一元函数的导数及其应用测试题-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024-2025学年高二下学期数学<一元函数的导数及其应用> 测试题 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1．已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知曲线C：上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 8．直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 二、多选题（共3题；共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.） 9．函数，则（   ） A． B．的单调递增区间为 C．最大值为 D．有两个零点 10．设函数，则下列说法正确的是（    ） A．一定存在单调递减区间 B．存在a，b，使得没有最值 C．若既有极大值，又有极小值，则 D．令，，当时， 11．下列求导数的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．过点作曲线的切线，则切点坐标为 . 13．曲线的一条切线经过点，则该切线的斜率为 . 14．曲线在点处的切线方程为 ． 四、解答题（共5小题，13+15+15+17+17，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．求下列函数的导数： (1)； (2)． 16．已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 17．已知函数在处的切线与直线平行，其中. (1)求的值； (2)求函数在区间上的最值. 18．已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，时，求实数a的取值范围. 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年2月14日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A B C B C ABD BC 题号 11 答案 BC 1．C 【分析】根据平均变化率和导数概念判断即可. 【详解】解：因为 所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 2．A 【分析】求出函数的导函数，再根据计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：A 3．C 【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【详解】，所以， 故选：C. 4．A 【分析】求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 故选：A 5．B 【分析】根据导数的几何意义及直线的斜率公式结合图形可得结果. 【详解】根据导数的几何意义， 如图，分别表示在点处切线的斜率, 又， 由图可知， 故选：B. 6．C 【分析】设切点，利用切点处的导数等于切线的斜率，切点既在曲线上，又在直线上，联立求解即可. 【详解】设切点，故， 又切点在直线上，所以. 故选：C. 7．B 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线的倾斜角. 【详解】因为，所以，则， 所以曲线C在点P处的切线的斜率为，则倾斜角为. 故选：B 8．C 【分析】分别设两个切点，根据导数的几何意义分别求得切线方程，联立解方程即可. 【详解】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即， 所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 9．ABD 【分析】对函数求导，根据导函数的符号确定原函数的单调性，继而得到函数的极值，即可逐一判断A,B,C,再结合函数的趋势，利用零点存在定理，作出其图象即可判断D. 【详解】对于A，因的定义域为，则，故A正确； 对于B，由可得，即的单调递增区间为，故B正确； 对于C，由上分析，当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增，则时，取得最小值，故C错误； 对于D，由上分析，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 而当时，；当时，， 由零点存在定理，可知函数在区间和各有一个零点，故D正确. 故选：ABD. 10．BC 【分析】当时，即可根据基本函数的单调性求解AB，求导，根据极值的定义将问题转化为要有两个不相等的实数正根，即可利用判别式以及韦达定理求解C，求导，根据函数的单调性求解D. 【详解】若时，函数均为单调递增函数，因此为单调递增函数，此时函数无最大值，且无单调递减区间，故A错误，B正确， 对于C，，若既有极大值，又有极小值，则需要要有两个不相等的实数正根，所以，故，C正确， 对于D,，时，, ，故当时，单调递减， 令，则 ， 因为，所以，故在单调递增，故，即，故D错误， 故选：BC 11．BC 【分析】根据基本初等函数的导数和求导法则，逐一对各个选项分析判断即可得出结果. 【详解】选项A，因为是常数，所以，选项A错误； 选项B，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项B正确； 选项C，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项C正确； 选项D，根据复合函数的求导法则知，，选项D错误. 故选：BC. 12．/ 【分析】设出切点坐标，利用导数来求得正确答案. 【详解】由，得，，化简得，， 则，设切点为，显然不在曲线上， 则，解得，则切点坐标为. 故答案为： 13． 【分析】设切点为，利用导数几何意义及斜率两点式列方程求，即可得切线斜率. 【详解】因为，所以，设切点为，则， 所以，解得，所以，即切线的斜率为. 故答案为： 14． 【分析】由导数的几何意义即可求解. 【详解】由题可得，当时，， 即曲线在点处的切线斜率，所以所求切线方程为． 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则和复合函数的导数法则即可求解. 【详解】（1）设， 所以. （2）设，则. 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，说明函数的单调性，从而求出函数的最大值，从而求出参数的值. 【详解】（1）当时，则，， 所以，所以切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，则无最大值，故舍去； 当时，令，解得，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，即， 所以， 即，即，所以. 17．(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）利用导数知识可判断在区间上的单调性，据此可得在区间上的最值. 【详解】（1）由题可得：， 则，故； （2）， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 则. 故的最大值为，最小值为． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求导可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1），， ，， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2），则， 当时，，即在上单调递增. 当时，，与题意不符. 当时，，，在上单调递增； ，，在上单调递减. 当时，取得最大值，且为. 由题意可得，解得. 即实数的取值范围为. 19．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，对进行分类讨论，由导数符号与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：对分类讨论；方法二：参变分离，转换成不等式恒成立求参数，构造适当的函数，利用导数求最值即可得解. 【详解】（1）因为，，所以. 若，则恒成立， 此时的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）方法一：当时，，不符合恒成立. 当时，由（1）可知，. 因为恒成立，所以，解得，故a的取值范围为. 方法二：恒成立等价于恒成立. 令，则. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 则，故a的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$