专题6-1 6.1平面向量的概念+6.2平面向量的运算(12大核心考点）-2024-2025学年高一数学人教A版2019必修第二册

专题6-1 6.1平面向量的概念+6.2平面向量的运算 题型一：零向量与单位向量的概念 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量 【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 例题2．（24-25高三·全国·阶段练习）已知向量，，则与共线的单位向量为 A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量、平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、利用坐标求向量的模 【解析】根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案. 【详解】因为，，则， 所以， 设与共线的单位向量为， 则， 解得 或 所以与共线的单位向量为或. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义. 例题3．（多选）（23-24高一下·山东青岛）设为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确， ，所以D正确. 故选：ABD 【点睛】本题重点考查向量的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解表示与向量同方向的单位向量. 精练核心考点 1．（24-25高三·江西·阶段练习）已知点，，则与向量同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量 【分析】计算得到，再计算得到答案. 【详解】，，则， 与向量同方向的单位向量为. 故选：. 【点睛】本题考查了单位向量，意在考查学生的计算能力. 2．（23-24高一下·新疆）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【知识点】向量的模、零向量与单位向量 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 3．（23-24高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量 【分析】根据零向量和单位向量的概念求解. 【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断. 故选：C. 题型二：向量加法与减法（作图） 典型例题 例题1．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】. 故选：A 例题2．（23-24高一下·北京东城）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】由题图可知，. 故选：C. 例题3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据向量的加减法法则即可作图． 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 精练核心考点 1．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量线性运算化简求解即可. 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 2．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则、相等向量 【分析】 根据向量相等的定义判断A，根据向量的加法减法运算法则判断BCD. 【详解】 对于A，因为向量方向不同，所以，故A错； 对于B，，故B错； 对于C，根据向量加法的平行四边形法则知，，故C错； 对于D，根据向量减法运算可知，，故D对. 故选：D 3．（多选）（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【知识点】向量加法的法则、相等向量 【分析】由可得四边形是平行四边形，从而结合平行四边形的性质对选项逐一判断即可． 【详解】对A,由，四边形是平行四边形，所以，选项A正确； 对BD,平行四边形对角线与互相平分，得，，选项B错误，选项D正确； 对C,显然与相交，他们不是相等向量，选项C错误； 故选：AD 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【答案】答案见解析 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及共线向量的加法法则即可得解. 【详解】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 题型三：向量加减法化简 典型例题 例题1．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用、向量减法的法则、向量减法法则的几何应用 【分析】由向量的加减法的几何意义可得. 【详解】. 故选：B. 例题2．（23-24高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式. 【详解】. 故选：D. 例题3．（23-24高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. （3）. 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量的线性运算即可. 【详解】由． 故选：A. 2．（2024·甘肃白银·一模） （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】由向量的线性运算求出即可； 【详解】. 故选：D. 3．（23-24高一下·河南郑州·期末）计算： (1)； (2) . 【答案】(1) (2) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）（2）利用平面向量加、减法法则即可得出答案. 【详解】（1）； （2）. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）（2）根据向量的加减法法则化简即可. 【详解】（1）； （2） . 题型四：平面向量的混合运算 典型例题 例题1．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算 【分析】（1）应用向量的线性运算计算即可； （2）应用向量的线性运算计算即可； （3）应用向量的线性运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 例题3．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】向量加法的法则、向量加法的运算律、向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】（1）根据向量的数乘运算求解； （2）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可； （3）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可； （4）（5）根据向量的加减法法则求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4）； （5） 精练核心考点 1．（23-24高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 3．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）（1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【知识点】向量加法的法则、平面向量的混合运算 【分析】（1）（2）利用向量线性运算计算即得. 【详解】（1）. （2） . 题型五：向量共线问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由坐标判断向量是否共线、由向量共线（平行）求参数 【分析】由充分条件和必要条件的概念分别判断即可. 【详解】若，则，，此时，所以； 若，由向量共线定理，得，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 例题2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，，若，则 ． 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据两个向量共线的性质可得，再把要求的式子利用同角三角函数的基本关系化为，运算求得结果. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 例题3．（22-23高一下·四川自贡·期中）（1）已知向量，，若，求k的值； （2）已知，判断与是否共线?如果共线，它们的方向相同还是相反? 【答案】（1）；（2）共线，相同. 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示、由坐标判断向量是否共线、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）计算出，由平行关系得到方程，求出k的值； （2）计算出，从而得到，得到答案. 【详解】（1）， ， 因为，所以，解得. （2）因为， ， 因为，所以，所以与共线. 又，所以与的方向相同. 精练核心考点 1．（2025·江西新余·一模）已知向量，若与是共线向量，则实数 . 【答案】/0.5 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量线性关系的坐标运算及共线的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，，且两向量共线， 所以，则. 故答案为： 2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知向量，，若，则 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：. 3．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可. 【详解】因为与共线，设，即， 所以，故解之可得. 故答案为： 4．（23-24高一下·山东淄博·期末）设两个向量满足， (1)求方向的单位向量； (2)若向量与向量反向，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】零向量与单位向量、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）计算出，利用求出答案； （2）根据向量与向量反向，得到答案. 【详解】（1）由已知，所以， 由方向的单位向量为，所以 即方向的单位向量为； （2）解法1： 设，即， 则，得，得 解法2： ， 由平行，令，得， 由反向，. 题型六：三点共线问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数 【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算． 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以， 则，解得或， ，. 故选：D. 例题2．（23-24高三上·天津河北·期中）设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 . 【答案】 2 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、由坐标解决三点共线问题、条件等式求最值、由向量共线（平行）求参数 【分析】由题意求得，根据三点共线可得向量共线，利用向量共线的条件可得的值，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由，，可得， 由于，，三点共线，故共线， 所以，即， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故答案为：2； 例题3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【知识点】由坐标解决三点共线问题、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出，，，即可求出、、三点的坐标，再求出，，即可判断三点共线. 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 精练核心考点 1．（23-24高一下·四川乐山·期末）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】根据题意，结合向量的共线的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量是不共线的向量，且， 对于A中，设，即， 可得，此时方程组无解，所以三点不共线，所以A不正确； 对于B中，设，且，可得， 可得，解得 ，所以三点共线，所以B正确； 对于C中，设，且，可得， 可得，此时方程组无解 ，所以三点不共线，所以C不正确； 对于D中，设，可得， 可得，此时方程组无解 ，所以三点不共线，所以D不正确. 故选：B. 2．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）若，，三点共线，则满足的关系式为 ． 【答案】 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】转化为平面向量平行，探索参数满足的条件. 【详解】由题意：，，因为三点，，三点共线， 所以. 所以：即. 故答案为： 3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若三点（）共线，则 . 【答案】/ 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】利用三点共线求出的关系式，然后整理可得. 【详解】因为三点共线， 所以，， 所以，即，又， 所以，所以. 故答案为： 4．（23-24高二下·贵州贵阳·期末）已知向量.若三点共线，则 . 【答案】 【知识点】由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数 【分析】求出的坐标，根据可得. 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为： 5．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量，. (1)若与共线，求的值； (2)若，，且三点共线，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据共线向量的坐标表示可构造方程求得结果； （2）由三点共线可知共线，由此可构造方程求得结果. 【详解】（1），，又与共线， ，解得：. （2），，又三点共线， ，解得：. 题型七：平面向量数量积相关定义辨析 典型例题 例题1．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断. 【详解】由平面向量数量积的定义得 由图可知，夹角为锐角，则,故A错误； 夹角为钝角，则,故B错误； 夹角为锐角，则,故C正确； 夹角为锐角，则，故D错误. 故选：C. 例题2．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、判断命题的充分不必要条件 【分析】由，可得，而与共线意味着或，由此即可得解. 【详解】一方面：由，可得，此时与共线; 另一方面：由与共线，可得或，此时有或， 即此时不一定成立. 结合以上两方面有是与共线的充分不必要条件. 故选：A. 例题3．（多选）（23-24高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 【答案】AD 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项. 【详解】，， 可得，故选项A正确； 由可得， 又，可得或， 故选项B错误； , 所以不一定成立， 故选项C错误； 由向量数量积运算的分配律可知选项D正确； 故选：AD. 精练核心考点 1．（23-24高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、用定义求向量的数量积 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）中，“”是“是钝角”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据数量积的定义和充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，可得， 又因为在中，，所以，所以为钝角， 若是钝角，则，则，即， 所以在中，“”是“是钝角”的充要条件， 故选：C. 3．（多选）（23-24高一下·四川乐山·期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，，则 D．，则 【答案】BD 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律 【分析】根据数量积的运算律及定义判断即可. 【详解】对于A：表示与共线的一个向量， 表示与共线的一个向量，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为，即， 又，所以， 即向量与在向量方向上的投影相同，故C错误； 对于D：若，则， 即， 所以，则，故D正确； 故选：BD 题型八：平面向量数量积（几何意义法） 典型例题 例题1．（24-25高二上·山东泰安·开学考试）已知，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求投影向量、平面向量数量积的几何意义 【分析】利用投影向量的公式列出方程，求出. 【详解】由题意得，故，所以. 故选：D 例题2．（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】根据题意结合数量积的几何意义运算求解. 【详解】因为点，分别为，的中点， 则，且在方向上的投影数量为2， 所以. 故选：B. 例题3．（多选）（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为6 C． D．满足的点只有一个 【答案】AB 【知识点】垂直关系的向量表示、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义、向量加法法则的几何应用 【分析】对于A，根据数量积的定义计算即可判断；对于B，由投影向量可找出最大值点的位置，计算即可判断；对于C，作图得到，再由可确定最值点的位置，计算判断即可；对于D，当重合或者时都可以得到，从而可判断. 【详解】对于A选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形， 取的中点，连接，则，所以，A正确； 对于选项，过点作平行于，交圆与点， 过点作，交延长线于点，连接， 则四边形为菱形， 由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值， 此时， 故的最大值为，B正确； 对于C选项，， 因为四边形为菱形，所以，且， 因为为定值， 故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为， 当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为， 故，C错误； 对于D选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，， 又当时，满足，故满足的点有2个，D错误. 故选：AB 精练核心考点 1．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据几何关系，转化向量，再计算数量积，结合数量积的几何意义，求数量积的值. 【详解】， , ， ， ， . 故选：D 2．（23-24高一下·山东青岛）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的最大值是 . 【答案】6 【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】利用数量积的几何意义，结合图形分析即可得解. 【详解】， 如下图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值， 此时取得最大值，所以， 因为，所以，所以， 所以. 故答案为：6.    3．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，，D是的中点，求在方向上的数量投影. 【答案】-3 【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】由平面向量的数量投影公式求解． 【详解】如图，在中，，，， 所以，所以， 因为D是的中点， 所以， 由，得， ∴与的夹角为， ∴. 题型九：平面向量数量积（最值+范围问题） 典型例题 例题1．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）设是边长为1的正三角形，M是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值时，的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据向量的线性运算得出，，再应用数量积公式化简，换元即可求出最小值. 【详解】如图，，，， ，得. ，， 设，则. 当，即，也就是时，取最小值. 故选:C. 例题2．（2025·辽宁沈阳·一模）已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、基本不等式求积的最大值 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标表示，结合基本不等式求出最大值及最小值即得. 【详解】在中，，则，即， 以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，， 由点P，Q是线段AB上的动点，设， 于是， 因此，当且仅当时取等号， 而，则当，即时，， 又，当且仅当或时取等号， 所以的取值范围是. 故选：D 例题3．（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为 （请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】由向量在向量上的投影向量为，根据向量的线性运算和数量积的运算法则，求解即可；以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，用含的式子表示出点和点的坐标，再根据向量的数量积的坐标运算法则，求解即可. 【详解】由，知， 因为，， 所以 ， 所以向量在向量上的投影向量为 ； 若，则， 以为原点建立空间直角坐标系，则， 设，则，， 所以，， 所以，， 所以， 是关于的开口向上，对称轴为的二次函数， 当时，取得最小值. 故答案为：； 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知是边长为的正边上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据条件，利用向量的线性运算及数量积的定义，即可求解. 【详解】由在边上运动，且为边长为的正三角形， 所以， 又，所以，    故选：D. 2．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知在一个平面上过点作单位圆的两条切线和，点和点分别为切点，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】设，把用表示出来，然后求最小值． 【详解】设，，则，. 从而，故. 故. 当时，. 所以的最小值是. 故答案为：． 3．（24-25高三上·天津滨海新·期中）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】利用向量线性运算可将化为，由向量数量积的运算律和定义可构造方程求得，由此可得； 作，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数最小值的求法可求得结果. 【详解】，，，， ， ，又，； 作，垂足为， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，    则，，，，， 设，，， 解得：，， ，，， ， 则当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 题型十：向量夹角 典型例题 例题1．（2025·安徽合肥·一模）已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】利用向量的数量积公式计算得到，从而得到与的夹角. 【详解】 ， ，且，，， ， ， ， ，且 ， ，即与的夹角为 故选: 例题2．（24-25高三上·江苏无锡·期末）已知向量，满足，且，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、已知模求数量积 【分析】根据向量垂直的运算得，然后利用模的运算求得，最后利用向量夹角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即，所以， 所以，所以， 所以，又，所以. 故选：A. 例题3．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）若，且，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】由向量垂直、数量积的运算、夹角的运算计算即可； 【详解】设向量与的夹角为， 因为，且，则， 可得， 所以， 又，所以. 故答案为：. 精练核心考点 1．（2024·江西上饶·一模）已知向量满足，且，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】由，可得，即，利用向量数量积的运算求解. 【详解】由，则， ，即， ，解得，又， 所以与的夹角为. 故选：D. 2．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、向量夹角的计算 【分析】设，则可得，利用向量的夹角公式可求的最小值. 【详解】设，则，因为， 所以，所以， 则， 当时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 3．（辽宁省大连市2025届高三上学期双基测试数学试卷）已知向量，，满足，，则（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】根据单位向量定义将等式平方可得，再由夹角公式计算可得结果 【详解】由题意，， 由得， 即，所以， 设与的夹角为， 所以， 又，所以. 故选：C 4．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知向量满足，则与的夹角为 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】由两边平方，结合数量积性质及定义可求结论. 【详解】设与的夹角为， 由，可得， 即， 即，又， 即，即， 又，所以 故答案为：. 题型十一：向量投影（投影向量） 典型例题 例题1．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 例题2．（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知，且在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】首先根据推出与的关系，再根据投影向量的定义求出在上的投影向量. 【详解】已知，将等式两边同时平方可得. 根据向量平方的展开式,所以， 化简可得，即，这表明. 根据向量投影向量的定义， 所以在上的投影向量为. 因为，所以. 则在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. 故选：A. 例题3．（24-25高三上·上海金山·阶段练习）已知两个非零向量，满足，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【答案】 【知识点】求投影向量、向量的模 【分析】利用投影向量公式和数量积的运算即可求出结果. 【详解】因为两个非零向量，满足， 所以，即， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 精练核心考点 1．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律、已知模求数量积、求投影向量 【分析】先根据模长相等在左右平方得出数量积，再应用投影向量公式计算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 2．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】先由数量积的运算求出，再由投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】令，利用向量数量积的运算律可得，进而求投影向量. 【详解】令，且， 所以，可得， 所以向量在上的投影向量为. 故选：A 题型十二：向量模 典型例题 例题1．（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期期末联考数学试卷）已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】利用投影向量的意义求出，再利用向量数量积的运算律及夹角公式列式求得答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为，即，则， 又，则， 解得，由，解得. 故选：B 例题2．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知平面向量满足：，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】先根据已知条件求出的值，再代入向量的模长公式求解. 【详解】已知，两边同时平方可得：. 展开得到：. 因，则，上式化为：，即. . 故选：A. 例题3．（2025高三·全国·专题练习）平面直角坐标系中，角 满足 ，设点 是角 终边上一动点，则 的取值范围为 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】设 ，先由二倍角公式求得， 得 为第四象限的角， 求得，求得，再利用向量数量积知识将化成的函数，求其值域即得答案. 【详解】设 ， 由 ， ∴ 为第四象限的角，不妨设，则， ， 所以 （当且仅当 时等号成立）， 所以 的取值范围为 . 故答案为：. 精练核心考点 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）设，为单位向量，已知，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】已知模求数量积、已知数量积求模 【分析】先将计算，再计算即可求解. 【详解】根据题意有：，，， 即，所以； ，所以. 故选：C 2．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知单位向量，的夹角为，则 ． 【答案】 【知识点】已知数量积求模 【分析】根据，结合题目条件计算即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）设为单位向量，非零向量，x，y为实数，若的夹角为，则的最大值是 . 【答案】2 【知识点】已知数量积求模、求二次函数的值域或最值 【分析】求出，进而求出，将转化为以为未知量的函数问题，求出最大值即可. 【详解】因为，的夹角为， 所以，则， 当时，， 当时，， 当时，取最大值，， 综上：的最大值是2. 故答案为：2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6-1 6.1平面向量的概念+6.2平面向量的运算 题型一：零向量与单位向量的概念 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 例题2．（24-25高三·全国·阶段练习）已知向量，，则与共线的单位向量为 A． B． C．或 D．或 例题3．（多选）（23-24高一下·山东青岛）设为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（24-25高三·江西·阶段练习）已知点，，则与向量同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·新疆）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 3．（23-24高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 题型二：向量加法与减法（作图） 典型例题 例题1．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·北京东城）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 精练核心考点 1．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 题型三：向量加减法化简 典型例题 例题1．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）化简：（   ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃白银·一模） （   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南郑州·期末）计算： (1)； (2) . 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 题型四：平面向量的混合运算 典型例题 例题1．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 例题3．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 精练核心考点 1．（23-24高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 2．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 3．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）（1） （2） 题型五：向量共线问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，，若，则 ． 例题3．（22-23高一下·四川自贡·期中）（1）已知向量，，若，求k的值； （2）已知，判断与是否共线?如果共线，它们的方向相同还是相反? 精练核心考点 1．（2025·江西新余·一模）已知向量，若与是共线向量，则实数 . 2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知向量，，若，则 . 3．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 . 4．（23-24高一下·山东淄博·期末）设两个向量满足， (1)求方向的单位向量； (2)若向量与向量反向，求实数的值． 题型六：三点共线问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题2．（23-24高三上·天津河北·期中）设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 . 例题3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 精练核心考点 1．（23-24高一下·四川乐山·期末）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 2．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）若，，三点共线，则满足的关系式为 ． 3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若三点（）共线，则 . 4．（23-24高二下·贵州贵阳·期末）已知向量.若三点共线，则 . 5．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量，. (1)若与共线，求的值； (2)若，，且三点共线，求的值. 题型七：平面向量数量积相关定义辨析 典型例题 例题1．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 例题3．（多选）（23-24高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 精练核心考点 1．（23-24高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）中，“”是“是钝角”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（多选）（23-24高一下·四川乐山·期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，，则 D．，则 题型八：平面向量数量积（几何意义法） 典型例题 例题1．（24-25高二上·山东泰安·开学考试）已知，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C． D． 例题2．（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题3．（多选）（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为6 C． D．满足的点只有一个 精练核心考点 1．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（    ） A． B． C． D．3 2．（23-24高一下·山东青岛）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的最大值是 . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，，D是的中点，求在方向上的数量投影. 题型九：平面向量数量积（最值+范围问题） 典型例题 例题1．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）设是边长为1的正三角形，M是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值时，的值为（   ） A． B．3 C． D．2 例题2．（2025·辽宁沈阳·一模）已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为 （请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知是边长为的正边上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．    2．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知在一个平面上过点作单位圆的两条切线和，点和点分别为切点，则的最小值是 . 3．（24-25高三上·天津滨海新·期中）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 ．    题型十：向量夹角 典型例题 例题1．（2025·安徽合肥·一模）已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·江苏无锡·期末）已知向量，满足，且，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）若，且，则向量与的夹角为 ． 精练核心考点 1．（2024·江西上饶·一模）已知向量满足，且，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（辽宁省大连市2025届高三上学期双基测试数学试卷）已知向量，，满足，，则（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知向量满足，则与的夹角为 ． 题型十一：向量投影（投影向量） 典型例题 例题1．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知，且在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高三上·上海金山·阶段练习）已知两个非零向量，满足，则向量在向量方向上的投影向量为 . 精练核心考点 1．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型十二：向量模 典型例题 例题1．（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期期末联考数学试卷）已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（    ） A．2 B． C． D．1 例题2．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知平面向量满足：，则（    ） A． B． C．2 D． 例题3．（2025高三·全国·专题练习）平面直角坐标系中，角 满足 ，设点 是角 终边上一动点，则 的取值范围为 精练核心考点 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）设，为单位向量，已知，则（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知单位向量，的夹角为，则 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）设为单位向量，非零向量，x，y为实数，若的夹角为，则的最大值是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$