精品解析：湖北省部分重点中学2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题

2024-2025学年度上学期 湖北省部分重点中学高二年级期末联考 数学试卷 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 数列-1，3，-5，7，…的第9项是（ ） A. -17 B. 17 C. -19 D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】通过列举即可求解. 【详解】由数列规律可得： -1，3，-5，7，-9，11，-13，15，-17，… 所以第9项是-17， 故选：A 2. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（ ） A. 至少有1名女生与全是女生 B. 恰有1名女生与恰有2名女生 C. 至少有1名女生与全是男生 D. 至少有1名女生与至多有1名男生 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念逐项判断可得结果. 【详解】“从中任选2名同学参加比赛”所包含基本情况有：两男、两女、一男一女. A. “至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，与“全是女生”可以同时发生，不是互斥事件，A错误. B.“恰有1名女生” 表示一男一女，与“恰有2名女生”不可能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件，B正确. C.“至少有1名女生”与“全是男生”是互斥事件也是对立事件，C错误. D.“至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，“至多有1名男生” 包含的基本情况有：两女、一男一女，可以同时发生，不是互斥事件，D错误. 故选：B. 3. 已知，动点C满足，则点C的轨迹是（　　） A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】由，作出判断即可． 【详解】因为， 所以，知点C的轨迹是线段AB． 故选：C. 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转换成标准方程即可求解； 【详解】由， 可得：， 所以焦点坐标为：， 故选：C 5. 已知直线与直线平行，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行的充要条件直接列式求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或. 故选：D. 6. 如图所示，ABCD—EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解. 【详解】如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， ， ，， ， 所以点P到的距离． 故选：B 7. 若等差数列的前项和为,则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式,判断的正负,进而判断是否为充分条件,当时,的正负无法判断,则的正负无法判断,进而判断不是必要条件,综上即可选出选项. 【详解】解:由题知为等差数列的前项和, 当有成立时, , , , , , 所以“”是“”的充分条件, 当有成立时,的正负无法判断, , 则的正负无法判断, 则“”不是“”的必要条件, 综上: “”是“”的充分不必要条件. 故选:C 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，且线段的中点在C的渐近线上，当点P在C的右支上运动时，的最小值为6，则此双曲线的焦距为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】结合双曲线的定义可得，进而可得，再由线段的中点在C的渐近线上得到，从而求得即可得解. 【详解】依题意，， 当三点共线时，取等号，此时，即， 因为渐近线为， 又的中点坐标为，代入渐近线方程得，则， 所以，则，得，所以， 则此双曲线的焦距为. 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，有错选的得0分，部分选对的得部分分． 9. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（ ） A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为 C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】计算各事件的概率判断各选项是否正确. 详解】设事件：甲投篮一次，命中；事件：乙投篮一次，命中. 则事件，独立. 对A选项：由，故A正确； 对B选项：由，故B正确； 对C选项：由，故C错误； 对D选项：由，故D正确. 故选：ABD 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 【答案】AD 【解析】 【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以， 显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C错误； 令， 所以的前30项和为： ，故D正确. 故选：AD. 11. 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 若是棱的中点，则与平面平行 C. 若四边形的边界及其内部有一点，，则点的轨迹长度为 D. 若为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，推出“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点，再结合立体几何证明线面垂直、线面平行的判定定理，以及向量法求空间角，对选项逐一判定. 【详解】如图所示，“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点. 对于A选项，由图可知平面，A选项正确； 对于B选项，根据正方体的几何性质，易知平面平面， 而与平面相交，故与平面不平行，B选项错误； 对于C选项，半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为4， 在正方体中，平面，得， 故， 所以点的轨迹是以为圆心、2为半径的圆， 又点在四边形的边界及其内部，所以点的轨迹是劣弧， 所以点轨迹长度为，故C正确； 对于D选项，如图建立空间直角坐标系， 则，，， 设，则， 所以，，， 设平面的法向量为，与平面所成角为， 则，取，则， ， 由，可得，故D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则实数λ=______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，可求的值. 【详解】因为， 由， 所以. 故答案为： 13. 已知，为椭圆的左右焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，是关于坐标原点对称的两点，且知四边形为矩形，进而得到，，的比例关系，求出离心率. 【详解】连接，，， ，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，为的中点， 又为的中点且，四边形为矩形， 不妨设，则， . 故答案为： 14. 如图，直角中，，，作的内接正方形，再做的内接正方形，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列，其前项和为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形相似比求得相邻两个正方形的边长之比，和第一个正方形的边长，然后可得面积构成等比数列，利用等比数列求和公式可得. 【详解】由可得， 因为，所以，即， 又，所以，即，所以. 由上可知，， 同理可得，所以， 即数列是以为首项和公比的等比数列， 所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，O为坐标原点，圆C为的外接圆． （1）求圆C的方程； （2）过原点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法列式求解即得. （2）由圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求解即得. 【小问1详解】 设的外接圆的方程为， 由A，B，O均在圆C上，得，解得， 所以圆C的方程为. 【小问2详解】 由（1）知圆心，半径为，由直线l被圆C截得的弦长为， 得点C到直线l的距离为， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，则， 两边同时平方得，解得或， 当直线l的斜率不存在时，不满足条件， 所以直线l的方程为或. 16. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式； （2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出. 【小问1详解】 因为为等差数列，设公差为d， 由，得，即， 由，，成等比数列得，， 化简得，因为，所以． 所以． 综上． 【小问2详解】 由知，， 又为公比是3的等比数列，， 所以，即， 所以，， 所以 . 综上. 17. 已知数列的前项和为，，，． （1）证明：为等差数列； （2）在数列中，，，若的前项和为，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式，结合等差数列的定义即可得证； （2）利用（1）中结论求得，进而利用累乘法求得，再利用裂项相消法求得，从而得证. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知：， 则， 又，所以， 所以 ， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． （1）平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再结合面面垂直的性质分析证明； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，利用空间向量结合线面平行可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为，为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得 由题意可知：平面的法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 线段上是否存在一点，使平面. 设，则， 若平面，则， 可得，解得， 即，可知， 所以存在点，使平面，此时. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为， （1）求的方程； （2）证明：为定值； （3）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率及所过点求椭圆方程； （2）设点，且，得，点差法及斜率两点式求，即可证； （3）设弦的中点，点重心,，联立直线与椭圆，应用韦达定理及重心坐标性质得坐标与m的表达式，代入椭圆求参数，即可得直线方程. 【小问1详解】 由已知，得，解得，则椭圆的方程为； 【小问2详解】 依题意，可设点，且， 点关于原点的对称点为， 点在上，，作差得， 直线的斜率为，直线的斜率为， ，即为定值； 【小问3详解】 设弦的中点，点重心,， 由，得， ，且， 的重心在轴上，， ， 则， 在上的投影向量相等，则，且， 则直线的方程为， ，得，又点在上， ，即 又，则直线的方程为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期 湖北省部分重点中学高二年级期末联考 数学试卷 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 数列-1，3，-5，7，…的第9项是（ ） A. -17 B. 17 C. -19 D. 19 2. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（ ） A. 至少有1名女生与全是女生 B. 恰有1名女生与恰有2名女生 C. 至少有1名女生与全男生 D. 至少有1名女生与至多有1名男生 3. 已知，动点C满足，则点C的轨迹是（　　） A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 点 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线平行，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图所示，ABCD—EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 若等差数列的前项和为,则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知双曲线左、右焦点分别为，，点，且线段的中点在C的渐近线上，当点P在C的右支上运动时，的最小值为6，则此双曲线的焦距为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，有错选的得0分，部分选对的得部分分． 9. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（ ） A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为 C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 11. 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 若是棱的中点，则与平面平行 C. 若四边形的边界及其内部有一点，，则点的轨迹长度为 D. 若为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则实数λ=______． 13. 已知，为椭圆的左右焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则椭圆的离心率为__________. 14. 如图，直角中，，，作的内接正方形，再做的内接正方形，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列，其前项和为_________. 四、解答题：本大题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，O为坐标原点，圆C为的外接圆． （1）求圆C方程； （2）过原点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 16. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 17. 已知数列的前项和为，，，． （1）证明：为等差数列； （2）在数列中，，，若的前项和为，证明：． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． （1）平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为， （1）求的方程； （2）证明：为定值； （3）若上存在点使得，在上投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $