专题2.7 探索直线平行的条件（分层练习精选精练）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.7 探索直线平行的条件（分层练习精选精练） 本专题分为【夯实基础】【培优拓展】【链接中考】三部分，其中【夯实基础】70分，【培优拓展】60分，【链接中考】20分，合计150分. 第一部分：夯实基础 1、 选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，直线，被直线所截，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，由邻补角的性质求出，由平行线的性质推出．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，得到，即可求出的度数． 解：， ， ， ， ， 故选：D． 3．（22-23七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，，与相交于点C，且，，若，则n的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．过C点作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，，依此即可求解． 解：如图，过C点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选D． 4．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，将一块直角三角板的顶点与直尺的一边重合，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．结合图形，利用平行线的性质和平角的定义求解即可． 解：依题意： 又 故选：B 5．（2024七年级下·全国·专题练习）一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的应用．首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 解：A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相同，故本选项符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意； C、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意． 故选：A． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，某煤气公司铺设煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设．若，，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过作，得到，继而得到，得出，根据平行线的性质即可求解． 解：如图，过作， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，分别为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过E作，根据平行线的性质即可得到，再根据，分别为的角平分线，即可得出，最后根据四边形内角和进行计算即可解答． 本题主要考查了平行线的性质、角平分线等知识，正确作出辅助线构造平行线成为解题的关键． 解：如图所示，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，分别为的角平分线， ∴， ∴四边形中，． 故选：D． 8．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为．．．．．按此规律维续操作，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数字类规律探究；根据题意得出，即可求解． 解：如图所示，过点作，    ∵， ∴， 又∵是和的角平分线 ∴， ∴ 同理可得， ∴ ∴ 故选：D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（17-18七年级下·重庆荣昌·阶段练习）如图所示，若，，和互余，则 ， ． 【答案】 【分析】由平行线的性质可知，根据和互余可求得，最后根据平行线的性质可求得．本题主要考查的是平行线的性质、余角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 解：∵， ∴． ∵和互余， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：；． 10．（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是过C作，得到，由平行线的性质来解决问题． 过C作，得到，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案． 解：过C作， ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，则= ． 【答案】 【分析】此题考查的是平行线的判定与性质、平行公理及推论，掌握其性质定理是解决此题的关键．如图，过点作的平行线，则有，进而根据平行线的性质及平角的意义可进行求解 解：如图，过点作的平行线， ，， ． ∵， ， ， ． ∵，， ∴； ； 故答案为． 12．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，四边形为长方形，点、分别为、边上一点，将长方形沿翻折，点、分别落在、处，若，则 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、折叠，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据长方形的性质可得出,，根据折叠的性质及对顶角相等可得出，利用代入化简即可得出答案． 解：四边形为长方形， ，， , 将长方形沿翻折， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图，两条平行直线，被直线所截，分别交于点、；、分别平分和交于点、． （1）若，则 ． （2）在（1）条件下，在线段上有一动点，当最短时， ． 【答案】 【分析】（1）本题考查了角平分线的定义以及平角的运算，先得出，结合，进行计算，即可作答． （2）因为当最短，则，结合在（1）条件下, ，得出，借助平行线的性质，得出，再进行角的运算，即可作答． 解：如图： ∵、分别平分和交于点、． ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：； （2）如图： ∵线段上有一动点， 最短 ∴，即 ∵在（1）条件下, ∴ ∵ ∴ 则 故答案为： 14．（23-24七年级下·浙江温州·期中）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点C，D处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，B）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点O处．A、B处于同一水平高度，已知反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角，则太阳光线与水平面夹角 ；若反射光线与水平线的夹角是时，则 ． 【答案】 53 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，根据题意的新定义内容，作出法线，结合已知角，得出，再利用角的运算，得出，结合光线是平行的，得出，结合已知角以及角的和差关系列式代入数值，进行计算，即可作答． 解：如图：分别作出两个定日镜的法线： ∵反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵光线是平行的 ∴ ∵反射光线与水平线的夹角是时 ∴ ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 故答案为：，53 三、解答题（本大题共4小题，共28分） 15．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·期末）阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，点在同一直线上，点在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图（2），延长交于点． （已知）， （_______） 又（_______）， _______（等量代换）， （_______）， （_______）． 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （_______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键． 平行线的性质：两直线平行，同位角相等； 两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等； 平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 解：证明：如图（2），延长交于点． （已知）， （两直线平行，内错角相等） 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换． 16．（本小题满分8分）（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得，从而得到，可求得，即可判定； （2）结合（1）可得，，从而可求的度数． 本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 解：（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ． 由（1）可得：，， ，， ． 17．（本小题满分10分）（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． （1）如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． （2）如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】（1），理由见分析；（2）不成立，，理由见分析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 解：（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 18．（本小题满分10分）（22-23八年级下·河南郑州·开学考试）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作， ∵， ∴ 又∵， ∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能． 方法运用： 如图2，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如上方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求的度数． 【答案】． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点G做的平行线，则，由平行线的性质得到，，进而得到，据此可得答案． 解：如图所示，过点G做的平行线 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵． ∴． 第二部分：培优拓展 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．（21-22七年级下·四川成都·阶段练习）有一副直角三角板和，其中，，如图所示叠放，边与边交于点，过点作平分，若，则 度． 【答案】 【分析】根据得出，再根据角平分线定义计算出，利用即可． 解：过点作平分， ， ，，， ，， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：15． 【点拨】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，关键是理解平行线性质，灵活运用角的和差关系计算． 20．（23-24九年级下·山东德州·期中）如图，把木条a，b，钉在一起，交点分别为点 P，Q， 将木条a绕点 P 以每秒钟的速度逆时针旋转一周，在旋转的过程中若木条，则旋转时间为 ． 【答案】2s 或32s/32s 或2s 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．先求出，根据平行线的判定得到要使木条，则，分旋转角小于和旋转角大于分类讨论进行计算即可求解． 解：如图， ∵ ∴， ∴要使木条，则， 当旋转角小于时，旋转度数为，旋转时间为s； 当旋转角大于时，旋转度数为，旋转时间为s． 故答案为：2s 或32s 21．（23-24七年级上·广东佛山·期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证 °． 【答案】110 【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念是解题的关键． 如图：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H，依题意得，则，由此得，进而得，据此可得的度数． 解：如图所示：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H， 依题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：110． 22．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行． 【答案】3或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程，正确计算相应的旋转角度数是解题的关键； 分旋转小于时和大于两种情况，根据平行线的性质表示出数据，列出一元一次方程，求解即可． 解：解设光速灯A旋转时间为t秒，则C旋转的时间为秒， 当旋转小于时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ∵按每秒的速度顺时针旋转，以每秒的速度顺时针旋转， ∴，， ∴， 解得：； 当旋转大于回转时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ，， 解得：； 综上所述：旋转时间为3秒或秒， 故答案为：3或． 23．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图1，直角（其中为直角顶点，的直角边与线段重合在同一根射线上，它们绕着点同时进行转动，沿着逆时针方向，线段沿着顺时针方向，已知，分别与的夹角关于时间的变化图象如图2所示，则 单位：秒时，有． 【答案】或3或 【分析】先由图2中的信息得出的旋转速度和旋转情况，的旋转速度和旋转情况，分三种情况计算． 解：当时，Ⅰ、如图1， 此时，和同时旋转，旋转到如图1的位置时，， ， ， ； Ⅱ、如图2， 和同时旋转到如图2的位置时，， ， 和同时旋转了， ， ， 当时，此时不动，按原速度，原方向旋转，不存在的情况， 当时，如图3， 此时，按原速度原方向旋转，也按原速度原方向旋转，旋转到如图3的位置时，， ，旋转了，旋转了， ， ． 故答案为：或3或． 【点拨】此题主要考查了三角形和线段的旋转，旋转的旋转，平行线的性质，解本题的关键是从图2中找到信息求出它们的旋转速度． 五、解答题（本大题共4小题，共40分） 24．（本小题满分8分）（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，，与交于点P． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据平行线的性质得出，即可证明结论． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴． 25．（本小题满分10分）（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）填空：如图，，，，求的度数． 解：∵， ∴________，（两直线平行，同位角相等）． 又∵， ∴（等量代换）， ∴（________）， ∴________（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴________． 【答案】；内错角相等，两直线平行；；． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由，得到，从而得到，则，即可求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；． 26．（本小题满分10分）（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【答案】（1），，见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义； （1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点作，证明，再利用平行线的性质可得图②的答案； （2）如图，过点作，证明，再结合（1）的结论可得答案； （3）过作．证明，可得．求解，再结合角平分线的定义可得答案． 解：（1）  ，理由如下： 理由：∵， ∴． 如图，过点作． ， ， ， ． （2）如图，过点作． ， ， ∴， 结合（1）的结论可得：， ∴； （3）如图，过作． ， ， ． ， ． 平分，平分， . 27．（本小题满分12分）（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、，若点P是下方一点，平分，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，延长并与的平分线相交与点E，当，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是： （1）过G作，可得，根据平行线的性质得出，，则可得出，即可求解； （2）过P作，可得，根据平行线的性质得出，，则可得出，由（1）可得：，则可得出，根据角平分线的定义得出，，则可求出，然后把代入求解即可； （3）设，，则，根据角平分线定义求出，由（2）知：，，，过E作，设与相交于O，由（2）同理可求，代入求解即可． 解：（1）解：过G作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴； （3）解：设，，则， ∵平分， ∴， 由（2）知：，，， 过E作，设与相交于O， 由（2）同理可求， ∵， ∴， 化简得， 解得， ∴的度数为． 第三部分：链接中考 28．（本小题满分5分）（2024·宁夏·中考真题）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义和平行线的性质是正确解决本题的关键． 作，根据平行线的性质得，再根据，可得，根据方向角的定义即可得到答案． 解：如图，作， 则， ， ， ， ， 科技馆位于小亮家的南偏东方向， 故答案为：A． 29．（本小题满分5分）（2023·浙江台州·中考真题）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为 ．    【答案】/度 【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：，求解，利用，从而可得答案． 解：如图，先标注点与角，    由对折可得：， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【点拨】本题考查的是折叠的性质，平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解本题的关键． 30．（本小题满分10分）（2020·湖北宜昌·中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数． 【答案】25° 【分析】使用平行线的性质得到，再根据得到结果． 解：∵ ∴ ∵ ∴ 【点拨】本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 探索直线平行的条件（分层练习精选精练） 本专题分为【夯实基础】【培优拓展】【链接中考】三部分，其中【夯实基础】70分，【培优拓展】60分，【链接中考】20分，合计150分. 第一部分：夯实基础 1、 选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，直线，被直线所截，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，，与相交于点C，且，，若，则n的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，将一块直角三角板的顶点与直尺的一边重合，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，某煤气公司铺设煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设．若，，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，分别为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为．．．．．按此规律维续操作，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（17-18七年级下·重庆荣昌·阶段练习）如图所示，若，，和互余，则 ， ． 10．（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是 ． 11．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，则= ． 12．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，四边形为长方形，点、分别为、边上一点，将长方形沿翻折，点、分别落在、处，若，则 ．（用含的代数式表示） 13．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图，两条平行直线，被直线所截，分别交于点、；、分别平分和交于点、． （1）若，则 ． （2）在（1）条件下，在线段上有一动点，当最短时， ． 14．（23-24七年级下·浙江温州·期中）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点C，D处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，B）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点O处．A、B处于同一水平高度，已知反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角，则太阳光线与水平面夹角 ；若反射光线与水平线的夹角是时，则 ． 三、解答题（本大题共4小题，共28分） 15．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·期末）阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，点在同一直线上，点在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图（2），延长交于点． （已知）， （_______） 又（_______）， _______（等量代换）， （_______）， （_______）． 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （_______）． 16．（本小题满分8分）（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 17．（本小题满分10分）（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． （1）如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． （2）如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 18．（本小题满分10分）（22-23八年级下·河南郑州·开学考试）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作， ∵， ∴ 又∵， ∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能． 方法运用： 如图2，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如上方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求的度数． 第二部分：培优拓展 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．（21-22七年级下·四川成都·阶段练习）有一副直角三角板和，其中，，如图所示叠放，边与边交于点，过点作平分，若，则 度． 20．（23-24九年级下·山东德州·期中）如图，把木条a，b，钉在一起，交点分别为点 P，Q， 将木条a绕点 P 以每秒钟的速度逆时针旋转一周，在旋转的过程中若木条，则旋转时间为 ． 21．（23-24七年级上·广东佛山·期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证 °． 22．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行． 23．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图1，直角（其中为直角顶点，的直角边与线段重合在同一根射线上，它们绕着点同时进行转动，沿着逆时针方向，线段沿着顺时针方向，已知，分别与的夹角关于时间的变化图象如图2所示，则 单位：秒时，有． 五、解答题（本大题共4小题，共40分） 24．（本小题满分8分）（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，，与交于点P． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 25．（本小题满分10分）（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）填空：如图，，，，求的度数． 解：∵， ∴________，（两直线平行，同位角相等）． 又∵， ∴（等量代换）， ∴（________）， ∴________（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴________． 26．（本小题满分10分）（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 27．（本小题满分12分）（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、，若点P是下方一点，平分，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，延长并与的平分线相交与点E，当，求的度数． 第三部分：链接中考 28．（本小题满分5分）（2024·宁夏·中考真题）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 29．（本小题满分5分）（2023·浙江台州·中考真题）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为 ．    30．（本小题满分10分）（2020·湖北宜昌·中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$