专题6-2 6.3平面向量基本定理及坐标表示(11大核心考点）-2024-2025学年高一数学人教A版2019必修第二册

专题6-2 6.3平面向量基本定理及坐标表示 题型一：基底问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·浙江宁波·期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、基底的概念及辨析 【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线， 和不共线，故A能构成基底， 和共线，故B不能构成基底， 和不共线，故C能构成基底， 根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底， 故选：B 例题2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据基底满足的条件逐一分析即可. 【详解】对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确. 故选：. 例题3．（多选）（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】基底的概念及辨析、平行向量（共线向量） 【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，若存在实数，使得，则，无解，所以与不共线， 可以作为平面的基底，故A错误； 对于B，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故B正确； 对于C，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故C正确； 对于D，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故D正确. 故选：BCD. 精练核心考点 1．（23-24高一下·全国·课后作业）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析、向量数乘的有关计算 【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据方程解的情况判断C，根据判断D. 【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底； 对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底； 对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 故选：C. 2．（23-24高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 3．（多选）（23-24高一下·福建三明·阶段练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】基底的概念及辨析、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可. 【详解】对于A，， 两向量共线，不能作为基底，故A正确； 对于B，， 两向量共线，不能作为基底，故B正确； 对于C，， 两向量共线，不能作为基底，故C正确； 对于D,若存在实数使得，， 则，无解，故两向量不共线，可以作为基底， 故D错误； 故选：ABC. 题型二：用基底表示向量 典型例题 例题1．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】根据题意有： 故选：B. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）设D，E为△ABC所在平面内两点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据几何关系，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，，所以，， 所以.    故选：B 例题3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，已知，，，，则用向量，表示 ．    【答案】 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量 【分析】设，利用已知把分别用和表示，然后由A，P，N三点共线和B，P，M三点共线得出的关系，求得，得出结论． 【详解】设，又，， 所以．又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线， 所以，解得，所以． 故答案为： 精练核心考点 1．（24-25高三上·陕西汉中·期中）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量 【分析】利用向量的线性运算可求得结论. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）在等腰梯形中，．M为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量 【分析】根据梯形中位线得，再利用向量线性运算即可. 【详解】取中点N，连接， ∵，∴，． 又M是的中点，∴，且， ∴， 故选：B． 3．（24-25高二上·湖北·期中）在中，设，，若是线段中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据向量线性运算直接转化求解即可. 【详解】 . 故选：D. 题型三：利用平面向量基本定理求参数 典型例题 例题1．（2024·湖南邵阳·三模）在平行四边形中，与交于点，点满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出的值，进而求出. 【详解】因为 ， 又因为， 所以. 故选：A.    例题2．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知在平行四边形中，点，分别在边，上，连接．交于点，且满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】因为三点共线，故可考虑将用表示，再结合三点共线满足的性质计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，，故，，所以. 因为三点共线，所以，得. 故选：B. 例题3．（2024·安徽淮北·一模）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值、用基底表示向量 【分析】由面积比得，再利用三角形相似得到，从而利用向量的线性运算得到的关系，进而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】根据题意，如图，连接，设与交于点， 过点作于点，过点作于点， 若面积是面积的2倍，即， 根据相似三角形的性质可知，， ， 设， ， 即，即， ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为1. 故选：A. 精练核心考点 1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，，是直线上一点，若，则实数m的值为 . 【答案】/ 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量 【分析】设，结合向量线性运算法则利用表示，结合平面向量基本定理列方程求. 【详解】因为是直线上一点，故可设， 所以,， 又，所以， 所以，又，不共线， 所以， 所以，. 故答案为：. 2．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论 【分析】利用平面向量的基本定理推导出，即，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则，所以，， 因为为的中点，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，， 因为，，则，， 所以，， 因为、不共线，所以，，所以，， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】由角平分线定理可得出，求得，再由角平分线定理可得，由向量相等的性质可得结果. 【详解】因为是的内心，的延长线交于， ，，， 由角平分线定理可得，可得，， 即，则， 又因为，，且为的角平分线， 所以，，所以，， 又，且向量、不共线，所以，，所以. 故选：C. 4．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合），设， (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时的值. 【答案】(1) (2)时，的最小值. 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值、用基底表示向量 【分析】（1）结合向量的线性运算，根据平面向量基本定理列式求解； （2）结合（1）的结论，利用基本不等式常数代换技巧求解最值即可. 【详解】（1）如图所示，延长交于，已知点是的重心， 故为中点，所以， 所以， 所以，①. 因为三点共线，设，即， ②， 由①②得， 所以，即. （2）由题意可知，且. 所以， 当且仅当，即时取等号， 又因为，所以时，的最小值. 题型四：平面向量坐标运算 典型例题 例题1．（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图，    则, 所以， 由可得， 即，解得，所以. 故选：C 例题2．（2024高二上·贵州·学业考试）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量加法的坐标运算求解. 【详解】向量，， 所以， 故选：A 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知点，则满足的的坐标为 . 【答案】 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量坐标表示公式，结合平面向量加法的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】设的坐标为，且，， 因为，可得， 可得， 所以的坐标为. 故答案为： 精练核心考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用定比分点公式求解即可. 【详解】依题意，由定比分点公式得， 所以，即, 所以， 故选:C 2．（2024高三·全国·专题练习）已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量的线性运算和坐标运算，即可求解. 【详解】 由向量的减法得：，则，， 设，则，， 由，得，解得， 所以. 故选：A. 3．（2024高三·全国·专题练习）若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由即可求解. 【详解】因为，向量，所以， 故选：B. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知，点是线段MN上的点，且，则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】用坐标表示平面向量、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量的坐标表示公式，结合平面向量共线向量坐标表示公式进行求解即可. 【详解】设点的坐标为， 因为，，所以. 又，所以， 故，即点的坐标为. 故答案为： 题型五：向量平行问题（坐标法） 典型例题 例题1．（23-24高一下·全国·课后作业）已知向量若，则m等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以，解得. 故选：A. 例题2．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数、二倍角的余弦公式 【分析】由直线平行可得，再由二倍角的余弦公式得解. 【详解】向量，，且， 可得，， ， 故选：A. 例题3．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为 . 【答案】3 【知识点】由向量共线（平行）求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意，由共线向量的坐标表示可得，再结合基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】由与共线可得，即，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 精练核心考点 1．（24-25高三上·山西大同·开学考试）已知向量，，若与方向相同，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行可得的值，利用与方向相同验证可得结果. 【详解】由与方向相同得，， ∴，解得， 当时，，，，与方向相同， 当时，，，，与方向相反，不合题意. 综上得，. 故选：C. 2．（24-25高三上·重庆·期中）已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】求与，使之共线并求出的值，即可得解． 【详解】因为， ． 假设三点共线，则，即． 所以只要，则三点即可构成三角形. 故选：C 3．（23-24高一上·吉林·期末）已知向量 (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算 【分析】（1）直接利用向量的数量积求解与的夹角的余弦值； （2）表示出向量与的坐标，利用向量平行，列出方程，即可求解的值. 【详解】（1），， 所以，，， 所以. （2），，∴，， 由与平行，所以，解得. 题型六：向量垂直问题（坐标法） 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】我们先根据向量垂直求出的值，再根据向量模的计算公式求出. 【详解】已知，，则. 因为，即. 即,解得. 由，则.所以. 故选：C. 例题2．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知向量，满足. (1)求向量与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)若向量与垂直，求实数的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、利用向量垂直求参数、求投影向量 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的夹角公式计算即可. （2）利用投影向量的定义求解即得. （3）根据向量垂直关系的坐标表示列式求解即可. 【详解】（1）由，得，， 因此，而， 所以向量与的夹角. （2）向量在向量上的投影向量为. （3）依题意，，，由向量与垂直， 得，所以. 例题3．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量. (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】零向量与单位向量、由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数 【分析】（1）根据单位向量的定义，结合共线向量的坐标运算公式求解即可； （2）根据向量平方和数量积的坐标运算公式进行计算即可. 【详解】（1）因为两向量共线，是单位向量， 所以设， 得到解得或 得或. （2）因为与垂直， 所以，而， 即， 解得. 精练核心考点 1．（24-25高三上·甘肃·期末）已知向量，，若，则 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】由向量垂直的性质列方程求，利用向量的模的坐标表示求，再由向量夹角公式求结论. 【详解】因为， 所以，得. 因为，，， 所以. 故答案为：. 2．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知向量，，若，则 . 【答案】－7 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据平面向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解. 【详解】因为，， 所以， . 故答案为： 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知向量． (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、利用向量垂直求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出和的坐标，再由条件可得，求出x的值，再求的坐标，得出其模长. （2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案. 【详解】（1）因为向量 则，， 又因为，则， 可得，解得或， 且，则，则，， 所以. （2）由，则， 由，可得，解得，即， 可得，，， 则， 且，所以向量与的夹角. 题型七：坐标法解决向量数量积（定值+最值+范围）问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）在平行四边形中，，边的长分别为. 若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】利用坐标法，设，可得，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，， 设，， 则， 所以， 因为，函数的对称轴为， 所以时，， 故选：B. 例题2．（23-24高一下·贵州·期中）已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、数量积的坐标表示、平面向量共线定理的推论 【分析】方法一：根据三点共线的结论可得，结合数量积运算即可；方法二：作投影，结合数量积的几何意义运算求解；方法三：建系，可得，结合数量积的坐标运算求解. 【详解】方法一：因为共线， 设， 即， 则，解得， 所以 方法二：过点连接的中点，过点分别做边的垂线，垂足分别是， 易得， 则在边上的投影是， 所以； 方法三：以边的中点为坐标原点，以边为轴建立如图所示直角坐标系，    则， 设， 因为共线可得，解得， 即，可得， 所以. 故选：A. 例题3．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 精练核心考点 1．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知梯形中，，，，，，点、在线段上移动，且，则的最小值为 . 【答案】2 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算设出P，Q两点坐标，从而表示出的表达式，根据表达式求出最小值. 【详解】如图所示， 以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则，过A作于M， 因为，，所以，， 所以. 不妨设，则， 所以， ， 所以当时，取得最小值2. 故答案为：2 2．（24-25高三上·天津河西·期中）在平面四边形中，，，，若，则 ；若为线段上一动点，当取得最小值时，则 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】根据给定条件，可得是边长为的等边三角形，，建立平面坐标系，利用数量积的坐标运算可求，利用取得最小值时求得点的坐标，利用向量的夹角公式的坐标运算求得. 【详解】因为平面四边形中，，，， 所以是边长为2的等边三角形， 在，，所以， 因为，又， 所以，所以在，同理可得在上， 且分别是的四等分点， 如图建立平面坐标系，    则， 所以， 再设，则， ， 显然时，取得最小，此时， 所以.    故答案为：；. 【点睛】方法点晴：利用平面几何知识求得图形的数量关系，通过建立坐标系，利用向量的坐标运算简化求解的运算量. 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，先求直线方程，设点后利用坐标运算可得. 【详解】如图，由题意以，为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设构成的一次函数为，代入，， 得，得，即， 因点P在线段BC上，可设，其中， 则，， ， 因，故当时取最小值为. 故答案为： 题型八：坐标法解决向量模（定值+最值+范围）问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知平面向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模 【分析】根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】因为，所以，， 又因为，所以，则， 所以. 故选：C. 例题2．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量模的坐标表示 【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得. 【详解】如下图所示： 在直线上取一点，使得， 所以，当时，取得最小值为，即； 又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形， 建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示： 又可得为的中点， 由以及可得在上， 可得， 所以，可得， 则， 令，由可得， 所以，， 由二次函数在上单调递增可得，. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）线段AB的端点分别在x轴、y轴的正半轴上移动，如图，，，，若点D为AB的中点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】设，用表示出点的坐标，结合向量运算表示出，进而可求范围. 【详解】设，，，，同理， ，，， ， 即， . ，，， . 故答案为：. 精练核心考点 1．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知向量，且，则 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模 【分析】由向量坐标运算法则求，结合向量平行的坐标表示求，再求的坐标，再由模的坐标表示求结论. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高一下·北京·期中）已知为坐标原点，是终边上一点，其中，非零向量的方向与轴正方向相同，若，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量模的坐标表示 【分析】根据向量模的坐标表示写出模的表达式，然后由函数性质得结论． 【详解】由已知或，或， ，， ，又， 所以时，取最小值，时，取最大值4， 故选：D． 3．（24-25高三上·吉林白城·期末）在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，利用坐标运算表示及，根据二次函数的性质可得结果. 【详解】 如图，过点作于点，过点作于点， ∵，∴， ∴，故， 以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则， 设，其中，则， ∴， ∴， ∴当时，取最小值． 故答案为：． 题型九：坐标法解决向量夹角问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽铜陵·期末）已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】设，，根据已知求向量的点坐标，再由向量夹角的坐标表示求夹角. 【详解】设，， 因为，， 所以，解得， 所以，，，则， 因为，则． 故选：B 例题2．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 例题3．（2024·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得出，即可得解. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 在平行四边形中，已知，，，点在边上，， 则、、、，则，， 所以，. 故答案为：. 精练核心考点 1．（2024高二上·江苏·学业考试）已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示 【分析】利用平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】由题，， 又，所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知向量且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用向量垂直求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】根据题意得，计算的值，再根据平面向量夹角公式求值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 则，解得，则， 所以， 又，所以. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的坐标表示、求投影向量 【分析】结合向量的坐标运算，根据投影向量公式求得，进而求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦值公式计算即可. 【详解】因为，，所以在上的投影向量为， 故，则，， 所以与夹角的余弦值为． 故选：A 题型十：向量夹角为锐角或钝角问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·河北）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量夹角为锐角列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】若，则，解得． ∵与的夹角为锐角，∴． 又，与的夹角为锐角， ∴，即，解得． 又∵，∴． 故选：B 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 . 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示、向量夹角的计算、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据夹角为钝角转化为数量积小于零且不共线即可. 【详解】因为夹角为钝角，所以且不反向共线， 所以即, 或不成立， 所以. 故答案为： 例题3．（23-24高一下·广东河源·阶段练习）已知点和向量 (1)若向量与向量同向，且，求点的坐标； (2)若向量且向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的坐标表示、利用数量积求参数、坐标计算向量的模、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）先设，得，接着利用坐标形式的向量共线定理和模长公式结合已知条件列式求出，再根据向量与向量同向进行检验即可得解. （2）先求出，再由且与不共线即可计算检验得解. 【详解】（1）设，则， 因为向量与向量同向，且， 所以且， 或，所以或， 当时，，此时向量与向量反向，不符合； 当时，，此时向量与向量同向，符合， 故，所以. （2）若向量，则， 因为向量与的夹角是锐角， 所以， 又即， 所以实数的取值范围为. 精练核心考点 1．（24-25高三上·河北·期中）已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量夹角为钝角，可得两向量的数量积小于0且两向量不平行，可求的值. 【详解】由， 由. 所以向量与夹角为钝角时，且. 故选：B 2．（24-25高三上·湖南怀化·期中）已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】根据两向量夹角为锐角得且不共线，列出不等式求解即可. 【详解】与的夹角为锐角， 且与不共线， ，解得：且， 故答案为： 3．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，计算出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）求出向量的坐标，分析可知且向量与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 题型十一：坐标法解决向量投影（投影向量） 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽宿州·期末）已知平面向量，若在方向上的投影向量为，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量计算公式即可求解. 【详解】在方向上的投影向量为, ∴，∴，解得. 故选：A. 例题2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：A． 例题3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量 【分析】由投影向量定义结合题设直接计算即可得解. 【详解】由题在上的投影向量为. 故选：C. 精练核心考点 1．（24-25高三上·山东济南·期末）已知向量且则在上的投影向量为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】由求出再利用投影向量公式求解. 【详解】解：因为， 所以 所以在上的投影向量为， 故选：D 2．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】利用数量积的定义求出，再根据在方向上的投影向量为计算可得. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B 3．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】求投影向量 【分析】代入投影向量公式，结合数量积公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为， ，解得. 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6-2 6.3平面向量基本定理及坐标表示 题型一：基底问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·浙江宁波·期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 例题2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 例题3．（多选）（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（23-24高一下·全国·课后作业）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·福建三明·阶段练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 题型二：用基底表示向量 典型例题 例题1．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（    ）    A． B． C． D． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）设D，E为△ABC所在平面内两点，，，则（   ） A． B． C． D． 例题3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，已知，，，，则用向量，表示 ．    精练核心考点 1．（24-25高三上·陕西汉中·期中）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）在等腰梯形中，．M为的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北·期中）在中，设，，若是线段中点，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：利用平面向量基本定理求参数 典型例题 例题1．（2024·湖南邵阳·三模）在平行四边形中，与交于点，点满足，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知在平行四边形中，点，分别在边，上，连接．交于点，且满足，，，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024·安徽淮北·一模）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 精练核心考点 1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，，是直线上一点，若，则实数m的值为 . 2．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合），设， (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时的值. 题型四：平面向量坐标运算 典型例题 例题1．（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（   ）    A． B． C． D． 例题2．（2024高二上·贵州·学业考试）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知点，则满足的的坐标为 . 精练核心考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）若向量，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知，点是线段MN上的点，且，则点的坐标为 . 题型五：向量平行问题（坐标法） 典型例题 例题1．（23-24高一下·全国·课后作业）已知向量若，则m等于（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为 . 精练核心考点 1．（24-25高三上·山西大同·开学考试）已知向量，，若与方向相同，则（    ） A．0 B．1 C． D． 2．（24-25高三上·重庆·期中）已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高一上·吉林·期末）已知向量 (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量求实数的值. 题型六：向量垂直问题（坐标法） 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知向量，满足. (1)求向量与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)若向量与垂直，求实数的值. 例题3．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量. (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值. 精练核心考点 1．（24-25高三上·甘肃·期末）已知向量，，若，则 . 2．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知向量，，若，则 . 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知向量． (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角． 题型七：坐标法解决向量数量积（定值+最值+范围）问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）在平行四边形中，，边的长分别为. 若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·贵州·期中）已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 精练核心考点 1．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知梯形中，，，，，，点、在线段上移动，且，则的最小值为 . 2．（24-25高三上·天津河西·期中）在平面四边形中，，，，若，则 ；若为线段上一动点，当取得最小值时，则 . 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为 . 题型八：坐标法解决向量模（定值+最值+范围）问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知平面向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例题2．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 例题3．（2024高三·全国·专题练习）线段AB的端点分别在x轴、y轴的正半轴上移动，如图，，，，若点D为AB的中点，则的取值范围是 . 精练核心考点 1．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知向量，且，则 . 2．（23-24高一下·北京·期中）已知为坐标原点，是终边上一点，其中，非零向量的方向与轴正方向相同，若，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·吉林白城·期末）在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 题型九：坐标法解决向量夹角问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽铜陵·期末）已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 例题3．（2024·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ． 精练核心考点 1．（2024高二上·江苏·学业考试）已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知向量且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型十：向量夹角为锐角或钝角问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·河北）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 . 例题3．（23-24高一下·广东河源·阶段练习）已知点和向量 (1)若向量与向量同向，且，求点的坐标； (2)若向量且向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 精练核心考点 1．（24-25高三上·河北·期中）已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．（24-25高三上·湖南怀化·期中）已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 题型十一：坐标法解决向量投影（投影向量） 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽宿州·期末）已知平面向量，若在方向上的投影向量为，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 例题2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为(    ) A． B． C． D． 例题3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（24-25高三上·山东济南·期末）已知向量且则在上的投影向量为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 学科网（北京）股份有限公司 $$