16.1 二次根式 讲义-2024-2025学年人教版数学八年级下册

16.1 二次根式 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】二次根式的概念 3 【题型2】二次根式有无意义的条件 5 【题型3】二次根式的性质 8 【题型4】在实数范围内进行因式分解 10 1．二次根式的概念 一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 理解二次根式的概念，要把握以下四点： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． 【注意】（1）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件． （2）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成． 2．二次根式有无意义的条件 类型 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数（式）为非负数 有意义a≥0 二次根式无意义 被开方数（式）为负数 无意义a<0 3．二次根式的性质 （1）； （2）； （3）． 【拓展】（1）若，则a=0，b=0； （2）若，则a=0，b=0； （3）若，则a=0，b=0； （4）若，则a=0，b=0，c=0． 4．代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式．例如3，x，x+y，，-ab，，x3都是代数式． 【注意】（1）代数式中不能含有关系符号（“=”“>”或“<”等）． （2）将两个代数式用关系符号（“=”“>”或“<”等）连接起来的式子叫关系式．方程和不等式都是关系式．如2x+3>3x-5就是关系式． 利用二次根式的双重非负性解题解题方法： （1）初中阶段，常见的非负性式子有三类： ①二次根式②代数式的偶次方；③绝对值； （2）当几个非负式的和为0时，可由这几个非负式均等于0列方程（组）求解字母的值，进而求得相应代数式的值． 【题型1】二次根式的概念 例1 （2024春•红塔区校级月考）下列式子是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：．根式的根指数是3，不是二次根式，故本选项不符合题意； ．根式的根指数是2，并且被开方数，是二次根式，故本选项符合题意； ．的被开方数，不是二次根式，故本选项不符合题意； ．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：． ◄ 点拨 ► 判断一个式子是不是二次根式时，只看它的初始的外在形态，不看它计算或化简的结果．如，3是的计算结果，是二次根式． 【变式1】　（2024春•渝中区校级期中）下列各选项中，是二次根式的是　　 A．10 B． C． D． 【变式2】　（2024春•赛罕区校级期末）下列式子不是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2024春•凉州区月考）在式子、、、、中，是二次根式的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】【答案】 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断． 【解答】解：、10不是二次根式，不符合题意； 、是立方根，不是二次根式，不符合题意； 、的被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； 、是二次根式，符合题意， 故选：． 【变式2】【分析】形如的式子是二次根式，依据定义即可判断． 【解答】解：、是二次根式，故本选项不符合题意； 、是二次根式，故本选项不符合题意； 、是二次根式，故本选项不符合题意； 、不是根式，故本选项符合题意． 故选：． 【变式3】【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式可得答案． 【解答】解：、、、都是二次根式； 当时，，则无意义． 故选：． 【题型2】二次根式有无意义的条件 例2 （2024春•庄浪县期末）若式子有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意得，进而可求解． 【解答】解：依题意得：， 解得：， 故选：． ◄ 点拨 ► 求使代数式有意义的字母的取值范围的类型： （1）二次根式型：被开方数大于或等于0； （2）分式型：分母不等于0； （3）指数幂型：底数不为0； （3）复合型：其各条件下字母取值范围的公共部分． 【变式1】　（2024秋•武乡县期中）若要使有意义，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2024秋•青羊区校级期中）要使式子有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2024春•嘉祥县期末）要使式子有意义，的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D．且 【变式1】【答案】 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ， 解得． 故选：． 【变式2】【答案】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，， 解得． 故选：． 【变式3】【答案】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【解答】解：由题意得，， 解得且． 故选：． 【题型3】二次根式的性质 例3 （2024秋•长沙期末）若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】已知等式利用二次根式性质化简，再利用绝对值的代数意义求出的范围即可． 【解答】解：， ，即， 故选：． ◄ 点拨 ► 化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值． 运用进行化简，当a的符号无法判断时，就需要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏． 【变式1】　（2024秋•洪雅县期末）表示有理数，，的点在数轴上的位置如图所示，请化简　　． 【变式2】　（2024秋•化州市期末）的值为 　　． 【变式3】　（2024秋•市中区期中）已知，则化简的结果是　　 A． B．1 C． D． 【变式1】【答案】． 【分析】首先根据数轴推出，，继而推出，，，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉绝对值号和根号，然后去括号进行合并同类项即可． 【解答】解：，， ，，， 原式 ． 故答案为：． 【变式2】【答案】5． 【分析】根据二次根式的性质即可求解， 【解答】解：， 故答案为：5． 【变式3】【答案】 【分析】根据判定，是解答本题的关键．先根据判定，，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 【解答】解：， ，， 原式 ． 故选：． 【题型4】在实数范围内进行因式分解 例4 （2024秋•杨浦区校级月考）将二次三项式在实数范围内分解因式，正确的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用换元法分解因式，令，设，则方程变为，解得值后还原即可得到结果． 【解答】解：令，设，则方程变为， 解得：，， 所以原式 故选：． ◄ 点拨 ► 解题方法： 将正数化为的形式→利用平方差或完全平方公式进行因式分解． 【变式1】　（2024秋•宝山区校级期中）在实数范围内分解因式：　　． 【变式2】　（2024秋•虹口区校级月考）在实数范围内因式分解： 　　． 【变式3】　（2023秋•青浦区期中）在实数范围内因式分解：． 【变式1】【答案】． 【分析】先解方程，求得方程的两个根，即可求解． 【解答】解：， ，，，， △， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】【答案】． 【分析】根据题意，设设，即，令，则方程为，根据解一元二次方程公式法，求出的值，进而得出答案． 【解答】解：设，即， 令， ， 这里，，， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【变式3】【答案】． 【分析】将看作常数，令，这是一个关于未知数的一元二次方程，利用公式法解一元二次方程即可得到答案 【解答】解：将看作常数，令，这是一个关于未知数的一元二次方程， ， △ ， ，即， ． 第4页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $$