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.         三、弧长公式与扇形面积公式 　(对接教材例6)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝120°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； 新知学习 探究 返回导航 (2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角． 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (综合变式)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] 已知扇形的圆心角为α(α>0)，半径为r. (1)若α＝2，r＝2，求扇形的周长和面积； 新知学习 探究 返回导航 (2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的周长最小时，圆心角α的值． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 3．已知扇形的弧长为20π cm，面积为300π cm2，求： (1)扇形的半径r； 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：弧度制的概念；角度制与弧度制的互化；弧度制的应用． 2．须贯通：角度制与弧度制是两种不同度量角的制度，任何一个角无论是以弧度为单位还是以角度为单位，都是一个与半径无关的定值，并且它们之间存在着一定的换算关系． 3．应注意：(1)弧度与角度不能混用； (2)弧长公式、扇形的面积公式的圆心角必须以弧度为单位．　 课堂巩固 自测 返回导航 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)1 rad的角比1°的角要大．(　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　　) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．(　　) (4)1°的角是周角的eq \f(1,360)，1 rad的角是周角的eq \f(1,2π).(　　) 解析：设扇形弧长为l，圆心角为α，半径为r，则α＝eq \f(l,r)＝eq \f(120,100)＝eq \f(6,5) rad.故选B. 2．要在半径OA＝100 cm的圆形金属板上截取一块扇形板OAB，使弧AB的长为120 cm，则圆心角∠AOB＝(　　) A.eq \f(5,6) rad B.eq \f(6,5) rad C.eq \f(3,5) rad D.eq \f(5,3) rad 　(多选)下列转化结果正确的是(　　) A．47°30′化成弧度是eq \f(19,72)π B．－eq \f(10,3)π化成角度是－600° C．－150°化成弧度是－eq \f(7,6)π D.eq \f(π,12)化成角度是15° 对于C，－150°＝－150×eq \f(π,180)＝－eq \f(5,6)π，故C错误； 对于D，eq \f(π,12)＝eq \f(1,12)×180°＝15°，故D正确．故选ABD. 【解析】　对于A，47°30′化成弧度是eq \f(π,180)×47.5＝eq \f(19,72)π，故A正确； 对于B，－eq \f(10,3)π＝－eq \f(10,3)×180°＝－600°，故B正确； (2)将－157°30′化成弧度为________． －eq \f(7π,8) 解析：－157°30′＝－157.5°＝－eq \f(157.5,180)×π＝－eq \f(7π,8). [跟踪训练1] (1)200°的弧度数为(　　) A.eq \f(7π,10) B.eq \f(10π,9) C．9π D．10π 解析：由200×eq \f(π,180)＝eq \f(10π,9).故选B. eq \a\vs4\al(三　弧度制的应用) 角度1　用弧度表示角 　(1)与60°角终边相同的角的集合是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·360°＋\f(π,4)，k∈Z)) B．{α|α＝2kπ＋60°，k∈Z} C．{α|α＝2k·360°＋60°，k∈Z} D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)) 【解析】　对于A，B，弧度和角度属于不同度量单位，不能混用，A，B错误； 对于C，D，因为60°换算成弧度制为eq \f(π,3)，所以与60°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}或{α|α＝2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z}，C错误，D正确．故选D. 【解析】　由题图，终边OB对应角为2kπ－eq \f(π,6)，k∈Z，终边OA对应角为2kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z，所以终边落在题图中阴影部分角θ的集合是[2kπ－eq \f(π,6)，2kπ＋eq \f(3π,4)]，k∈Z. [2kπ－eq \f(π,6)，2kπ＋eq \f(3π,4)]，k∈Z 【解】　由题意知α＝120°＝eq \f(2π,3)，所以弧长l＝αR＝eq \f(2π,3)×10＝eq \f(20π,3)(cm)． 【解】　由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2R＋αR＝10，,\f(1,2)αR2＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝1，,α＝8)) (舍去)或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝4，,α＝\f(1,2)，))故扇形的圆心角为eq \f(1,2) rad. 解：由题意知l＋2R＝20， 所以S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5 cm时，S取得最大值，最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad. 解：由题意可得扇形的周长C＝2r＋αr＝2×2＋2×2＝8， 面积S＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)×2×4＝4. 解：由题意可得S＝eq \f(1,2)αr2，则αr＝eq \f(2S,r)，则扇形周长为C＝2r＋αr＝2r＋eq \f(2S,r)≥2eq \r(2r·\f(2S,r))＝4eq \r(S)，当且仅当2r＝eq \f(2S,r)，即r＝eq \r(S)时等号成立，此时α＝eq \f(2S,r2)＝2. 即扇形的周长取最小值4eq \r(S)时，α＝2. 解析：因为－eq \f(2π,3)经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限，故α＝－eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z，经过第一、三象限．故选B. 1．若α＝－eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z，则α终边所在象限为(　　) A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 2．(多选)(教材P175练习T1，T2改编)下列转化结果正确的是(　　) A．150°化成弧度是eq \f(5π,6) B．－eq \f(π,4)化成角度是45° C．－120°化成弧度是－eq \f(2π,3) D.eq \f(π,6)化成角度是30° －120°化成弧度是－eq \f(2π,3)，C选项正确； eq \f(π,6)化成角度是30°，D选项正确．故选ACD. 解析： 150°化成弧度是eq \f(5π,6)，A选项正确； －eq \f(π,4)化成角度是－45°，B选项错误； (2)扇形圆心角θ的弧度数． 解：由题意得扇形圆心角θ＝eq \f(20π,30)＝eq \f(2π,3). 解：由题得300π＝eq \f(1,2)×20πr，解得r＝30 cm. $$