圆锥曲线讲义-2025届高三数学二轮复习

圆锥曲线 1． 知识点 用平面切割圆锥体，所截得的平面图形就是圆锥曲线。 1. 椭圆：是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。学会来源推导过程。|F1F2|=2c。 标准方程为：。离心率，其中e越大，椭圆越扁。 ，要做到知二求二。 参数方程为 2. 双曲线定义：是平面内到定点F1、F2的距离之差等于常数（小于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为双曲线的两个焦点。其数学表达式为：||PF1|-|PF2||=2a（2a>|F1F2|）。|F1F2|=2c。 标准方程为：。离心率。 ，要做到知二求二。 渐近线（双曲线特有）：。仅限实轴在x轴上的情况，y轴情况相反。 记忆技巧：把标准方程中的1改成0。 双曲线的参数方程一般不用（我觉得sin、cos你们都还没整明白呢） 3.抛物线定义：抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。 标准方程为：。 抛物线的标准方程较为简单，故而不需要引入参数方程。 4.圆：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 标准方程为： 由于可以使用点到直线距离公式，所以圆也很少使用参数方程。 5.圆锥曲线和直线的位置关系 联立方程组，求△值。 如果需要求交点，则解出x1，x2。经常需要用到韦达定理。 注意，在圆中，可以用△也可以用点到直线距离公式，优先使用点到直线距离公式。但是其他圆锥曲线，只能用连立方程组，别无他法。 6. 弦长公式：联立直线与圆锥曲线的方程，解出x1，x2。或者用韦达定理求出。那么弦长就等于。 2． 例题 运用定义式，几乎是圆锥曲线大题的第一小问必考的题型 例1：已知圆C1：，圆C2：，动圆C与C1、C2都相切，求动圆C圆心的轨迹方程。 解析：注意分类讨论，相切没有说明是内切还是外切，如果动圆C与C1相外切，那么就有为定值。那么C的轨迹就是椭圆。方程为。如果是外切，那么就有为定值。那么轨迹也是椭圆。方程为。 总结与思考：如果说找不到这个关系式怎么办。那就一步一步来，先分别写出来。 、，再想办法去消掉。 变式：已知圆C1：，圆C2：，动圆C与C1、C2都相切，求动圆C圆心的轨迹方程。 解析：注意和例题区分，例题中是大圆包小圆，这里两个定圆是相离的状态。 画图之后发现可以演变出四种状态。也就是两个都外切、两个都内切、一个外切一个内切（两种情况）。 （1）两个都外切：，为双曲线的左半支。 标准方程为 （2）两个都内切：，双曲线的右半支。 标准方程为 （3）与C1内切，与C2外切：，为双曲线的左半支。 标准方程为 （4）与C2内切，与C1外切：，双曲线的右半支。 标准方程为 例2：已知有一个过点A（1，0）且与圆C：相内切的圆，求该圆的圆心M轨迹方程。 解析：记圆C的圆心为C。注意到。那么M的轨迹就是以C、A为焦点的椭圆。c=1，a=。于是M的轨迹方程为：。 例3：△ABC的顶点A（-5,0）、B（5,0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是： 解析：显然，内切圆与x轴的切点为D（3,0） 结果为 总结与思考：举了这么多例子，希望大家能熟练掌握这类运用定义的题型。 结合空间几何体 例4：已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为4，M为DD1的中点，N为平面ABCD上的一动点，以下说法正确的是_______（多选） A. 若MN与平面ABCD所成角为，则N点的轨迹为圆 B. 若MN=4，则MN的中点P的轨迹所围成的面积为 C. 若点N到直线BB1的距离与直线CD的距离相等，则N点的轨迹为抛物线 D. 若D1N与AB所成角为，则N点的轨迹为双曲线 解析：首先，A描述的是，以DD1为轴线的圆锥，与平面ABCD相交，得到的就是圆，A正确。B选项，MN=4，是以M为球心，4为半径的球，与ABCD相交，得到N的轨迹是个圆。P的轨迹也是个圆，但是计算后面积为，B选项错误。C选项，就是NB等于N到CD的距离相等，根据抛物线的定义，正确。 D选项，AB可以平行转化成C1D1，也就变成了D1N与C1D1所成角为， 是以C1D1为中轴线的圆锥。然后和平面ABCD相交，切出的面为双曲线，D正确。所以最后选ACD。 例5（新题型，函数的离心率）：我们在初中学习过反比例函数，知道反比例函数的图像是个双曲线。最近某些模考出现的新题型，让我们去求反比例函数或者对勾函数的离心率。求的离心率。 解析：反比例或者对钩函数的离心率我们没有学过，我们也只能通过类比来找规律。其中一个比较好的切入点就是渐近线。在双曲线里，。 而，其中为两条渐近线的夹角。而两条渐近线的夹角为90°。 他的“”就是tan45°=1，这样问题就得到了解决。 以此为例，其实对钩函数的离心率也可以求了。 弦中点问题，可以考虑用点差法。 例6：已知椭圆的弦AB的中点M的坐标为（2,1）求直线AB的方程。 方法一：设直线AB：y-1=k(x-2)，与椭圆方程联立得： (4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0，根据韦达定理，x1+x2==4 解得k=，AB的方程为x+2y-4=0 方法二：点差法 设A（x1，y1）B（x2，y2）,以为M是AB的中点，所以就有 x1+x2=4 ， y1+y2=2。因为AB在椭圆上，所以就有+4=16，+4=16 两式相减，得到4(x1-x2)+8(y1-y2=)=0 所以=。AB的方程为x+2y-4=0 方法三：中点转移法 设A（x，y），由于M是AB中点，所以B点的坐标就为（4-x,2-y）。 因为AB都在椭圆上。 那么就有 x+2y-4=0 快速求某点处的切线的小技巧：使用条件是仅当刚好落在圆锥曲线上（圆、椭圆、双曲线、抛物线上均可使用此方法）可使用。或者说当恰好是切点时可以使用。 结论：对于一般的圆锥曲线：，在处的切线为：，也就是把其中的一个换成了，其中一个换成了。 证明过程：对该点求导数（用隐函数求导）。或者代入联立方程组暴力求解证明。 下面举几个例子： 例7：（1）求在（1，2）处的切线方程。答案： （1） 求在（2，3）处的切线方程。答案：先化成。然后得到切线方程为也就是。 （2） 求在（2,1）处的切线方程。答案。 （3） 抛物线同样适用该法则。求抛物线在在（1，2）处的切线方程。 首先，把抛物线的方程写成。然后把其中的一个换成了，其中一个换成了。就得到了。化简得到。 总结与思考1：上述四个例子，这个点都刚好落在圆锥曲线上，非常的特殊。那如果推广到一般情况呢？也就是从圆锥曲线外的一点往圆锥曲线上引切线呢？ 结论：从圆锥曲线外部一点，能引出两条切线，形成两个切点。那么直接套用上述方法得到的直线方程就是这两切点的连线（也叫切点弦）。（注意这时候不是切线了，是两切点的连线） 可以用同构法来非常巧妙的证明（以椭圆为例子）。 首先从P点引出两条切线，分别与圆锥曲线切于A、B两点。由前面的结论，可以得知PA、PB的方程为、。 以PA为例子，P在PA上，所以，我们变化一下有。 我们换个角度看，发现，是不是其实A点在直线上。 同理，点B也在在直线上。 由于两点确定一条直线，这条直线又经过A点，又经过B点。所以其实这条神秘的直线就是AB。 总结与思考2：圆锥曲线这个章节中，会有很多的二级结论。到底什么结论应该背下来，什么结论不需要背呢。有些地方会很多哗众取宠花里胡哨的二级结论。 这里给大家提供两个标准。第一要很常用，或者说应用面非常广。第二，证明推导的内容过程很复杂，但是最后给出结论很简洁，相当于直接记下这个结论能省很多事情，能省很大力气，给你提供到很大的方便。 普遍适用性和简便性，两条都满足，就是好方法，一点要记下来。只满足一条，那么结论一般般，可以选择性的去记这些结论。如果两条都不满足，那就是垃圾方法，这个二级结论没有任何实际应用价值，不用记。 例8、已知曲线E：，则下列结论中正确的有（多选） A、曲线E与直线无公共点 B、曲线E关于直线对称 C、曲线与圆有三个公共点 D、曲线E到直线的最大距离是 解析：这题看着很唬人的样子，感觉无从下手，但是其实可以分类讨论看出来。 首先，这个曲线，在第一象限就是个单位圆。在第二象限和第四象限，就是一个双曲线。而第三象限的点，其实都无法满足曲线E的方程，故而在第三象限是没有图像的。其实是第二和第四象限这两段双曲线的渐近线。 画了草图之后，其实就能发现，曲线和没有公共点，A正确。 B图像看似是对称的，但是我们眼睛看，其实是不准确的。要从曲线方程入手，这里面地位对等，可以互换，所以曲线E就是关于直线对称的。 C选项中的圆，与E在第一象限相切，二、四象限分别有一个交点。故而C选项也正确。D选项，分别计算曲线E这三段各自到这条线距离的最大值。其中二四象限相同，计算一个即可。思路方法如下，既然是渐近线，那么无穷远处距离最近，实轴端点处的距离一定是最远的，最远的点肯定是实轴端点，代入计算得距离为。而对于第一象限部分，这条直线穿过圆心，最大距离=半径=1。 所以D选项是错误的，最后结果ABC 总结与思考：大家学习的时候要理解透彻，也要能有逆向思维。比如D选项，就是对于渐近线的逆用，渐进就是逐渐靠近，无穷远处靠近，那么实轴端点处一定是距离最远的。（无穷远处越来越近，无穷近处肯定也越来越远） 还有B选项，轴对称，中心对称的类型，平时可能接触的不是很多，大家也应该要知道要了解。 3． 高考真题 解析：这题是2024年全国卷I多选题的压轴题。其实，我们可以根据给出的定义来求出和曲线的标准方程。首先我们把坐标原点代入。立马可以解出，A选项正确。然后根据定义，立马能得出曲线方程。将B选项代入，得B选项正确。先来看D选项。。 正确。三个都正确了，如果C选项不确定的话，可以就到此为止，拿一部分分数。那么C选项是怎么做的呢？我们既然要求y的最大值，那肯定还是要先把y给分离出来：。注意到，。对其求导，得到。那么说明2其实并不是极大值点。所以1也不是y的最大值。 C选项错误，最终选ABD。 已知双曲线C：的左右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为______。 解析：这题是2023年的填空题压轴题。这题最大的难点是，把图形画出来。主要是与反向共线，画出来之后，可以设，马上。由于F1、F2是关于y轴对称的。所以马上也能得出。由于，由勾股定理马上能得到。，于是。稍微难算一点。在中，对用一次余弦定理。可以得到。 总结与思考：这都是近两年的高考选择填空的压轴题。2023年是双曲线和余弦定理结合考。而2024年的更难，是新定义曲线和导数和放缩结合。 也就是说，圆锥曲线的考察趋势，越来越综合，和别的章节结合的越来越紧密。 大家学习的时候要注意和别的章节的联动。就像前面提到的切线求法。 学科网（北京）股份有限公司 $$