备战2025年中考——三角形（综合压轴题分类专题）（6）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

备战2025中考——三角形（综合压轴题分类专题）（6） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】与三角形有关的角 【考点1】三角形三边关系.....................................................2 【考点2】三角形三条重要线段有关计算.........................................2 【考点3】三角形三条线段有关面积的计算.......................................3 【知识点2】与三角形有关的线段 【考点4】角平分线+平行线....................................................4 【考点5】角平分线+三角形内角和..............................................5 【考点6】三角形外角性质+角平分线............................................6 【知识点3】全等三角形 【考点7】全等三角形的性质与判定求值与证明（1）..............................7 【考点8】全等三角形的性质与判定求值与证明（2）..............................7 【考点9】线段垂直平分线与角平分线性质与判定求值与证明.......................8 【知识点4】等腰三角形 【考点10】等边对等角........................................................9 【考点11】三线合一.........................................................10 【考点12】等腰三角形性质与判定.............................................11 【知识点5】等边三角形 【考点13】等边三角形的性质.................................................12 【考点14】等边三角形的判定.................................................13 【考点15】等边三角形的判定和性质...........................................14 【知识点6】直角三角形 【考点16】直角三角形的两个锐角互余.........................................15 【考点17】含30度角的直角三角形............................................15 【考点18】斜边的中线等于斜边的一半.........................................16 【知识点8】勾股定理 【考点19】用勾股定理解三角形...............................................17 【考点20】勾股定理与折叠问题...............................................18 【考点21】勾股定理的应用...................................................19 【考点22】勾股定理的逆定理.................................................20 篇二：压轴部分 【考点23】全等三角形为背景的压轴题.........................................20 【考点24】等腰三角形为背景的压轴题.........................................21 【考点25】直角三角形为背景的压轴题.........................................22 【考点26】勾股定理为背景的压轴题...........................................23 篇一：综合部分 【知识点1】与三角形有关的角 【考点1】三角形三边关系 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 2．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点A，B对应的数分别为，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为，则点D在数轴上对应的数可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·贵州贵阳·一模）如图，中，，O为AC边上一点，且．点D在射线上，且，连接．则的最小值是 ． 【考点2】三角形三条重要线段有关计算 1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，若，，点E为的中点，过点E作于点F，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 3．（2024·陕西西安·一模）如图，在矩形中，平分交于点，连接，若，则的长为 ． 【考点3】三角形三条线段有关面积的计算 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． （1）尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，的面积为10，点D，E，F分别在边，，上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2024·甘肃天水·三模）矩形中，E、F分别是、的中点，矩形的面积为，则的面积是 ． 【知识点2】与三角形有关的线段 【考点4】角平分线+平行线 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 2．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为 ．    【考点5】角平分线+三角形内角和 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 2．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在中，，根据图中尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，依据尺规作图的痕迹，若，，则的度数为 ． 【考点6】三角形外角性质+角平分线 1．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中， ．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；② 分别以D，E 为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③ 作射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东滨州·模拟预测）如图，，则 °． 【知识点3】全等三角形 【考点7】全等三角形的性质与判定求值与证明（1） 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，． （1）求证：； （2）若，则__________°． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 3．（2024·江苏常州·一模）如图，在中，，，点D在上，连接，使得，以为边向外作，若，，则边的长为 ． 【考点8】全等三角形的性质与判定求值与证明（2） 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 2．（2024·青海玉树·三模）证明体验 （1）思考探究如图1，在中，点在边上，点在边上，，，与相交于点．求证：． （2）拓展延伸如图2，在（1）的条件下，过点作的平行线交于点，若，，求的长． 3．（2024·上海青浦·二模）正方形的边长为为边的中点，点F在边上，将沿直线翻折，使点D落在点G处，如果，那么线段的长为 ． 【考点9】线段垂直平分线与角平分线性质与判定求值与证明 1．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证： （1）； （2）． 2．（2024·青海·一模）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 3．（2024·青海西宁·一模）如图，中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则线段的长为 ． 【知识点4】等腰三角形 【考点10】等边对等角 1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． （1）求证：； （2）求的度数． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点M、N； ②作直线交于点D，连接；若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、， 连接， 则 °    【考点11】三线合一 1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 2．（21-22九年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，，D点在边上，，P为边上一点，当时，的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·河南郑州·三模）如图，在中，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为 ． 【考点12】等腰三角形性质与判定 1．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． （1）求证：； （2）若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 2．（2024·四川凉山·一模）如图，在中，，，．若是的中位线，延长交的外角的平分线于点F，则线段的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，过点A作，垂足为F，若，则的长为 ． 【知识点5】等边三角形 【考点13】等边三角形的性质 1．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．    2．（2023·四川达州·模拟预测）如图，等边三角形的顶点在直线上，直线且交于点，交于点，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为 ． 【考点14】等边三角形的判定 1．（2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且 （1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形． 2．（2024·河南周口·二模）已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 3．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，且，垂足为，交轴于点，，的面积是2，则的值是 ． 【考点15】等边三角形的判定和性质 1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H． （1）求证：MP=NP； （2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）． 2．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点是等边内一点，若将绕点按逆时针方向旋转一个角度后得到，连接，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（2023·辽宁锦州·三模）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，与交于点G，若，则的长为 ． 【知识点6】直角三角形 【考点16】直角三角形的两个锐角互余 1．（2020·四川南充·中考真题）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD． 2．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则 °． 【考点17】含30度角的直角三角形 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在中，，，，以为边向外作有一个内角为的菱形，对角线交于点O，连接，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出的面积． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（   ） A． B．6 C．8 D． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 【考点18】斜边的中线等于斜边的一半 1．（2024·河南·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．    （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是菱形 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 3．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 【知识点7】勾股定理 【考点19】用勾股定理解三角形 1．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． （1）求证：； （2）若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 2．（2025·山东临沂·一模）如图，已知 ， 射线 平分 ，C 是 上一点，，以点 O 为圆心，以 适当长为半径作弧，分别交 于点 M，N；以点 C 为圆心，以 长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在 内部交前面的弧于点；过点作射线交于点 D ．则 （   ） A． B．6 C． D．8 3．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【考点20】勾股定理与折叠问题 1．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，． 折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点． 【解决问题】 （1）当点与点重合时，求的长； （2）设直线与直线相交于点，当时，求的长． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，是对角线，将沿折叠后，点的对应点E恰好落在的延长线上．若，，则的周长为（    ） A．20 B．28 C． D． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，．点E为边的中点，点F为边上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则的长是 ．    【考点21】勾股定理的应用 1．（2020·辽宁锦州·中考真题）如图，某海岸边有B,C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号） 2．（2024·江苏淮安·一模）点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【考点22】勾股定理的逆定理 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．   （1）求图中阴影部分的面积； （2）设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 2．（2023·四川乐山·模拟预测）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，则的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 3．（2023·四川内江·中考真题）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ． 篇二：压轴部分 【考点23】全等三角形为背景的压轴题 1．（2024·四川乐山·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点，连接，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 【考点24】等腰三角形为背景的压轴题 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． （1）求证：，； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 2．（22-23九年级上·河南商丘·期末）如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到，若，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广东深圳·三模）如图，在中，，边上有一点，使，点是线段的延长线上的一点，连接，，且，若，，则的长为 ．    【考点25】直角三角形为背景的压轴题 1．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.  （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 2．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则（　　） A． B． C． D． 3．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ． 【考点26】勾股定理为背景的压轴题 1．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，为上一点，为上一点，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．（2025·上海奉贤·一模）如图，和中，，点M在边上，点N在边上，分割所得的两个三角形分别与分割所得的两个三角形相似，那么线段的长是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025中考——三角形（综合压轴题分类专题）（6） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】与三角形有关的角 【考点1】三角形三边关系.....................................................2 【考点2】三角形三条重要线段有关计算.........................................4 【考点3】三角形三条线段有关面积的计算.......................................6 【知识点2】与三角形有关的线段 【考点4】角平分线+平行线....................................................9 【考点5】角平分线+三角形内角和.............................................12 【考点6】三角形外角性质+角平分线...........................................14 【知识点3】全等三角形 【考点7】全等三角形的性质与判定求值与证明（1）.............................17 【考点8】全等三角形的性质与判定求值与证明（2）.............................20 【考点9】线段垂直平分线与角平分线性质与判定求值与证明......................23 【知识点4】等腰三角形 【考点10】等边对等角.......................................................26 【考点11】三线合一.........................................................29 【考点12】等腰三角形性质与判定.............................................33 【知识点5】等边三角形 【考点13】等边三角形的性质.................................................36 【考点14】等边三角形的判定.................................................39 【考点15】等边三角形的判定和性质...........................................42 【知识点6】直角三角形 【考点16】直角三角形的两个锐角互余.........................................45 【考点17】含30度角的直角三角形............................................47 【考点18】斜边的中线等于斜边的一半.........................................50 【知识点8】勾股定理 【考点19】用勾股定理解三角形...............................................53 【考点20】勾股定理与折叠问题...............................................57 【考点21】勾股定理的应用...................................................63 【考点22】勾股定理的逆定理.................................................69 篇二：压轴部分 【考点23】全等三角形为背景的压轴题.........................................72 【考点24】等腰三角形为背景的压轴题.........................................77 【考点25】直角三角形为背景的压轴题.........................................82 【考点26】勾股定理为背景的压轴题...........................................87 篇一：综合部分 【知识点1】与三角形有关的角 【考点1】三角形三边关系 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 2．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点A，B对应的数分别为，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为，则点D在数轴上对应的数可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点的距离、三角形的三边关系、解不等式组，先求得，，设D对应的数为x，根据三角形的三边关系列不等式求得得到x的取值范围，进而可作出选择． 解：设D对应的数为x， ∵点A，B对应的数分别为，5，点C对应的数为， ∴，，，， 根据题意，，， 则， 解得， ∴点D在数轴上对应的数可能为2， 故选：A 3．（2024·贵州贵阳·一模）如图，中，，O为AC边上一点，且．点D在射线上，且，连接．则的最小值是 ． 【答案】 【分析】构造​平行四边形，则当A、B、三点共线时最小，然后依次求出的长即可． 解：如图，构造​平行四边形， ∴， ∴， 当A、B、三点共线时最小， 过A作交CD'于点E， 在中，， ∴， ∴， 即的最小值是． ​故答案为：． 【点拨】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，添加合适的辅助线是解题关键． 【考点2】三角形三条重要线段有关计算 1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，若，，点E为的中点，过点E作于点F，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质和勾股定理，连接．由等腰三角形三线合一性质可知，，再由勾股定理求出，进而由三角形面积求出高． 解：如图，连接． ∵，点E为的中点，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵， ∴． 故选C． 3．（2024·陕西西安·一模）如图，在矩形中，平分交于点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查求线段长，涉及矩形性质、角平分线性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，先由矩形性质得到线段长度及直角，再由角平分线性质及等腰直角三角形的判定确定是等腰直角三角形，从而得到，在中，由勾股定理得的长即可得到答案，熟练掌握相关几何性质，灵活运用勾股定理求线段长是解决问题的关键． 解：在矩形中，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 【考点3】三角形三条线段有关面积的计算 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． （1）尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得 解：（1）解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ②作的垂直平分线交于点 ③连接、相交于点 ④标出点 ，点 即为所求 （2）解：∵是的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴ 故答案为：． 2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，的面积为10，点D，E，F分别在边，，上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之间的关系． 由题意可知的面积和四边形的面积相等，可通过连接的方法，证明出，进而求出的面积，然后即可求出答案． 解：连接． ∵， ∴， ∵两个三角形有公共底，且面积相等， ∴高相等， ∴， 从而可得：， ∴， 又， ， 即， 故选：C． 3．（2024·甘肃天水·三模）矩形中，E、F分别是、的中点，矩形的面积为，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的中线与面积，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，得到，利用E是的中点，得到，利用F是的中点，得到、，再根据求解，即可解题． 解：连接， 矩形的面积为， ，，， ， E是的中点， ， ， F是的中点， ，， ， 故答案为：． 【知识点2】与三角形有关的线段 【考点4】角平分线+平行线 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断． 解：对于纸带①， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴与不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，，， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【点拨】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键． 2．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解． 解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 3．（22-23七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为 ．    【答案】76 【分析】先由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值． 解：过点C作，   ， ，， ， ， ， ， 由题意可得为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：76． 【点拨】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 【考点5】角平分线+三角形内角和 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 2．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在中，，根据图中尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，由作图可知，平分，垂直平分，根据角平分线和中垂线的定义，结合三角形的内角和定理，以及30度所对的直角边是斜边的一半，逐一进行判断即可． 解：∵在中，， ∴， 由作图可知：平分，垂直平分， ∴，，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选D． 3．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，依据尺规作图的痕迹，若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，角平分线的作图，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质．本题先证明，求解，结合角平分线的作图以及三角形内角和定理可得答案． 解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可得：是的角平分线， ∴； ∵， ∴ 故答案为：． 【考点6】三角形外角性质+角平分线 1．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中， ．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；② 分别以D，E 为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③ 作射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的作图、角平分线的定义，根据三角形外角的性质求出，再由平分即可得到答案. 解：∵ ． ∴ 由题意可知，平分， ∴ 故选：B 3．（2024·山东滨州·模拟预测）如图，，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用等腰三角形的性质、三角形外角的性质成为解题的关键． 设，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，，再根据列方程求解即可． 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解的：，则． 故答案为：． 【知识点3】全等三角形 【考点7】全等三角形的性质与判定求值与证明（1） 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，． （1）求证：； （2）若，则__________°． 【答案】（1）答案见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证得； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数． 解：（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 解：（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 3．（2024·江苏常州·一模）如图，在中，，，点D在上，连接，使得，以为边向外作，若，，则边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过点A作边的垂线，构造全等三角形，再根据结合勾股定理即可解决问题． 解：过点A作边的垂线，垂足为M， ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点8】全等三角形的性质与判定求值与证明（2） 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 解：（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 2．（2024·青海玉树·三模）证明体验 （1）思考探究如图1，在中，点在边上，点在边上，，，与相交于点．求证：． （2）拓展延伸如图2，在（1）的条件下，过点作的平行线交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据等边对等角得出，，进而根据三角形的外角的性质，等量代换即可得证； （2）证明即可得出结论． 解：（1）证明：， ，， ，， ； （2）解：， ， ，， ，， ， ， 在与中，， ， ； 3．（2024·上海青浦·二模）正方形的边长为为边的中点，点F在边上，将沿直线翻折，使点D落在点G处，如果，那么线段的长为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查正方形的折叠，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，证明，可得，然后得到即可解题． 解：如图，连接， 由翻折可得：，，， 又∵E为边的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得． 故答案为： 【考点9】线段垂直平分线与角平分线性质与判定求值与证明 1．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）由全等三角形的判定定理证得，则对应角，可证明结论； （2）根据，可以证得，进而得出结论． 解：（1）证明：如图：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， 在和中， ， ∴， ∴． 2．（2024·青海·一模）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理， （1）由角平分线的性质得到，证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）由勾股定理求出，由（1）知，由，即可得解； 掌握角平分线的性质和勾股定理是解题的关键． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴的长为． 3．（2024·青海西宁·一模）如图，中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，连接，先利用线段垂直平分线的性质可得，然后设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴设，则， 在中， ∴， ∴ 解得：， ∴， 故答案为： 【知识点4】等腰三角形 【考点10】等边对等角 1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 解：（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， （2）连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 2．（2024·广东·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点M、N； ②作直线交于点D，连接；若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得． 解：， ， ， 由作图可知，垂直平分， ， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、， 连接， 则 °    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据等腰三角形的性质可得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，推出，最后根据，即可求解． 解：在中，，， ， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 【考点11】三线合一 1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 解：（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 2．（21-22九年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，，D点在边上，，P为边上一点，当时，的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过P作于E，于F，根据相似三角形的判定和性质解答即可． 解：过P作于E，于F， ∴四边形为矩形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴ 设，则， ∴， 故选：A． 【点拨】此题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，关键是根据相似三角形的判定得出进行解答． 3．（2024·河南郑州·三模）如图，在中，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，是求解的关键． 根据为直径，得出，根据，得出，根据勾股定理求出，得出，证明，得出，证明，根据等积法求出结果即可． 解：如图，连接， ∵为直径， ， ， ， ， ， ∵是切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案是：． 【考点12】等腰三角形性质与判定 1．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． （1）求证：； （2）若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）①，理由见分析；② 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，，根据，可得； （2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得； ②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解． 解：（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：①，理由如下： 设， ， ， ， ， ， ； ②，， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ． 2．（2024·四川凉山·一模）如图，在中，，，．若是的中位线，延长交的外角的平分线于点F，则线段的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握三角形中位线的性质成为解题的关键． 根据三角形中位线定理求出得到，由等腰三角形的判定与性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 解：在中， ，，， ， 是的中位线， ∴，， ， ， ， ， ． 故选B． 3．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，过点A作，垂足为F，若，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识．首先利用平行四边形的性质及角平分线的定义得到，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到，利用勾股定理求得，即可求得答案． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：13． 【知识点5】等边三角形 【考点13】等边三角形的性质 1．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．    【答案】见分析 【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出，再利用等边对等角即可． 解：证明：为等边的中线，   ， ， ， 【点拨】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键． 2．（2023·四川达州·模拟预测）如图，等边三角形的顶点在直线上，直线且交于点，交于点，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由等边三角形的性质可得，由三角形外角的定义及性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解． 解：如图： ， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键． 过点B和点O分别作于点C，于点D，根据是等边三角形，可得G点坐标，等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，旋转6次为一个循环，分别求出等边三角形中心G旋转后的坐标，进而可得第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标． 解：如图所示： 过点B和点O分别作于点C，于点D， ∵是等边三角形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，， ∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴旋转6次为一个循环， ∵等边三角形中心G坐标为， 第一次旋转后到y轴正半轴，坐标为：； 第二次旋转后到第二象限，坐标为：； 第三次旋转后到第三象限，坐标为：； 第四次旋转后到y轴负半轴，坐标为：； 第五次旋转后到第四象限，坐标为：； 第六次旋转后回到第一象限，坐标为：， ∵， ∴第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为：． 故答案为：． 【考点14】等边三角形的判定 1．（2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且 （1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形． 【答案】（1）图见分析；（2）证明见分析． 【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答； （2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论． 解：（1）如图，AF平分， （2）∵，且， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵AF平分，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴为等边三角形． 【点拨】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理． 2．（2024·河南周口·二模）已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式进行等式的变形，利用非负数的性质即可求解． 解： ∴．则为等边三角形 故答案为：D． 3．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，且，垂足为，交轴于点，，的面积是2，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的确定、三角形中线平分面积是解题关键． 连接，作轴于，根据三角形中线平分面积求出的面积，再求证出是等边三角形，再利用反比例函数k的几何意义求出即可． 解：连接，作轴于， 的面积是2，， 的面积为1， ，， ， ， ， ， ∵， 为等边三角形， ， ， ， 反比例函数的图象位于第一象限， ． 故答案为：1． 【考点15】等边三角形的判定和性质 1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H． （1）求证：MP=NP； （2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）． 【答案】（1）见详解；（2）0.5a． 【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可； （2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）． 解：（1）如下图所示，过点M作MQCN， ∵为等边三角形，MQCN， ∴， 则AM=AQ，且∠A=60°， ∴为等边三角形，则MQ=AM=CN， 又∵MQCN， ∴∠QMP=∠CNP， 在， ∴，   则MP=NP； （2）∵为等边三角形，且MH⊥AC， ∴AH=HQ，   又由（1）得，， 则PQ=PC， ∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点是等边内一点，若将绕点按逆时针方向旋转一个角度后得到，连接，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质，由旋转得，得，得，可判断出是等边三角形，故可得． 解：∵是等边三角形， ∴ 由旋转得， ∴， ∴ 而， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴, 故选：B． 3．（2023·辽宁锦州·三模）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，与交于点G，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．连接，先判断出是等边三角形，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后求出，最后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得． 解：如图，连接， 由题意可知，垂直平分，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【知识点6】直角三角形 【考点16】直角三角形的两个锐角互余 1．（2020·四川南充·中考真题）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD． 【答案】详见分析 【分析】根据ABBD，DEBD，ACCE，可以得到， ，，从而有，可以验证和全等，从而得到AB=CD． 解：证明： ∵，， ∴ ∴， ∴ 在和中 ∴≌ 故． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角之间的关系是解题的关键． 2．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则 °． 【答案】35 【分析】连接并延长，交于点，连接，首先根据圆周角定理可得，再根据为的切线，可得，可得，再根据圆周角定理即可求得． 解：如图，连接并延长，交于点，连接． 为的直径， ， ， 为的切线， ， ， ， ． 故答案为：35． 【点拨】本题考查了圆周角定理，切线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 【考点17】含30度角的直角三角形 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在中，，，，以为边向外作有一个内角为的菱形，对角线交于点O，连接，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出的面积． 【答案】图形见分析，的面积为12或36． 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理．分两种情况讨论，作，垂足为，利用直角三角形的性质以及勾股定理分别求得的长，再利用三角形面积公式即可求解． 解：当时，所作图形如图，作，垂足为， ∵菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 当时，所作图形如图，作，垂足为， ∵菱形，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴的面积为； 综上，的面积为12或36． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（   ） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】先证明，得到，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质即可求出答案． 解：∵在等边三角形中，是边上的中线， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得： , ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可． 解：过D作于H， ∵菱形中，，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【考点18】斜边的中线等于斜边的一半 1．（2024·河南·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．    （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是菱形 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证． 解：（1）解：如图，   ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 【点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 3．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，， ∴． 故答案为：． 【知识点7】勾股定理 【考点19】用勾股定理解三角形 1．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． （1）求证：； （2）若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）①，理由见分析；② 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，，根据，可得； （2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得； ②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解． 解：（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：①，理由如下： 设， ， ， ， ， ， ； ②，， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ． 2．（2025·山东临沂·一模）如图，已知 ， 射线 平分 ，C 是 上一点，，以点 O 为圆心，以 适当长为半径作弧，分别交 于点 M，N；以点 C 为圆心，以 长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在 内部交前面的弧于点；过点作射线交于点 D ．则 （   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】作，根据作图易得，证明为等腰三角形，利用三线合一，结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 解：作， 由作图可知：， ∴， ∴， ∵ 平分 ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 故选C． 【点拨】本题考查尺规作图—作角等于已知角，平行线的判断和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是得到为等腰三角形． 3．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 【考点20】勾股定理与折叠问题 1．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，． 折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点． 【解决问题】 （1）当点与点重合时，求的长； （2）设直线与直线相交于点，当时，求的长． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的相关应用，结合题意画出图形是解题的关键． （1）过点C作，则，，再求出，根据勾股定理求出，当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合， 则有，设，则，再利用勾股定理即可得出． （2）分两种情况，当点F在上时和当点F在的延长线上时，设，，则 ，利用三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段的和差关系求解即可． 解：（1）解：如图1，过点C作， 则，， ∴， ∴ ， ， 当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合， 则有， 设，则， ∵ ∴在中， 解得：， 故 （2）如图2，当点F在上时，如下图： 由（1）可知， ∵ ∴， 设，，则 ， 根据折叠的性质可得出：，． ∵， ∴， ∵ ∴在中，， 则， 解得：， 如图3，当点F在的延长线上时， 同上， 在中， 设，，， ， 在中， ， 则 解得， 则， 综上：的值为：或． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，是对角线，将沿折叠后，点的对应点E恰好落在的延长线上．若，，则的周长为（    ） A．20 B．28 C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．由平行四边形的性质得，，由折叠得得，，，因为点恰好落在的延长线上的点处，所以，，所以，在中，根据勾股定理列式计算，于是可得答案． 解：四边形是平行四边形， ，， 由翻折的性质，得，，， 点E在的延长线上， ， ． ． ， 在中，根据勾股定理，得， ． 的周长为． 故选：D． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，．点E为边的中点，点F为边上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则的长是 ．    【答案】或 【分析】分两种情况：当点在点左侧时，设交于点，过点作于点，则四边形为矩形，，由折叠可知，，由平行线的性质可得，于是，，利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求得，，于是，，则，代入计算即可得到答案；当点在点右侧时，设交于点，过点作于点，同理可得，，四边形为矩形，，利用相似三角形的性质求得，，进而去除，则，代入计算即可求解． 解：当点在点左侧时，如图，设交于点，过点作于点， 则， 点为边的中点， ， 四边形为矩形，， ，，， ， 四边形为矩形， ，， 由折叠可知，，， ， ， ，即， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ； 当点在点右侧时，如图，设交于点，过点作于点， 同理可得：，，四边形为矩形，，， 在中，， ， ，即， ，， ， ． 综上，的长是或． 故答案为：或． 【点拨】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 【考点21】勾股定理的应用 1．（2020·辽宁锦州·中考真题）如图，某海岸边有B,C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号） 【答案】海里 【分析】方法1：延长交延长线于点F，种用外角的性质可求得 ，利用直角三角形求得 ，利用直角三角形的性质求出BF的长，然后依次求出CF，CD的长，问题得以解决； 方法2：过点D作于点M，于点N，利用直角三角形的性质，在中， 先求得AB，再求AE；在中，先求ME，BM，再求DN；最后在中，求CD，问题得解； 方法3：设，则，利用直角三角形的性质，在中，求出DM= ，从而求得，最后在中，利用列方程求出x值 ，进而求得CD，问题得解； 方法4：过点E作于点G，利用直角三角形的性质,在中，求得AB，在中，求得AG，AD ,最后求得CD问题得解． 解：方法1： 解：如图1，延长交延长线于点F， 由题意得， ，， ， ． 在中，， ， ， ， （海里）， 答：此时乙船与C码头之间的距离为海里． 方法2： 解：如图2， 过点D作于点M，于点N，则四边形为矩形． ． 在中，， ，， ． ． ， ， ， ． 在中，． ， ， ． ． 在中，， ， （海里）． 答：此时乙船与C码头之间的距离为海里． 方法3：解：如图2，过点D作于点M,于点N，则四边形为矩形． ． 设，则， 在中，， ， ， ， ． 在中， ， ． （海里）． 答：此时乙船与C码头之间的距离为（海里）． 方法4： 如图3，过点E作于点G， 在中，， ， ， ． 在中，， ， ， ， ， ， ． 于点G， ， （海里）． 答：此时乙船与C码头之间的距离为海里． 【点拨】本题主要考直角三角形性质，特别是三角函数在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想． 2．（2024·江苏淮安·一模）点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理，先求出或，再根据平移规律得出的坐标为或，最后由勾股定理计算即可得出答案． 解：点在抛物线上， ， 解得：或， 或， 将抛物线进行平移得抛物线， 平移方式为：向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， 的对应点为的坐标为或， 点移动的最短路程为， 故选：C． 3．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【答案】10 【分析】如图（见分析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【点拨】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【考点22】勾股定理的逆定理 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．   （1）求图中阴影部分的面积； （2）设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 解：（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 2．（2023·四川乐山·模拟预测）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，则的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，如图，取格点K，连接，．观察图形可知，，，推出，解直角三角形求出即可． 解：如图，取格点K，连接，，则， 观察图形可知，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2023·四川内江·中考真题）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】由，可得，求解，证明，再利用正弦的定义求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴，，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明是解本题的关键． 篇二：压轴部分 【考点23】全等三角形为背景的压轴题 1．（2024·四川乐山·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点，连接，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，如图所示．由折叠得，，，进而得，证（），得，设，则，由勾股定理得，，进而求得，．又证明，得，利用相似三角形的性质求得、即可得解。 解：过点作于点，如图所示． 由折叠得，，， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴， 在和中， ∵，， ∴（）， ∴． 设，则，，， ∵， ∴，解得：， ∴，． ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：． 【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 2．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 【答案】/40度 【分析】连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，求出，求出的度数，再求出，求出，根据三角形的外角性质求出，再求出答案即可． 解：连接，过E作于R，交于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）作的角平分线和线段的垂直平分线相交于点D，即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形为正方形，设，则，，以为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出． 解：（1）解：如下图：即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F， 则， 又∵ ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设， ∴，， 在中，， 在中，， ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴． 【点拨】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键． 【考点24】等腰三角形为背景的压轴题 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． （1）求证：，； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【答案】（1）见分析；（2）①；②见分析 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②根据得到即可得到结论． 解：（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ； （2）解：①； 理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ②证明： ∵， ， ， ． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 2．（22-23九年级上·河南商丘·期末）如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到，若，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，点作轴于点，设，根据等边对等角可得，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据勾股定理可得，得到，根据旋转的性质可得， ，然后在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半和根据勾股定理可得，，据此即可求解． 解：过点作轴于点，点作轴于点，设， ∴， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵绕原点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 【点拨】本题考查了坐标与图形变化旋转，等边对等角，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，掌握旋转的性质和直角三角形的有关性质是解题的关键． 3．（2023·广东深圳·三模）如图，在中，，边上有一点，使，点是线段的延长线上的一点，连接，，且，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】过作交于，设，则， ，由勾股定理得到：，即可求出的长，由等腰直角三角形的性质求出的长，由平行线等分线段定理得到的长，由，得到，代入有关数据即可求出的长． 解：过作交于，    设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是由勾股定理求出CD的长；通过作辅助线构造相似三角形． 【考点25】直角三角形为背景的压轴题 1．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.  （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】（1）见详解；（2），理由见详解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 解：（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 2．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形斜中线定理，中垂线定理，连接，先证明，得出，再根据，求得与的关系式，运用这些性质和定理是解题的关键． 解：连接， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ． 【答案】3 【分析】连接，依据勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，进而得出是等腰三角形；再根据平行线的性质得出与相等，进而得到是等腰三角形，即可得出的长． 解：如图所示，连接， 设，， 在中，，，， ， 中，是的中点， ， 又， ， ，即， ， 又， ， ∴， 又∵， ∴， ， 又， ， ，即， ， ， 故答案为：3． 【点拨】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，直角三角形斜边上中线，等腰三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【考点26】勾股定理为背景的压轴题 1．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，得出，即可证明结论； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，解直角三角形得出，，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，得出，证明，得出，求出； （3）连接，证明，得出，求出，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出结果即可． 解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴在中根据勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，为上一点，为上一点，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．过点C作交的延长线于点，过点C作于点，证明推出，，得到和，据此求解即可． 解：如图，过点C作交的延长线于点，过点C作于点， ． ，， ， ，． ， ， ． 设， ，， ，． ， ， ． ， ， ， ． 故选：B． 3．（2025·上海奉贤·一模）如图，和中，，点M在边上，点N在边上，分割所得的两个三角形分别与分割所得的两个三角形相似，那么线段的长是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，牢记相似三角形判定方法是解题关键，分两种情况讨论分别根据相似三角形性质分别求解即可． 解：∵， ∴，， ∴， 如图，分的两个三角形与分的两个三角形相似， 当时，有， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，，则有， ∴，即， 又， ∴； 同理，当分的两个三角形相似存在 当时，有， ∴， 同理，当时，， ∴， 又， ∴， ∴； 综上，的长是4或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$