16.1 二次根式 讲义 2024-2025学年人教版数学八年级下学期

16.1 二次根式 模型1 二次根式的概念 2 模型2 根据二次根式有意义的条件求字母的范围 4 模型3 根据二次根式有意义的条件求代数式的值 6 模型4 二次根式的性质 9 模型5 代数式 10 模型归纳 1．二次根式的概念 一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 2．二次根式有意义的条件：被开方数（式）大于等于0． 3．二次根式的性质 （1）； （2）； （3）． 方法归纳 1．二次根式的性质 （1）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件． （2）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成． 2．代数式 （1）代数式中不能含有关系符号（“=”“>”或“<”等）． （2）将两个代数式用关系符号（“=”“>”或“<”等）连接起来的式子叫关系式．方程和不等式都是关系式．如2x+3>3x-5就是关系式． 模型1 二次根式的概念 典例 （2024秋•淇滨区月考）下列各式中，一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 【解答】解：、被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意； 、是二次根式，故此选项符合题意； 、三次根式，故此选项不合题意； 、时，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意； 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 判断一个式子是否为二次根式，是对式子本身进行判断，而不是对计算的结果进行判断．如是二次根式，计算结果3不是二次根式． 【变式练1】　（2024春•天山区校级期中）下列代数式中，不是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义：形如，逐一判断即可解答． 【解答】解：、是二次根式，故不符合题意； 、不是二次根式，故符合题意； 、是二次根式，故不符合题意； 、是二次根式，故不符合题意； 故选：． 【变式练2】　（2024秋•祁东县校级月考）下列式子不是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：、是二次根式，故此选项不合题意； 、因为，不是二次根式，故此选项符合题意； 、是二次根式，故此选项不合题意； 、是二次根式，故此选项不合题意． 故选：． 【变式练3】　（2024春•锡山区校级月考）下列给出的式子是二次根式的是　　 A． B． C．2 D． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，由此进行判断作答即可． 【解答】解：由题意知，是二次根式，正确，故符合要求； ，2，，不是二次根式，、、错误，故不符合要求； 故选：． 模型2 根据二次根式有意义的条件求字母的范围 典例 （2024秋•中山区期末）若二次根式有意义，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ， 解答． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 在求被开方数中字母的取值范围时，要注意是被开方数整体大于等于0，而不是被开方数中的字母大于等于0． 【变式练1】　（2024秋•邗江区校级期末）若二次根式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：二次根式有意义， ， 解得． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•鄞州区校级期末）若有意义，则实数的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可． 【解答】解：由于负数没有平方根，所以有意义时，有， 所以， 即实数的取值范围是， 故答案为：． 【变式练3】　（2024秋•西山区校级期末）式子有意义的条件是　　． 【答案】． 【分析】根据分式的分母不等于0，二次根式中被开方数为非负数，列出不等式求解即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 模型3 根据二次根式有意义的条件求代数式的值 典例 （2024秋•雁塔区校级期中）已知实数满足，则 　　． 【答案】． 【分析】根据算术平方根的定义得到，则，进而化简得，解得，然后代入即可求解． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件， 有意义， ， ， ， ， ， ， ， ， 将代入得： ，即的值为． 故答案为：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 具有非负性的式子的常见形式：①；②；③． 【变式练1】　（2024秋•青羊区校级期中）已知实数，满足，则 　　． 【答案】36． 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得、的值，最后代入计算即可． 【解答】解：实数，满足， ，． ． 故答案为：36． 【变式练2】　（2024秋•湘阴县期中）已知、为实数，且．则的平方根　　． 【答案】． 【分析】根据二次根式有意义的条件求出，进而得到的值，根据平方根的概念解答即可． 【解答】解：要使有意义，则， 解得，， 要使有意义，则， 解得，， 所以， 则， ， 的平方根是， 的平方根， 故答案为：． 【变式练3】　（2024秋•锦江区校级期末）若，则 　　． 【答案】1． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式组，解不等式组求出，进而求出，再根据算术平方根计算即可． 【解答】解：由题意得：，， 解得：， 则， ， 故答案为：1． 模型4 二次根式的性质 典例 （2024秋•化州市期末）的值为 　　． 【答案】5． 【分析】根据二次根式的性质即可求解， 【解答】解：， 故答案为：5． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 若被开方数是分式，不能忽略被开方数中分母不为0的隐含条件． 【变式练1】　（2024秋•泉州期末）化简：　　． 【分析】利用二次根式的性质化简即可． 【解答】解：， 原式 ． 故答案为：． 【变式练2】　（2024秋•城关区校级期中）已知，则的算术平方根是 　　． 【答案】． 【分析】先根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于求出的值，进而求出的值，再根据算术平方公式的定义即可求出答案． 【解答】解：由已知得， ， ， ， 的算术平方根是． 故答案为：． 【变式练3】　（2023秋•邵阳期末）已知，都是实数，且，则　　． 【答案】64． 【分析】利用算术平方根被开方数的非负性求出值，再代入求出值，即可求解． 【解答】解：， ，， ， 将代入， 得：， ． 故答案为：64． 模型5 代数式 典例 （2024秋•南岸区期末）某地区的海拔每增加，气温就降低大约．设地面气温是．请写出表示 高空气温大约的度数为　　． 【答案】． 【分析】根据地面气温是，海拔每增加，气温就降低大约，列出代数式即可． 【解答】解：． 故答案为：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 列代数式时，要按照题目给定的各个量之间的关系，用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来． 常用方法：（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式；（2）公式法：根据公式列出代数式；（3）规律探究法：将一组数或一组图形的排列规律用代数式表示出来． 【变式练1】　（2024秋•仓山区期末）甲、乙两艘船在某海域航行，甲船航行用了，如果乙船的航速是甲船航速的，那么乙船航行的路程为 　　． 【答案】． 【分析】根据题意先表示出甲船的速度，进而得出乙船的速度，据此即可解决问题． 【解答】解：由题知， 甲船的速度为， 则乙船的速度为：， 所以乙船航行 的路程为． 故答案为：． 【变式练2】　（2024秋•垫江县期末）某校组织学生到养老院做义工，七年级参加的学生有人，八年级参加的学生有人，九年级参加的学生人数比七、八年级参加的学生总人数的倍少1人，九年级参加的学生有 　　人（用代数式表示）． 【答案】． 【分析】根据九年级参加的学生人数与七、八年级参加人数之间的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为七年级参加的学生有人，八年级参加的学生有人，且九年级参加的学生人数比七、八年级参加的学生总人数的倍少1人， 所以九年级参加的学生人数为人． 故答案为：． 【变式练3】　（2024秋•钱塘区期末）“的3倍与的平方的和”用代数式表示为 　　． 【答案】． 【分析】根据题意即可得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 第6页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $$