贵州省镇宁民族中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年度第二学期高二数学第一次月考试卷 考试范围：一元函数的导数及其应用；考试时间：120分钟；命题人： 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共60分） 一、单选题 1．函数的导数=（    ） A． B． C． D． 2．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D．1 4．已知函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D．2 5．函数的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．设，若函数有极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若对都满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若函数在R上可导，且满足恒成立，常数则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 11．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（　　） A． B． C． D． 12．下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 13．已知函数，则函数在点处切线方程为 ． 14．设函数，若的两个极值点为，且，则实数a的值为 . 15．已知函数在上存在极值点，则正整数的值是 16．写出一个同时满足下列两个性质的函数： ． ①；②． 四、解答题 17．已知函数的图象经过点且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间． 18．已知函数． (1)若，求的极值； (2)若在上单调递增，求m的取值范围． 19．某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克． (1)求的解析式； (2)若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大． 20．已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值； （2）若，对恒成立，求的取值范围． 21．在①在定义域内单调递减，②在定义域内有两个极值点，③当时，恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题． 问题：已知函数，． （1）若______，求实数的取值范围； （2）函数，其中为的导函数，求的最值． 22．设函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，记的最小值为，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】利用基本初等函数导数公式求解即可. 【详解】由，得， 故选：A. 2．B 【解析】根据导数的计算公式，以及导数的运算法则，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误． 故选：B． 3．D 【分析】求出导函数，令求出即为切线的斜率. 【详解】令，得，得 故选：D 4．D 【分析】由导数判断单调性后求解 【详解】，令，得， 则的最大值为． 故选：D 5．B 【分析】 求导可得函数的单调性，进而结合零点存在性定理即可求. 【详解】 ，令，则，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时取最小值， 又，， 所以=0在上各有一解，所以有两个零点， 故选：B. 6．A 【分析】 根据函数存在极值点的条件得到方程，参变分离后即可求得范围. 【详解】因为， 所以，若函数有极值点， 则有解， 方程化为， 故选：A. 7．D 【分析】将问题转化为，利用导数求出函数的最值即可. 【详解】对都满足， 则， 由，， 可得， 令得，令得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，，， 所以， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：恒成立问题一般转化为最值问题来求解. 8．A 【分析】构造并求导，判断单调性，即可得结果. 【详解】令，则恒成立，故在上单调递增． ， ，即． 故选：A 9．CD 【分析】 利用导数公式及运算法则，求解即可. 【详解】对于选项A: ,,故选项A错误； 对于选项B: ,,故选项B错误； 对于选项C: ,,故选项C正确； 对于选项D: ,,故选项D正确； 故选：CD. 10．ABD 【解析】根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项. 【详解】根据导函数图像可知，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值. 所以A,B,D选项正确，C选项错误. 故选：ABD 【点睛】本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题 11．ABC 【分析】根据凸函数的定义，求导，即可根据二阶导数的正负判断. 【详解】对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数； 对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数； 对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数； 对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数， 故选：ABC 12．AC 【分析】 假设选项中的曲线与直线相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论. 【详解】选项A中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确； 选项B中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误； 选项C中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得， 当时，切点为，切线方程为，C正确； 选项D中，易知与有三个交点，， 又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误. 故选：AC 13． 【分析】 求导，求出斜率，写出切线方程. 【详解】由已知， 则，又， 所以切线方程为， 即. 故答案为：. 14．9 【分析】 由题意得，进一步结合韦达定理以及即可求解. 【详解】 ，由已知，从而， 所以，经验证此时，符合题意. 故答案为：9. 15．5 【分析】 利用导数可得导函数为0时或，则得到的范围. 【详解】， 时，或， 因为函数定义域为，则在左端点处无法取到极值， ，故对于正整数取5，经检验满足题意， 故答案为：5. 16．（答案不唯一） 【分析】由性质①，可能是指数函数，由性质②，是R上的减函数，可令满足题意. 【详解】由性质②，是R上的减函数， 且满足性质①，可以是指数函数， 所以函数符合题意. 故答案为：. 17．（1） ；（2）和. 【分析】（1）根据题意得，进而求出的值即可，注意检验是否在处取得极值； （2）求出导数，利用导函数大于0，即可求出单调递增区间. 【详解】（1）因为，则，由题意可知，即，解得，所以， ，令，则或，故在和上单调递增；令，则，故在上单调递减；所以在处取得极小值，故符合题意，所以 （2），令，则或，故的单调递增区间为和. 18．(1)极大值为e，无极小值 (2) 【分析】（1）通过对函数进行求导，通过判断导数与0的关系得出单调性即可得极值； （2）易得在上恒成立，通过分离参数法即可得结果. 【详解】（1）由得， 当时，，由得， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 又， ∴的极大值为e，无极小值． （2）由在上单调递增得在上恒成立， 即在上恒成立，∴，易知， ∴，即m的取值范围为． 19．(1)， (2)元千克 【分析】 （1）依题意可得当时，，当时，，即可得到关于、的方程组，解得即可； （2）设每日销售该商品获利元，即可得到的解析式，再利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而得解. 【详解】（1）由题意可知，当时，， 当时，， 即，解得， 所以，， （2） 设每日销售该商品获利元，则 ， 则， 令，得或舍去， 所以时，，为增函数， 时，，为减函数， 所以时，取得最大值， ， 所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大． 20．（1）；（2） 【分析】（1）对求导，，解方程组求出，即可．（2）将代入，利用参变分离可以将问题转化为在 恒成立，求出的最小值，令即可． 【详解】（1），， 由，得， （2）因为，， 等价于， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题． 21．（1）答案见解析；（2），没有最小值. 【分析】（1）若选①：则在上恒成立，求出函数的导函数，再参变分离得恒成立，利用导数研究函数的单调，即可得到函数的最大值，从而求出参数的取值范围． 若选②：则方程在定义域内有两个根，求出函数的导函数，参变分离得到关于的方程有两个根，再利用导数研究函数的单调性，即可得解． 若选③：则当时，恒成立，参变分离得到恒成立，利用导数说明函数的单调性与最值，即可得解． （2）因为，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性与最值； 【详解】解：（1）若选①：因为在定义域内单调递减， 所以在上恒成立． 因为， 所以，即恒成立． 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以． 若选②：因为在定义域内有两个极值点， 所以方程在定义域内有两个根． 因为， 所以，即关于的方程有两个根． 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 因为当时，；当时，， 所以． 若选③：因为当时，恒成立， 所以，即恒成立． 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以． （2）因为，所以． 因为在上单调递减，且． 所以当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，没有最小值． 22．（1）见解析；（2）见解析. 【详解】试题分析：（1）函数的定义域为，对函数求导得，对实数分分两种情况讨论，得出单调性；（2）由（1）知，， ，，所以单调递减，又，，所以存在，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，再证明出． 试题解析（1）的定义域为， ， 当时，，在上单调递增； 当时，当，，单调递减； 当，，单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知， ， 即. 解法一： ，， ∴单调递减， 又，，所以存在，使得， ∴当时，，单调递增； 当时，，单调递减； ∴ ，又，即，， ∴ ，令，则在上单调递增， 又，所以，∴. 解法二：要证，即证，即证：， 令，则只需证， ， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以 ， 所以，即. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论思想，解答时要认真审题，仔细作答，注意导数的应用． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$