第二章第06讲 一元一次不等式和一元一次不等式组单元提升卷-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第06讲 一元一次不等式和一元一次不等式组单元提升卷 （范围：全章，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．要使二次根式有意义，则的值不可以为（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴的值不可以为3． 故选D． 2．下列式子中是一元一次不等式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题比较简单，考查的是一元一次不等式的定义，只要熟练掌握一元一次不等式的定义即可轻松解答．根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以得到答案． 【详解】解：A、不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项错误； B、未知数次数是2，属于一元二次不等式，故本选项错误； C、含有2个未知数，属于二元二次不等式，故本选项错误； D、符合一元一次不等式的定义，故本选项正确； 故选：D 3．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 4．已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，，则，故该选项不符合题意； B、∵，，则，故该选项不符合题意； C、∵，，则，故该选项不符合题意； D、∵，则，故该选项符合题意； 故选：D 5．如果点在第一象限，那么m的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据第一象限内点的横纵坐标符号特点得出关于的不等式组，并熟练掌握解不等式组的能力．根据第一象限内点的横坐标为正、纵坐标为正列出关于的不等式组，解之可得． 【详解】解：根据题意，得：， 解得， 故选：A 6．在数学“”节24点速算赛中，共有20道题，答对一题得6分，答错或不答均扣2分，已知小观得分超过95分，则他至少答对了（   ）题． A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小观答对了道题，则答错或不答道题，利用得分答对题目数答错或不答题目数，结合小观得分超过95分，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设小观答对了x道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最小值为17， ∴他至少答对了17道题. 故选：C． 7．已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解第一个不等式求出其解集，再结合且不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 且不等式组无解， ， 故选：． 8．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．由图象可得直线与直线相交于点即可判断选项A；由图象可得的解集为，由图象可得的解集为，即可判断选项B；求出的解集是，当时，，即可判断选项C；由图象可得方程组的解为，即可判断选项D． 【详解】解：A．由图象可得直线与直线相交于点， ∴方程的解是， 故选项错误，不符合题意； B．由图象可得的解集为， 由图象可得的解集为， ∴不等式和不等式的解集不相同， 故选项错误，不符合题意； C．将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 由图象可知，的解集是， 由图象可知，当时，直线在直线的下方， ∴当时，， ∴不等式组的解集是， 故选项正确，符合题意； D．∵直线与直线相交于点P， ∴方程组的解为， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 9．若关于的一元一次不等式组的解集是，且是非正整数，则所有满足条件的的积为（   ） A． B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，进而确定出非正整数，再相乘计算即可． 【详解】解：不等式组整理得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， 则非正整数，，0， 所有满足条件的的积为， 故选：C． 10．定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解不等式，新定义运算，解题的关键是根据题意列出不等式，注意进行分类讨论．先根据题意分两种情况：当时，当时，列出不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解不等式得：， 解不等式得： ∴； 当时，， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：x的取值范围是． 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集．根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可． 【详解】解：由数轴可得：关于x的不等式的解集是： 故答案为：． 12．“x的3倍与y的和是正数”用不等式可表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列不等式，把正数理解成大于0是解题关键． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 13．如图，一次函数与相交于点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与不等式，根据函数图象，写出当时，的取值范围即可求解． 【详解】解：根据函数图象，一次函数与相交于点， 可得当时，的取值范围为， 故答案为：． 14．关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到，即可求出的取值范围． 【详解】解： 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． ， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 解得． 由题意可知， 解得． 故答案为： 15．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作仅进行了两次就停止，则满足条件的x的最大值是 ． 【答案】64 【分析】根据第一次操作没有停止可得不等式，根据第二次操作后停止可得不等式，由此建立不等式组求解即可．本题主要考查了解一元一次不等式组，正确理解题意列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解得， ∴x的最大值是64． 故答案为：64 16．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的综合，掌握不等式组的取值方法，加减消元法解二元一次方程组，代入求值是解题的关键． 根据不等式的性质解不等式组，结合不等式组的取值方法得到，运用加减消元法解二元一次方程组得到，根据解为整数，分别代入计算得到满足条件的的值为0或6，由此即可求解． 【详解】解：， 解得，， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 解得，， ， 解得，， ∵关于，的二元一次方程组的解为整数， ∴是的倍数，是的倍数， 当整数时，，符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，符合题意； ∴， 故答案为： ． 三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 17．解不等式组：，并把它的解集在如图的数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，数轴上画解集等．根据题意先解出两个一元一次不等式，继而在数轴上画出解集即可得到本题答案． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 则不等式组的解集为． 将不等式组的解集表示在数轴上， 如图：． 18．下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解不等式：． 解：去分母，得…第一步 去括号，得．…第二步 移项，合并同类项，得．…第三步 两边同时除以，得⋯第四步 (1)上述过程中，第一步去分母的依据是 ； (2)第 步出现错误，具体原因是 ． (3)请完成此不等式的正确求解过程． 【答案】(1)在不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变 (2)四，在不等式两边同时除以，不等号的方向未改变． (3)，过程见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质． （1）根据不等式的基本性质进行解答即可； （2）根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可； （3）按照正确的解法求出解集即可． 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是在不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变， 故答案为：在不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变 （2）第四步出现错误，具体原因是在不等式两边同时除以，不等号的方向未改变． 故答案为：四，在不等式两边同时除以，不等号的方向未改变． （3）解： 去分母，得： 去括号，得 移项，合并同类项，得 两边同时除以，得 19．成都大运会主办方计划租用6辆客车送240名志愿者去比赛场地，现有甲、乙两种客车，已知甲种客车的载客量为30人/辆，乙种客车的载客量为45人/辆，求租用甲种客车的数量． 【答案】0辆或1辆或2辆 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车辆，根据客车的座位总数要大于志愿者人数列出不等式求解即可． 【详解】解：设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车辆． 由题意可得， 解得． ∵x为非负整数， ∴x可取0，1，2． 答：租用甲种客车的数量为0辆或1辆或2辆． 20．已知一次函数． (1)当y随x的增大而增大，求m的取值范围； (2)若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式（组）； （1）依题意，，解不等式，即可求解； （2）根据函数图像经过第一、二、三象限，得出，解不等式组，即可求解； （3）依题意，函数解析式为：，根据，随的增大而增大，分别求得时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：； （2）解：∵函数图像经过第一、二、三象限， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴函数解析式为：， ，随的增大而增大 当时，，当时，， ∴当时，． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 21．某商场计划一次性购进、两种型号洗衣机80台，若购进型号洗衣机50台、型号洗衣机30台，则需55000元；若购进型号洗衣机30台、型号洗衣机50台，则需65000元． (1)求、两种型号的洗衣机的进价各为多少元； (2)若每台型号洗衣机售价550元，每台型号洗衣机售价1080元，该商场计划销售完这80台洗衣机总利润不少于5200元，求最多购进型号洗衣机多少台? 【答案】(1)、两种型号的洗衣机的进价分别为500元/台，1000元/台 (2)最多购进A型号洗衣机40台 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键． （1）设A、B两种型号的洗衣机的进价分别为x元/台，y元/台，由总价单价数量，列出方程组可求解； （2）设购进A型号洗衣机m台，B型号洗衣机台，根据销售完这80台洗衣机总利润不少于5200元，列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：设、两种型号的洗衣机的进价分别为元/台，元/台， 根据题意得：， 解得：， 答：、两种型号的洗衣机的进价分别为500元/台，1000元/台； （2）设购进A型号洗衣机台，则型号洗衣机台，， 根据题意得：， 解得：， ∴最大为40， 答：最多购进A型号洗衣机40台． 22．已知关于，的方程组的解满足． (1)的取值范围是________； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组； （1）根据得，，得出，根据，即可求解； （2）先解不等式得出，根据不等式组的解集为，可得不等式的解集为．进而得出，结合（1）得结论，且为正整数，即可求解． 【详解】（1）解： 得， ∴ ∵ ∴ 解得： 故答案为：． （2）解不等式，得． ∵不等式组的解集为， ∴不等式的解集为． ∴，解得． 由（1）知， ∴，且m为正整数，故正整数m的值为1． 23．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，． (1)填空： _________； _________； (2)若，求x的取值范围． (3)若关于x的不等式恰有两个正整数解，求m的取值范围． 【答案】(1)4，4 (2) (3) 【分析】此题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围； （3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，再根据恰有两个正整数解，得到，解不等式组即可． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：4，4； （2）解：， 不等式可转化为：， ； （3）解：， 不等式可转化为：， ， ∵关于x的不等式恰有两个正整数解， ∴， 解得：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元 (2)共有4种购买方案，最低费用是5780元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据买套甲型号和10套乙型号共用900元列一元一次方程求解即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 根据总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍列一元一次不等式组求解得，再设总费用为元，列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得，． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； （2）解：设需购进甲种型号“文房四宝”套，则需购进乙种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又为正整数， 可以取26，27，28，29； 共有4种购买方案， 设总费用为元，则， ， 随着的增大而增大， 当时，最小，最小值为， 答：共有4种购买方案，最低费用是5780元． 25．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一元一次不等式和一元一次不等式组单元提升卷 （范围：全章，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．要使二次根式有意义，则的值不可以为（   ） A． B．0 C．2 D．3 2．下列式子中是一元一次不等式的是（ ） A． B． C． D． 3．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 4．已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．如果点在第一象限，那么m的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 6．在数学“”节24点速算赛中，共有20道题，答对一题得6分，答错或不答均扣2分，已知小观得分超过95分，则他至少答对了（   ）题． A．15 B．16 C．17 D．18 7．已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是解为 9．若关于的一元一次不等式组的解集是，且是非正整数，则所有满足条件的的积为（   ） A． B．2 C．0 D． 10．定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为： ． 12．“x的3倍与y的和是正数”用不等式可表示为 ． 13．如图，一次函数与相交于点，当时，的取值范围是 ． 14．关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 15．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作仅进行了两次就停止，则满足条件的x的最大值是 ． 16．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 17．解不等式组：，并把它的解集在如图的数轴上表示出来． 18．下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解不等式：． 解：去分母，得…第一步 去括号，得．…第二步 移项，合并同类项，得．…第三步 两边同时除以，得⋯第四步 (1)上述过程中，第一步去分母的依据是 ； (2)第 步出现错误，具体原因是 ． (3)请完成此不等式的正确求解过程． 19．成都大运会主办方计划租用6辆客车送240名志愿者去比赛场地，现有甲、乙两种客车，已知甲种客车的载客量为30人/辆，乙种客车的载客量为45人/辆，求租用甲种客车的数量． 20．已知一次函数． (1)当y随x的增大而增大，求m的取值范围； (2)若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 21．某商场计划一次性购进、两种型号洗衣机80台，若购进型号洗衣机50台、型号洗衣机30台，则需55000元；若购进型号洗衣机30台、型号洗衣机50台，则需65000元． (1)求、两种型号的洗衣机的进价各为多少元； (2)若每台型号洗衣机售价550元，每台型号洗衣机售价1080元，该商场计划销售完这80台洗衣机总利润不少于5200元，求最多购进型号洗衣机多少台? 22．已知关于，的方程组的解满足． (1)的取值范围是________； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 23．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，． (1)填空： _________； _________； (2)若，求x的取值范围． (3)若关于x的不等式恰有两个正整数解，求m的取值范围． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 25．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$