5.1.1 任意角 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.1 任意角 第五章 三角函数 学习目标 了解角的运算 了解任意角的概念，区分正角、负角与零角 了解象限角的概念. 理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合. 2 研究背景、预备知识 建立函数概念 研究函数图像性质 函数性质的应用 研究函数的一般路径 （一）绪论 3 5.1.1 任意角 第一章节 （1）概念：一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角. 始边：射线的起始位置（OA）. 终边：射线的终止位置（OP）. 顶点：射线的端点（O）. （2）表示方法： 角的三要素 （二）温故知新 角的范围：0 （4）角的范围推广的必要性 圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转， P点位置呈周期性变化，此时角的大小又如何计 算呢？ 借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围 ❶ 怎样来刻画放映机的两个齿轮旋转的角度呢？ （4）角的范围推广的 必要性 (三)角的概念的推广 这些例子表明，由运动产生的有些角不在0°～360°范围内，而且需要明确的方向,如何解决这一问题呢? 类比数的扩充我们怎么来扩充角的范围？ （三）角的概念的推广 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 正角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 负角 如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.（ ） 零角 A B O + O A B - 0°～360° 推广 任意角 新概念在已有概念的基础上多了用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量） (1)旋转中心：作为角的顶点. (2)旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，，我们把这对意义相反的量用正负数来表示，； (3)旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º . 没做任何旋转时是零角. 新老概念的对比 我们把角的概念推广到了 任意角 ，包括 正角 、 负角 和____零角___________. 例题解析 如图所示，已知锐角 ，写出下图中箭头所示角的度数. (1)： ; (2) . 1. 角的加法 当α与β旋转量相同且旋转方向相同，则称α= β. O A B C α β 从OA旋转到OB记为，再以OB为始边旋转到OC，记为，此时AOC称为α与 β的和，记为α+β. （四）角的运算 2. 角的减法 （2）角的减法：α-β= α+（- β ） α -α （1）相反角：当两个角旋转量相同且旋转方向相反，则称它们互为相反角. 从OA旋转到OB记为，再以OB为始边旋转到OC，记为，此时AOC称为α与 β的差，记为α-β. （问）：类比我们把任意实数和数轴上的点一一对应， 我们可以把角怎么规定，会让我们的研究更方便？ （五）直角坐标系内的角 你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？ （1） （2)角的分类（以终边位置为分类标准) 象限角 ：通常在平面直角坐标系中讨论角．将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，此时角的终边在第几象限，就称这个角为第几象限角． 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 A B A A A B B B 角的分类 界限角(轴线角） 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为界限角. 例0°、90°、180°、270°、360°均为界限角。 0° 90° 180° 270° 请举几个轴线角？ ❶把角放在直角坐标系中后，给定一个角， 角的终边是否唯一确定？ 对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角是否唯一？ （六）对终边相同的角关系的探究 思考： 多对一 x y o 300 3900 3900= 3600+ 300 －3300= －3600+ 300 ○ 数学探究 x y o α 3600+α －3600+α β＝－3600+α β＝3600+α ○ 数学探究3 x y o α 2×3600+α β＝－3600+α β＝3600+α β＝ 2×3600+α ○ 数学探究3 x y o α －2×3600+α 结论：与α终边相同的角β＝ k∈Z k·3600＋α, β＝ －2×3600+α β＝－3600+α β＝3600+α β＝ 2×3600+α ○ 数学探究 终边相同的角（周期性） k的两层含义： 所有与终边相同的角，连同在内， 可以构成一个集合： （六）对终边相同的角关系的探究 （七）概念辨析 1.判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)： （1）锐角是第一象限角； （ ） （2）第一象限角是锐角； （ ） （3）第二象限角一定是钝角（ ） （4）第二象限角一定比第一象限角大.（ ） x y o 405° 第一象限角 x y o -200° 第二象限角 (1)√ (2)× (3)× (4)× 角度1　求与已知角终边相同的角 　 (对接教材例1)已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； 【解】　与角α终边相同的角为β＝－1 845°＋k·360°(k∈Z)， 当k＝5时，β＝－45°，当k＝6时，β＝315°， 故在与α终边相同的角中，最小的正角为315°. ‹#› 新知学习 探究 返回导航 (2)最大的负角； 【解】　由(1)可知，在与α终边相同的角中，最大的负角为－45°. (3)－360°～720°之间的角． 【解】　由(1)知，当k＝4时，β＝－405°；当k＝5时，β＝－45°，当k＝6时，β＝315°； 当k＝7时，β＝675°；当k＝8时，β＝1 035°. 因此，在与α终边相同的角中，在－360°～720°之间的角为－45°，315°，675°. ‹#› 新知学习 探究 返回导航 角度2　终边在已知直线上的角的表示 　 写出终边在下图所示的直线上的角的集合． ‹#› 新知学习 探究 返回导航 【解】　(1)由题图1易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为 S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝－45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}∪{β|β＝－45°＋2(k＋1)·180°，k∈Z} ＝{β|β＝－45°＋n·180°，n∈Z}． ‹#› 新知学习 探究 返回导航 (2)同理由题图2可得终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}， 由(1)得终边在直线y＝－x上的角的集合为{β|β＝－45°＋k·180°，k∈Z} ＝{β|β＝－45°＋2k·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋(2k－1)·90°，k∈Z}， 所以终边在直线y＝x上和在直线y＝－x上的角的集合为 S＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k－1)·90°，k∈Z} ＝{β|β＝45°＋n·90°，n∈Z}． ‹#› 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] (1)(多选)与－330°角终边相同的角是(　　) A．390° B．－30° C．30° D．－370° 解析：因为390°＝－330°＋2×360°，－30°＝－330°＋300°，30°＝－330°＋360°，－370°＝－330°－40°，所以，与－330°角终边相同的角是390°，30°.故选AC. √ √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 (2)已知角α＝2 024°，则角α的终边落在第______象限． 解析：由题意得α＝2 024°＝5×360°＋224°，由于224°角的终边在第三象限，故角α的终边落在第三象限． 三 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 {β|β＝30°＋n·180°，n∈Z} ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 【解】　(1)在0°～360°范围内，题图1中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为135°，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为300°，因此，阴影部分区域所表示的角的集合为{α|k·360°＋135°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． (2)题图2中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为{α|－60°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|2k·180°－60°<α<2k·180°＋45°，k∈Z}， ‹#› 新知学习 探究 返回导航 题图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为 {α|120°＋k·360°<α<225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|(2k＋1)·180°－60°<α<(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}， 因此，阴影部分区域所表示的角的集合为 {α|2k·180°－60°<α<2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°－60°<α<(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|n·180°－60°<α<n·180°＋45°，n∈Z}． ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ √ √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 (2)已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围． 解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}， 终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在题图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}． ‹#› 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 1．下列与44°角终边相同的角为(　　) A．326° B．－326° C．342° D．－316° 解析：与44°角终边相同的角为44°＋k·360°(k∈Z)， 当k＝－1时，44°－360°＝－316°，故D正确；其他选项经验证均不成立．故选D. √ ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 1．下列与44°角终边相同的角为(　　) A．326° B．－326° C．342° D．－316° 解析：与44°角终边相同的角为44°＋k·360°(k∈Z)， 当k＝－1时，44°－360°＝－316°，故D正确；其他选项经验证均不成立．故选D. √ ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ √ ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 解析：由题知，因为α是锐角，所以0°<α<90°，对于A，所以180°<180°＋α<270°，故A正确； 对于B，C，0°<2α<180°，故B正确，C错误； ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 3．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是_________________________________________．　 解析：终边落在题图中阴影部分第二象限最左边的角为k·360°＋120°，k∈Z，终边落在题图中阴影部分第四象限最左边的角为k·360°－45°，k∈Z.所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}． {α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 4．(教材P171T5改编)写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～ 1 080°范围内与75°角终边相同的角． ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 任意角 角的运算 角的概念的推广 直角坐标系下的角 角的周期性 课堂小结 轴线角 象限角 加法 减法 终边相同的角 终边在同一 直线上的角 负角 零角 正角 (3)终边在直线y＝eq \f(\r(3),3)x上的角β的集合S＝____________________________． 解析：在0°～360°范围内，终边在直线y＝eq \f(\r(3),3)x上的角有两个，即30°，210°(如图)， 所以终边在直线y＝eq \f(\r(3),3)x上的角的集合是 S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋n·180°，n∈Z}． eq \a\vs4\al(四　区域角) 角度1　区域角的集合表示 　写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． 角度2　象限角的集合表示 　若α是第一象限角，则角2α，eq \f(α,2)各是第几象限角？ 【解】　因为α是第一象限角， 所以k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，(*) 所以k·720°<2α<k·720°＋180°(k∈Z)． 故2α是第一或第二象限角或是终边在y轴的非负半轴上的角． 方法一：由(*)式得k·180°<eq \f(α,2)<k·180°＋45°(k∈Z)．　 ①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)， 得n·360°<eq \f(α,2)<n·360°＋45°(n∈Z)，这表明eq \f(α,2)是第一象限角． ②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋180°<eq \f(α,2)<n·360°＋225°(n∈Z)，这表明eq \f(α,2)是第三象限角． 综合①②知，eq \f(α,2)是第一或第三象限角． 方法二：如图，将各象限分成两等份，再从x轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域(阴影部分)即为eq \f(α,2)的终边所在的区域，故eq \f(α,2)是第一或第三象限角． 【变式探究】 1．(条件变式)若α是第三象限角，则eq \f(α,2)是第几象限角？ 解：如例4方法二解析图所示，标有Ⅲ的区域即为eq \f(α,2)的终边所在的区域，故eq \f(α,2)是第二或第四象限角． 2．(设问变式)若α是第一象限角，则eq \f(α,3)是第几象限角？ 解：如图，将各象限分成三等份，再从x轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域(阴影部分)即为eq \f(α,3)的终边所在的区域，故eq \f(α,3)是第一、第二或第三象限角． 由α所在象限确定nα或eq \f(α,n)所在象限的方法 (1)用不等式表示α的范围，再确定nα或eq \f(α,n)的范围，再判断角所在象限． (2)数形结合法，等分象限，确定角所在象限，即求eq \f(α,n)所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按逆时针方向顺序标记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，找到原象限数字即可．　 解析：因为角eq \f(θ,2)的终边在第三象限，所以180°＋k·360°<eq \f(θ,2)<270°＋k·360°，k∈Z，所以360°＋k·720°<θ<540°＋k·720°，k∈Z.所以θ的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴．故选ABC. [跟踪训练2] (1)(多选)角eq \f(θ,2)的终边在第三象限，则θ的终边可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限 2．(多选)(教材P171T1改编)已知α是锐角，则(　　) A．180°＋α是第三象限角 B．2α是小于180°的正角 C．2α是第一或第二象限角 D.eq \f(α,2)是锐角 对于D，0°<eq \f(α,2)<45°，故D正确．故选ABD. 解：与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}． 当360°≤β≤1 080°，即360°≤k·360°＋75°≤1 080°时，解得eq \f(19,24)≤k≤eq \f(67,24). 又k∈Z，所以k＝1或k＝2. 当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°. 综上所述，在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角为435°和795°. $$