2025年中考数学第一轮专题复习讲义《第1讲 实数》

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第一单元　数与式 《第1讲 实数》 【知识梳理】 1.实数的分类 (1)按定义分类: 实数 (2)按性质分类: 实数 2.实数的有关概念 (1)数轴:规定了　原点　、　单位长度　、　正方向　的　直线　叫做数轴.数轴上的点与　实数　一一对应.  (2)相反数:a的相反数是　－a　,　0　的相反数是0.  (3)倒数:　乘积　是1的两个数互为倒数.  　0　没有倒数,倒数等于本身的数是1或　－1　.  (4)绝对值:数轴上表示数a的点到　原点　的距离叫做数a的绝对值,记做|a|.  |a|＝ (5)科学记数法:把一个数表示成a与10n相乘的形式(其中1≤a＜10,n为整数),叫做科学记数法. (6)近似数:一个近似数　四舍五入　到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.对于有计数单位的近似数,由近似数的位数和后面的计数单位共同确定.如3.618万,数字8实际上是　十　位上的数字,即精确到　十　位.  3.实数的大小比较 (1)代数比较规则:正数　大于　零,负数　小于　零,正数　大于　负数;两个正数,绝对值大的数大;两个负数,绝对值大的数反而　小　.  (2)几何比较规则:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数　大　.  4.实数的运算 实数的运算有加、减、乘、除、乘方和开方.运算顺序:先算　乘方和开方　,再算　乘除　,最后算　加减　;同级运算,　从左到右　进行.如有括号,先进行　括号里的　运算.  5.实数的运算律 (1)交换律:a＋b＝　b＋a　,ab＝　ba　.  (2)结合律:(a＋b)＋c＝　a＋(b＋c)　,(ab)c＝　a(bc)　.  (3)分配律:m(a＋b＋c)＝　ma＋mb＋mc　.  6.实数的幂的运算 (1)0次幂:任何非零实数的0次幂为　1　,即a0＝　1　(a≠0).  (2)负整数次幂:规定a－n＝ 　(a≠0,n为正整数),特别地,a－1＝ 　(a≠0).  (3)－1的奇偶次幂:－1的奇次幂为　－1　,偶次幂为　1　.  【考题探究】 类型一　正数与负数的概念 【例1】[2024·山西]中国空间站位于距离地面约400 km的太空环境中.由于没有大气层保护,在太阳光线直射下,空间站表面温度可高于零上150℃,其背阳面温度可低于零下100℃.若零上150℃记作＋150℃,则零下100℃记作(　B　) A.＋100℃ B.－100℃ C.＋50℃ D.－50℃ 变式1 [2024·湖北]在生产生活中,正数和负数都有现实意义.例如:收入20元记作＋20元,则支出10元记作(　B　) A.＋10元 B.－10元 C.＋20元 D.－20元 类型二　实数的分类 【例2】 [经典题]实数tan 45°,,0,－π,,－sin 60°,0.313 113 111 3…(每两个“3”之间依次多一个“1”)中,无理数的个数是(　C　) A.1 B.2 C.3 D.4 变式2 [2024·福建]下列实数中,无理数是(　D　) A.－3 B.0 C. D. 类型三　数轴、相反数、倒数和绝对值 【例3】 [易错题](1)相反数等于它本身的数是　0　.  (2)倒数等于它本身的数是　±1　.  (3)绝对值等于它本身的数是　非负数　.  变式3 [2023·杭州]已知数轴上的点A,B分别表示数a,b,其中－1＜a＜0,0＜b＜1.若a×b＝c,数c在数轴上用点C表示,则点A,B,C在数轴上的位置可能是(　B　) 类型四　实数的大小比较与估算 【例4】 [2024·浙江]以下四个城市中,某天中午12时气温最低的城市是(　C　) 北京 济南 太原 郑州 0℃ －1℃ －2℃ 3℃ A.北京 B.济南 C.太原 D.郑州 变式4－1 [2024·南充]如图,数轴上表示的点可能是(　C　) 变式4－1图 A.点A B.点B C.点C D.点D 变式4－2 [2024·重庆B卷]估计()的值应在(　C　) A.8和9之间 B.9和10之间 C.10和11之间 D.11和12之间 【解析】 ()＝2()＝2＋6. ∵5.76＜6＜6.25,∴, ∴2.4＜＜2.5, ∴10.8＜2＋6＜11,故选C. 类型五　科学记数法 【例5】 [2024·浙江]2024年浙江省经济第一季度GDP为201 370 000万元.其中201 370 000用科学记数法表示为(　D　) A.20.137×109 B.0.201 37×108 C.2.013 7×109 D.2.013 7×108 变式5 [2024·威海]据央视网2023年10月11日消息,中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作,成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”,再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录.“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍,在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本,需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间处理.将“百万分之一”用科学记数法表示为(　B　) A.1×10－5 B.1×10－6 C.1×10－7 D.1×10－8 类型六　实数的运算 【例6】 [2024·浙江]计算:＋|－5|. 解:原式＝4－2＋5＝7. 变式6－1 [2023·温州]计算: |－1|＋－(－4). 解:原式＝1－2＋9＋4＝12. 变式6－2 [2024·山西]计算:(－6)×＋[(－3)＋(－1)]. 解:原式＝－2－4－4＝－10. 变式6－3 [2025·预测]计算:(－1)2 025＋(－2)－2＋(3.14－π)0－4cos 30°＋|2－|. 解:原式＝－1＋＋1－4×＋2－2＝－1＋＋1－2＋2－2＝－1. 类型七　实数的规律型问题 【例7】 [2024·扬州]1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:1,1,2,3,5,…,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2 024个数中,奇数的个数为(　D　) A.676 B.674 C.1 348 D.1 350 【解析】 这列数为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,可以发现每3个数为一组,每一组前2个数为奇数,第3个数为偶数. ∵2 024÷3＝674……2,即前2 024个数共有674组,且余2个数,奇数有674×2＋2＝1 350(个),故选D. 变式7 正偶数2,4,6,8,10,…按如图所示的规律排列,则第27行从左往右数的第21个数是　744　.  变式7图 【解析】 由图可知, 第一行有1个数, 第二行有2个数, 第三行有3个数, … 第n行有n个数, ∴前n行共有个数, ∴前27行共有378个数, ∴第27行从左往右数的第21个数是(378－27＋21)×2＝744. 【课后作业】 1.[2024·舟山模拟]舟山市体育中考,女生立定跳远的测试中,以1.97 m为满分标准,若小贺跳出了2.00 m可记作＋0.03 m,则小郑跳出了1.90 m,应记作(　A　) A.－0.07 m B.＋0.07 m C.＋1.90 m D.－1.90 m 2.[2024·连云港]－的相反数是(　A　) A. B.－ C.－2 D.2 3.[2024·鄞州区模拟]杭州亚运会首创推出“亚运数字火炬手”,最终105 000 000人参与了“线上火炬传递”,数据105 000 000用科学记数法表示为(　C　) A.105×106 B.10.5×107 C.1.05×108 D.1.05×109 4.[2024·天津]计算3－(－3)的结果等于(　D　) A.－6 B.0 C.3 D.6 5.[2024·广西]下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温,其中气温最低的是(　A　) A.北京－4.6℃ B.上海5.8℃ C.天津－3.2℃ D.重庆8.1℃ 6.[2023·温州]如图,比数轴上点A表示的数大3的数是(　D　) 第6题图 A.－1 B.0 C.1 D.2 7.[2024·烟台]下列实数中的无理数是(　C　) A. B.3.14 C. D. 8.[2024·北京]实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论正确的是(　C　) 第8题图 A.b＞－1 B.|b|＞2 C.a＋b＞0 D.ab＞0 9.[2024·包头]若m,n互为倒数,且满足m＋mn＝3,则n的值为(　B　) A. B. C.2 D.4 10.[2024·宁波校级模拟]有如下数列:a1,a2,a3,a4,a5,a6,…,an－2,an－1,an,…,满足an－2·an＝2an－1,已知a1＝1,a3＝4,则a2 024＝(　D　) A.8 B.6 C.4 D.2 【解析】 ∵an－2·an＝2an－1, ∴2a2＝a1·a3. 又∵a1＝1,a3＝4, ∴a2＝2. 依此类推,a4＝4,a5＝2,a6＝1,a7＝1,a8＝2,…, 由此可见,这列数按1,2,4,4,2,1循环出现. 又∵2 024÷6＝337……2, ∴a2 024＝2. 11.在古代,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数,在粗细不同的绳子上打结(如图),由细到粗(右细左粗),满七进一,那么孩子已经出生了(　B　) 第14题图 A.1 335天 B.516天 C.435天 D.54天 【解析】 孩子自出生后的天数是1×7×7×7＋3×7×7＋3×7＋5＝343＋147＋21＋5＝516. 12.如图,某学校“桃李餐厅”把WiFi密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时,思索了一会儿,输入密码,顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.她输入的密码是　244872　.  第15题图 【解析】 由三个等式,得到规律: 由5*3⊕6＝301848可知,前两位数、中间两位数、后两位数分别为5×6,3×6,6×(5＋3); 由2*6⊕7＝144256可知,前两位数、中间两位数、后两位数分别为2×7,6×7,7×(2＋6); 由9*2⊕5＝451055可知,前两位数、中间两位数、后两位数分别为9×5,2×5,5×(9＋2), ∴4*8⊕6的前两位数、中间两位数、后两位数分别为4×6,8×6,6×(4＋8),故4*8⊕6＝244872. 13.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,其底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形.底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是－1. 若n＜－1＜n＋1(n是整数),则n的值为　1　.  【解析】 ∵4＜5＜9,∴2＜＜3, ∴1＜－1＜2. 又∵n＜－1＜n＋1,∴n＝1. 14.计算: (1)[2024·滨州]2－1＋(－2)×. 解:原式＝＋1－＝0. (2)[2024·广安] ＋2sin 60°＋|－2|－. 解:原式＝1＋2×＋2－－2 ＝1＋＋2－－2 ＝1. 15.下面是亮亮同学计算一道题的过程: 15÷5×(－3)－6× ＝15÷(－15)－6×＋6×……① ＝－1－9＋4……② ＝－6……③ (1)亮亮的计算过程是从步骤　①　开始出现错误的(填序号).  (2)请你写出正确的计算过程. 解:(2)15÷5×(－3)－6× ＝3×(－3)－6×－6× ＝－9－9－4 ＝－22. 16.计算:(－6)×－23. 圆圆在做作业时,发现题中有一个数字被墨水污染了. (1)如果被污染的数字是,请计算(－6)×－23. (2)如果计算结果等于6,求被污染的数字. 解:(1)(－6)×－23 ＝(－6)×－8＝－1－8＝－9. (2)设被污染的数字是x, 由题意,得(－6)× －23＝6, 解得x＝3. 答:被污染的数字是3. 17.[2024·凉山州]阅读材料并解决相关问题: 如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,…,第n行有n个点……容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10. (1)探索:三角点阵中前8行的点数之和为　36　,前15行的点数之和为　120　,那么,前n行的点数之和为 　.  (2)体验:三角点阵中前n行的点数之和　不能　(填“能”或“不能”)为500.  (3)运用:某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用420盆同样规格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆,…,第n排2n盆的规律摆放而成,则一共要摆放多少排? 第17题图 解:(1)由图知,三角点阵中前1行的点数之和为1; 前2行的点数之和为1＋2; 前3行的点数之和为1＋2＋3; 前4行的点数之和为1＋2＋3＋4…… ∴三角点阵中前n行的点数之和为1＋2＋3＋…＋n＝. 当n＝8时,＝36, 即三角点阵中前8行的点数之和为36. 当n＝15时,＝120, 即三角点阵中前15行的点数之和为120. (2)不能. 令＝500,解得n＝, 此时n不是正整数, ∴三角点阵中前n行的点数之和不能为500. (3)易知前n排盆景的总数可表示为n(n＋1). 令n(n＋1)＝420,解得n1＝－21,n2＝20. ∵n为正整数,∴n＝20, 即一共要摆放20排. 学科网（北京）股份有限公司 $$