精品解析：湖北省2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题

湖北省2024-2025学年秋季学期高一期末联考 数学试卷 命题单位：宜昌市教科院 审题单位：随州市教科院 荆门市教研室 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为，面积为，则这个扇形钢板的半径约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边过，则（ ） A. 角为第二象限角 B. C. 当时， D. 的值与的正负有关 10. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为减函数 D. 为奇函数 11. 已知，函数，若恒成立，则（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则_____. 13. 若，且，则_____. 14. 给出定义：若 （其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知. （1）_____； （2）若方程恰有5个实数根，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围. 17. 已知，函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解不等式：. 18. 某企业生产一批产品，受工艺和技术水平的限制，在生产中会产生一些次品，其次品率与日产量（单位：千件）之间满足如下关系：（且）.每生产1千件合格品企业平均可以获利5万元，但每生产1千件次品企业平均亏损7万元.（注：次品率，盈利=获利总额-亏损总额.） （1）求企业日盈利（单位：万元）关于日产量的函数关系式； （2）当日产量为多少时，企业日盈利最大？ 19. 用表示中的最小值，用表示 中的最大值. （1）已知，求的值； （2）已知，求的最大值； （3）已知，函数 ，试讨论函数的零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省2024-2025学年秋季学期高一期末联考 数学试卷 命题单位：宜昌市教科院 审题单位：随州市教科院 荆门市教研室 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件，根据交集的定义直接求结论即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题“，”的否定为“，”可得结论. 【详解】命题“，”的否定为“，”可得 命题“”的否定是“”. 故选：D. 3. 截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为，面积为，则这个扇形钢板的半径约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设扇形的半径为，由条件结合扇形面积公式列方程求结论. 【详解】设扇形的半径为， 由扇形面积公式可得，又， 可得（）， 故选：C. 4. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断在是连续的增函数，再结合零点存在性定理可求得结果. 【详解】因为和在上都是连续的增函数， 所以在上是连续的增函数， 所以在上至多有一个零点， 因为，， 所以， 所以唯一的零点所在的区间为， 故选：C 5. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式，求出的充要条件，与对比，即可求解. 【详解】， “”是“”的必要不充分条件. 故选:B. 【点睛】本题考查充分必要条件，等价转化是解题的关键，属于基础题. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，分析该函数的奇偶性及在上的函数值符号，以及与的大小关系，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】易知函数的定义域为， 因为，所以，函数为奇函数，排除D. 又当时，，则，排除C. 又，排除B. 故选：A. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助指对运算与不等式的性质，采用放大估值法分别比较与0的大小可得. 【详解】由题意得，， 要比较与0的大小，即比较的大小. 由，， 可得，故； 又， 故，所以， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边过，则（ ） A. 角为第二象限角 B. C. 当时， D. 的值与的正负有关 【答案】BC 【解析】 【分析】考虑，判断A错误；结合三角函数定义求，判断B，结合三角函数定义求判断C，结合三角函数定义求直接求判断D. 【详解】由，角的终边在第四象限，显然A错误； 由定义，，B项正确； 当时，， 所以，所以C项正确； 因为，与的正负无关，所以D项错误， 故选：BC. 10. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为减函数 D. 为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件等式取，可求，取，可求，取，求，判断A，取，判断B，结合减函数定义及的大小判断C，取，结合奇函数定义判断D. 【详解】因为，， 令，可得，则， 令，可得，则. 对于A选项：令，可得，所以A正确； 对于B选项：令可得，所以B正确； 对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误； 对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，可得， 所以，所以为奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知，函数，若恒成立，则（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数，的单调性，条件可转化为共零点，由此可得。结合基本不等式判断各选项. 【详解】因为​单调递增，​单调递增，​恒成立， 所以​与​零点相等， 令可得， 令可得 所以函数的零点为，函数的零点为， 所以​ 对于A选项：​， 可知​， 故​，所以​， 当且仅当​，即​取等号，所以A正确； 对于B选项：​，可知​，即​，显然​， 所以​， 当且仅当​时等号成立，故B错误； 对于C选项：由​可知​，易知​，​， 故​， 所以​， 故​，当且仅当​，即​取等号，所以C正确； 对于D选项：由​可知，​， 由A选项可知​，所以​，当且仅当​取最小值​，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则_____. 【答案】8 【解析】 【分析】将点代入函数的解析式求，再求可得结论. 【详解】由题意得，， 解得， 所以. 故答案为：. 13. 若，且，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】解法1：联立与，由已知可得，即可解出的值； 解法2：由结合化简得出，再与联立可求得的值； 解法3：令，由平方关系可得出关于的值，分析出，可求出的值，与已知等式联立可求得的值. 【详解】解法1：由已知得， 与联立可得， 故， 因为，则，所以. 解法2：由可知， 因为，则，，则， 由于，则， 联立，解得，即. 解法3：由，构造对偶式，令， 两式平方相加可得 ， 因为，则，，则， 即或（舍）， 所以，解得. 故答案为：. 14. 给出定义：若 （其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知. （1）_____； （2）若方程恰有5个实数根，则实数的取值范围是_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由定义即可求解第一空，结合新定义，画出函数图像，构造不等式求解即可解决第二空； 【详解】因为， 所以， 所以； ， 画出的图象， 要使方程恰有5个实数根， 结合图像可知，，解得. 故答案为：； 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用特殊角的函数值求解. （2）由（1）的信息，利用齐次式法计算即可. 【小问1详解】 依题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）及，得，解得， 所以 . 16. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）确定，由包含关系构造不等式求解即可； （2）由和两种情况讨论即可； 【小问1详解】 由，可得或， 即集合或： 由，得或， 解得或. 【小问2详解】 易知集合的区间长度为6，故中最少有5个整数，而集合中端点“”与“7”相距8个单位，故要使集合中恰有3个整数，则有两种情形： ①当即，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为，，， 则，可知 ②当即时，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为7，8，9， 则，可知 综上可知 17. 已知，函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解不等式：. 【答案】（1） （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）法一：由奇函数的定义列出等式即可求解，法二：由，并验证即可求解； （2）由单调性的定义即可求证； （3）通过函数单调性、奇偶性去，求解即可； 【小问1详解】 解法一：因为为奇函数，所以， 即，亦即， 解得. 解法二：因为为奇函数，所以，即， 解得. 此时，所以 所以符合题意，故. 【小问2详解】 为增函数. 证明如下：设且， 则. 因为，所以，即， 故，所以为增函数. 【小问3详解】 原不等式即为. 又由（1）可知为奇函数，所以. 又由（2）可知为增函数，所以，即， 解得. 所以原不等式解集为. 18. 某企业生产一批产品，受工艺和技术水平的限制，在生产中会产生一些次品，其次品率与日产量（单位：千件）之间满足如下关系：（且）.每生产1千件合格品企业平均可以获利5万元，但每生产1千件次品企业平均亏损7万元.（注：次品率，盈利=获利总额-亏损总额.） （1）求企业日盈利（单位：万元）关于日产量的函数关系式； （2）当日产量为多少时，企业日盈利最大？ 【答案】（1），（且） （2）当，时，日产量（千件）时，企业盈利最大； 当，时，日产量（千件）时，企业盈利最大. 【解析】 【分析】（1）根据给定的模型分段求出函数关系. （2）由（1）的结论，利用换无法，结合基本不等式及对勾函数的性质分段求出最值情况即得. 【小问1详解】 依题意，， 当时，，则， 当时，，则， 所以日盈利关于日产量的函数关系式为，（且）. 【小问2详解】 由（1）知，当时，企业不盈利，则只需考虑时的情况， 设，，则，且， 则， ①当，即时，， 当且仅当，即时，取最大值27万元，此时千件； ②当，即时，，函数在上单调递增， 函数在上单调递减， 则当，即千件时，取最大值，最大值为万元， 所以当，时，日产量（千件）时，企业盈利最大； 当，时，日产量（千件）时，企业盈利最大. 19. 用表示中的最小值，用表示 中的最大值. （1）已知，求的值； （2）已知，求的最大值； （3）已知，函数 ，试讨论函数的零点的个数. 【答案】（1） （2） （3）当时，有个零点；当时，有个零点；当时，有个零点. 【解析】 【分析】（1）结合对数函数，指数函数性质及，比较大小，结合定义求； （2）解法一：由定义可得，两式相乘，基本不等式变形分子求结论； 解法二：由定义可得，两式相乘，基本不等式变形分母求结论； 解法三：由定义可得，两式相乘，设，利用判别式法求的最大值，可得结论； （3）求函数的零点，结合判别式，分别在，，，，时研究函数的零点，由此求结论. 【小问1详解】 由对数函数性质知，即. 又由指数函数性质知，即. 又因为， 所以，即. 【小问2详解】 解法一：由，可得，且. 则， 所以，当且仅当即，时取等号， 所以的最大值为. 解法二：由，可得，且. 则，所以， 当且仅当即，时取等号，所以的最大值为. 解法三：由，可得，且. 所以. 下面研究的最大值： ，令，，则有. 由及可得，故的最大值为. 接下来验证取等号的条件. 当时，，所以取等号的条件为即，时取等号， 所以，故的最大值为. 【小问3详解】 ，，由可得. 对，则 ①当，即时，恒成立， 所以的零点也为的零点，故有个零点； ②当，即或. （i）当时，， 此时，是的个零点. （ii）当时，， 当时，，， 当时，，当且仅当， 所以有个零点，和. ②当，即或，有个零点，记为. 所以， （i）当时，，，且关于对称， 又，则必有，， 所以时，，， 若，则，此时，， 函数的零点为. 若，则，此时，， 函数的零点为. 若，则，此时， 函数的零点为. 此时无论取何值，必有个零点. （ii）当时，关于对称，且， 则当时，，此时， 当时，有个零点，这个零点且也是的零点，此时函数有个零点. 综上所述：当时，有个零点；当时，有个零点；当时，有个零点. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $