专题05 极值点偏移问题（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第二册）

专题05 极值点偏移问题 目录 【题型一 极值点偏移（对称化构造法）】 2 【题型二 极值点偏移（差值代换法）】 4 【题型三 极值点偏移（比值代换法）】 5 【题型四 极值点偏移（对数（指数）不等式】 7 一、极值点偏移（对称化构造法） 主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)构造函数，即对结论型，构造函数或； (3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 二、极值点偏移（差值代换法） 差值代换法（韦达定理代换令.） 差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 三、极值点偏移（比值代换法） 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 四、极值点偏移（对数（指数）不等式） （1）对数均值不等式法 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． （2）指数不等式法 在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系： 【题型一 极值点偏移（对称化构造法）】 1．（23-24高二下·河南信阳）已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设，是的两个零点，证明：． 2．（23-24高三上·江苏南通）已知，其极小值为-4. (1)求的值； (2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：. 3．（24-25高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知，， (1)若恒成立，求的最大值 (2)若，是的两个零点，且求证： 4．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)证明：f（x）在R上为增函数； (2)若f（x1）＋f（x2）＝e，x1＜x2，证明：x1＋x2＜2． 5．（24-25高三上·河南新乡·阶段练习）已知函数. (1)求的极值. (2)若，，证明：. 【题型二 极值点偏移（差值代换法）】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若是定义域上的增函数，求的取值范围； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，证明：. 2．（2024高三·全国·专题练习）若是函数的两个零点，且，求证：且． 3．（2025·全国·模拟预测）已知函数，. (1)若函数是增函数，求的取值范围； (2)已知、为函数（为函数的导函数）图象上任意的两点，设直线的斜率为，证明：. 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数，的导函数为. (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，求证：方程在上有两个不同的实数根，且. 【题型三 极值点偏移（比值代换法）】 1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）设函数的两个极值点分别为，． (1)求实数的取值范围； (2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）． 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，函数． (1)当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值； (2)当时，若，求证： 3．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数.且函数有两个零点， (1)求实数a的取值范围； (2)设的两个零点，且，求证：. 4．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，函数． (1)若没有任何一段区间使函数与函数同时单调递增或同时单调递减，求的取值范围； (2)若方程有两个不同的解． ①求的取值范围； ②若，证明：. 5．（24-25高三上·天津南开·期末）已知函数. (1)求曲线在其零点处的切线方程； (2)若方程有两个解，且. （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 【题型四 极值点偏移（对数（指数）不等式】 1．（2024·广东·二模）已知. (1)求的单调区间； (2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由. 2．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)任取两个正数，当时，求证：. 3．（2025·湖北·模拟预测）已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数． (1)求函数的极值； (2)若方程有两个不相等的实数根，． ①证明：； ②证明：． 4．（24-25高三上·山东潍坊）已知函数． (1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程； (2)若函数f（x）有三个极值点，，，且．证明：． 5．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数（a为常数）. (1)求函数的单调区间； (2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：. (3)若有两个零点，，证明：. 6．（23-24高二下·湖南）已知函数. (1)若方程有3个零点，求实数的取值范围； (2)若有两个零点，求证：，且. 一、解答题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若方程有两个根，证明:. 2．（2024·四川成都·模拟预测）定义运算：，已知函数． (1)若函数的最大值为0，求实数a的值； (2)证明：． (3)若函数存在两个极值点，证明：． 3．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，其中． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，若且，比较与的大小，并说明理由 4．（2024高三·全国·专题练习）设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 5．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 6．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； (3)若有两个实数解，，证明：. 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：． 9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，； (3)如果，且，证明：． 10．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． 11．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根，且，证明：. 12．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 13．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数（其中是自然对数的底数）． (1)试讨论函数的零点个数； (2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 极值点偏移问题 目录 【题型一 极值点偏移（对称化构造法）】 2 【题型二 极值点偏移（差值代换法）】 8 【题型三 极值点偏移（比值代换法）】 16 【题型四 极值点偏移（对数（指数）不等式】 23 一、极值点偏移（对称化构造法） 主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)构造函数，即对结论型，构造函数或； (3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 二、极值点偏移（差值代换法） 差值代换法（韦达定理代换令.） 差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 三、极值点偏移（比值代换法） 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 四、极值点偏移（对数（指数）不等式） （1）对数均值不等式法 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． （2）指数不等式法 在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系： 【题型一 极值点偏移（对称化构造法）】 1．（23-24高二下·河南信阳）已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设，是的两个零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求导确定函数的单调性，即可根据最大值求解， （2）构造函数，利用导数求解单调性，即可求解. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，，在上递增，至多一个零点，不符合题意，舍去； 当时，令得，所以在上递增， 当，此时在上递减， 所以的极大值也是最大值，∴． 又时，；趋向于时，趋向于． 所以，有两个零点，a的取值范围为． （2）不妨设，由，则． 构造函数，   ， 因为，，∴，即，所以在是递增，又，所以，∴， ∴． 又，∴． 而，，在上递减，所以，，即，所以，． 2．（23-24高三上·江苏南通）已知，其极小值为-4. (1)求的值； (2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：. 【答案】(1)3 (2)证明见解析 【知识点】根据极值求参数、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求导，分、和三种情况求的极小值，列方程求解即可； （2）构造函数，根据的单调性和得到，再结合和的单调性即可得到；设，通过比较和的大小关系得到，，再结合即可得到. 【详解】（1）因为，所以. 当时，， 所以单调递增，没有极值，舍去. 当时，在区间上，，单调递增， 在区间上，，单调递减， 在区间上，，单调递增， 所以当时，的极小值为，舍去 当时，在区间上，，单调递增， 在区间上，，单调递减， 在区间上，，单调递增， 所以当时，的极小值为. 所以. （2）由（1）知，在区间上，，单调递增， 在区间上，，单调递减， 在区间上，，单调递增， 所以不妨设. 下面先证. 即证，因为，所以， 又因为区间上，单调递减， 只要证，又因为， 只要证，只要证. 设， 则， 所以单调递增， 所以，所以. 下面证. 设，因为， 在区间上，；在区间上，. 设，，因为， 所以，所以. 设，，因为， 所以，所以. 因为，所以， 所以. 【点睛】极值点偏移问题中（极值点为），证明或的方法： ①构造， ②确定的单调性， ③结合特殊值得到或，再利用，得到与的大小关系， ④利用的单调性即可得到或. 3．（24-25高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知，， (1)若恒成立，求的最大值 (2)若，是的两个零点，且求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）将问题转化为，再求最小值，然后解不等式即可； （2）通过构造函数，再研究其单调性，通过单调性解不等式即可. 【详解】（1）时，， 设，则恒成立恒成立， 易知符合要求，下面考虑的情形， 由，得时，；时，， 因此，在区间上为减函数，在上为增函数，故的最小值为， 由，得，解得， 所以的最大值为. （2）由（1）知，，是的两个零点，结合的单调性可知，， 若，则显然成立， 若，设（）， 则，， 所以，在区间上为增函数，因此有， 因此，，， 又，，且在区间上为减函数， 所以，，即. 综上，. 4．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)证明：f（x）在R上为增函数； (2)若f（x1）＋f（x2）＝e，x1＜x2，证明：x1＋x2＜2． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求出函数导数，利用导数建立不等式求解即可； （2）将原不等式转化为，构造函数，利用导数得到函数为增函数，故得证. 【详解】（1）由题意，， 令，则，令，则， 故在区间上，，为减函数； 在区间上，，为增函数， 故，故在R上为增函数； （2）由（1）知为增函数，且，故由，， 可得，则． 欲证：，只需证：，即证：， 即证：． 令， 则， 令，则， 故为增函数，， 故为增函数，， 故，则，原式得证． 5．（24-25高三上·河南新乡·阶段练习）已知函数. (1)求的极值. (2)若，，证明：. 【答案】(1)极大值为，的极小值为 (2)证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性即得解； （2）由（1）可知，设，，证明在上恒成立，即得解. 【详解】（1）（1）由题意可得. 当或时，；当时，. 所以在与上单调递增，在上单调递减. 故的极大值为，的极小值为. （2）证明：由（1）可知. 设，， 则 . 设，则. 因为，所以在上恒成立，即在上单调递增， 因为，所以在上恒成立，即在上单调递增， 因为，所以在上恒成立. 因为，所以， 因为，所以. 由（1）可知在上单调递增，且，， 则，即. 【题型二 极值点偏移（差值代换法）】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若是定义域上的增函数，求的取值范围； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求导后参变分离，将问题转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的图象与性质求解； （2）要证，转化要证，即证.再构造函数，证明，令，运用导数研究单调性，进而得到最值.再构造函数，同理得到最值，进而得到即可； （3）先借助导数，运用方程实数根个数，求出的大致范围，化简，进而将要证的不等式进行转化， 即证，再转化为证明，最后换元，令，即证.构造函数，借助导数进行证明即可. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 在上恒成立，即在上恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即实数的取值范围是. （2）当时，，， 所以要证，即证，即证. 构造函数，证明， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立. 再构造函数，证明， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立， 综上所得，所以， 又等号不同时成立，（取等号的条件是，取等号的条件是） 所以，即. （3）先求出的大致范围，. 由题意知是方程的两个不同的根. 设，则方程有两个不同的正实数根， 所以，解得. 再化简， ，则， 所以. 由，得， 所以要证，即证，即证，即证， 即证，即证. 令，即证. 令， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以不等式成立. 【点睛】方法点睛：含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变量，处理此类问题有两个策略： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的条件，把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解； 二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解. 2．（2024高三·全国·专题练习）若是函数的两个零点，且，求证：且． 【答案】证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】方法一：根据题意，得，令，对于，其等价于，构造函数，即可得证；令，则，构造函数，即得证； 方法二：由函数单调性，知，有，，则，且，，令，利用导数可证；令，利用导数可证. 【详解】方法一：比值代换 因为，由题意结合可知，，， 所以． 令，则，，代入上式得， ．对于，其等价于，即． 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即得证． 对于，其等价于，即，即． 令，则，构造函数，则， 在上单调递减，所以，即得证． 方法二：差值代换 由可得． 设函数，则， 当，，则函数在上单调递减， 当，，则函数在上单调递增， 所以，则有，，则，且，． 对于，即，即，即， 令，则，则只需证． 令，则，， 则在上单调递增，则， 则在上单调递增，则，即成立． 对于，其等价于，即，即． 左边分子、分母同时除以，得，令，则， 则只需证，即． 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，故，所以， 所以在上单调递减，所以，即成立． 3．（2025·全国·模拟预测）已知函数，. (1)若函数是增函数，求的取值范围； (2)已知、为函数（为函数的导函数）图象上任意的两点，设直线的斜率为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究能成立问题、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）分析可知在上恒成立，由参变量分离法可得，，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （2）由已知可得，将所证不等式变形为，，则，即证，再证，可得出，再利用不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】（1）解：易知的定义域为. 因为函数是增函数，所以在上恒成立， 所以在上恒成立. 设，则， 因为当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以的取值范围是. （2）证明：因为、是图象上的任意两个点，且， 所以. 要证，即证， 不妨先证，即证， 令，则，即证. 令，则， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以，即，即. 再证，设，则， 设，则，则在上单调递增， 因为，， 所以存在，使得，即， 且当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以，所以， 所以原不等式成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数，的导函数为. (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，求证：方程在上有两个不同的实数根，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）先由导数证明，再由，得出，求出的最小值得出实数a的取值范围； （2）将条件转化为方程在上有两个不同的实数根，由函数单调性得出取值范围，利用换元法得出得，再由的单调性证明不等式. 【详解】（1）， 设，则， 所以在上单调递增，， 所以令，得，即. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以，此时，在上单调递增， 故a的取值范围是. （2）要证在上有两个不同的实数根. 即证方程在上有两个不同的实数根， 即证方程在上有两个不同的实数根， 由（1）知在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，， 又，， 所以方程在上有两个不同的实数根，，且. 因为，所以， 又，所以，（点拨：根据函数的单调性得到的范围） 易知，， 两式分别相加、相减得，， 得， 设，则，， 所以.（换元，将双变量问题转化为单变量问题） 设，则， 所以在上单调递减，所以，得证. 【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于利用，将双变量转化为单变量问题，再由导数证明不等式. 【题型三 极值点偏移（比值代换法）】 1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）设函数的两个极值点分别为，． (1)求实数的取值范围； (2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）由题意知有两个不相等的实根，转化为两个函数有两个交点问题，根据单调性画出函数图象，由此得到的取值范围. （2）将不等式取自然对数化简整理，构造函数，求导分析，即可求正数的取值范围 【详解】（1）由题，定义域为． 则，由题可得有两个不等实数根，， 于是有两个不同的实数根，等价于函数与图象在有两个不同的交点， ，由，由， 所以在递增，在递减， 又，有极大值为，当时，，所以可得函数的草图（如图所示）．    所以，要使函数与图象在有两个不同的交点，当且仅当． 即实数的取值范围为 （2）由（1）可知：，是方程的两个实数根，且． 则 ． 由于，两边取自然对数得， 即， 令，则在恒成立． 所以在恒成立 令，则． ①当即时，，在递增，所以恒成立，满足题意． ②当时，在递增，在递减，所以，当时，， 因此，在不能恒成立，不满足题意． 综上所述，，即的取值范围是． 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，函数． (1)当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值； (2)当时，若，求证： 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）分别对，求导，讨论和，得出和的单调性，即可求出，的极小值，即可得出答案. （2）首先将函数零点代入函数，变形为，不等式转化为，再利用换元，构造函数，，利用导数证明不等式成立，即可证明. 【详解】（1），定义域均为， ，   当时，则，在单调递增，无极值，与题不符； 当时，令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 在取极小值，且；     又， 当时：，在单调递减，无极值，与题不符； 当时：令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 在取极小值，且； 依题意， 解得：， （2）当时，， 由题意可知，，两式相减得， 整理为， 要证明，即证明， 不妨设，即证明，即， 设，即证明， 设， ， 所以函数在区间单调递减，且， 即在区间恒成立，即, 即，得证. 3．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数.且函数有两个零点， (1)求实数a的取值范围； (2)设的两个零点，且，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题 【分析】(1)先利用导数分析函数单调性，分，两种情况，结合边界、极值正负分析即得解； (2)利用零点的意义建立关系式，再对所证不等式等价变形，然后构造函数，利用导数探讨函数单调性推理作答. 【详解】（1）函数的定义域为，对函数求导得， 当时，，函数在上单调递增，至多有一个零点，不成立； 当时，，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时， 故若函数有两个零点，则极大值， 解得：. 故实数a的取值范围是. （2）由(1)可知， 因是函数的两个零点，则，即，， 要证，两边同时取自然对数，只需证明， 只需证明，即证， 只需证，即证， 令，而，则，只需证明， 令函数，，求导得： 令函数，，求导得， 则函数在上单调递增，于是有， 因此，函数在上单调递减，则，即成立， 所以原不等式得证. 【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理. 4．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，函数． (1)若没有任何一段区间使函数与函数同时单调递增或同时单调递减，求的取值范围； (2)若方程有两个不同的解． ①求的取值范围； ②若，证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究双变量问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先研究两个函数的单调性，再根据条件求出m即可； （2）方程有两个不同的解．转化为有两个不同的解． 对于①，令，求导，得到单调性，进而得到． 令，根据导数知道，在内单调递增，故方程最多有一个解，根据条件得到，进而得到m范围. 对于②，设是方程两个不同的解．设，代入方程，解得，则，构造，求导研究单调性即可. 【详解】（1）解：， 令得，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 令得，当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增． 当，即时，满足题意； 若，则与在上同时单调递增，矛盾； 若，则与在上同时单调递减，矛盾． 综上所述，． （2），整理得， 即方程有两个不同的解， 即方程有两个不同的解． ①解：令，则，当时，；当时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增，． 当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，故当时，方程有两个解． 则方程，令，则，即在内单调递增，故方程最多有一个解， 要使方程有两个不同的解，则方程有两个不同的解，即，且方程的解满足，故只需，即即可． 所以的取值范围是． ②证明：由题意，是方程两个不同的解． 设，则， 解得， 所以， 令，则，令， 则，故在区间上单调递增，，即， 所以在区间上单调递增，即，所以成立． 【点睛】方法点晴：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 5．（24-25高三上·天津南开·期末）已知函数. (1)求曲线在其零点处的切线方程； (2)若方程有两个解，且. （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）， （ii） 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）先求出函数零点，利用导数的的几何意义求出零点处的切线方程； （2）（i）利用导数判断函数单调性，对分类讨论求解；（ii）利用比值换元法求解. 【详解】（1）令得，且， 零点处切线的斜率为，切点的坐标为， 故零点处的切线方程为； （2）（i）由得， 设，则， ①    当时，，单调递减，则方程至多有一个解； ②    当时，当时，，单调递增；    当时，，单调递减； 若方程有两个解，则，解得， 设，则， 所以在单调递减，从而，即. 所以，又， 所以时，方程有两个解. （ii）由得,所以，， 设，则有，即，， 由得，即， 设，则， 设，则， 设，则， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 且，， 所以存在唯一的，使得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 且，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：在研究零点型的式子时，一方面可借助韦达定理对该式子单元化处理后进行研究，另一方面，可通过构造含的齐次式，令，整体换元后研究. 【题型四 极值点偏移（对数（指数）不等式】 1．（2024·广东·二模）已知. (1)求的单调区间； (2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2)不存在，理由见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间； （2）求出直线的斜率，再求出，从而得到的等式，再进行换元和求导，即可解出答案. 【详解】（1）由题可得 因为，所以， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意得，斜率 ， , 由得， ，即，即 令，不妨设，则， 记 所以，所以在上是增函数，所以， 所以方程无解，则满足条件的两点不存在. 2．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)任取两个正数，当时，求证：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）根据函数解析式求出定义域以及导数，对参数进行讨论，根据导函数的正负取值情况得出函数的单调性； （2）求出，运用分析法将需要证明成立的不等式转化，再利用换元法写出表达式，利用导数研究函数的单调性，进而证明原不等式成立. 【详解】（1）. 当时，，令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当，即时，令，得或；令，得. 所以在，上单调递增，在上单调递减. 当，即时，恒成立，所以在上单调递增. 当，即时，令，得或；令，得. 所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （2）证明：由题意得，. 要证， 只需证， 即证， 即证. 令， 所以只需证在上恒成立， 即证在上恒成立. 令，则， 令，则. 所以在上单调递减，即在上单调递减， 所以，所以在上单调递增， 所以. 所以. 3．（2025·湖北·模拟预测）已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数． (1)求函数的极值； (2)若方程有两个不相等的实数根，． ①证明：； ②证明：． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)①证明见解析；②证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）利用导数求单调区间，由单调区间即可求出极值； （2）由和可得，由已知条件所给的不等式即可证得①； 由①可得，则，令，构造函数，利用二次求导根据单调性即可证得②. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 则当时，；时，． 即在上递增，上递减， 故的极大值为，无极小值． （2）结合（1）由，；，，可得， ①由题意可得，从而， 即， 结合参考的公式可得：， 故， 且，即，从而有． ②由①可得，令，则， 所以， 则， 则，∴递减， 又∵，∴， 故递增，∴， 即， 即． 4．（24-25高三上·山东潍坊）已知函数． (1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程； (2)若函数f（x）有三个极值点，，，且．证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、函数极值点的辨析、利用导数研究双变量问题 【分析】(1)当时求出，利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合直线的点斜式方程即可得出结果； (2)根据极值点的概念可得、有2个根，利用导数讨论函数的单调性，作出的大致图象，进而有，结合分析法证明和对数均值不等式即可证明. 【详解】（1）当时，， 则，， 所以，则曲线在点处的切线方程为： ，即； （2）由， 得函数的定义域为R， ， 由题意知，方程有3个根， 则，方程有2个根， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 作出函数的大致图象，如图， 由图可知，当时，函数图象有2个交点， 横坐标分别为，且， 要证明，即证，即证， 因为，得，有，即. 下面证明，即证， 设，令，则，，令， ，所以函数在上单调递减， 故，所以； 接下来证明，即证，设， 令，则，，令， ，所以函数在上单调递增， 故，所以， 综上，得， 即，所以，故， 所以. 5．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数（a为常数）. (1)求函数的单调区间； (2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：. (3)若有两个零点，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）利用对数均值不等式（，，）即可得证. （3）由题意得，要证，只需证：，利用换元，令，只需证：，由对数均值不等式即得. 【详解】（1）由，得函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得；令，得； 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由，得， 故欲证，只需证：，即证， 又，，， 不妨设，，等价于，令（）， 等价于（）， ，所以在单调递增，而， 所以，当时，恒成立. 所以， 所以. （3）函数有两个零点，，所以，， 不妨设，， 即，要证：， 需证： 只需证：，只需证：， 只需证：，只需证：， 令，只需证：， 令，， 所以在上单调递减，所以，即， 故. 也可由对数均值不等式（），即， 令（），则，即， 所以. 【点睛】本题考查不等式的证明，可转化为函数求最值以及恒成立问题结决，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ． 6．（23-24高二下·湖南）已知函数. (1)若方程有3个零点，求实数的取值范围； (2)若有两个零点，求证：，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）将问题转化为与有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围； （2）利用导数求得函数的单调性，再利用零点存在定理证得，再利用零点的定义将问题，构造函数，利用导数证得即可得证. 【详解】（1）解：令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为.      （2）解：因为， 当时，单调递增，不可能有两个零点，所以，此时， 令，得，所以当时，； 当时，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 若有两个零点，则，得，所以， 当时，，，， 故存在，使得， 又当趋向于时，趋向于，故存在，使得， 故，则满足，可得，即， 要证，只需证， 两边同乘以，可得， 因为，，所以， 令，即证，即证， 令，可得， 令，，故在区间上单调递增， 故，因此，所以在区间上单调递增， 故，因此原不等式成立. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 一、解答题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若方程有两个根，证明:. 【答案】证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】通过方程根的关系进行变形，构造新函数，利用导数证明不等式。 【详解】若方程有两个根， 则，即. 要证，需证，即证. 设，则等价于. 令，则， 所以在上单调递增，，即，故. 2．（2024·四川成都·模拟预测）定义运算：，已知函数． (1)若函数的最大值为0，求实数a的值； (2)证明：． (3)若函数存在两个极值点，证明：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析； (3)证明见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、裂项相消法求和、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）利用定义的运算得到的解析式，结合导数求最大值的方法，建立关于的方程，解方程得解. （2）借助（1）问中的结论，，得到，然后利用不等式性质，即裂项相消求和法，从而得证. （3）将极值点个数问题转化为到导函数零点个数问题，从而得出，将所证转化为，通过消元，然后构造函数，借助导数证明即可. 【详解】（1）由题意知：，， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为．    ，令，求导得， 当时，，函数递减，当时，，函数递增， 因此，． （2）由（1）知，，即， 当时，  ． ． ． （3） “函数存在两个极值点”等价于 “方程有两个不相等的正实数根” 故，解得，      要证，即证， ，不妨令，故 由得，令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． 【点睛】关键点点睛：第（1）小问关键在于读懂新定义运算，得到解析式，然后借助导数求最大值，第（2）小问关键，借助（1）中得到的结论，，得到，其中的放缩很关键；第（3）问的关键是将极值点个数问题等价为导函数零点个数问题，从而得出的结论，最后双元变单元，再一次构造函数从而得解. 3．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，其中． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，若且，比较与的大小，并说明理由 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）对函数求导，利用函数单调性与导数的关系，建立不等式求解即可； （2）由，得，要证明，只需证明，两边同时取对数整理得，构造函数，利用导数的性质证明即可. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上恒成立且满足的点不连续． 当时，．由在上单调递减可知， 当时，，， 综上，的取值范围为 （2）当时，， 且， 下面证明， 即证明，等价于证明：， 设，所证即为：， 等价于证明：， 设函数． 在上单调递增，而， ，所证不等式成立． 4．（2024高三·全国·专题练习）设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）由题意得，令，根据的正负确定的单调性， 得，即得函数的单调性. （2）构造函数，其中，则， 令，得，从而可得在上单调递减，然后根据函数的单调性可得. 【详解】（1）∵，， ∴． 令，则． 令，得或． 当时，；当时，；当时，． ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 又，，故对一切恒成立， ∴，于是，故在上单调递增． （2）易知当时，由（1）知，， 所以，当且仅当时取等号，与题意不符， 当，由（1）知，，与题意不符， 所以中一个在内，一个在内，不妨设． 构造函数，其中， 则． 由，得． 令， ∵， ∴在上单调递增，则． ∴在上单调递减，∴， 即对恒成立． ∵，∴， ∴． 由（1）知在上单调递增， ∴，故． 5．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 6．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； (3)若有两个实数解，，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数中的极值偏移问题、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）设，借助导数研究其单调性即可得； （3）结合（2）中所得可得，可将所需证明内容转化为证明，等价于证明，构造函数，结合其单调性只需证，再构造函数，利用导数研究其单调性即可得证. 【详解】（1），，， 所以在处的切线方程为， 即； （2）由可知，，， 即在上恒成立， 设，， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以时，取得最小值，最小值为， 由题意知，即，故的取值范围为； （3）方程有两实数解，， 即有两实数解，不妨设， 由（2）知方程要有两实数解，则，即， 同时，，， ， 则，在单调递减， 欲证，即证，， 等价于，即， 等价于， 整理得①， 令，①式为， 又在单调递增， 故①式等价于，即， 令，， 当时，，在单调递增， 又，，即， 所以，则. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于将原不等式转化为证明，再转化为证明，最后转化为证明，从而可构造函数帮助证明. 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）函数有两个零点转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数研究函数单调性与最值，数形结合即可求的取值范围； （2）由（1）知，不妨设，要证，即证，只需证，结合单调递增只需证，再根据单调性可得答案. 【详解】（1），则， 令，得， 若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点． 设，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 因此．当时，，当时，， 作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点， 则，故的取值范围为． （2）因为是函数的两个极值点，所以． 由（1）知，不妨设， 要证，即证， 只需证，显然． 由（1）知当时，单调递增，所以只需证， 而，所以即证． 设， 则， 当时，单调递减，所以当时，， 所以当时，，原不等式得证． 【点睛】方法点睛：解答函数零点个数问题常见思路：1，转化为方程的根的个数求解；2，转化为函数图象的交点个数求解. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：． 【答案】证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题 【分析】利用参数作为媒介，换元后构造新函数，将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得结论成立. 【详解】因为，不妨设， 因为，， 所以，， 所以， 欲证，即证. 因为，所以即证， 所以即证，即证． 令，则，等价于， 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 故， 即，所以． 方法二：直接换元构造新函数  ，即，设，，则， 则，，可得，， 由于 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 故，即， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，； (3)如果，且，证明：． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减为； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）由导数知识可得的单调区间； （2）由题可得，然后研究单调性，可完成证明； （3）方法1，由导数知识可得大致图象，据此可得，然后通过研究函数，可得对恒成立，最后由题意，结合，可完成证明；方法2，要证，即证，然后通过研究可完成证明；方法3，令，要证，即证：，然后通过研究可完成证明. 【详解】（1）. 。 则的单调递增区间为，单调递减为； （2）因的图象与的图象关于直线对称， 则. 构造函数， 则. 因，则， 则在上单调递增，则， 即当时，； （3）法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，，时，， 函数在处取得极大值，且，如图所示． 由，不妨设，则必有， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，， 也即对恒成立．由，得， 所以，即， 又因为，且在上单调递减，所以， 即 法二：欲证，即证，由法一知， 故， 又因为在上单调递减，故只需证， 又因为， 故也即证，构造函数， 则等价于证明对恒成立． 由，则在上单调递增， 所以，即已证明对恒成立， 故原不等式成立． 法三：由，得，化简得， 不妨设，由法一知，．令，则， 代入，得，反解出，则， 故要证：，即证：， 又因为，等价于证明：， 构造函数，则， 令. 故在上单调递增，， 从而也在上单调递增，，即证成立， 也即原不等式成立． 【点睛】关键点睛：对于极值点偏移问题，常有两种思路，第一种将所证不等式转化为，后利用，构造与或有关的函数，将双变量问题转变为单变量问题；第二种思路，将双变量问题转变为与，之间差值或商值有关的单变量问题. 10．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）当时，即证不等式，令，即证不等式，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证得结论成立； （3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时函数的减区间为，增区间为、； 当时，对任意的，， 此时函数的增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证. （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以，， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 11．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）对函数求导，分和研究函数的单调性，根据零点个数数形结合求解参数范围即可； （2）令，将证明问题转化为，令，即证，构造函数，利用导数法研究单调性，即可得证. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 当时，，在上无零点，与题意不符， 当时，由，得，令， 所以若有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点， 易得，令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减，所以， 又，当时，，所以函数的大致图象如图所示， 由图可知，当，即时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是. （2）由，得， 令，则，易得， 所以函数在上单调递增， 令，则关于的方程有两个实数根，且， 要证，即证，即证，即证， 由已知得，所以，所以， 不妨设，即证， 即证，令，即证，其中， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增，所以，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围. 12．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 【答案】(1)，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）设切点为，利用导数几何意义和切线方程可构造方程得到，设，利用导数可确定有唯一零点，由此可得；代入后，根据的正负可得单调区间； （2）根据单调性和的正负可确定，将所证不等式转化为对任意恒成立；令，利用导数可求得单调递增，得到，由此可得结论. 【详解】（1）设直线与曲线相切于点， ， 又，即， 设，则，在上单调递增， 又，有唯一零点， ，解得， ， 则当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知， 当时，；当时，， ， 要证，只需证．在上单调递减， 只需证，又， 则只需证对任意恒成立． 设， 则， 设，则， 在上单调递减，． 又当时，， 在上单调递增， ，即在时恒成立， 又．故原不等式得证． 13．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数（其中是自然对数的底数）． (1)试讨论函数的零点个数； (2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论，即可得出函数的零点个数； （2）由，构造函数并求出其单调性，求得即可证明得出结论. 【详解】（1）由可得， 令，其中， 则函数的零点个数等于直线与函数图象的公共点个数， ，令可得，列表如下： 0 单调递减 极小值 单调递增 如下图所示： 当时，函数无零点； 当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点． （2）证明：因为，其中， 所以． 由已知可得， 上述两个等式作差得．要证，即证． 因为，设函数的图象交轴的正半轴于点，则． 因为函数在上单调递增，， 所以． 设函数的图象在处的切线交直线于点， 函数的图象在处的切线交直线于点， 因为，所以函数的图象在处的切线方程为． 联立，可得，即点． 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增，所以， 所以对任意的，当且仅当时等号成立， 由图可知，则，所以． 因为，可得， 函数在处的切线方程为， 联立， 解得，即点． 因为，所以． 构造函数，其中，则． 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增，则， 所以对任意的，当且仅当时，等号成立， 所以，可得， 因此，故原不等式成立． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$