专题8.3 整式乘法（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版2024）

整式乘法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．64 3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，则a，b，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 5．（24-25八年级上·重庆江津·期末）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C．15 D．16 6．（24-25八年级上·福建泉州·期中）若正整数a，b，c满足不等式，则的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 8．（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算： 的值是（   ） A． B． C． 9．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，，，则下列说法正确的个数是（   ） ；当时，； ；当时，的值为 A． B． C． D． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25八年级上·四川巴中·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 12．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，则的值为 ． 13．（24-25八年级上·河北张家口·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等． 有如下两个结论： ①； ②当，时，代数式的值是； 上述结论中，正确的有 （写出序号即可）． 14．（24-25七年级上·上海·阶段练习）长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，则，应满足 ． 15．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（请填写序号） 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17．（4分）（24-25八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足． 18．（6分）（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后每两个小长方形拼成形，再将形中涂上阴影，如图2和3所示．设图2中的阴影面积为，图3中的阴影面积为 （1）独立思考：求和的值用含a，b的代数式表示； （2）实践探究：若，请比较和的大小关系； （3）问题解决：若，求的值． 19．（6分）（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 20．（6分）（23-24八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与； 与； 与 （2）多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； （3）关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 21．（8分）（23-24七年级下·福建漳州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算， ，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． （1）直接写出相乘，积中x项的系数 （2）若，直接写出的值； （3）若的积中不含x项，求p的值； （4）拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 22．（8分）（23-24七年级下·重庆北碚·期中）材料一：若一个自然数除以3余数为，则该自然数的各数位上的数字之和除以3的余数也为．例如125除以3余数为2，则除以3的余数也为2． 材料二：若一个自然数可以表示为一个整数的平方，那么该自然数称为完全平方数．例如，所以169是完全平方数． （1）证明：完全平方数除以8的余数为1．（其中为整数） （2）一个各位数字均不为0的四位自然数，去掉的个位数字后形成的三位数除以3余1，去掉的千位数字后形成的三位数除以3余2，由的千位数字与百位数字构成的两位数记为，由的十位数字与个位数字构成的两位数记为，为完全平方数且为奇数．求出所有符合条件的自然数． 23．（9分）（23-24七年级下·山东青岛·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ； 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． （3）若满足，求的值． 解决问题： （4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值）    第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 整式乘法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【思路点拨】 本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【解题过程】 解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．64 【思路点拨】 本题主要考查了相反数，绝对值，完全平方公式．熟练掌握相反数性质，完全平方公式分解因式，绝对值与平方数的非负性，完全平方公式变形，是解决问题的关键．根据互为相反数的两个数的和为0列方程，分解因式，结合绝对值和平方数的非负性，根据几个非负数的和为0，得到它们同时为0，求出，的值，根据完全平方公式变形即得． 【解题过程】 解：∵若与互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，则a，b，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查的是有理数的比较大小，关键是先根据平方差公式、完全平方公式以及积的乘方法则计算出各数的大小．先根据平方差公式、完全平方公式以及积的乘方法则计算出、、的值再进行比较． 【解题过程】 解：， ， ， ， ． 故选：B． 4．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 【思路点拨】 此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求出的值是多少，然后用它加上，求出的值是多少，最后根据的值与x的取值无关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即可． 【解题过程】 解：，，， ， 的值与x的取值无关， ， ， 当时，， 故选：B． 5．（24-25八年级上·重庆江津·期末）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C．15 D．16 【思路点拨】 本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出的值即可求解，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【解题过程】 解：∵， ∴，， ∵为正整数， ∴， ∴或或或或， ∴的值不可能是， 故选：C． 6．（24-25八年级上·福建泉州·期中）若正整数a，b，c满足不等式，则的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式及非负数的性质，难度适中，关键是根据几个非负数的和小于等于0时，这几个非负数都同时为0．根据正整数满足不等式，把不等式进行变形为完全平方和的形式，进而可求解． 【解题过程】 解：∵， ， ∴， 即， ∵为正整数， ∴只有且时不等式成立， ， ， 故选：A． 7．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【思路点拨】 本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知， ，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【解题过程】 解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 8．（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算： 的值是（   ） A． B． C． 【思路点拨】 根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题． 【解题过程】 解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， ∴． 故选：A． 9．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了数的规律探究，完全平方公式．根据题意推导一般性规律是解题的关键．根据题意，计算可得，，，，，，，，，，……可推导一般性规律为每6个数为一个循环，则，，，由，可得，则，计算求解，然后作答即可． 【解题过程】 解：由题意知，，，，， 同理，，，， ∴，，，，，，，，，…… ∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， 解得，， ∴， 故选：B． 10．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，，，则下列说法正确的个数是（   ） ；当时，； ；当时，的值为 A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了整式的乘法．首先根据整式的乘法把展开可得，可得，从而可得错误；当时可得，根据可以求出、、、的值，计算可得，从而可得正确；根据整式的乘法可得，其中的常数项为，从而可得正确；当时，可得，则有，所以，故正确． 【解题过程】 解：， ， ， ， 故错误； 当时可得：， ， 、、、， ， 故正确； ，， ， 又， ， ， 故正确； ， 当时，， ， ， 故正确． 正确的结论有个． 故选：C． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25八年级上·四川巴中·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【解题过程】 解：根据题意，可得： ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 12．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，非负数的性质，代数式求值．将等式进行恰当的变形，从而求出a和b的关系是解题关键．根据多项式乘多项式法则，结合完全平方公式可将等式变形为，再根据平方的非负性即得出，，从而可得出，，最后将所求式子变形为，再代入求值即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·河北张家口·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等． 有如下两个结论： ①； ②当，时，代数式的值是； 上述结论中，正确的有 （写出序号即可）． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘法中的规律性问题，有理数的乘方等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，展开式中各项的系数对应第六行的1，5，，，5，1，进而可判断①的正误；当，时，，计算求解，可判断②的正误． 【解题过程】 解：由题意知，在杨辉三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数； 第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数， ∴展开式中各项的系数对应第六行的1，5，，，5，1， ∴，①正确，故符合要求； 当，时，代数式，②正确，故符合要求； 故答案为：①②． 14．（24-25七年级上·上海·阶段练习）长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，则，应满足 ． 【思路点拨】 本题主要考查整式的运算，得到图形中的关系是解题的关键．对图形进行点标注，则左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，再结合图形信息表示出；然后根据面积公式求出面积差，根据始终保持不变，即可得到、满足的关系式． 【解题过程】 解：对图形进行点标注，如图所示： 左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ，即，， ，即， 阴影部分面积之差， 因为当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，故， 即； 故答案为： 15．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（请填写序号） 【思路点拨】 本题主要考查了代数式的恒等变形及整体代入法求代数式的值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．将两边同时除以x可得，由此可得①正确；将①式两边平方再化简可得②正确；由，将①代入其中可得③正确；给①式两边同乘以得，再将①式变形得，然后代入上式即可判断④错误． 【解题过程】 解：由，得 ， ∴， 故①正确； ∵， ， ， ， 故②正确； ∵， ∴， 故③正确； 由，得， 两边同乘以，得， 又由，得， ， ， ， ， 故④错误． 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 （1）利用单项式乘以多项式、平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （4）利用平方差公式、完全平方公式计算即可； 本题考查了整式的乘法运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 17．（4分）（24-25八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【思路点拨】 本题主要考查整式的混合运算和非负数的性质，先根据乘法公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并得最简结果，由非负数的性质得出的值代入计算即可． 【解题过程】 解： ， ， 解得， ∴原式 18．（6分）（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后每两个小长方形拼成形，再将形中涂上阴影，如图2和3所示．设图2中的阴影面积为，图3中的阴影面积为 （1）独立思考：求和的值用含a，b的代数式表示； （2）实践探究：若，请比较和的大小关系； （3）问题解决：若，求的值． 【思路点拨】 此题考查列代数式，整式的混合运算，以及矩形的面积，求得两个阴影部分的面积是解决问题的关键． （1）根据长方形的面积及三角形的面积公式可得出答案； （2）将分别代入及可得出答案； （3）根据题意求出，分别计算S甲及S乙可得出答案． 【解题过程】 （1）解： ； ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 舍去， ， ， 19．（6分）（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【思路点拨】 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【解题过程】 解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． 20．（6分）（23-24八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与； 与； 与 （2）多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； （3）关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 【思路点拨】 此题考查了求代数式值的能力， （1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解； （3）先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解． 【解题过程】 （1）∵， , ， ∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”， 故答案为：； （2），， ∵与互为“对消多项式”， ，， ，， ∴它们的“对消值”为； （3），， ， ∵与互为“对消多项式”且“对消值”为， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴代数式的最小值是． 21．（8分）（23-24七年级下·福建漳州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算， ，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． （1）直接写出相乘，积中x项的系数 （2）若，直接写出的值； （3）若的积中不含x项，求p的值； （4）拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【思路点拨】 本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点， （1）由题干中计算方法即可得解； （2）由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （3）由题干中计算方法即可得解； （4）根根题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． 【解题过程】 （1）由题中计算方法知：， 故答案为：13； （2）∵是由2024个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2024个1的和， ∴； （3）由题干中计算方法知：中x的系数为， ∵x的系数为零， ∴， ∴； （4）∵设购进A型号矿泉水有a箱， ∴购进B型号矿泉水有箱， ∴ ， ∵无论a为多少，w都不变， ∴中，a的系数为0， ∴, ∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元， ∴，． 22．（8分）（23-24七年级下·重庆北碚·期中）材料一：若一个自然数除以3余数为，则该自然数的各数位上的数字之和除以3的余数也为．例如125除以3余数为2，则除以3的余数也为2． 材料二：若一个自然数可以表示为一个整数的平方，那么该自然数称为完全平方数．例如，所以169是完全平方数． （1）证明：完全平方数除以8的余数为1．（其中为整数） （2）一个各位数字均不为0的四位自然数，去掉的个位数字后形成的三位数除以3余1，去掉的千位数字后形成的三位数除以3余2，由的千位数字与百位数字构成的两位数记为，由的十位数字与个位数字构成的两位数记为，为完全平方数且为奇数．求出所有符合条件的自然数． 【思路点拨】 （1）将展开为，即可求证， （2）结合材料1可得到，，根据、、、的范围，得到，且是完全平方数，得到 ，，，，，结合与的范围，分情况讨论，即可求解， 本题考查了，十进制整数表示方法，完全平方数，解题的关键是：根据条件列式，分情况讨论． 【解题过程】 （1）证明：， ∵为整数， ∴能被8整除， ∴完全平方数除以8的余数为1； （2）解：∵余数为1，余数为2， ∴余数为1，余数为2， 设，，其中， ∴，， ∵，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∵为完全平方数且为奇数，之间的奇数完全平方数有：，，，，， ∴ ，，，，， 当，时， ，b可取， ，c无值可取， 当，时， ，b可取，， ，c可取， ∴，或， ∴，， 当，时， ，b可取，，， ，c可取，， ∴或，或或， ∴，，，，，， 当，时， ，可取，，， ，可取，，， ∴或或，或或， ∴，，，，，，，，， 当，时， ，可取，， ，可取， ∴， 或， ∴，， 故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 23．（9分）（23-24七年级下·山东青岛·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ； 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． （3）若满足，求的值． 解决问题： （4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值）    【思路点拨】 （1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）将转化为，即，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （4）根据已知可得，，从而可得，再根据题意得：，，从而可得，进而可得，然后利用（3）的解题思路进行计算，即可解答． 【解题过程】 解：（1）设，， 则，， ， 的值为2560； （2）∵， ， ， 设，， 则，， ， 的值为； （3）设，， 则，， ， ， 的值为； （4）∵，，，， ，， 长方形的面积是， ， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 设，， 则，， 正方形的面积 ， 正方形的面积为3636． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$