专题03 利用导函数研究恒（能）成立+零点问题（7大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第二册）

专题03 利用导函数研究恒（能）成立+零点问题 目录 【题型一 恒成立问题之分离变量法】 3 【题型二 恒成立问题之分类讨论法】 9 【题型三 能成立（有解）问题之分离变量法】 14 【题型四 能成立（有解）问题之分类讨论法】 20 【题型五 能成立（有解）问题之最值定位法】 25 【题型六 讨论零点个数问题】 30 【题型七 根据零点个数求参数】 37 一、恒成立问题 （1）分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. （2）分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 二、能成立（有解）问题 （1）分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. （2）分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． （3）等价转化法 当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. （4）最值定位法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 （5）值域法解决双参等式问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 三、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【题型一 恒成立问题之分离变量法】 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，若对任意，都有成立，则的取值范围是 . 【答案】4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】分、和三种情况进行分析，对和两种情况进行分离参数和构造函数，将题设问题转化成求所构函数最值，再结合导数求函数最值即可求解. 【详解】由题当时，对任意都有满足题意， 当时，恒成立恒成立， 令，则， 因为， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 当时，恒成立恒成立， 令，则， 因为在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，所以， 综上，，此时，所以， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 所以对任意，都有成立，所以. 故答案为：4. 2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】令，根据题意可知在上单调递增，进而对函数求导，将问题转化为导函数恒成立，最后解出答案. 【详解】令，因为，所以，即， 易得不是常数函数，所以在上单调递增， 故在上恒成立， 即在上恒成立， 令.则， 所以，所以 即的取值范围为. 故答案为：. 3．（2024·上海普陀·一模）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据导数的几何意义转化为对任意恒成立，再代入，利用分离参数法即可得到答案. 【详解】，即， 即，即对任意恒成立， ，即对任意恒成立， 对任意恒成立，则， 设，则，令，解得， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则，则， 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海·单元测试）①在定义域内单调递减，②在定义域内有两个极值点，③当时，恒成立．在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题． 问题：已知函数，其中，其中．若________，求实数a的取值范围； 【答案】答案见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】选①，在上恒成立，求导，参变分离得到，构造，求导得到其单调性和最值，得到； 选②，在定义域内有两个根．转化为关于x的方程有两个根．造，求导得到其单调性和最值，结合函数图象特征，得到； 选③，，即恒成立，构造，求导，得到在上单调递减，得到单调性和最值，得到. 【详解】若选①：因为在定义域内单调递减，所以在上恒成立． 因为，所以，即恒成立． 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 若选②：因为在定义域内有两个极值点，所以方程在定义域内有两个根． 因为，所以，即关于x的方程有两个根． 令，则，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 因为当时，；当时，，所以． 若选③：因为当时，恒成立，所以，即恒成立． 令，则， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以． 5．（23-24高二下·上海·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）先求导函数，再得出斜率写出切线方程即可； （2）把恒成立转化为函数单调性，再根据单调性转化为最值问题求解即得 【详解】（1）由题意知 则曲线在处的切线方程为 （2）不妨设，则 则设，可知在上严格递增 则恒成立 则 设 则当时，单调递增，当时，单调 递减，则 则实数的取值范围为. 6．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知函数的图像在处的切线与直线平行． (1)求函数的极值； (2)若对任意的，且都有，求实数m的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求得，再利用导数判断的单调性和极值； （2）由题意分析可得在为增函数，进而可得在恒成立，构建，利用导数判断其单调性和最值，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知的定义域为，且， 可得的图象在处的切线斜率为，由切线与直线平行， 可得，即， 所以，， 由，可得，由，可得， 则在单调递增，在单调递减， 可得在处取得极大值为，无极小值. （2）不妨设，则， 若，， 可得，即有， 设在为增函数， 即有对恒成立， 可得在恒成立， 令，则的定义域为，且， 由，可得，由，可得， 可得在递减，在递增， 则在处取得极小值，且为最小值， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 7．（23-24高三下·上海宝山·阶段练习）已知函数，其中实数，，． (1)时，求函数的极值点； (2)时，在上恒成立，求b的取值范围； 【答案】(1)0是的极大值点，2是的极小值点； (2)； 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究方程的根、求已知函数的极值点 【分析】（1）运用导数研究单调性进而求得极值点. （2）分离参数得，，运用导数求最值即可. （3）设出切点坐标及切线方程，根据已知条件可得，进而将问题转化为研究与交点个数即可. 【详解】（1）因为，所以，定义域为：R. 则， 因为， 所以或，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以0是的极大值点，2是的极小值点. （2）当时，， 所以， 又因为， 所以，. 令，， ， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 【题型二 恒成立问题之分类讨论法】 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）设.若函数的图像都在轴下方（不含轴），则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】函数的图像都在轴下方（不含轴）等价于的最大值小于0恒成立，通过对求导，分析含参函数的单调性，分类讨论得到最值从而计算出结果. 【详解】，， ①当时，恒成立， 在上单调递增，且，，显然不符合题意； ②当时，当时，；当时，； 在上单调递增，上单调递减， ，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期末）若不等式对任意成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】令，，依题意可得在上恒成立，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】令，， 依题意在上恒成立， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以，则，所以； 当时，令，解得， 若，即时，在上恒成立， 所以在上单调递增，则，满足题意； 若，即时，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，所以， 综上可得，即的取值范围是. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·期中）已知为常数，若关于的不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】分析可知，整理可得，换元令，构建，利用导数求其最值，并结合恒成立问题分析求解. 【详解】显然， 若，当趋近于，趋近于，不合题意， 可知，因为，可得， 由，可得，令，可得， 原题意等价于对任意的都成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高三上·上海·期中）设，，（常数）. (1)为上的严格增函数，求实数的取值范围； (2)设，若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据的单调性得到在上恒成立，列不等式求解即可. （2）根据（1）的结论将转化为，构造函数，根据的单调性得到在上恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为为上的严格增函数， 故在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以等号不同时取到，解得， 故实数的取值范围是； （2）不妨设，由（1）可知函数在上严格递增，故， 此时，不等式等价于， 令，， 所以函数在上是严格增函数， 故在上恒成立，只需， 求导可得 因为，， 所以， 解得，当且仅当，即时等号成立， 所以实数的取值范围为. 5．（23-24高二下·上海杨浦·阶段练习）已知函数． (1)设、是函数的图像上相异的两点，证明：直线的斜率大于0； (2)求实数的取值范围，使不等式在上恒成立． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、已知两点求斜率、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据导数的几何意义可得函数为单调递增，再利用函数单调性以及两点间斜率公式即可得直线的斜率大于0； （2）将不等式在上恒成立转化成函数在上恒成立，对实数的取值范围进行分类讨论即可求出结果. 【详解】（1）由可得， 故函数在是严格增函数， 设，，，则，即， 即直线的斜率大于0． （2）由题意得，设，， ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，， （ⅰ）若，， 所以在上是严格减函数，，满足题意； （ⅱ）若，注意到在时，， 于是， 故，不满足题意舍去； 综上，实数的取值范围是． 6．（23-24高二上·江苏南京）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)， 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）直接对函数求导，利用导函数的正负即可求出单调区间. （2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可. 【详解】（1）当时，，，， 由，解得；由，解得， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为. （2），故， 当时，因为，所以，因此恒成立， 即在，上单调递增，所以（1）恒成立， 当时，令，解得， 当，，单调递增； 当，，单调递减， 于是，与恒成立相矛盾， 综上，的取值范围为，. 【题型三 能成立（有解）问题之分离变量法】 1．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】当时，由可得出，令，其中，利用导数分析函数在上的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由可得，则， 令，其中，则， 当时，令，可得，列表如下： 增 极大值 减 且，，，，如图所示：    要使得存在唯一的负整数，使得，即， 只需，即， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】(1)最大值为 ，最小值为 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）先利用导数可得函数 在 上单调递增，在上单调递减，从而可求函数 在 上的最大值和最小值； （2）不等式 可化为 ，记 ，则原不等式有解可转化为 ，再利用导数求函数的最大值，即可求实数 的取值范围. 【详解】（1）因为函数 ， 所以 ， 令 ，则 或 (舍去). 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在上单调递减， 所以当 时， 取得最大值，最大值为 ， 又 ， ， 所以 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 ， 故 在 上的最大值为 ，最小值为 . （2）易知 的定义域为 ， 故不等式 可化为 . 记 ，则原不等式有解可转化为 . 易得 ，时，，时，， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ，所以 ， 解得 . 所以实数 的取值范围为 . 3．（2024高三·全国·专题练习）已知为实数，函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)定义：若函数的图象上存在两点，设线段的中点为，若在点处的切线与直线平行或重合，则函数是“中值平衡函数”，切线叫做函数的“中值平衡切线”．试判断函数是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由； (3)设，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；当时，不是“中值平衡函数”，理由见解析； (3) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求切线方程； （2）先利用“中值平衡函数”的定义将其化为能否成立，再讨论与，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而判定函数是否是“中值平衡函数”，是否存在“中值平衡切线”； （3）将化为，构造函数，求导，通过研究导数的符号得到函数的单调性进而求最值，得到参数的范围． 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，， ∴在处的切点坐标为，切线斜率为，切线方程为． （2）若函数是“中值平衡函数”，则存在， 使得，即， （※） ①当时，（※）对任意的都成立， ∴函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条； ②当时，有，设，则方程在区间上有解， 记函数，则，∴函数在区间单调递增， ∵，∴当时，， 即方程在区间上无解，即函数不是“中值平衡函数”； 综上所述，当时，函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；当时，不是“中值平衡函数”； （3）由，得， 记，， ∴当时，，单调递减，当时，，单调递增； ∴， ，记， ，， ， 时，，单调递减；时，，单调递增； ，， 故实数的取值范围为． 4．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数. (1)若，求在上的最大值与最小值之差； (2)是否存在实数，对，恒成立，若存在求出的可取值，不存在请说明理由. 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）根据导数的性质，结合函数单调性的性质进行求解即可； （2）对函数不等式进行常变量分离，构造新函数，结合导数的性质、函数零点存在原理进行求解即可. 【详解】（1）由题意得， 则，由于都是递增函数， 故是递减函数， 则， 故为递减函数， 则， 故； （2）由， 可得，设， 令，故单调递增， 又，故存在，使得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 故，由于，则，故，所以． 【点睛】关键点睛：利用常变量分离法，结合构造函数法是解题的关键. 5．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值及直接写出的单调减区间； (2)设函数，且在区间（为自然对数的底数）内存在单调递减区间，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；单调减区间见解析 (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由函数的单调区间求参数、利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据切线方程，由和可求得；求导后，分别在、和的情况下，根据的正负可得单调减区间； （2）将问题转化为在内有解，分离变量可得，令，利用导数可求得的单调性，从而得到，由此可得的范围. 【详解】（1），，又，，； ，； 当时，，在上单调递增，无单调减区间； 当时，若，；若，； 的单调减区间为； 当时，若，；若，； 的单调减区间为； 综上所述：当时，无单调减区间；当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为. （2）由（1）知：，， 在内存在减区间，，即在内有解， 在时能成立， 令，则； 令，则， 在上单调递增，又， 当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 【题型四 能成立（有解）问题之分类讨论法】 1．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数，（，是自然对数的底）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究方程的根 【分析】由题意有在上有解，利用导数研究右侧单调性求值域，即可得参数范围. 【详解】由题意，对于，上存在点关于轴对称的点在上， 所以，存在点在上，故， 即在上有解， 令且，则， 所以时，即在上递减，值域为， 时，即在上递增，值域为， 所以，即. 故答案为： 2．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数y＝f（x）的单调区间； (2)若关于x的不等式在上能成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在单调递增，在单调递减 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）通过导数的正负确定单调区间； （2）构造新函数，由新函数最小值小于0即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当a＝3时，f（x）＝3lnx﹣x， 则，且定义域为 由； f(x)在单调递增，在单调递减； （2）由题意，，等价于，在上能成立 令，，则g（x）在上的最小值小于0， 则， ①当1+a≥1，即a≥0时，g（x）在上单调递减， 所以函数g（x）在上的最小值为g（1）＝1+a+1＝a+2＜0， 故a＜﹣2，不符合题意，舍去； ②当，即，g（x）在上单调递增， 所以函数g（x）在上的最小值为， 解得，又，故， ③当，即时， 故g（x）在上单调递减，在[1+a，1]上单调递增， 所以g（x）在上的最小值为 因为，所以﹣1＜ln（a+1）＜0， 所以 所以不符合题意，舍去； 综上所述，实数a的取值范围为． 3．（23-24高三上·黑龙江双鸭山）已知函数. (1)当时，证明函数在区间上只有一个零点； (2)若存在，使不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后讨论函数的单调性，结合函数的性质即可确定函数零点的个数； （2）首先讨论函数的单调性，然后结合函数的最小值构造新函数，结合构造函数的性质分类讨论即可确定的取值范围． 【详解】（1）证明：当时，， 令， ∴在上为增函数， ∵， ∴，使， ∴当时，；当时，， 因此，在上为减函数，在 上为增函数， 当时，，当时，， 故函数在上只有一个零点． （2）解：当时，，由（1）可知，，即， ∴当时，，在上为减函数，当时，，在 上为增函数， ∴， 由，知， 设，则， ∴在上为减函数， 又， ∴当时，，当时，， ∴存在，使不等式成立，此时； 当时，由（1）知，在上为减函数，在上为增函数， 所以，所以不存在，使不等式 成立， 当时，取，即，所以， 所以存在，使不等式 成立， 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】方法点睛：在解决能成立问题时一般是将不等式能成立问题转化为求函数的最值问题，利用能成立；能成立. 4．（2024·安徽马鞍山·一模）已知函数（为自然对数的底数）． (1)若时，求的单调区间； (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）写出时函数表达式，运用导数与函数单调性的知识进行求解即可； （2）将存在性问题转化为最值问题，原题即求对任意成立的的取值范围，分类讨论的范围即可求解. 【详解】（1）若时，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意可知，即求成立的的取值范围， 因为，，所以， 所以（当且仅当时取等号）， 即，即求对任意成立的的取值范围， 当时，，此时在上单调递增， 且有，不满足； 当时，易知，显然成立； 当时，令，得，令，得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【点睛】此类题目需要综合运用导数与函数之间的关系求解，对于任意或存在性问题需要转化为最值问题进行求解. 5．（24-25高三上·山西长治·阶段练习）已知函数． (1)证明：曲线在点处的切线l恒过定点； (2)若存在使得，求k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）利用的导数求出在点，的斜率，再求出其切线方程，最后证明过定点； （2）构造函数，讨论的范围，结合切线放缩及三角放缩得到的取值． 【详解】（1）证明：由得，则，故切线l为，即，恒过定点． （2）即，设， 令，则时，时，， 所以，即，故当时，不成立； 当时，对于，，， 单调递增，，故存在唯一．使得， 时，，符合题意； 当时，对于有，则对任意的，都有成立． 综上，k的取值范围是． 【题型五 能成立（有解）问题之最值定位法】 1．（2024·广西柳州·二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； (2). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间作答. （2）利用（1）的结论求出在上的最大值，再利用给定条件，构建不等式并分离参数，构造函数，求出函数最大值作答. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 而，当时，由得，由得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，由得，由得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，而，则， 任意，存在，使等价于，恒成立， 则有，成立，令， 则，当时，，当时，， 即有在上单调递增，在上单调递减，， 因此当时，最大值为，则， 所以实数的取值范围是. 2．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）已知函数 (1)若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围； (2)设函数，若，总有成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）已知关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，将其转化为曲线与直线在区间上恰有2个交点，通过求导判断单调性，再数形结合求解． （2）已知，总有成立，转化为，分别求与即可. 【详解】（1），， 由得， 由题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点． ， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当值，取最小值，最小值为． ， 又， ∴． （2）由总有成立可知， 所以在给定区间上，． 由（2）知在区间上，， ∵， 当时，；当时，， ∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴，所以， ∴ ． 3．（23-24高二下·四川资阳）已知，. (1)当时，求极值； (2)讨论单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)答案见解析 (3) 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）先求导数，再结合导数判断单调性，求出极值； （2）先求导数，对分类讨论，确定导数符号，得出单调性； （3）利用导数分别求解的最大值，然后可得答案. 【详解】（1）由题可知，函数定义域为，由 当，解得，当，解得，所以函数在处取得极大值，无极小值. （2）， ①所以当时，有恒成立，在单调递增， ②当时，由解得：，在上单调递增； 由解得：，在上单调递减； 综上，时，在单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减. （3）当时，， 根据题意，不等式等价于，， 对于，，， 所以在上单增，所以，则有， 设，，则， 在定义域内为减函数，又，所以，即的取值范围是. 4．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知 (1)求f（x）的单调区间； (2)设，若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数的性质分类讨论进行求解即可； （2）根据函数的单调性，结合存在量词的定义进行求解即可. 【详解】（1）， 当a＜2时，由（x）＞0得2＜x＜a ， 由（x）＜0得x＜a或x＞2， ∴f（x）的单调递增区间为（a，2），单调减区间为（﹣∞， a），（2，+∞） ②当a＝2时，（x）≤0，f（x）在（﹣∞，+∞）上是递减的 ③当a＞2时，由（x）＞0，得2＜x＜a 由（x）＜0得x＜2或x＞a ∴f（x）的单调递增区间为（2，a），单调减区间为（﹣∞，2），（a，+∞）； （2）∵a＜0，由（1）知f（x）在[0，2）上为递增的，在（2，4]上是递减的， ∴当x∈[0，4]时f（x）max＝f（2）＝，又∵g（x）＝在[0，4]上是递减的， ∴g（x）min＝g（4）＝ ， ∴g（x）min＞f（x）max恒成立，∴若存在x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）﹣g（x2）|， 只需g（x）min﹣即可，即， ∴a2+a﹣2＜0，∴﹣2＜a＜1 ∵a＜0，∴a∈（﹣2，0）. 【点睛】关键点睛：根据存在量词的定义进行转化是解题的关键. 5．（23-24高二下·重庆长寿·阶段练习）已知函数 (1)讨论的单调区间； (2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）由，按，进行分类讨论求解； （2）由已知，转化为，由已知得，由此能求出实数a的取值范围． 【详解】（1）， ①当时，由于，故，， 所以的单调递增区间为； ②当时，由，得， 在区间上，在区间上， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由题目知，只需要即可 又因为，所以只需要即可 即等价于恒成立， 由变量分离可知，， 令，下面求的最小值， 令，所以得， 所以在为减函数，为增函数， 所以，所以. 【题型六 讨论零点个数问题】 1．（2023·上海静安·二模）已知函数.（其中为常数） (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)只有1个，理由见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）当时，求得，得到且，进而求得切线方程； （2）求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解； （3）当时，求得在上有一个零点；当 时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数. 【详解】（1）解：当时，可得， 可得，所以且， 所以切线方程为，即， 即曲线所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：由函数，可得函数的定义域为， 又由，令，解得，， 当时，与在区间的情况如下表： 极小值 ↗ 所以函数的极小值为，也是函数的最小值， 所以当时，函数的最小值为 （3）解：当时，，令，解得（舍去） 所以函数在上有一个零点； 当 时，与在区间的情况如下表： 0 0 ↗ 极大值 极小值 ↗ 所以函数在单调递增，在上单调递减， 此时函数的极大值为， 所以函数在上没有零点； 又由且函数在上单调递增， 且当时，， 所以函数在上只有一个零点， 综上可得，当时，在上有一个零点. 【点睛】知识总结：解决函数极值、最值综合问题的策略与方法： 1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； 2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 2．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知函数. (1)若直线是曲线的一条切线，求a; (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】1）设切点坐标为，求出原函数的导函数，由切线斜率与切点处函数值相等可得关于与的方程组，即可求得的值； （2）由，得令利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象，数形结合得答案 【详解】（1）由，得 ， 设切点为，则，解得 （2）显然不是函数的零点，所以由，得令 则 当时，，当时，，当时， 在，上单调递增，在上单调递减， 作出函数的图象如图： 由图可知，当 时，函数有1个零点， 当 时，函数有2个零点， 当 时，函数有3个零点. 3．（2025高三·全国·专题练习）设函数． (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出曲线在点处切线方程后可求实数的值； （2）求出函数的极值，讨论极值的符号后可得函数零点的个数. 【详解】（1）设是曲线上任意一点，由题得， 所以曲线在点处的切线方程为， 依题意满足上式，因此对于任意均成立， 因此，，得． （2）易知， 若，则，（当且仅当时等号成立） 函数单调递增，且，则其在上有且仅有1个零点． 若，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 此时的极大值，的极小值． 令，解得， 则当时，的极小值大于0，有1个零点； 当时，的极小值等于0，有2个零点； 当时，的极小值小于0，有3个零点． 综上，当时，有1个零点，当时，有2个零点，当时，有3个零点． 【点睛】结论点睛：一般地，设三次函数，则其导函数为，．设的两个根分别为， （1）若，则恰有一个零点； （2）若，且，则恰有一个零点； （3）若，且，则恰有两个零点； （4）若，且，则恰有三个零点． 恰有三个零点． 4．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)实数的取值范围为 (2)函数在上的零点个数为1 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数求的最大值即可求解； （2）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果. 【详解】（1）由题意得，令，解得，所以， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 由于时，，所以实数的取值范围为. （2）令，则，整理得， 令，则， 当时，．所以在上单调递减， 又，， 所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点． 当时，，此时函数无零点． 综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为1． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的解决关键是，将函数在零点个数的问题转化为零点个数问题，从而得解. 5．（24-25高三上·吉林·期末）已知函数的极小值为2，，. (1)求的值； (2)比较并证明与0的大小； (3)求的零点个数并进行证明. 【答案】(1) (2) (3)个零点，证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，再分类讨论求出函数的极小值，再结合已知即可得解； （2）由（1）得，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可得解； （3）先利用导数求出函数的单调区间及最值，再根据零点的存在性定理即可得出答案. 【详解】（1）， 当时，，所以函数在上单调递增，所以函数无极值； 当时，则时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值为，所以； （2）由（1）得， 则， 令， 则， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以； （3），， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以， 因为，所以， 又，所以函数在上有唯一零点， 因为， 所以，所以， 由（2）得， 所以函数在上有唯一零点， 综上所述，函数有个零点. 【题型七 根据零点个数求参数】 1．（23-24高三上·上海虹口·期中）设a是实常数，并记． (1)当时，求函数的单调减区间； (2)是否存在a，使得函数在实数范围内有且仅有三个零点，且三个零点可按某种顺序排列后成等差数列？若存在，求所有满足条件的a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，3和-3 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、等差中项的应用 【分析】（1）求出函数的导数，令，即可求得答案； （2）假设存在满足条件的a，设三个零点为，则，展开后和比较可得，结合，即可求得a的值，验证后即可得答案. 【详解】（1）当时，，则， 令，解得， 故函数的单调减区间为； （2）假设存在a，使得函数在实数范围内有且三个零点，且三个零点可按某种顺序排列后成等差数列， 设这三个零点为，， 则 ， 又，则， 而，故， 即，则或， 当时，，， 函数在R上单调递增，不可能有3个零点，不合题意； 当时，，解，得或或， 即函数在实数范围内有且三个零点，且或成等差数列， 当时，，解，得或或， 即函数在实数范围内有且三个零点，且或成等差数列， 故满足条件的a的值为和. 2．（22-23高三上·上海静安·期中）已知函数过点，函数在点处的切线斜率为4，且为函数的一个驻点. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）求出导函数，根据切线斜率和极值点列出方程组，求出，得到解析式； （2）令导函数大于0和小于0，求出单调区间； （3）在第一问和第二问的基础上，数形结合得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数，可得， 因为函数在点处的切线斜率为4，且在处为驻点， 可得：，即，解得：， 所以， （2）可得，令，解得：或， 当变化时，的变换情况如下： -1 + 0 - 0 + 递增 2 递减 递增 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是； （3）依题意得：方程有3个不同的实数根， 即，函数与函数的图象有3个不同的交点， 由（1）（2）知需要满足，解得：， 的取值范围是. 3．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知函数，，设，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当函数经过点时函数有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根，并指出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)证明见解析， 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由题可得切线斜率，然后由点斜式可得切线方程； （2）由函数经过点可得，然后由单调性可完成证明； （3）通过导数研究性质可得与大致图象，从而可得关于的表达式，然后可完成证明，并能指出实数的取值范围 【详解】（1）时，，， ，，则曲线在点处的切线方程为： ； （2）证明：因函数经过点，则 .令，. 令；， 则在上递减，在上递增，则， 故由，可得. 则此时，，.令， 则在上递增， 注意到，结合在上递增， 则. 得在递减，在上递增，则. 即函数经过点时函数有且仅有一个零点1； （3）证明：，其中. ，令， 则，则在上递增. 注意到，， 则，使，结合在上递增. 则. 得在递减，在上递增， 则的极小值为 令，则 得在上单调递减， 故. 注意到，， 则，使； 令，在上递增， 则， 即； 令，. ， 则在递增，在上递减， 则. 则， 又，. 则，使. 则可得大致图象如下， 图象则相当于对图象做翻折变换，可得大致图象如下. 方程恰有三个不同的实数根，则直线与图象有3个交点， 由图可得时满足题意. 则对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根， 注意到 则时满足题意 令， 则，则在上递减， 则，. 则的范围为： 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常用零点存在性定理结合单调性进行分析，也可利用数形结合思想转化为函数图象与直线的交点问题. 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，．已知函数的极小值为1． (1)求的值； (2)若，求证：对任意，都有； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)证明见解析； (3)或 【知识点】利用导数证明不等式、根据函数零点的个数求参数范围、根据极值求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导之后，讨论单调性，再根据题设条件列式即可求解; （2）先判定的单调性，再结合（1）的结论放缩即可； （3）研究的单调性，极值的符号，再结合零点存在性定理的推论即可求解. 【详解】（1）的定义域为，． 当时，恒成立，在上单调递增，无极小值； 当时，令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的极小值为，即． 综上，． （2），． ∵， ∴，即在上单调递减． ∴． 由（1）知，的最小值为，即（当且仅当时，等号成立）． ∴，即． （3）． 当时，，在上单调递增，至多有一个零点． 当时，． 令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的最小值为． 设，． 令，；令，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以的最大值为． 当时，，只有一个零点； 当时，，又，． 所以有两个零点； 当时，， 由①知，当时，对，恒成立，又， 所以有两个零点； 综上：或 【点睛】方法点睛：用导数处理含参函数零点问题应从三方面入手，一是研究函数的单调性，二是极值（或最值）的符号，三是如果在区间端点处无定义或端点是无穷大趋向于端点时的变化趋势，此时通常要结合零点存在性定理来说明零点的个数 5．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的极值； (3)若在区间上无零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的极小值为，没有极大值 (3)或 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】（1）先求得的导数，再代入即可得解； （2）利用导数与函数极值的关系直接求解即可得解； （3）根据题意，将问题转化为在上无解，构造函数，利用导数分析得其图象，再数形结合即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，解得. （2）由（1）知，又， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以有极小值，为，没有极大值. （3）令，得， 因为在区间上无零点，所以在上无解， 令，则与的图象没有交点， 而，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又当时，，则恒成立， 所以，则在上的大致图象如下， 数形结合可得或， 所以或. 【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法： （1）转化为函数最值问题，利用导数解决； （2）转化为函数图象的交点问题，数形结合解决问题； （3）参变分离法，结合函数最值或范围解决. 一、填空题 1．（23-24高一下·上海·期中）若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】令，则，令，则函数的图象在区间上有两个交点，利用导数求出函数的单调区间，作出函数图象，结合图象即可得解. 【详解】令，则， 令， 则函数的图象在区间上有两个交点， ， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 而， 如图，作出函数的图象， 由图可知时两函数图象有两个交点，原函数有两个零点. 故答案为：. 2．（2023·上海嘉定·一模）对于函数，若对于任意的，恒成立，求a的取值范围 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】不等式恒成立等价于即，由于为增函数，由得，即恒成立，令，此题转化为求. 【详解】不等式恒成立等价于即，即， 由于为增函数，所以由，得，即恒成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 易得， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，，若有且仅有一个正整数，使得不等式成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】对数函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据函数解析式，分情况作图，利用图象可得的取值，建立不等式，可得答案. 【详解】函数，， 当时，可得作图如下： 由题意，若，则，化简可得，解得， 当时，，，此时不符合题意， 当时，令，， 令，且函数图象的对称轴为直线， 由，则或，所以函数在上单调递减， 可得，则，在上单调递减， ，则在上恒成立，所以此时不符合题意； 当时，可作图如下： 显然不存在符合题意的. 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 4．（2024·四川·二模）若关于的不等式恒成立，求的最大值 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将原不等式可化为：，再利用导数研究函数图象，要使其恒在图象的下方，对进行分类讨论，即可得出答案. 【详解】由，原不等式可化为：， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，在处取得极大值，且为最大值，则； 当时，，    结合图象可知，要使的图象恒在图象的上方，显然不符题意， 当时，为直线的横截距，其最大值为的横截距， 再令，可得，所以的最大值为. 此时，直线与在点处相切，的最大值为. 故答案为： 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求导并判断函数的单调性，可画出的图象，由过定点，要使不等式有且仅有两个整数解，只需，求解即可. 【详解】由题意得，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，；当时，； ，，， 且时，，作出函数的图象，如图所示： 直线过定点，要使不等式有且仅有一个整数， 只需 解得， 故答案为:.    6．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、基本初等函数的导数公式 【分析】由题意可知：原题意等价于与在内有2个交点，求在处的切线方程，结合图象分析求解. 【详解】令，可得， 原题意等价于与在内有2个交点， 且，的横截距为， 因为，则， 即切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为，即， 即在处的切线方程为，该切线的横截距为， 结合图象可知：若与在内有2个交点， 则，即的取值范围为. 故答案为：. 7．（24-25高三上·上海·开学考试）若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究方程的根、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】变形给定方程可得，构造函数数形结合求出的范围. 【详解】方程化为， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增， ，因此原方程等价于，令， 依题意，方程在内有两个不同的实数解， 即直线与函数在上的图象有两个交点， 而函数在上单调递增，在上单调递减，， 又，于是， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 8．（22-23高二下·上海闵行·期中）若方程有三个不同实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究方程的根、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将问题转化为函数与函数的图象有三个不同的交点，利用导数讨论函数的单调性和极值，数形结合求解. 【详解】由，可得， 则关于的方程有三个不同实根， 即函数与函数的图象有三个不同的交点， ， 令解得或，令解得， 所以函数在单调递增，单调递减，单调递增， ， 作出函数的图象如下， 由图可知，解得， 故答案为:. 二、解答题 9．（24-25高三上·上海·期中）已知定义域均为的函数，，是的非空子集. 若对任意 当 时，总有 则称 是 的一个“S关联函数”. (1)求 的所有{1}关联函数； (2)若   是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围； (3)对定义在上的函数，证明：“ 对一切恒成立”是“存在函数使得对任意正整数，是的一个 关联函数”的充要条件. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义、充要条件的证明、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）根据“关联函数” 的定义及换元法找出满足条件的函数即可. （2）应用新定义及设，（），将问题转化为在上恒成立，结合分离参数求最值，运用导数求在上最值即可. （3）分别从充分性与必要性两方面进行证明. 【详解】（1）设是的关联函数， 对于，当时，， 因为，所以， 设，则， 令，则，所以， 所以的关联函数为. （2）因为是其自身的一个关联函数. 对于，当时，. 设，（），则， 整理得， 因为的导函数为， 又因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以，（） 设，则， 令，则；，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以. （3）充分性： 假设存在函数，使得对于任意正整数，是的一个关联函数. 当趋近于时，趋近于0， 对于任意，取，， 当（足够大时），有， 当趋近于时，，即. 必要性： 若，定义， 则对于任意正整数，对于任意，当时，， 又因为，所以. 所以原命题得证. 10．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数； (1)设函数，求函数的极值； (2)若不等式当且仅当在区间上成立（其中为自然对数的底数），求的最大值； (3)实数满足，求证：. 【答案】(1)极小值，无极大值； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求出，利用导数求出极值即得. （2）利用导数可得函数在上单调递增，由给定条件得，再利用二次函数求出最大值. （3）利用作差法变形并构造函数，利用导数求出最值即可推理得证. 【详解】（1）由函数，得， 求导得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，无极大值. （2）函数，，求导得，函数在上单调递增， 依题意，，即，解得， 于是，当且仅当时取等号， 所以的最大值是. （3）依题意，， 令，由，得，令，求导得， 函数在上单调递增，，因此， 即，于是； ， 令，求导得，函数在上单调递减， ，因此，即，则， 所以. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 11．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数，，、． (1)若，点，求过点与函数的图象相切的直线方程； (2)若，在区间上的图象始终在的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1)或. (2) 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将点代入切线方程，求出的值，即可求出切线方程； （2）依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时，又，则， 所以， 设切点为，又，则， 所以切线方程为， 所以，解得或， 所以切线方程为或. （2）当时， 因为在区间上的图象始终在的上方， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，即最小值，所以， 所以，即实数取值范围为. 12．（22-23高三上·上海宝山·开学考试）已知，，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线. (1)当时，求、、的值; (2)求证：当且仅当时，函数存在最小值. (3)已知存在，使得对一切恒成立，求满足的的最小值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）根据切点坐标和导数的几何意义可得出关于、、的方程组，即可解得这三个未知数的值； （2）对的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，即可得出结论； （3）由已知条件可得出，，由题意可得，可得出，令，可得，令，其中，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理求出的零点的取值范围，由此可求得使得满足的的最小值. 【详解】（1）解：当时，，，则，， 由题意可得，即，解得. （2）解：由已知，则. （i）当时，，函数在上单调递增，不存在最小值； （ii）当时，由可得，此时函数单调递减， 由可得，此时函数单调递增， 故当时，函数存在最小值； （iii）当时，由可得，此时函数单调递增， 由可得，此时函数单调递减， 故当时，函数存在最大值，无最小值. 综上所述，当且仅当时，函数存在最小值. （3）解：存在，使得对一切恒成立，则. 由（2）可知，当且仅当时，函数存在最小值，且， 由已知可得，则， 所以，， 由题意可得，因为，可得， 令，可得， 令，其中， ，当且仅当t = 0.5时取等， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，则，所以，， 所以，函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在使得，由可得， 且，且， 所以，使得的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查满足条件的参数的最小值，解题的关键在于根据已知条件得出最值的大小关系，可得出关于的不等式，通过构造新函数得出的取值范围，进而求解. 13．（2024·天津南开·一模）已知曲线与轴交于点，曲线在点处的切线方程为，且． （1）求的解析式； （2）求函数的极值； （3）设，若存在实数，，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）极大值为，无极小值；（3） 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）先根据题意得，进而得切线斜率，故，再根据求得，进而得解析式； （2）由（1），求导得，进而根据导数与极值的关系即可得答案； （3）将不等式整理变形得：存在实数使成立，进而转化为，再研究函数的单调性得时，函数为减函数， 时，函数为增函数，再分，，三种情况讨论求解即可得答案. 【详解】解：（1）令解得，故点， 对函数求导得， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为：，即：， 又因为，故， 所以的解析式. （2）由（1）知，函数定义域为， 所以， 故当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数在处取得极大值，极大值为，无极小值. （3）因为 ， 故不等式等价于， 因为 ，故存在实数使成立， 所以只需成立即可. 所以， 因为时，，故 所以当时，，函数为减函数， 时，，函数为增函数 所以 （i）当时， 在恒成立，故函数在单调递增， 故，所以，解得； （ii）当时， 时，，函数为减函数，时，，函数为增函数，故，， 所以，当时，，即， 令，，，故在单调递减，，故在单调递增， 所以在上也单调递增，， 与矛盾，无解 当时，，即，所以， 令，，令得， 故当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 由于， 故函数在的函数值恒大于， 故当时，，与矛盾，无解； （iii）当时，时，，函数为减函数，故，所以，解得； 综上，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查导数的几何意义，极值，不等式能成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，综合分析问题与解决问题的能力，是难题.本题第三问解题的关键在于对已知不等式变形转化为存在实数使成立，进而只需成立即可，再分类讨论求函数的最值即可. 14．（24-25高三上·上海浦东新·期中）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数． 【答案】(1)1 (2)证明见解析； (3)答案见解析 【知识点】充要条件的证明、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、函数新定义 【分析】（1）设，判断该函数单调性，确定其解，即可求得答案； （2）根据函数新定义的含义，结合充分性以及必要性的证明，即可证明结论； （3）由题意可知只需研究的不动点即可，令，求出其导数，判断其单调性，然后分类讨论a的取值范围，判断的零点情况，即可判断的稳定点个数. 【详解】（1）设，则恒成立， 故函数在R上单调递增， 又，故函数在R上有唯一零点， 即有唯一不动点1． （2）证明：充分性：设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，充分性成立； 必要性：设为函数的稳定点，即． 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即 即，故为函数的不动点， 综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件． （3）当时，函数在上单调递增， 由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可； 令， 则， 则在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，且 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点； 当时，即时， 当x趋向无穷大时，趋近于0，此时 存在唯一 使得， 此时f（x）在上单调递增，在上单调递减， 故， 当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大， 设，则在上单调递增，且 又 在时单调递增， 故（i）当时，即 此时，方程有一个解，即有唯一不动点； （ii）当时，即 此时，方程无解，即无不动点； （iii）当时，即 此时，方程有两个解，即有两个不动点； 综上，当时或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当时，有两个稳定点． 【点睛】方法点睛：解答时要注意理解函数新定义的含义，解答的难点是（3）中判断函数稳定点的个数，解答时要结合新定义，采用分类讨论的方法去解决问题，解答过程较为复杂，要有较强的逻辑思维能力. 15．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据极值求参数、已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）对函数求导，根据曲线在点处的切线与轴平行，可得，即可求； （2）令，由已知函数在内存在极值，则在内有变号零点，通过求导判断函数的单调性，得出，，解不等式即可求解； （3）由已知在上恒成立，设，，通过求导判断函数的单调性求得最小值，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以； （2）由（1）可知， 因为函数在内存在极值， 所以在内有变号根， 因为，所以在内有变号根， 令，， 所以，由，得， 所以当时，，单调递减， 且，， 要使在内有变号根，即在内有变号零点， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为； （3）若对任意的实数，恒成立， 则，即在上恒成立， 设，， 所以， 设，则， 因为，所以，单调递增， 所以，所以，所以单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）利用导数讨论函数极值点的问题时，要注意将问题转化为的根的问题，且必须使在根的两侧异号，当的根无法解出时，可采用零点的存在性定理判断出根的范围；（2）求解根据不等式恒成立求参问题时，一般采用参变分离法或者利用分类讨论思想，将问题转化为函数最值问题的求解. 16．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 【答案】(1)不是“导可控函数”，说明见解析 (2)1个，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数新定义 【分析】（1）对函数求导，依条件判断即可； （2）利用导数判断函数的单调性，再结合函数值域可判断零点个数； （3）利用导数的定义得，再由不等式的性质，适当放缩得证. 【详解】（1）若，则， 当时，， 故不是 “导可控函数” . （2）依题意，， 所以，在上为减函数，所以至多一个零点； ，， 当时，， 当时，， 所以存在零点，综上存在1个零点； （3）因为，由导数的定义得 ， 即， 不妨设 若，则 若， 则 . 命题得证. 【点睛】利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形． （2）构造新的函数． （3）利用导数研究的单调性或最值． （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 17．（2023·上海徐汇·三模）设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质. (1)设函数，其中为实数. （ⅰ）判断函数是否具有性质，请说明理由； （ⅱ）求函数的单调区间. (2)已知函数具有性质.给定，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围. 【答案】(1)（i）函数具有性质，理由见解析；（ii）答案见解析 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究方程的根、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）（i）对求导，可得恒成立，即可证明函数具有性质；（ii），与的符号相同，分，，和，讨论的正负，即可得出函数的单调区间； （2）对求导，，分析可知其在恒成立，分，和三种情况讨论求解m的取值范围． 【详解】（1）（i）函数具有性质，理由如下， ， 因为，恒成立，所以函数具有性质； （ii）设，与的符号相同. 当即时，，， 故此时在区间上递增； 当时，对于，有，所以此时在区间上递增； 当时，的图象开口向上，对称轴，而， 对于，总有，，所以此时在区间上递增； 当时，的图象开口向上，对称轴，方程的两根为： ，且，， 当时，，，此时在区间上递减； 同理得：在区间上递增. 综上所述：当时，在区间上递增； 当时，在区间上递减，在上递增； （2）由题意，得：， 又对任意的都有， 所以对任意的都有，在上递增， 又， 当时，，且， 所以，所以或， 若，则， 所以不合题意， 所以，即，解得：，， 当时，，，符合题意. 当时，，且， 同理有，即，解得：，， 综上所述，所求m的取值范围时. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键点是对进行分类讨论，本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识、考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 利用导函数研究恒（能）成立+零点问题 目录 【题型一 恒成立问题之分离变量法】 2 【题型二 恒成立问题之分类讨论法】 4 【题型三 能成立（有解）问题之分离变量法】 5 【题型四 能成立（有解）问题之分类讨论法】 7 【题型五 能成立（有解）问题之最值定位法】 8 【题型六 讨论零点个数问题】 10 【题型七 根据零点个数求参数】 12 一、恒成立问题 （1）分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. （2）分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 二、能成立（有解）问题 （1）分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. （2）分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． （3）等价转化法 当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. （4）最值定位法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 （5）值域法解决双参等式问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 三、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【题型一 恒成立问题之分离变量法】 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，若对任意，都有成立，则的取值范围是 . 2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为 ． 3．（2024·上海普陀·一模）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是 . 4．（25-26高三上·上海·单元测试）①在定义域内单调递减，②在定义域内有两个极值点，③当时，恒成立．在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题． 问题：已知函数，其中，其中．若________，求实数a的取值范围； 5．（23-24高二下·上海·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 6．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知函数的图像在处的切线与直线平行． (1)求函数的极值； (2)若对任意的，且都有，求实数m的取值范围． 7．（23-24高三下·上海宝山·阶段练习）已知函数，其中实数，，． (1)时，求函数的极值点； (2)时，在上恒成立，求b的取值范围； 【题型二 恒成立问题之分类讨论法】 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）设.若函数的图像都在轴下方（不含轴），则的取值范围是 . 2．（23-24高二下·上海·期末）若不等式对任意成立，则的取值范围是 ． 3．（24-25高三上·上海·期中）已知为常数，若关于的不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为 . 4．（24-25高三上·上海·期中）设，，（常数）. (1)为上的严格增函数，求实数的取值范围； (2)设，若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围. 5．（23-24高二下·上海杨浦·阶段练习）已知函数． (1)设、是函数的图像上相异的两点，证明：直线的斜率大于0； (2)求实数的取值范围，使不等式在上恒成立． 6．（23-24高二上·江苏南京）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求的取值范围； 【题型三 能成立（有解）问题之分离变量法】 1．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是 ． 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知为实数，函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)定义：若函数的图象上存在两点，设线段的中点为，若在点处的切线与直线平行或重合，则函数是“中值平衡函数”，切线叫做函数的“中值平衡切线”．试判断函数是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由； (3)设，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 4．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数. (1)若，求在上的最大值与最小值之差； (2)是否存在实数，对，恒成立，若存在求出的可取值，不存在请说明理由. 5．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值及直接写出的单调减区间； (2)设函数，且在区间（为自然对数的底数）内存在单调递减区间，求实数的取值范围． 【题型四 能成立（有解）问题之分类讨论法】 1．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数，（，是自然对数的底）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 . 2．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数y＝f（x）的单调区间； (2)若关于x的不等式在上能成立，求实数a的取值范围． 3．（23-24高三上·黑龙江双鸭山）已知函数. (1)当时，证明函数在区间上只有一个零点； (2)若存在，使不等式成立，求的取值范围. 4．（2024·安徽马鞍山·一模）已知函数（为自然对数的底数）． (1)若时，求的单调区间； (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围． 5．（24-25高三上·山西长治·阶段练习）已知函数． (1)证明：曲线在点处的切线l恒过定点； (2)若存在使得，求k的取值范围． 【题型五 能成立（有解）问题之最值定位法】 1．（2024·广西柳州·二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 2．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）已知函数 (1)若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围； (2)设函数，若，总有成立，求的取值范围． 3．（23-24高二下·四川资阳）已知，. (1)当时，求极值； (2)讨论单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 4．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知 (1)求f（x）的单调区间； (2)设，若存在，使得成立，求的取值范围． 5．（23-24高二下·重庆长寿·阶段练习）已知函数 (1)讨论的单调区间； (2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围. 【题型六 讨论零点个数问题】 1．（2023·上海静安·二模）已知函数.（其中为常数） (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由. 2．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知函数. (1)若直线是曲线的一条切线，求a; (2)讨论函数的零点个数. 3．（2025高三·全国·专题练习）设函数． (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的零点个数． 4．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由. 5．（24-25高三上·吉林·期末）已知函数的极小值为2，，. (1)求的值； (2)比较并证明与0的大小； (3)求的零点个数并进行证明. 【题型七 根据零点个数求参数】 1．（23-24高三上·上海虹口·期中）设a是实常数，并记． (1)当时，求函数的单调减区间； (2)是否存在a，使得函数在实数范围内有且仅有三个零点，且三个零点可按某种顺序排列后成等差数列？若存在，求所有满足条件的a的值；若不存在，说明理由． 2．（22-23高三上·上海静安·期中）已知函数过点，函数在点处的切线斜率为4，且为函数的一个驻点. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 3．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知函数，，设，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当函数经过点时函数有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根，并指出实数的取值范围． 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，．已知函数的极小值为1． (1)求的值； (2)若，求证：对任意，都有； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 5．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的极值； (3)若在区间上无零点，求的取值范围. 一、填空题 1．（23-24高一下·上海·期中）若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围 . 2．（2023·上海嘉定·一模）对于函数，若对于任意的，恒成立，求a的取值范围 . 3．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，，若有且仅有一个正整数，使得不等式成立，则实数a的取值范围是 . 4．（2024·四川·二模）若关于的不等式恒成立，求的最大值 . 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是 ． 6．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为 ． 7．（24-25高三上·上海·开学考试）若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是 . 8．（22-23高二下·上海闵行·期中）若方程有三个不同实根，则实数的取值范围是 ． 二、解答题 9．（24-25高三上·上海·期中）已知定义域均为的函数，，是的非空子集. 若对任意 当 时，总有 则称 是 的一个“S关联函数”. (1)求 的所有{1}关联函数； (2)若   是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围； (3)对定义在上的函数，证明：“ 对一切恒成立”是“存在函数使得对任意正整数，是的一个 关联函数”的充要条件. 10．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数； (1)设函数，求函数的极值； (2)若不等式当且仅当在区间上成立（其中为自然对数的底数），求的最大值； (3)实数满足，求证：. 11．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数，，、． (1)若，点，求过点与函数的图象相切的直线方程； (2)若，在区间上的图象始终在的上方，求实数的取值范围． 12．（22-23高三上·上海宝山·开学考试）已知，，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线. (1)当时，求、、的值; (2)求证：当且仅当时，函数存在最小值. (3)已知存在，使得对一切恒成立，求满足的的最小值. 13．（2024·天津南开·一模）已知曲线与轴交于点，曲线在点处的切线方程为，且． （1）求的解析式； （2）求函数的极值； （3）设，若存在实数，，使成立，求实数的取值范围． 14．（24-25高三上·上海浦东新·期中）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数． 15．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 16．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 17．（2023·上海徐汇·三模）设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质. (1)设函数，其中为实数. （ⅰ）判断函数是否具有性质，请说明理由； （ⅱ）求函数的单调区间. (2)已知函数具有性质.给定，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$