专题2.5 探索直线平行的条件（分层练习精选精练）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.5 探索直线平行的条件（分层练习精选精练） 本专题分为【夯实基础】【培优拓展】【链接中考】三部分，其中【夯实基础】70分，【培优拓展】60分，【链接中考】20分，合计150分. 第一部分：夯实基础 一、选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的内错角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三线八角，理解图示，掌握三线八角的定义，数形结合分析是解题的关键． 利用内错角定义可得答案． 解：A、的内错角是，故此选项符合题意； B、与是同旁内角，故此选项不合题意； C、与是同位角，故此选项不合题意； D、与不是内错角，故此选项不合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知和是同旁内角，则（   ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的相关知识，关键在于理解同旁内角不一定具有固定的大小关系． 同旁内角是指两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之内的角．根据定义即可知同旁内角只有位置关系，没有大小关系． 解：同旁内角只有在两直线平行的条件下才会互补，其他条件下同旁内角只具有位置关系，没有大小关系，故而、、均有可能． 故选：D． 3．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，不能判定直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 解：、∵， ∴直线，故此选项不合题意； 、∵， ∴直线，故此选项不合题意； 、，不能得出直线，故此选项符合题意； 、∵， ∴直线，故此选项不合题意； 故选：． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定是关键； 方案Ⅰ是根据同位角相等判定平行，方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行即可得出答案． 解：由图知：方案Ⅰ是根据同位角相等，判定；方案Ⅱ是根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，判定． 故选C． 6．（22-23七年级下·广西南宁·阶段练习）“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（    ） A．m，n，l是直线，若，，则 B．m，n，l是直线，若，，则 C．若与互余，与互余，则与互余 D．若与互补，与互补，则与互补 【答案】A 【分析】根据平行线的判定、垂直和互余、互补进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 解：A、m，n，l是直线，若，，则，具有“传递性” B、m，n，l是直线，若，，则与不一定垂直也可能是平行；不具有“传递性” C、若与互余，与互余，则与相等，不具有“传递性” D、若与互补，与互补，则与相等，不具有“传递性” 故选：A． 7．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，平分，平分，的延长线与的延长线交于Q，的延长线与的延长线交于R，过点P的直线交于B，交于D，以下四个条件：①；②；③；④；其中能使成立的是（   ） A．②③ B．①④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 根据平行线的判定和角平分线的定义逐项求解即可． 解：①∵， ∴，符合题意； ②∵ ∴，符合题意； ③∵平分，平分， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∴，符合题意； ④∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴，符合题意； 综上所述，其中能使成立的是①②③④． 故选：C． 8．（22-23七年级下·山东青岛·阶段练习）给出下列说法： ①一个角与它的补角相等，这个角是直角；②等角的余角相等；③如图，已知，，则与互为补角；④若，则、、互余；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的个数是（      ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角和补角，平行线，垂线，平行公理及推论，逐一判断即可解答． 解：一个角与它的补角相等，这个角是直角，故正确； 等角的余角相等，故正确； ③，， ， ， 与互为补角， 故正确； 若，则、、互余，互余的角是指两个角，故不正确； 在同一平面内，互不相交的两条直线叫做平行线，故不正确； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不正确； 所以，上列说法，其中正确的个数是个， 故选：C． 【点拨】本题考查了余角和补角，平行线，垂线，平行公理及推论，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理，根据平行公理可得． 解：∵，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点P，C，Q在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 10．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，与互余，，则等于 【答案】/155度 【分析】设的对顶角为，根据得到，求得，再根据已知，平行线的性质解答即可． 本题考查了对顶角性质，平行线的性质，互余，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 解：设的对顶角为， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵与互余， ∴； ∵， ∴； ∴； 故答案为：． 11．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论． 解：添加利用同位角相等，两直线平行判定； 添加利用内错角相等，两直线平行判定； 添加利用同旁内角互补，两直线平行判定． 故答案为：（答案不唯一）· 12．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）把一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，当为 度时，． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，平行线的判定，根据，利用同旁内角互补，两直线平行直接求出结论． 解：， 当时，， 即当时，， 故答案为： 13．（2021七年级下·全国·专题练习）如图，于点F，于点D，E是AC上一点，，则图中互相平行的直线 ． 【答案】， 【分析】由，，可得再证明可得 解： ，， 故答案为： 【点拨】本题考查的是平行线的判定，掌握“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”是解本题的关键. 14．（23-24八年级上·河南郑州·期末）小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使位于内部，三角板的位置保持不变，改变三角板的位置， 时，． 【答案】30 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解此题的关键． 解：， 时，． 故答案为：30． 三、解答题（本大题共4小题，共28分） 15．（本小题满分8分）（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？ 【答案】，见分析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂线等知识点的应用，求出，根据平行线的判定定理即可推出答案． 解：，理由如下： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 16．（本小题满分8分）（24-25七年级上·四川宜宾·期末）完成下面的证明过程，在括号内填根据． 如图，直线a，b，c被直线l所截，量的，试说明：． 解：∵， ∴ （等式的性质）， ∴ （ ）. 又∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）. 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 先根据“同位角相等，两直线平行”证明，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得，最后根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得出答案． 解：∵， ∴（等式的性质）， ∴（同位角相等，两直线平行）． ∵， ∴（补角定义）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；；补角定义；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 17．（本小题满分10分）（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． （1）求证：； （2）若与互余，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定： （1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，即可得证． 解：（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 18．（本小题满分10分）（23-24七年级下·河南焦作·期中）如图，已知平分，平分，且． （1）与平行吗？ 为什么？ （2）请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）平行，理由见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据角平分线的性质结合，推出，即可得出结论； （2）根据平行线的性质结合角平分线，推出，即可得出结论． 解：（1）解：平行，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 第二部分：培优拓展 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．（22-23七年级下·河南信阳·阶段练习）能判定的同位角有 组． 【答案】 【分析】根据“同位角相等，两直线平行”找出所有与有关的同位角即可解答． 解：如，则； 如，则； 如，则； 如，则． ∴能判定的同位角有4组 故答案为： 【点拨】本题主要考查了平行线判定定理，理解同位角的概念是解答本题的关键． 20．（20-21七年级下·全国·课后作业）如图，点是延长线上一点，在下列条件中：①；②；③且平分；④，能判定的有 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】根据平行线的判定方法分别判定得出答案． 解：①中，，（内错角相等，两直线平行），不合题意； ②中，，（同位角相等，两直线平行），不合题意； ③中，且平分，，，故此选项符合题意； ④中，， （同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意； 答案：③④． 【点拨】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键． 21．（17-18七年级·江苏宿迁·期中）规律探究：同一平面内有直线、、，，，若，，，，，按此规律，与的位置关系是 ． 【答案】互相垂直． 【分析】依据，，，，，可得，即可得到与的位置关系是互相垂直． 解：，，， ， 按此规律，， 又，， ， 以此类推， ， ， 故答案为互相垂直． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是根据已知条件得出规律：． 22．（24-25七年级上·全国·期末）如图，线段和是正方体表面两个正方形的对角线，将此正方体沿着部分棱剪开，展开后成一个平面图形后，和的关系可能是：①；②；③和在同一条直线上．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，将正方体展开，依据不同的正方体的展开图，可得或或和在同一直线上． 解：①如图所示，， 由正方形的性质可得，， ， 故①正确； ②如图所示，， 由正方形的性质可得，， ∴， 故②正确； ③如图所示，和在同一直线上， 故③正确； 综上所述，和可能出现：①，②，③和在同一直线上． 故答案为：①②③． 23．（21-22七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查平行线的判定，分三种情况： ①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； ②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； ③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； 读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 解：分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ∵，，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ②旋转到与都在的右侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ③旋转到与都在的左侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∵， ∴此情况不存在； 综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行． 故答案为：秒或秒． 五、解答题（本大题共4小题，共40分） 24．（本小题满分8分）（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 【答案】，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，根据同角的补角相等得到，等量代换得到，则． 解：将的邻补角记作，则 （邻补角的定义） 因为（已知） 所以（同角的补角相等） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以（同位角相等，两直线平行） 故答案为：，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 25．（本小题满分10分）（21-22七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点在上，平分，平分． （1）试说明：； （2）若，，则与平行吗？为什么？ 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析． 【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理推论，角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义得到，，根据平角的定义得到，根据垂直的定义求解即可； （2）根据平行线的判定及平行公理推论即可求解； 解：（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）得，∠3＝∠4． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 26．（本小题满分10分）（24-25八年级上·全国·假期作业）完成下面的解答．如图，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； 解：，理由如下： （已知）， （邻补角的定义）， （ ）， （ ）． （2）与的位置关系如何？为什么． 解：，理由如下： 平分（已知）， （ ）， 又（已知）， 即， （ ）， （ ）． 【答案】（1）；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行；（2）角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定及角平分线的定义，熟练运用平行线的判定定理是解题的关键． （1）结合邻补角定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （2）结合角平分线定义求出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解 解：（1）解： ．理由如下： （已知）， （邻补角的定义）， （同角的补角相等）， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行； （2）解：，理由如下： 平分（已知）， （角平分线定义）， 又．（已知）， 即， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 27．（本小题满分12分）（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，，平分． （1）求证：； （2）若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 【答案】（1）见分析；（2）①，理由见分析；②60或 【分析】（1）易得，根据角平分线的定义得出，即可求证； （2）①根据题意得出，，，根据三角形的内角和定理得出，即可得出结论； ②根据题意进行分类讨论：当时，由①可得：，，则，根据，列出方程求解即可；当时，，，推出，根据，列出方程求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴； ②当时， 由①可得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：t的值为60或． 【点拨】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握各个性质定理，正确画出图形，列出方程求解． 第三部分：链接中考 28．（本小题满分5分）（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 29．（本小题满分5分）（2018·四川广元·中考真题）一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向平行行驶,那么这两个拐弯的角度可能是（     ） A．先向左转130°，再向左转50° B．先向左转50°，再向右转50° C．先向左转50°，再向右转40° D．先向左转50°，再向左转40° 【答案】B 解：根据同位角相等，两直线平行，可得B. 30．（本小题满分10分）（2014·广东·中考真题）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A． （1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）． 【答案】（1）作图见分析；（2）DE∥AC． 【分析】（1）根据角平分线的画法画出角平分线； （2）根据角平分线的性质和三角形外角的性质得出DE和AC平行． 解：（1）如图所示： （2）DE∥AC ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE=∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDE， ∴DE∥AC． 【点拨】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 探索直线平行的条件（分层练习精选精练） 本专题分为【夯实基础】【培优拓展】【链接中考】三部分，其中【夯实基础】70分，【培优拓展】60分，【链接中考】20分，合计150分. 第一部分：夯实基础 一、选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的内错角是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知和是同旁内角，则（   ） A． B． C． D．以上均有可能 3．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，不能判定直线的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行 6．（22-23七年级下·广西南宁·阶段练习）“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（    ） A．m，n，l是直线，若，，则 B．m，n，l是直线，若，，则 C．若与互余，与互余，则与互余 D．若与互补，与互补，则与互补 7．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，平分，平分，的延长线与的延长线交于Q，的延长线与的延长线交于R，过点P的直线交于B，交于D，以下四个条件：①；②；③；④；其中能使成立的是（   ） A．②③ B．①④ C．①②③④ D．①②④ 8．（22-23七年级下·山东青岛·阶段练习）给出下列说法： ①一个角与它的补角相等，这个角是直角；②等角的余角相等；③如图，已知，，则与互为补角；④若，则、、互余；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的个数是（      ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 10．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，与互余，，则等于 11．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 12．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）把一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，当为 度时，． 13．（2021七年级下·全国·专题练习）如图，于点F，于点D，E是AC上一点，，则图中互相平行的直线 ． 14．（23-24八年级上·河南郑州·期末）小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使位于内部，三角板的位置保持不变，改变三角板的位置， 时，． 三、解答题（本大题共4小题，共28分） 15．（本小题满分8分）（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？ 16．（本小题满分8分）（24-25七年级上·四川宜宾·期末）完成下面的证明过程，在括号内填根据． 如图，直线a，b，c被直线l所截，量的，试说明：． 解：∵， ∴ （等式的性质）， ∴ （ ）. 又∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）. 17．（本小题满分10分）（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． （1）求证：； （2）若与互余，求证：． 18．（本小题满分10分）（23-24七年级下·河南焦作·期中）如图，已知平分，平分，且． （1）与平行吗？ 为什么？ （2）请判断与的位置关系，并说明理由． 第二部分：培优拓展 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．（22-23七年级下·河南信阳·阶段练习）能判定的同位角有 组． 20．（20-21七年级下·全国·课后作业）如图，点是延长线上一点，在下列条件中：①；②；③且平分；④，能判定的有 ．（填序号） 21．（17-18七年级·江苏宿迁·期中）规律探究：同一平面内有直线、、，，，若，，，，，按此规律，与的位置关系是 ． 22．（24-25七年级上·全国·期末）如图，线段和是正方体表面两个正方形的对角线，将此正方体沿着部分棱剪开，展开后成一个平面图形后，和的关系可能是：①；②；③和在同一条直线上．其中正确的是 （填序号）． 23．（21-22七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行． 五、解答题（本大题共4小题，共40分） 24．（本小题满分8分）（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 25．（本小题满分10分）（21-22七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点在上，平分，平分． （1）试说明：； （2）若，，则与平行吗？为什么？ 26．（本小题满分10分）（24-25八年级上·全国·假期作业）完成下面的解答．如图，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； 解：，理由如下： （已知）， （邻补角的定义）， （ ）， （ ）． （2）与的位置关系如何？为什么． 解：，理由如下： 平分（已知）， （ ）， 又（已知）， 即， （ ）， （ ）． 27．（本小题满分12分）（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，，平分． （1）求证：； （2）若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 第三部分：链接中考 28．（本小题满分5分）（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 29．（本小题满分5分）（2018·四川广元·中考真题）一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向平行行驶,那么这两个拐弯的角度可能是（     ） A．先向左转130°，再向左转50° B．先向左转50°，再向右转50° C．先向左转50°，再向右转40° D．先向左转50°，再向左转40° 30．（本小题满分10分）（2014·广东·中考真题）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A． （1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$