专题04 利用导数工具解决问题（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第二册）

专题04 利用导数工具解决问题 目录 【题型一 同构法解决不等式问题】 3 【题型二 隐零点问题】 5 【题型三 洛必达法则】 7 【题型四 超越不等式】 8 一、同构法解决不等式问题 （1）同构式：具有相同结构的两个代数式称为同构式， （2）种常见的同构形函数：①与；②与： （3）常见的同构变形：①=、② ③ 二、隐零点问题 （1）基本步骤： 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计. （2）函数零点的存在性定理 函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. 三、洛必达法则 洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 注意： ①将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。 ②洛必达法则可处理 型。 ③在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。 ④ 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。 , 如满足条件, 可继续使用洛必达法则。 四、超越不等式 结论1 ． 结论2 ． 结论3 （）． 结论4 ． 结论5 ；；． 结论6 ； 结论7 结论8 ． 结论9 ． 【题型一 同构法解决不等式问题】 1．（2024·四川凉山·一模）若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知，函数. (1)求函数的极值； (2)讨论的单调性（写出单调区间）； (3)若恒成立，求的最大值，并证明：对于任意，都有 3．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数，. (1)若，求证：； (2)若方程有2个不同的解，求实数的取值范围. 4．（2025·黑龙江·模拟预测）函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若不等式对任意的，恒成立，求的取值范围. 5．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求的取值范围． 【题型二 隐零点问题】 1．（2024高二·全国·专题练习）已知函数的图像在x＝1处的切线与直线垂直． (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的最大值． 2．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数. (1)证明：； (2)设函数，证明：函数有唯一的极值点. 3．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，求实数的取值范围； (3)当时，若，求证：. 4．（24-25高三上·河北·阶段练习）若函数与的图象没有公共点，则称与互为绝缘函数. (1)已知函数、，试问函数与、这两个函数中的哪个函数互为绝缘函数？说明你的理由. (2)证明：函数与互为绝缘函数. (3)若函数与互为绝缘函数，求的取值范围. 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【题型三 洛必达法则】 1．（23-24高二下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高三上·湖北·期末）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 3．（24-25高三上·福州）设函数.如果对任何，都有，求的取值范围． 4．（2024·广西南宁·二模）已知函数 (1)若在定义域内单调递增，求的取值范围， (2)若函数恰有两个零点，求的取值范围， 【题型四 超越不等式】 1．（2023·上海普陀·模拟预测）已知函数. (1)求证：； (2)若，试比较与的大小； (3)若，问是否恒成立？若恒成立，求的取值范围； 若不恒成立，请说明理由. 2．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，证明：． 3．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若不等式在上恒成立，求a的取值范围； (3)证明不等式：. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当 时， 求的严格增区间; (2)若恒成立，求a的值； (3)对于任意正整数n，是否存在整数m，使得不等式成立?若存在，请求出m的最小值； 若不存在，请说明理由. 5．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数，若对任意的都有恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若对任意的，存在实数满足，使得，则k的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24高三上·湖北襄阳）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法． 如：，则 ． 8．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 9．（24-25高三上·辽宁·期末）已知是的导函数，若恒成立，求正实数的最小值 . 三、解答题 10．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 11．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的定义域； (3)证明：方程有唯一解. 12．（福建省漳州市2025届高三毕业班第二次质量检测数学试题）已知函数． (1)求函数的极值 (2)若恒成立，求实数a的值范围． 13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．当时，求的取值范围． 14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．当时，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 利用导数工具解决问题 目录 【题型一 同构法解决不等式问题】 3 【题型二 隐零点问题】 8 【题型三 洛必达法则】 16 【题型四 超越不等式】 20 一、同构法解决不等式问题 （1）同构式：具有相同结构的两个代数式称为同构式， （2）种常见的同构形函数：①与；②与： （3）常见的同构变形：①=、② ③ 二、隐零点问题 （1）基本步骤： 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计. （2）函数零点的存在性定理 函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. 三、洛必达法则 洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 注意： ①将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。 ②洛必达法则可处理 型。 ③在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。 ④ 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。 , 如满足条件, 可继续使用洛必达法则。 四、超越不等式 结论1 ． 结论2 ． 结论3 （）． 结论4 ． 结论5 ；；． 结论6 ； 结论7 结论8 ． 结论9 ． 【题型一 同构法解决不等式问题】 1．（2024·四川凉山·一模）若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将所给不等式转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此得出正确的选项. 【详解】根据题意，若，则. 设. 所以可得在，函数为增函数. 对于，其导数. 若，解得，即函数的递增区间为； 若都有成立，即在，函数为增函数，则的最大值为1. 故选：B. 2．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知，函数. (1)求函数的极值； (2)讨论的单调性（写出单调区间）； (3)若恒成立，求的最大值，并证明：对于任意，都有 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)答案见解析 (3)，证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）求导得，再对分类讨论即可； （3）同构得，则有，即，再构造函数，得到其最值即可得到，解出的取值范围，再构造函数利用导数证明，取，得到，再累积结合对数的运算性质及等比数列求和公式即可证明. 【详解】（1）因为，则，定义域为， 则，所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，无极大值； （2）函数的定义域为，. 当时，，则在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由，可得， 即. 令，因为在上均单调递增，则单调递增. 由，可得，则，即. 令，则. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 则，又，解得，故的取值范围为，则的最大值. 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 当且时，，则. 取，所以， 所以，，， 所以. 所以， 所以， 即，得证. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用同构的思想得到，再构造函数，根据其单调性得，即，再求出函数的最大值即可得到关于的不等式，解出即可. 3．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数，. (1)若，求证：； (2)若方程有2个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）分别构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明； （2）依题意可得，令，结合函数的单调性得到，从而得到与有两个交点，结合（1）中函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）当时，，令， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即； 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 综上可得； （2）由，可得， 所以， 令，显然在上单调递增， 由， 所以，则， 依题意可得与有两个交点， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，则， 由当时，当时， 所以，即实数的取值范围为. 4．（2025·黑龙江·模拟预测）函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若不等式对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间； （2）若不等式对任意的，恒成立，等价于递增，即恒成立，即，其中，分离参数后利用基本不等式求最值，即可求的取值范围. 【详解】（1）， 所以， ， 当时或；， 所以此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，         当时或；， 所以此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，         当时恒成立，所以此时在上单调递增 ，            当时；， 所以此时在上单调递减，在上单调递增. （2）由对，恒成立，不妨设，则整理得： ，             设， 有，所以单调递增，即恒成立， 即，其中，             所以，又，当且仅当时等号成立， 同时时，不是常函数，所以. 【点睛】方法点睛：利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围 5．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导数得切线斜率，由点斜式得切线方程； （2）不等式同构化为，然后构造函数，是增函数，从而由单调性不等式化为，再分离参数得在恒成立，然后由导数求得的最大值，即可得参数范围． 【详解】（1）当时，，则， 又， 所求切线方程为，即； （2）转化为， 可得， 构造函数，易得在R单调递增， 所以有，由在R单调递增， 故可得，即有在恒成立， 令，得到， 可得时，单调递增； 时，单调递减， 所以在时取最大值， 所以，得到， 即的取值范围是 【题型二 隐零点问题】 1．（2024高二·全国·专题练习）已知函数的图像在x＝1处的切线与直线垂直． (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)3 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出，即可得出答案； （2）求出，求出，利用导数研究在上的单调性和最值，列出关于m的不等式组，即可得出答案； （3）利用分离变量法，分类讨论，构造函数，利用导数研究分别在x＜0，x＞0的单调性和最值，即可得出答案． 【详解】（1），则， ∵函数的图像在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直， ∴，即，解得， ∴ ； （2）由（1）得，则， 则，由得x＝1， 由得，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，取得极小值也是最小值， 要使在内有两个零点，只需满足，即， 解得， 故实数的取值范围为； （3）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立， ①当时，，显然成立，此时； ②当时， 恒成立， 令，则， ∵x＞0，∴恒成立， 由得，由得，由得0＜x＜1， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴当x＝1时，取得极小值也是最小值，且， ∴； ③当时， 恒成立， 令，此时m（x）＜0， 由②得（），令， ，∴在上单调递增， 又， 由零点存在定理得存在，使得，有， 即，由得，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，取得极大值也是最大值，且＝， ∴， 综上所述，实数k的取值范围为， ∴实数k的最大值为3． 2．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数. (1)证明：； (2)设函数，证明：函数有唯一的极值点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导分析单调性，判断极值即可； （2）构造函数，求导分析单调性，从而得到，即可； 【详解】（1）因为，定义域为， 所以， 由于函数，在上均为单调递增函数， 所以在上单调递增， 因为，所以，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，所以. （2）因为，的定义域为， 所以. 设，则， 当时，，所以单调递增，所以， 所以，即， 所以. 又，且在上单调递增， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，，单调递减； 当时，，所以单调递增， 所以函数有唯一的极值点. 3．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，求实数的取值范围； (3)当时，若，求证：. 【答案】(1)答案见解析； (2) (3)证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、根据极值点求参数、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出，再利用导数分类探讨函数的单调性. （2）由（1）的信息，利用导数探讨最大值，求出函数有两个变号零点的的范围. （3）求出函数，利用导数求出最小值并结合基本不等式推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由函数有两个极值点，得函数有两个变号零点， 由（1）知，当时，最多一个零点，不符合题意； 当时，， 而从大于0的方向趋近于0时，的值趋近于负无穷大，当趋近于正无穷大时，的值趋近于负无穷大， 要函数有两个变号零点，当且仅当，解得， 所以实数的取值范围是. （3）当时，，，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 所以. 4．（24-25高三上·河北·阶段练习）若函数与的图象没有公共点，则称与互为绝缘函数. (1)已知函数、，试问函数与、这两个函数中的哪个函数互为绝缘函数？说明你的理由. (2)证明：函数与互为绝缘函数. (3)若函数与互为绝缘函数，求的取值范围. 【答案】(1)函数与、都互为绝缘函数，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数新定义、利用导数证明不等式 【分析】（1）作差、，利用导数或二次函数的基本性质判断即可； （2）令，利用导数分析函数的单调性与极值，即可证得结论成立； （3）由参变量分离法可得出，利用导数求出函数的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）令，其中， 令，令，则， 令，可得， 当时，，此时，函数单调递减， 当时，，此时，函数单调递增， 所以，， 所以，对任意的，，故对任意的，，即， 所以，函数与互为绝缘函数； 因为，即， 所以，函数与也互为绝缘函数. （2）令，其中， 则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时，函数单调递减， 故当时，； 当时，，此时，函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 故当时，. 综上所述，方程在时无解， 因此，函数与互为绝缘函数. （3）因为函数与互为绝缘函数， 令，可得， 令，其中，则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 因为，， 所以，存在使得， 且当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 由可得， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 因为，则，则， 所以，，可得，即， 所以，， 又当时，，即函数的值域为， 因此，若函数与互为绝缘函数，则实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）令，将问题转化为，利用导数求出即可； （2）令，将问题转化为，通过导数研究单调性，借助隐零点和放缩法证明即可. 【详解】（1）记，，则恒成立，即. 因为， 当；当； 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，解得. 故实数的取值范围是； （2）记，则， 令，则， 所以即在上单调递增. 由，知. 所以，即， 故当单调递减；当单调递增. 所以， 由（*）式，可得. 代入式，得. 由（1）知，当时有，故， 所以. 由于，所以. 故，即，原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，转化为构造函数，利用导数分析构造的函数的单调性，求得最值，证明即可.当导函数的零点不易求出时，可借助其单调性和零点存在定理确定零点所在区间，设出零点，再整体代换即可. 【题型三 洛必达法则】 1．（23-24高二下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据洛必达法则求解即可. 【详解】. 故选：B 2．（24-25高三上·湖北·期末）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1，证明见解析 (2)（i）,；（ii） 【知识点】导数定义中极限的简单计算、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数的新定义结合导数的定义直接求解即可；（2）（i）求导后解不等式即可；（ii）转化为不等式成立，分类求出函数的最大值即可. 【详解】（1）， 依据导数的定义： （2）（i）因为，定义域为R， 所以， 令，解之得：， 所以的单调递减区间为， （ii）因为对任意恒成立，且当时，不等式显然成立， 所以，当时，原式可转化为恒成立， 令，即， 因为， 令， ， 当时，， ，在上单调递减， 所以， 即时， 所以在上单调递减， ， 所以， 当时， 因为， 所以， 所以， 所以， 综上可知：实数a的取值范围为 【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 3．（24-25高三上·福州）设函数f(x)＝.如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围． 解　f(x)＝≤ax，若x＝0，则a∈R；若x>0， 则≤ax等价于a≥，即g(x)＝，则g′(x)＝. 令h(x)＝2xcos x－2sin x－sin xcos x＋x，h′(x)＝2cos x－2xsin x－2cos x－cos 2x＋1 ＝－2xsin x－cos 2x＋1＝2sin2x－2xsin x＝2sin x(sin x－x)， 因此，当x∈(0，π)时，h′(x)<0，h(x)在(0，π)上单调递减，且h(0)＝0，故g′(x)<0， 所以g(x)在(0，π)上单调递减，而 g(x)＝ ＝ ＝. 另一方面，当x∈[π，＋∞)时，g(x)＝≤≤<，因此a≥. 4．（2024·广西南宁·二模）已知函数 (1)若在定义域内单调递增，求的取值范围， (2)若函数恰有两个零点，求的取值范围， 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）法一，求出函数的导数，根据题意可得恒成立，解不等式求出的范围；法二，求导，判断的单调性，根据函数的单调性，求出的范围即可； （2）法一，求导判断的单调性，求出极值，并结合区间端点函数值和零点情况求解.法二，问题转化为有两个根，令，求导判断的单调性和极值以及区间端点函数值，得解； 【详解】（1）（解法一）由，得， 因为在定义域内单调递增，所以．即在上恒成立． 由，得，故的取值范围为． （解法二）：由，得，， 当时，恒成立，在定义域内单调递增，符合题意； 当时，， 可见，当时，，在内单调递增； 当时，，在内单调递减，故不符合题意； 所以的取值范围为． （2）（解法一）：由，， ， 当，即时，恒成立，在内单调递增，不符合题意； 当时，即时，， 可见，当时，，在内单调递增； 当时，，在内单调递减； 且当时，；当时． 故要使函数恰有两个零点，即使． ，解得． 综上所述，故的取值范围为． （解法二）：由，得， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 则， ，即时； 另外，时，， 所以当时，图象与直线恰有两个交点． 即恰有两个零点时，的取值范围为． 【题型四 超越不等式】 1．（2023·上海普陀·模拟预测）已知函数. (1)求证：； (2)若，试比较与的大小； (3)若，问是否恒成立？若恒成立，求的取值范围； 若不恒成立，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)恒成立， 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）直接作差令，求导判定差函数单调性及最小值即可得出结论； （2）作差令，分区间讨论其导函数符号得出单调性及最小值即可； （3）令，利用端点效应即得出时恒成立，再证明充分性即可. 【详解】（1）即证，令，， 当所以此时单调递减； 当所以此时单调递增； 即当时，取得极小值也是最小值，所以，得证； （2）设，则， ①当时，，所以， 而此时，故，在减函数，， 即； ②当时，由（1）知 ， 令，即在单调递增， 所以，即，当且仅当时取得等号， 又恒成立，当且仅当时取得等号， 所以，即，即 综上，若，. （3）恒成立， 设， 即证在上恒成立， 易得， 当时，若， 下面证明：当时，，在上恒成立， 因为，设， 则， 所以在上是单调递增函数， 所以，所以在上是严格增函数， 若时，，即在右侧附近单调递减，此时必存在，不满足恒成立， 故当时，不等式恒成立. 2．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间. （2）将所要证明的不等式转化为，结合函数的单调性以及导数，证得不等式成立. 【详解】（1）的定义域为，. 当时，在区间递减；在区间递增. 当时，在上递增. 当时，在区间递减；在区间递增. （2）依题意，令，由（1）得在单调递增， 要证， 即证， 即证， 即证①， 设，因为， 所以在区间上递增， 所以，所以，即①成立， 所以成立. 3．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若不等式在上恒成立，求a的取值范围； (3)证明不等式：. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3)证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）对求导，借助的正负判断的单调性，进而求出的极值； （2）不等式上恒成立，等价转化为， 然后分离参数得，设，求即可. （3）由（2）知在上恒成立，令，则有，然后借助不等式同向可加性及等比数列前n项和公式求证. 【详解】（1）由可得，此时单调递增； 由可得，此时单调递减； 所以当时，有极小值，极小值为，无极大值 （2）由不等式上恒成立， 得， 因为，， 所以在上恒成立                           设，则， 由得 所以在上递减，在上递增， 所以即， 所以 （3）证明：由（2）得在上恒成立， 令，则有 ，                                                      ， . 【点睛】关键点点睛： 本题（2）考察不等式恒成立问题，可以分离参数，转化为求最值问题： 本题（3）的证明需要借助（2）的结论，即在上恒成立，然后令，则有，然后借助不等式同向可加性及等比数列前n项和公式求证. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当 时， 求的严格增区间; (2)若恒成立，求a的值； (3)对于任意正整数n，是否存在整数m，使得不等式成立?若存在，请求出m的最小值； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)1 (3)存在，3. 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、数列不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）把代入，利用导数求出的严格增区间. （2）利用导数求出函数的最小值，建立不等关系，构造函数求出最值即可. （3）由（2）可得不等式，再赋值并利用不等式性质，结合放缩法求出的范围即可得的最小值. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得， 所以的严格增区间为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，不符合题意； 当时，由，得，，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 由恒成立，得恒成立，令， 求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以. （3）由（2）知当时，，即， 则恒成立，当且仅当时取等号， 当，时，， 因此， 则，即， 当时，， 即当时，， 所以存在正整数，对于任意正整数，恒成立， 则的最小值为3. 【点睛】关键点点睛：用对数切线不等式将放缩成等比数列的和是这题的关键. 5．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）构造，求导得到其单调性，进而求出最小值，得到，证明出结论； （2）参变分离得到对任意的恒成立，构造，求导，得到其单调性，求出，求出. 【详解】（1）证明：令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 因此，故，即； （2）因为对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，则， 由（1）可知当时，恒成立， 令，可得； 令，可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 因此， 故， 故实数的取值范围为． 一、单选题 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】，则，，即，等价于，等价于，构造函数，再根据函数的单调性进而可得出答案. 【详解】 ， 则，即， 即，即， 则， 等价于， 令， 因为都是增函数， 所以函数是增函数， 则，即为， 所以， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数，若对任意的都有恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】同构，并参变分离得到，构造，求导，得到其单调性，得到，并由零点存在性定理得，当且仅当时，等号成立，故，得到答案. 【详解】对任意的，有，故， 即， 即， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 其中在上单调递增，，， 故存在，使得， 故，当且仅当时，等号成立， 又，从而，当且仅当时，等号成立， 故，解得. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用同构得到，构造函数求出，得到不等式，进行求解. 3．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】由同构的思想可知，若有两个零点，则有两个解，即有两解，分离变量求导即可 【详解】若有两个零点，则有两个解， 等价于有两个解，因为，，所以， 令，原式等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解. 解，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，的图象如图： 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故选：A 【点睛】方法点睛：当两个函数可以构造成相同的形式时，常用同构的思想，构造函数，将两个函数看成自变量不同时的同一函数，若函数有交点，转化为自变量有交点求解. 4．（24-25高三上·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据条件，利用同构思想，得到，构造函数，利用的单调性得到在区间上恒成立，再构造函数，求出在区间上的最大值，即可求解. 【详解】因为，由，得到，即， 令，则，因为，所以在区间上恒成立， 即在区间上单调递增，又， 所以，可得，即在区间上恒成立， 令，则，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，得到， 故选D. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用“同构”思想，将条件变形成，构造函数，利用的单调性，将问题转化成在区间上恒成立，再构造函数，求出在区间上的最大值，即可求解. 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若对任意的，存在实数满足，使得，则k的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】根据题意转化为：，对于恒成立，构造函数，求导数判断，，且，在成立，在单调递增，利用零点判断方法得出存在使得，即可选择答案． 【详解】，显然在区间上为减函数， ，，当时，在上为减函数， 当时，，故在单调递增， 当，故在恒为负，因此在单调递减， 且当时，，时，，时，， 时， 作出图象如下： 对任意的，存在实数，满足，使得, 可得：，对于恒成立，故， 设，，且，在成立， 即，， 故存在使得，当单调递减， 当单调递增，故， 的最大值为3． 故选：A 【点睛】关键点点睛：将问题转化为，对于恒成立，构造函数，利用导数求解. 6．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用同构分离参数，构造函数证明得出即可计算参数范围. 【详解】，即， 令， 显然时，时， 即在上单调递增，在上单调递减，所以， 则， 又，当且仅当时，等号成立． ． 故选：D． 【点睛】思路点睛：对于指对结合的复杂函数，有时利用同构思想处理比较方便，通过常用的函数放缩计算参数范围即可. 二、填空题 7．（23-24高三上·湖北襄阳）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法． 如：，则 ． 【答案】2 【知识点】极限、导数定义中极限的简单计算、简单复合函数的导数、导数新定义 【分析】根据题设对分子、分母分别求导再求极限即得. 【详解】由题可得. 故答案为：2. 8．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】首先可得，依题意可得对任意恒成立，从而得到对任意恒成立，则对任意恒成立，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意恒成立，显然， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 所以对任意恒成立， 又当时，当时，， 当时，，显然满足对任意恒成立， 当时不等式对任意恒成立， 等价于对任意恒成立； 综上可得，即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是同构得到对任意恒成立，从而得到对任意恒成立. 9．（24-25高三上·辽宁·期末）已知是的导函数，若恒成立，求正实数的最小值 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】变形得到，令，，则，二次求导得到在上单调递增，得到，令，，求导得到的最大值为，故，得到答案. 【详解】，，定义域为， 故恒成立， 即， 令，，则， 其中， 令，，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故恒成立， 所以在上单调递增， ， 令，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 故，正实数的最小值为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：变形得到，令，，则，再求导得到的单调性，进行下一步的求解. 三、解答题 10．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数求原函数的单调区间； （2）由题设得，从而得若要证明，则只需，即只需，通过构造函数，利用导数证明即可得证. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需证明， 设，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 所以， 所以当时，单调递增， 所以， 即当时，有不等式成立， 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则. 11．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的定义域； (3)证明：方程有唯一解. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】具体函数的定义域、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根 【分析】（1）求导后，根据导数几何意义可求得切线斜率，结合切点坐标可得切线方程； （2）令，求导后可求得的单调性和零点，由此可确定的定义域； （3）令，求导后可确定的正负，进而得到单调性；通过分析的图象可证得结论. 【详解】（1），， 又，在点处的切线方程为：，即. （2）令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，有唯一零点， 的定义域为. （3）由（1）知：， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，在上恒成立， 在，上单调递减， 当时，，由（2）知：，； 当时，，由（2）知：，， 又，，当从正方向无限趋近于时，； 当时，， 当时，，，， 即当时，；又在上单调递减， 与有唯一交点，即方程有唯一解. 【点睛】关键点点睛：本题第三问考查利用导数求解方程根的个数问题，解题关键是能够将问题转化为曲线与平行于轴的直线的交点个数问题，从而利用导数分析函数的单调性和图象，进而确定方程根的个数. 12．（福建省漳州市2025届高三毕业班第二次质量检测数学试题）已知函数． (1)求函数的极值 (2)若恒成立，求实数a的值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2). 【知识点】求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据给定条件，利用导数求出函数的极值. （2）由恒成立的不等式分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 令，解得，函数在上单调递增， 令，解得，函数在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，无极大值． （2）不等式恒成立，即恒成立， 不等式等价于恒成立， 令， ， 令， 求导得，函数在上单调递增， 又，则存在唯一，使得， 则，即，于是， 由（1）知，函数在上单调递增，则． 当时，，，则函数在上单调递增； 当时，，，则函数在上单调递减， 因此，则， 所以实数a的取值范围为. 13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可. 【详解】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可. 【详解】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$