第一章第09讲 三角形的证明单元提升卷-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第09讲 三角形的证明单元提升卷 （范围：全章，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果等腰三角形的三边长分别是x，2，6，那么x的值是（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4或8 2．如图，平分是上一点，于点H，若，则点P到射线的距离是（   ） A．5 B．2.5 C．10 D．7.5 3．如图，在中，，，直线是线段的垂直平分线，交于点，交于点，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 4．中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（    ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角 5．秋天，枫叶红了，我们不禁想起杜牧的诗“远上寒山石径斜，白云深处有人家．停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”这也让我们想起了岳麓山上的“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ） A． B．与的面积相等 C． D． 6．如图，在中，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D、E 为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F，射线交于点G．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，是边上的中线，点E，F分别为和上的动点，连接，．若，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D．6 8．如图，将沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 10．如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交，于点E，F，过点F作于点H．现给出以下四个结论： ①；②是等腰直角三角形；③；④当时，，上述结论中始终正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．如图，在中，，，点为的中点，则 ． 12．如图，平分，，，于点，，则的长为 ． 13．如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 14．如图，在中，，，，则的长为 ． 15．如图，在等边△中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点，若，则的长是 ． 16．如图，中，，，，若点从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．当点运动到边时，t为 秒时，为等腰三角形．    三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 17．如图，中，，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 18．如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为． (1)求的度数． (2)求证：点是的中点． 19．如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于F，交于M． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 20．如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求线段的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 21．如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，，的面积是，求． 22．如图，早上一渔船以50海里/时的速度从海港A出发沿正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，航行2个小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上，同时测得灯塔P正东方向的避风港Q在B的北偏东方向上． (1)填空： __________，__________海里； (2)求海港A与灯塔P之间的距离；（结果保留根号） (3)天气预报显示当天台风将登陆渔船所在海域，为安全起见，渔船立即沿方向加速驶向避风港Q．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前1个小时抵达避风港Q，求渔船加速后的最小速度．（结果保留整数，参考数据：，，） 23．已知点，分别为射线和上的一动点（点，都不与点重合）．过点作一条直线与线段交于点，对于线段给出如下定义：若线段可以将拆分成两个等腰三角形，则称线段为的“腰剖线段”． (1)如图1，当，线段时，画出的“腰剖线段”，并写出此时______． (2)如图2，当线段时，若存在的“腰剖线段”，且，则的面积为______． (3)设．若存在的“腰剖线段”．直接写出的大小（数字或含的式子表示）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24．如图，已知为边长为的等边三角形，为边上的高，，分别为边，上的动点，将沿直线折叠，使点的对应点刚好落在上，连接．    (1)如图，当点与重合时，求线段的长． (2)如图，当时，判断的形状，并说明理由． (3)如图，当、、三点共线时，求的度数． (4)当在何处时，点是的中点，请直接写出结果． 25．问题探索： （1）如图1，在中，，，为中点，点分别在边上且，则与的数量关系是______； 问题解决： （2）如图2，某大学校园内有一块四边形的花圃，满足，，，，花圃内铺设了一条小路，平分，为方便学生赏花，现计划修建一条径直的通道与小路相连，且，入口点E恰好在的延长线上，解答下列问题： ①求证：， ②求入口到点A的距离的长． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 三角形的证明单元提升卷 （范围：全章，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果等腰三角形的三边长分别是x，2，6，那么x的值是（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4或8 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，分两种情况求解后利用三角形的三边关系验证；解题的关键是分类讨论． 【详解】解：当时，，不能构成三角形，不合题意； 当时，，能构成等腰三角形； 故选：B． 2．如图，平分是上一点，于点H，若，则点P到射线的距离是（   ） A．5 B．2.5 C．10 D．7.5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离．角平分上线上的点到这个角两边的距离相等，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点P作于点G，根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于点G， 平分，点P在上，于点H， ， ， ， 故选：A． 3．如图，在中，，，直线是线段的垂直平分线，交于点，交于点，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质，等边对等角：三角形的内角和定理，求出的度数，中垂线的性质结合等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线，交于点， ∴， ∴， ∴； 故选A． 4．中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（    ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，据三角形内角和定理可得是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出是否是直角三角形，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴是等边三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是锐角三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∴， ∴是直角三角形，原选项符合题意； 、∵， ∴，即， ∴是直角，原选项不符合题意； 故选：． 5．秋天，枫叶红了，我们不禁想起杜牧的诗“远上寒山石径斜，白云深处有人家．停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”这也让我们想起了岳麓山上的“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ） A． B．与的面积相等 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义、性质，根据角平分线的定义判断选项A；过点D作于点E，作于点F，由与的面积相等，得出，再根据角平分线定理的逆定理即可判断选项B；根据等腰三角形三线合一的性质即可判断选项C；根据D选项的条件无法判断是的角平分线． 【详解】解：A、∵， ∴是的角平分线， 故此选项不符合题意； B、如图，过点D作于点E，作于点F， ∵与的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴点D在的角平分线上， 即是的角平分线， 故此选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴是的角平分线， 故此选项不符合题意； D、当时，不能确定是的角平分线， 故此选项符合题意； 故选：D． 6．如图，在中，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D、E 为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F，射线交于点G．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图，由作图过程可知，为的平分线，可得．由题意可得，得，根据外角的性质可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴ 故选：D． 7．如图，在中，，是边上的中线，点E，F分别为和上的动点，连接，．若，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理的理解和掌握，能求出是解此题的关键．题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．过C作于M，根据三线合一定理求出的长和，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出，即可得出答案． 【详解】解：过C作于M， ，，是的中线， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、F在上时，的最小， ∴的最小值为， 故选：B． 8．如图，将沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据三角形内角和求出，再根据，，得出，从而得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， 由折叠知：， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识． 9．如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长． 【详解】解：作交的延长线于点， 是边长为3的等边三角形， ，， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ． 故选：A． 10．如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交，于点E，F，过点F作于点H．现给出以下四个结论： ①；②是等腰直角三角形；③；④当时，，上述结论中始终正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证，推出，，推出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，，P是中点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 故①②正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．如图，在中，，，点为的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的性质得到，，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，平分，，，于点，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，过作于点，则，由角平分线的性质得，，又得，最后由角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 13．如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 【答案】58 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 【详解】解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，过作于点，则，，故，，然后由勾股定理和线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在等边△中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是等边三角形的性质，平行线的性质、三角形外角的定义、等腰三角形的判定，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的判定． 先根据等边三角形的性质，平行线的性质得到，再结合三角形外角的定义得到，即可得到． 【详解】解：，是等边三角形， ， ， ， 又是的外角， ， ． 故答案为：． 16．如图，中，，，，若点从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．当点运动到边时，t为 秒时，为等腰三角形．    【答案】5秒或4.75秒或5.3 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并注意等腰三角形的定义分类讨论是解题关键．先根据勾股定理求出．再分，，三种情况分类讨论，结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，∵， ∴． ①如图1，当时，为等腰三角形，   ， 秒； ②如图2，当时，为等腰三角形，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 秒； ③如图3，当时，作于，    则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ， ， ∴秒． 综上所述，为5秒或4.75秒或5.3秒时，为等腰三角形． 故答案为：5或4.75或5.3． 三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 17．如图，中，，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出，结合垂直和直角三角形的两锐角互余得出，，根据等角的余角相等，得出，结合对顶角相等和等角对等边即可证明； （2）结合题意和直角三角形的两锐角互余得出，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边对等角，直角三角形的两锐角互余，直角三角形中角所对的边是斜边的一半，等角的余角相等，等角对的等边，对顶角相等等；熟练掌握等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性质是解题的关键． 18．如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为． (1)求的度数． (2)求证：点是的中点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答的关键； （1）由等边△的性质可得，然后根据等边对等角可得，最后根据外角的性质可求的度数； （2）连接，由等边三角形的三线合一的性质可得：，结合（）的结论可得，然后根据等角对等边，可得，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：是的中点． 【详解】（1）解：三角形是等边， ， 又， ， 又， ； （2）证明：连接， 等边中，是的中点， 由（1）知 又 是的中点． 19．如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于F，交于M． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是∶ （1）先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，再根据即可得出的度数； （2）根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，再根据等腰三角形性质得，则，由此可得出结论． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 在中，， ∴； （2）证明：∵的垂直平分线交于F，交于M， ∴，， ∴， ∴， 在中，，，是边上的中线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 20．如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，过点C作于点F，根据的面积为14，，求出，得出，根据角平分线的判定，得出结论即可； （2）在上取点G，使，根据勾股定理求出，证明，得出． 【详解】（1）证明：延长，过点C作于点F，如图所示： ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． （2）解：在上取点G，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 21．如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，，的面积是，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； （）根据三角形的面积，代入计算即可； 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴由， 则， ∵，， ∴， ∴， 22．如图，早上一渔船以50海里/时的速度从海港A出发沿正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，航行2个小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上，同时测得灯塔P正东方向的避风港Q在B的北偏东方向上． (1)填空： __________，__________海里； (2)求海港A与灯塔P之间的距离；（结果保留根号） (3)天气预报显示当天台风将登陆渔船所在海域，为安全起见，渔船立即沿方向加速驶向避风港Q．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前1个小时抵达避风港Q，求渔船加速后的最小速度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】(1)30，100 (2)海港A与灯塔P之间的距离为 海里 (3)渔船加速后的最小速度为63海里/时 【分析】（1）根据在处测得灯塔在北偏东求解，根据速度，时间求出即可； （2）过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，先证明，算出的值后，通过三角函数可求的值； （3）根据速度路程时间即可求． 【详解】（1）解：在处测得灯塔在北偏东方向上， ， ∵渔船以50海里/时的速度从海港A出发沿正东方向航行， ∴（海里）； （2）解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、， 海里， 在中  ， 海里，（海里）， 在中  ， （海里）． 答：海港与灯塔之间的距离是海里； （3）解：， ， ， 是等腰直角三角形， 海里， 海里， 渔船从B到Q需要的最长时间为小时， ∴加速后的最小速度为： （海里/时）， 答：渔船加速后的最小速度海里/时． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数、方位角、等腰三角形的性质以及三角形外角的定义与性质等，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 23．已知点，分别为射线和上的一动点（点，都不与点重合）．过点作一条直线与线段交于点，对于线段给出如下定义：若线段可以将拆分成两个等腰三角形，则称线段为的“腰剖线段”． (1)如图1，当，线段时，画出的“腰剖线段”，并写出此时______． (2)如图2，当线段时，若存在的“腰剖线段”，且，则的面积为______． (3)设．若存在的“腰剖线段”．直接写出的大小（数字或含的式子表示）． 【答案】(1)图见解析，50 (2) (3)或或或或． 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、勾股定理，理解题中定义，分类讨论是解答的关键是解答的关键． （1）根据题意，当点为线段中点时，为的“腰剖线段”，画出对应图形，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得； （2）根据题意可得，，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分类讨论，画出对应图形，结合等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∴， 则和是等腰三角形，且点D为线段的中点， 如图，为的“腰剖线段”， 此时，， 故答案为：50； （2）解：如图， ∵，存在的“腰剖线段”，点在线段上， ∴，， 在中，由得， ∴的面积为； （3）解：根据题意，分以下情况： ①当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴，则， ∴； ②当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴； ③当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴； ④当，时，为的“腰剖线段”， 此时，，， ∵， ∴， ∴； ⑤∵， ∴当时，，，此时，不存在为的“腰剖线段”； ⑥当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∵， ∴， ∴， ⑦∵， ∴当时，，，此时，不存在为的“腰剖线段”， 综上，满足条件的度数为或或或或． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24．如图，已知为边长为的等边三角形，为边上的高，，分别为边，上的动点，将沿直线折叠，使点的对应点刚好落在上，连接．    (1)如图，当点与重合时，求线段的长． (2)如图，当时，判断的形状，并说明理由． (3)如图，当、、三点共线时，求的度数． (4)当在何处时，点是的中点，请直接写出结果． 【答案】(1)； (2)直角三角形，理由见解析； (3)； (4)当点与点重合或与点重合时，点为的中点． 【分析】根据等边三角形的三线合一定理可知为边上的高，则点是边上的中点，根据折叠的性质可知； 根据平行线的性质和折叠的性质可知，当时，和是等边三角形，从而可得，根据勾股定理可得，所以可以求出，从而可知，所以可得是直角三角形； 连接，设，因为、、三点共线所以，根据等边三角形的性质可知，根据折叠的性质可知，解方程可以求出的度数； 当点为的中点时，，所以可得当点与点重合或与点重合时，点为的中点． 【详解】（1）解：如图所示，    是等边三角形，为边上的高， ， 根据折叠的性质可知：； （2）解：是直角三角形， 理由如下： 如图所示，    是等边三角形，为边上的高， ，， ， ， ， 根据折叠的性质可知， 和是等边三角形， ， ， ， ，， 根据折叠的性质可得：， ， ， ， ，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示，连接，设，    根据折叠的性质， 是等边三角形，为边上的高， ， 则有 、、三点共线时， ， ， ， ， 解得：， ， 当、、三点共线时，； （4）解：如下图所示，    当点为的中点时，， 当点在点的位置时，点是的中点， 如下图所示，    当点与点重合，点与点重合时，点为的中点， 综上所述，当点与点重合或与点重合时，点为的中点． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形的性质、勾股定理．解决本题的关键是根据折叠的性质找到边和角之间的相等关系． 25．问题探索： （1）如图1，在中，，，为中点，点分别在边上且，则与的数量关系是______； 问题解决： （2）如图2，某大学校园内有一块四边形的花圃，满足，，，，花圃内铺设了一条小路，平分，为方便学生赏花，现计划修建一条径直的通道与小路相连，且，入口点E恰好在的延长线上，解答下列问题： ①求证：， ②求入口到点A的距离的长． 【答案】（1）证明见详解，（2）①证明见详解，② 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得和，则和，进一步求得，即可证明，则有； （2）①过点D作于点F，作交的延长线于点H，则，由角平分的性质得，进一步求得，即可证明，则； ②在上截取，使得，连接、和，则为等边三角形，有和，且为等边三角形，有，进一步得，即可证明，有，求得和，结合题意可得，利用即可． 【详解】解：（1）连接，如下图： ∵，， ∴ ∵D是的中点 ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）①过点D作于点F，作交的延长线于点H，如图， 则， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴； ②在上截取，使得，连接、和，如图， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质和含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和全等三角形的性质． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$