重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题 【题型归纳目录】 题型一：直接使用奔驰定理 题型二：三角形面积比问题 【方法技巧与总结】 奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为. 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故. （3）为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 【典型例题】 题型一：直接使用奔驰定理 【典例1-1】“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】C 【解析】对于A：取的中点D，连接， 由，则， 所以， 所以A，M，D三点共线，且， 设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确； 对于B：由为的内心，则可设内切圆半径为， 则有， 所以， 即，故B正确； 对于C：由为的外心，则可设的外接圆半径为， 又， 则有， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D：如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E， 由为的垂心，，则， 又，则，， 设，则， 所以，即， 所以，所以，故D正确． 故选：C． 【典例1-2】奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为三角形内一点，且满足， ， ． ， 故选：D． 【变式1-1】“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（     ）    A．若，则O为△ABC的重心 B．若，则 C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 【答案】D 【解析】对于A：如下图所示， 假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上， 同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确； 对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为， 则有可知， 若，可得，即B正确； 对于C：由四边形内角和可知，，则， 同理，， 因为O为的垂心，则， 所以，同理得，， 则， 令， 由，则， 同理：，， 综上，， 根据奔驰定理得，即C正确. 对于D：由可知，， 又，所以 由可得，； 所以，即D错误； 故选：D. 【变式1-2】（多选题）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABC 【解析】对A：如图： 取边中点，连接，由， 所以，所以、、三点共线，且，所以为的重心，故A正确； 对B：如图： 因为则为内心，可设内切圆半径为，则有，，， 所以，故B 正确； 对C：如图： 因为为的外心，设外接圆半径为，有，， 所以，，故， 所以. 故C正确； 对D：由为的垂心，，所以. 如图： 则，. 设，，则，， 所以. 所以.故D错误. 故选：ABC 题型二：三角形面积比问题 【典例2-1】点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由可得，即， 设，因为三点共线，则存在实数，使得， 将代入可得 ，即， 由于不共线，则，解得， 即，， 同理，设，则， 因为三点共线，所以，即， 又由三角函数的诱导公式可得， 所以 故选：D. 【典例2-2】点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【解析】 因为， 所以，即， 取中点为点， 则，即， 所以在中线上，且 过，分别作边上的高，垂足为， 则， 所以，， 所以， 所以， 故选：C. 【变式2-1】设P为内的点，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，分别在线段上取点，使得，，则，. 由条件有，故，所以四边形是平行四边形，从而，即，故. 这意味着，所以的面积与的面积之比是，选项A正确. 故选：A. 【变式2-2】设点O是所在平面内一点，则下列说法错误的是（    ） A．若，则O为的重心； B．若，则O为的垂心； C．若，则为等边三角形； D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 【答案】B 【解析】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则， 又∵，∴，∴， ∴为的重心，故选项A正确； 对于B，如图，取边中点，边中点，连接，， 则，， ∵， ∴， ∴，∴，， ∴，， ∴，分别是，边上的垂直平分线， ∴，为的外心，故选项B错误； 对于C，作角的内角平分线与边交于点， ∵为方向的单位向量，为方向的单位向量， ∴（）， ∴（）， ∴，∴，∴，为等腰三角形， 又∵，且，∴， ∴为等边三角形，故选项C正确； 对于D，设，， 由，得， 则由选项A可知，为的重心，设的面积， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴，故选项D正确． 故选：B 【变式2-3】已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】在上取点，使得，在上取点，使得， 在上取点，使得，在上取点，使得， 连接、，则、，因为， 所以与交于点， 又，， 所以， 所以. 故选：B 【过关测试】 1．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】如图，延长交于点， 设，则， 因为共线， 所以，解得， 所以，， 则， 由， 得，即， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 2．已知点为内一点，且，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设AC的中点是M，BC的中点是N， 由题有，即，， 所以O在△ABC中位线MN上，且O为靠近N的三等分点， 设S△ONC=k，则S△OMC=2k，S△OAC=4k，S△ABC=12k 所以. 故选：B. 3．已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为与的面积之比为，易得.故，即，整理得.因为，且均不共线，故，解得 故选：D 4．设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 因为， 所以， 所以O为的重心， 设， 所以， 则， 所以， 所以， 故选：A 5．已知P是内部一点，且，则面积之比为（    ） A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1 【答案】B 【解析】设的面积为， 由，得， 有， 又，令， 则三点共线，且， 即点在上，且， 所以以为底，的高为的， 故，同理可得，， 所以. 故选：B 6．在△ABC中，，，若，则△ACD面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以 ， 所以点在上， 因为， 所以，即， 所以 , 因为， 所以， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为9， 所以△ACD面积的最大值为， 故选：D 7．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为的内心，，则 D．若O为的垂心，，则 【答案】ACD 【解析】对于A选项，因为， 由“奔驰定理”可知，A对； 对于B选项，由 ，，可知， 又，所以， 由可得，，， 所以，B错； 对于C选项，若为的内心，，则， 又（为内切圆半径）， 所以，，故，C对； 对D，若O为的垂心，则，， 又， 同理， 又，则， 且 如图，分别为垂足， 设，，则， 又，故， 由，解得， 由， 故，D对. 故选：ACD 8．设D为内一点，且，则与的面积比为 . 【答案】 【解析】由题得， 所以， 所以即， 如图所示，以为邻边作平行四边形，连接交于点， 则， 所以即，又和高相等， 所以. 故答案为：. 9．已知为内一点，满足，则和的面积比为 【答案】 【解析】如图，取的中点，连接，，， 则，又由题意，所以， 故、、三点共线，且满足，所以为的中点， 从而． 故答案为：． 10．设M为内一点，且，则与的面积之比为 ． 【答案】 【解析】在取点，使得，则， 可知：点为的中点， 可得，即， 所以与的面积之比为. 故答案为：. 11．已知O是所在平面内一点，，则与的面积比 ． 【答案】/ 0.25 【解析】 因为，， 根据向量平行四边形法则画出草图（如图所示）， 故答案为： 12．已知内一点P满足，若的面积与的面积之比为，则的值为 ． 【答案】 【解析】如图，过点P作，，则， 又， 由平面向量基本定理可得，． 作PG⊥AC于点G，BH⊥AC于点H． 又因为，所以， 因为，同理． 因为的面积与的面积之比为， 所以， 解得． 故答案为：. 13．设点О在的内部，且，则的面积与的面积之比为 . 【答案】 【解析】如图，过作平行四边形，连接，过点作，过点作， ， ，即， 故三点共线，且， 又，，， ，， ， . 故答案为：. 14．在中，点满足，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【解析】取边的中点，连接，如图所示， 因为，即，所以，即点为的中点，所以. 故答案为： 15．设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是 【答案】5 【解析】由变形可得：， 整理可得：， 根据奔驰定理可得：，则. 故答案为：5. 16．根据“奔驰定理”，解决以下问题： (1)点O为内一点，若，设，求实数和的值； (2)若O为的外心，证明：. 【解析】（1）根据“奔驰定理”，得，即，整理可得， 因为与不共线， 所以由平面向量基本定理得，. （2）证明：若O为的外心， 则可设的外接圆半径为R，，， ，故， 同理，， 根据“奔驰定理”，. 即. 所以 21 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题 【题型归纳目录】 题型一：直接使用奔驰定理 题型二：三角形面积比问题 【方法技巧与总结】 奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为. 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故. （3）为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 【典型例题】 题型一：直接使用奔驰定理 【典例1-1】“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【典例1-2】奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（     ）    A．若，则O为△ABC的重心 B．若，则 C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 【变式1-2】（多选题）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 题型二：三角形面积比问题 【典例2-1】点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D．2 【变式2-1】设P为内的点，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】设点O是所在平面内一点，则下列说法错误的是（    ） A．若，则O为的重心； B．若，则O为的垂心； C．若，则为等边三角形； D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 【变式2-3】已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 【过关测试】 1．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 2．已知点为内一点，且，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 3．已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 4．设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 5．已知P是内部一点，且，则面积之比为（    ） A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1 6．在△ABC中，，，若，则△ACD面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为的内心，，则 D．若O为的垂心，，则 8．设D为内一点，且，则与的面积比为 . 9．已知为内一点，满足，则和的面积比为 10．设M为内一点，且，则与的面积之比为 ． 11．已知O是所在平面内一点，，则与的面积比 ． 12．已知内一点P满足，若的面积与的面积之比为，则的值为 ． 13．设点О在的内部，且，则的面积与的面积之比为 . 14．在中，点满足，则与的面积比为 ． 15．设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是 16．根据“奔驰定理”，解决以下问题： (1)点O为内一点，若，设，求实数和的值； (2)若O为的外心，证明：. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$