17.3（1）一次函数&一次函数的图象（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

（华东师大版）八年级下册数学《第17章 函数及其图象》 17.3（1）一次函数&一次函数的图象 知识点一 一次函数的概念 ◆一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【注意】①由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其表达式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数表达式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． ◆正比例函数的概念： 特别地，当b=0时， y＝k x (k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数. （1）正比例函数是一种特殊的一次函数． （2）正比例函数反应的是两个变量之间的关系，是正比例关系. 【注意】判断一个函数是正比例函数：（1）所给等式是形如y＝k x的等式，自变量的指数只能是1. （2）比例系数k是常数，且k≠0，必须同时满足这两个条件的才是正比例函数. 知识点二 正比例函数的图象 ◆正比例函数的图象： 正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线. 知识点三 一次函数的图象 ◆1、一次函数的图象：一次函数 y＝k x+b（k≠0）的图象是经过（0，b）、（，0）两点的一条直线， 我们称它为直线y＝k x+b（k≠0）. ◆2、一次函数图象的画法： 两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b． 【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． 题型一 正比例函数的概念 解题技巧提炼 正比例函数的定义：一般地，形如y＝k x（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从表达式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 1．（2024秋•黄浦区期末）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2（x﹣1） B． C． D． 2．（2024秋•清新区期中）下列函数中，是正比例函数的为（　　） A． B． C．y＝﹣2x﹣1 D．y＝x2+1 3．（2024秋•竞秀区期中）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2x B． C． D．y＝2x2 4．（2024春•朝阳区校级期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A．正方形的面积S随边长x的变化而变化 B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D．水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：min）的变化而变化 5．（2024春•长安区校级期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y；③y；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024秋•榆次区期中）下列各选项中，两个变量y与x之间的关系是正比例函数关系的是（　　） A．直角三角形中一个锐角的度数y（度）与另一个锐角的度数x（度）之间的关系 B．正方体的表面积y（cm2）与它的棱长x（cm）之间的关系 C．小红阅读一本420页的名著，未读的页数y（页）与已读的页数x（页）之间的关系 D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系 题型二 利用正比例函数的概念求字母的值 解题技巧提炼 根据正比例函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的表达是自变量的一次式，且不含常数项；（2）注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 1．（2024秋•无为市月考）若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　） A．a≠4且b≠0 B．a≠﹣4且b＝0 C．a＝4 且b＝0 D．a≠4且b＝0 2．（2024春•孝感期末）若函数y＝﹣2xm﹣2+n+1是正比例函数，则m+n（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 3．（2024秋•沙坪坝区校级期中）若函数y＝x|m|+（m+1）是正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 4．（2024春•平谷区期末）如果函数y＝（a+2）x|a+1|是正比例函数，那么（　　） A．a＝﹣2或a＝0 B．a＝﹣2 C．a＝0 D．a＝1 5．（2024秋•平顶山期中）若y＝（a﹣3）x+a2﹣9为正比例函数，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．9 6．（2024春•陵城区校级月考）函数y＝（m﹣n+1）x|n﹣1|+n﹣2是正比例函数，则m，n应满足的条件是（　　） A．m≠﹣1，且n＝0 B．m≠1，且n＝0 C．m≠﹣1，且n＝2 D．m≠1，且n＝2 7．（2024秋•无锡期末）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　 　． 8．（2024秋•市南区校级期末）若x，y是变量，且y＝（k﹣2）x|k﹣1|是正比例函数，则k值为　　． 9．（2024春•武冈市期末）若y＝（a﹣1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数，则a2025的值为 　 　． 10．（2024秋•临渭区期末）已知：函数y＝（b+2）且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求2a﹣b+c的平方根． 题型三 一次函数的概念 解题技巧提炼 判断函数式是否是一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx+b的结构特征：（1）k≠0；（2）自变量的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数. 1．下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A．y＝﹣3x+5 B．y＝﹣3x2 C．y D．y＝2 2．（2024春•海淀区校级期末）下列函数中，一次函数是（　　） A．y＝x B．y＝kx+b C．y D．y＝x2﹣2x 3．（2024秋•锦江区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A．|y| B．y＝2 C．y＝x+x2 D．y＝3（x﹣2） 4．（2024秋•宁明县期中）下列是y关于x的函数，其中是一次函数的为（　　） A．y＝2x2+4 B． C．y＝﹣2x+1 D．y＝kx+b 5．下列函数中，不是一次函数的是（　　） A．y＝﹣x+4 B．y C．y D．y 6．（2024秋•金安区校级期中）下列函数中，不是一次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x C．y D．y 7．列函数关系式：（1）y＝﹣x； （2）y＝2x+11； （3）y＝x2； （4），其中一次函数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024秋•蜀山区期中）函数①y＝5x；②y＝2x﹣1：③；④；⑤y＝x2﹣2x+1，是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 利用一次函数的定义求字母的值 解题技巧提炼 根据一次函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的表达式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；（2）注意隐含的条件：自变量（一次项）的系数不为0. 1．函数y＝（k2﹣1）x+3k是一次函数，则k的取值范围是（　　） A．k≠﹣1 B．k≠1 C．k≠±1 D．k为一切实数 2．已知y＝（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，则m的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．±2 3．（2024春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）4是关于x的一次函数，则m的值 是（　　） A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3 4．（2024秋•温江区校级期中）若y＝（m﹣2）x|m﹣1|+m﹣4为一次函数，则m＝　 ． 5．（2024春•北海期末）已知函数y＝（m﹣1）1是一次函数，则m＝　 ． 6．（2024秋•青山区校级期中）已知y＝（m﹣2）x|m|﹣1是关于x的一次函数，则m＝　 　． 7．（2024秋•市南区校级期中）若y＝（m﹣2）x|m﹣4|+m﹣4为一次函数，则m＝　 　． 8．已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 9．（2024秋•城关区校级期中）已知y＝（m﹣1）x2﹣|m|+n+4． （1）当m，n取何值时，y是x的一次函数？ （2）当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 题型五 由实际问题确定一次函数表达式 解题技巧提炼 结合题意根据实际问题中的数量关系式，找到题中的等量关系式，然后然后根据等量关系式代入相关的数据即可求出函数表达式. 1．（2024春•深圳期中）为了测试一种皮球的弹跳高度与下落高度之间的关系，通过试验得到下列一组数据（单位：厘米）： 下落高度 40 50 80 100 150 弹跳高度 20 25 40 50 75 在这个问题中，如果该皮球的下落高度为180厘米，估计相对应的弹跳高度为（　　） A．90厘米 B．85厘米 C．80厘米 D．100厘米 2．（2024春•广阳区校级期末）某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（　　） A．y＝7.6x（0≤x≤20） B．y＝7.6x+76（0≤x≤20） C．y＝7.6x+10（0≤x≤20） D．y＝7.6x+76（10≤x≤30） 3．（2024•南海区一模）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为x m，另一边长为y m，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　） A．y＝20x B．y＝40﹣2x C． D．y＝x（40﹣2x） 4．一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分（如图），与剩余木板的面积y（m2）与x（m）的关系式为（0≤x＜5）（　　） A．y＝2x B．y＝5x C．y＝10﹣2x D．y＝10﹣x 5．（2024春•裕华区校级期中）等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，则下列y与x的关系式及自变量x的取值范围中，正确的是（　　） A．y＝36﹣x（0＜x＜36） B．y＝36﹣x（O＜x＜18） C．y＝36﹣2x（0＜x＜18） D．y＝36﹣2x（9＜x＜18） 6．（2024春•兴宁市期末）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝　 （0≤t≤5）． 7．（2022秋•东至县期末）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 　 　． 8．（2024春•大东区期末）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是　 　． 9．（2024秋•吴江区月考）一个长为120米，宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x米，宽增加y米，则y与x的函数关系式是　 ，自变量的取值范围是　 　，且y是x的　 函数． 10．（2024春•启东市期末）图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的图形，按照如图（2）所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙． 则图形的总长度y与图形个数x之间的关系式为 　 ． 11．已知A，B两地相距200千米，一辆汽车以60千米/时的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后不再行驶．设汽车行驶的时间为x小时，汽车与B地的距离为y千米． （1）求y与x的关系式； （2）当汽车行驶了2小时，求汽车距B地有多远？ 12．（2024春•蒲城县期末）一辆汽车油箱内有油56升，在行驶过程中，油箱内剩油量（升）与行驶路程x（千米）满足关系式y＝56﹣0.08x． 用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．请将表格补充完整： 行驶路程x（千米） 100 200 300 400 油箱内剩油量y（升） a 40 b 24 （1）填空：a＝　 　，b＝　 　； （2）这辆汽车行驶350千米时，剩油量是多少？ （3）汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了多少千米？ 13．（2024春•福山区期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润＝票款收入﹣支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： x（人） … 200 250 300 350 400 … y（元） … ﹣200 ﹣100 0 100 200 … 根据表格中的数据，回答下列问题： （1）观察表中数据可知，当乘客量达到 　 人以上时，该公交车才不会亏损； （2）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝　 　； （3）当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？ 题型六 画正比例函数的图象 解题技巧提炼 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，因此可以用“两点法”画正比例函数的图象，所以经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 1．画出正比例函数y＝2x的图象． 2．（2024秋•未央区校级期中）请画出正比例函数y＝2x和yx的图象（写出作图过程）． 3．在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，yx，y＝﹣0.6x的图象． 4．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象． （1）yx； （2）y＝﹣3x． 5．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． （1）y＝5x；（2）yx． 6．（1）画出函数y＝﹣x的图象； （2）判断点A（，），B（0，0），C（，）是否在函数y＝﹣x的图象上． 7．已知函数为常数）是正比例函数且y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）作出函数的图象； （3）自变量x每增加1，y将作什么样的变化？自变量x每减少2，y将作什么样的变化？ 8．（2024秋•包河区期中）已知函数y＝2x﹣4． （1）填表，并画出这个函数的图象： x … 0 　 　 … y＝2x﹣4 … 　 　 0 … （2）根据函数y＝2x﹣4的性质或图象，直接写出x取何值时，﹣4≤y≤0． 题型七 画一次函数的图象 解题技巧提炼 一次函数的图象的画法是用“两点法”画：即经过两点（0，b）、（，0）作直线y＝kx+b． 1．（2023春•秀英区校级期中）如图，一次函数y＝2x﹣3的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•河北期末）一次函数y＝﹣2x﹣2的图象是（　　） A． B． C． D． 3．（2023春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象． （1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4． 4．在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1． 5．（2023春•盘山县期末）已知函数y＝﹣2x+4． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）求出这个函数的图象与x轴、y轴的交点的坐标． 6．（2023春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数． （1）求m的值； （2）在如图中画出该函数图象； （3）y的值随x的值的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”） 7．求作y＝x﹣2的图象． （1）写出与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （2）求三角形AOB的面积． 题型八 一次函数的图象上点的坐标特征 解题技巧提炼 一次函数解析式y＝kx+b（k≠0，且k, b为常数）的图象是一条直线，它与x轴 的交点坐标是（，0），与y轴的交点坐标是（0，b），直线上任意一点的坐 标都满足函数解析式y＝kx+b. 1．（2024•红桥区三模）若直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3），则该直线与x轴的交点坐标为 　 　． 2．（2024春•青秀区校级期中）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O1，正方形A2B2C2O1，…，正方形AnBn∁nOn，使得点A1，A2，A3…，在直线l上，点C1，C2，C3，…，在y轴正半轴上，则点B2023的坐标为 　 　． 3．（2024秋•庐阳区校级期末）如图．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A（1，1），那么A2023的纵坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•茂南区期末）已知，一次函数yx+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标； （2）画出该函数图象； （3）求AB的长． 5．点P（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点A坐标（3，0），设△OPA面积为S． （1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围； （2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图象； （3）当△OPA面积是5时，求点P的坐标． 7．如图，等边△OAB边长为4，过点A的直线yx+m与x轴交于点E． （1）求点A、E的坐标及m的值； （2）求证：OA⊥AE． 8．（2024秋•宁波期末）已知一次函数y＝﹣x+5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B． （1）求点A，B的坐标； （2）若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标． 9．（2024春•柘城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （华东师大版）八年级下册数学《第17章 函数及其图象》 17.3（1）一次函数&一次函数的图象 知识点一 一次函数的概念 ◆一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【注意】①由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其表达式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数表达式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． ◆正比例函数的概念： 特别地，当b=0时， y＝k x (k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数. （1）正比例函数是一种特殊的一次函数． （2）正比例函数反应的是两个变量之间的关系，是正比例关系. 【注意】判断一个函数是正比例函数：（1）所给等式是形如y＝k x的等式，自变量的指数只能是1. （2）比例系数k是常数，且k≠0，必须同时满足这两个条件的才是正比例函数. 知识点二 正比例函数的图象 ◆正比例函数的图象： 正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线. 知识点三 一次函数的图象 ◆1、一次函数的图象：一次函数 y＝k x+b（k≠0）的图象是经过（0，b）、（，0）两点的一条直线， 我们称它为直线y＝k x+b（k≠0）. ◆2、一次函数图象的画法： 两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b． 【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． 题型一 正比例函数的概念 解题技巧提炼 正比例函数的定义：一般地，形如y＝k x（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从表达式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 1．（2024秋•黄浦区期末）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2（x﹣1） B． C． D． 【分析】形如y＝kx（k为常数且k≠0）的函数叫做正比例函数，由此判断即可． 【解答】解：A、y＝2（x﹣1）＝2x﹣2，是一次函数，不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、是反比例函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项不符合题意； D、是正比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正比例函数，熟知其定义是解题的关键． 2．（2024秋•清新区期中）下列函数中，是正比例函数的为（　　） A． B． C．y＝﹣2x﹣1 D．y＝x2+1 【分析】根据正比例函数的定义，y＝kx（k≠0），对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、y是正比例函数，故本选项正确，符合题意； B、y，分母上含有未知数，不是正比例函数，故本选项错误，不符合题意； C、y＝2x﹣1，是一次函数，不是正比例函数，故本选项错误，不符合题意． D、y＝x2+1，自变量x的指数是2，不是1，不是正比例函数，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 3．（2024秋•竞秀区期中）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2x B． C． D．y＝2x2 【分析】直接根据正比例函数的定义进行逐项判断即可得到答案． 【解答】解：A．y＝2x，是正比例函数，故该选项正确，符合题意； B.，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意； C.，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意； D．y＝2x2，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数，熟练掌握该定义是解题的关键． 4．（2024春•朝阳区校级期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A．正方形的面积S随边长x的变化而变化 B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D．水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：min）的变化而变化 【分析】先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，进行判断即可． 【解答】解：A、S＝x2是二次函数， 故此选项不符合题意； B、h是反比例函数， 故此选项不符合题意； C、C＝4x是正比例函数， 故此选项符合题意； D、设水箱有水x L，则V＝x﹣0.5t，不是正比例函数， 故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 5．（2024春•长安区校级期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y；③y；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正比例函数的定义：形如y＝kx（k为常数且k≠0），逐一判断即可解答． 【解答】解：已知函数：①y＝2x﹣1；②y；③y；④y＝2x2， 其中属于正比例函数的有：②，只有1个， 故选：A． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 6．（2024秋•榆次区期中）下列各选项中，两个变量y与x之间的关系是正比例函数关系的是（　　） A．直角三角形中一个锐角的度数y（度）与另一个锐角的度数x（度）之间的关系 B．正方体的表面积y（cm2）与它的棱长x（cm）之间的关系 C．小红阅读一本420页的名著，未读的页数y（页）与已读的页数x（页）之间的关系 D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系 【分析】分别根据直角三角形的性质、正方体的表面积公式、路程与速度列出y与x的函数关系式，再根据正比例函数的定义逐项判断即可得． 【解答】解：A、y＝90﹣x，不是正比例函数关系，此项不符合题意； B、y＝6x2，不是正比例函数关系，此项不符合题意； C、y＝420﹣x，不是正比例函数关系，此项不符合题意； D、y＝60x，是正比例函数关系，此项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正比例函数的定义“一般地，形如y＝kx（k是常数，且k≠0）的函数，叫做正比例函数”，熟记正比例函数的定义是解题关键． 题型二 利用正比例函数的概念求字母的值 解题技巧提炼 根据正比例函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的表达是自变量的一次式，且不含常数项；（2）注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 1．（2024秋•无为市月考）若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　） A．a≠4且b≠0 B．a≠﹣4且b＝0 C．a＝4 且b＝0 D．a≠4且b＝0 【分析】根据正比例函数的定义，即可得出关于a的一元一次不等式及b＝0，解之即可得出结论． 【解答】解：∵y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数， ∴， 解得：a≠4且b＝0． 故选：D． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，牢记正比例函数的定义是解题的关键． 2．（2024春•孝感期末）若函数y＝﹣2xm﹣2+n+1是正比例函数，则m+n（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 【分析】根据正比例函数的定义：形如y＝kx（k为常数且k≠0），可得m﹣2＝1，n+1＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： m﹣2＝1，n+1＝0， ∴m＝3，n＝﹣1， ∴m+n＝3﹣1＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 3．（2024秋•沙坪坝区校级期中）若函数y＝x|m|+（m+1）是正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可． 【解答】解：∵函数y＝x|m|+（m+1）是正比例函数， ∴， 解得m＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，根据题意得出关于m的方程组是解题的关键． 4．（2024春•平谷区期末）如果函数y＝（a+2）x|a+1|是正比例函数，那么（　　） A．a＝﹣2或a＝0 B．a＝﹣2 C．a＝0 D．a＝1 【分析】根据正比例函数定义可得|a+1|＝1且a+2≠0，再解即可． 【解答】解：∵函数y＝（a+2）x|a+1|是正比例函数， ∴|a+1|＝1且a+2≠0， 解得：a＝0， 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数的概念，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 5．（2024秋•平顶山期中）若y＝（a﹣3）x+a2﹣9为正比例函数，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．9 【分析】根据正比例函数y＝kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，即可列出有关a的方程，求出a值． 【解答】解：根据正比例函数的定义：a2﹣9＝0， 解得：a＝±3， 又a≠3， 故a＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握． 6．（2024春•陵城区校级月考）函数y＝（m﹣n+1）x|n﹣1|+n﹣2是正比例函数，则m，n应满足的条件是（　　） A．m≠﹣1，且n＝0 B．m≠1，且n＝0 C．m≠﹣1，且n＝2 D．m≠1，且n＝2 【分析】根据正比例函数的定义（形如y＝kx的函数是正比例函数，其中k为常数且k≠0）解决此题． 【解答】解：由题意得，m﹣n+1≠0、n﹣2＝0且|n﹣1|＝1． ∴n＝2． ∴m≠1． 故选：D． 【点评】本题主要考查正比例的函数，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键． 7．（2024秋•无锡期末）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　 　． 【分析】由正比例函数的定义可得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0． 【解答】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 8．（2024秋•市南区校级期末）若x，y是变量，且y＝（k﹣2）x|k﹣1|是正比例函数，则k值为　　． 【分析】根据正比例函数的定义，可得：k﹣2≠0，|k﹣1|＝1，从而求出k值． 【解答】解：∵根据正比例函数的定义，可得：k﹣2≠0，|k﹣1|＝1， ∴k＝0． 【点评】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是理解正比例函数的定义，属于中考常考题型． 9．（2024春•武冈市期末）若y＝（a﹣1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数，则a2025的值为 　 　． 【分析】利用正比例函数的定义分析得出a，再代入计算即可求解． 【解答】解：∵y＝（a﹣1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数， ∴a2﹣1＝0且a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1， ∴a2025＝（﹣1）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键． 10．（2024秋•临渭区期末）已知：函数y＝（b+2）且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求2a﹣b+c的平方根． 【分析】（1）根据正比例函数的定义、立方根、估算无理数的大小确定a、b、c的值； （2）把（1）中a，b，c的值代入计算求得2a﹣b+c，进而即可求得2a﹣b+c的平方根． 【解答】解：（1）∵函数y＝（b+2）x且y是x的是正比例函数， ∴， ∴b＝2， ∵5a+4的立方根是4， ∴5a+4＝43， ∴a＝12， ∵c是的整数部分， ∴c＝3； （2）2a﹣b+c＝2×12﹣2+3＝25，则2a﹣b+c的平方根为±5． 【点评】本题考查正比例函数、立方根、估算无理数的大小，掌握正比例函数的定义、立方根的意义是正确解答的前提，确定a、b、c的值是正确解答的关键． 题型三 一次函数的概念 解题技巧提炼 判断函数式是否是一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx+b的结构特征：（1）k≠0；（2）自变量的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数. 1．下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A．y＝﹣3x+5 B．y＝﹣3x2 C．y D．y＝2 【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【解答】解：A、是一次函数； B、自变量次数不为1，故不是一次函数； C、自变量次数不为1，故不是一次函数； D、自变量次数不为1，故不是一次函数． 故选：A． 【点评】解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 2．（2024春•海淀区校级期末）下列函数中，一次函数是（　　） A．y＝x B．y＝kx+b C．y D．y＝x2﹣2x 【分析】根据一次函数定义进行解答即可． 【解答】解：A、是一次函数，故此选项符合题意； B、当k≠0时，y＝kx+b是一次函数，故此选项不符合题意； C、y不是一次函数，故此选项不符合题意； D、y＝x2﹣2x是二次函数，不是一次函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 3．（2024秋•锦江区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A．|y| B．y＝2 C．y＝x+x2 D．y＝3（x﹣2） 【分析】利用一次函数的定义“一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数”，逐一分析四个选项的函数，即可得出结论． 【解答】解：A．|y|，不是一次函数，选项A不符合题意； B．y＝2，不是一次函数，选项B不符合题意； C．y＝x+x2，不是一次函数，选项C不符合题意； D．y＝3（x﹣2），是一次函数，选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 4．（2024秋•宁明县期中）下列是y关于x的函数，其中是一次函数的为（　　） A．y＝2x2+4 B． C．y＝﹣2x+1 D．y＝kx+b 【分析】根据一次函数的定义及表达式逐一判定即可求解． 【解答】解：A选项，y＝2x2+4是y关于x的二次函数，不符合题意； B选项，，y不是x的一次函数，不符合题意； C选项，y＝﹣2x+1是y关于x的一次函数，符合题意； D选项，y＝kx+b中k的值不确定，不能判定，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义及表达式是解题的关键． 5．下列函数中，不是一次函数的是（　　） A．y＝﹣x+4 B．y C．y D．y 【分析】直接根据一次函数的定义进行判断． 【解答】解：y＝﹣x+4，yx，y3x都是一次函数，而y为反比例函数． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数叫做一次函数． 6．（2024秋•金安区校级期中）下列函数中，不是一次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x C．y D．y 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【解答】解：A、函数y＝2x+1是一次函数，不符合题意； B、函数y＝2x是一次函数，不符合题意； C、函数y不是一次函数，符合题意； D、函数y是一次函数，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键． 7．列函数关系式：（1）y＝﹣x； （2）y＝2x+11； （3）y＝x2； （4），其中一次函数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【解答】解：（1）y＝﹣x是正比例函数，是特殊的一次函数，故正确； （2）y＝2x+11符合一次函数的定义，故正确； （3）y＝x2属于二次函数，故错误； （4）属于反比例函数，故错误． 综上所述，一次函数的个数是2个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 8．（2024秋•蜀山区期中）函数①y＝5x；②y＝2x﹣1：③；④；⑤y＝x2﹣2x+1，是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直接利用一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，进而判断得出答案． 【解答】解：①y＝5x；②y＝2x﹣1：③；④；⑤y＝x2﹣2x+1，其中，是一次函数的有：①y＝5x；②y＝﹣2x﹣1；④共3个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键． 题型四 利用一次函数的定义求字母的值 解题技巧提炼 根据一次函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的表达式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；（2）注意隐含的条件：自变量（一次项）的系数不为0. 1．函数y＝（k2﹣1）x+3k是一次函数，则k的取值范围是（　　） A．k≠﹣1 B．k≠1 C．k≠±1 D．k为一切实数 【分析】根据一次函数定义可得k2﹣1≠0，再解不等式即可． 【解答】解：由题意得：k2﹣1≠0， 解得：k≠±1， 故选：C． 【点评】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 2．已知y＝（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，则m的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．±2 【分析】根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案． 【解答】解；由y＝（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，得 ， 由|m|﹣2＝1得出m＝3或﹣3，而由m﹣3≠0得出m≠3，两者必须同时成立，所以m＝﹣3 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1 3．（2024春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）4是关于x的一次函数，则m的值 是（　　） A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3 【分析】根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m﹣3≠0，再求出m即可． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）4是关于x的一次函数， ∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m+3≠0是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数． 4．（2024秋•温江区校级期中）若y＝（m﹣2）x|m﹣1|+m﹣4为一次函数，则m＝　 ． 【分析】利用一次函数的定义可得，求解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴m＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 5．（2024春•北海期末）已知函数y＝（m﹣1）1是一次函数，则m＝　 ． 【分析】根据一次函数的定义，令m2＝1，m﹣1≠0即可解答． 【解答】若两个变量x和y间的关系式可以表示成y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式， 则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）． 因而有m2＝1， 解得：m＝±1， 又m﹣1≠0， ∴m＝﹣1． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 6．（2024秋•青山区校级期中）已知y＝（m﹣2）x|m|﹣1是关于x的一次函数，则m＝　 　． 【分析】由定义可得m﹣2≠0，|m|﹣1＝1，从而可得答案． 【解答】解：由条件可知m﹣2≠0，|m|﹣1＝1， 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟记定义是解本题的关键． 7．（2024秋•市南区校级期中）若y＝（m﹣2）x|m﹣4|+m﹣4为一次函数，则m＝　 　． 【分析】形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此解答即可． 【解答】解：若y＝（m﹣2）x|m﹣4|+m﹣4为一次函数， 则|m﹣4|＝1且m﹣2≠0， ∴m﹣4＝±1， ∴m＝5或m＝3， 故答案为：5或3． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟知其定义是解题的关键． 8．已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得 ， 解得m＝﹣2． 故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数； （2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x， 故当x时，y的值为3． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 9．（2024秋•城关区校级期中）已知y＝（m﹣1）x2﹣|m|+n+4． （1）当m，n取何值时，y是x的一次函数？ （2）当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 【分析】（1）根据一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，据此求解即可； （2）根据正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，据此求解即可． 【解答】解：（1）根据一次函数的定义，得：2﹣|m|＝1， 解得m＝±1， 又∵m﹣1≠0，即m≠1， ∴当m＝﹣1，n为任意实数时，这个函数是一次函数； （2）根据正比例函数的定义，得：2﹣|m|＝1，n+4＝0， 解得m＝±1，n＝﹣4， 又∵m﹣1≠0即m≠1， ∴当m＝﹣1，n＝﹣4时，这个函数是正比例函数． 【点评】本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，比较简单．一次函数解析式y＝kx+b的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．正比例函数y＝kx的解析式中，比例系数k是常数，k≠0，自变量的次数为1． 题型五 由实际问题确定一次函数表达式 解题技巧提炼 结合题意根据实际问题中的数量关系式，找到题中的等量关系式，然后然后根据等量关系式代入相关的数据即可求出函数表达式. 1．（2024春•深圳期中）为了测试一种皮球的弹跳高度与下落高度之间的关系，通过试验得到下列一组数据（单位：厘米）： 下落高度 40 50 80 100 150 弹跳高度 20 25 40 50 75 在这个问题中，如果该皮球的下落高度为180厘米，估计相对应的弹跳高度为（　　） A．90厘米 B．85厘米 C．80厘米 D．100厘米 【分析】设弹跳高度为y（cm），下落高度为x（cm），根据题意和表格数据，可以得出yx，进而求解即可． 【解答】解：设弹跳高度为y（cm），下落高度为x（cm）， 由表格数据可知，弹跳高度是下落高度的一半，即yx， ∴当x＝180时，y＝90． 故选：A． 【点评】本题考查根据实际问题列一次函数的解析式，根据题意和表格数据得出正比例函数解析式是解题的关键． 2．（2024春•广阳区校级期末）某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（　　） A．y＝7.6x（0≤x≤20） B．y＝7.6x+76（0≤x≤20） C．y＝7.6x+10（0≤x≤20） D．y＝7.6x+76（10≤x≤30） 【分析】根据油箱内汽油的总价＝（原有汽油+加的汽油）×单价． 【解答】解：依题意有y＝（10+x）×7.6＝7.6x+76，10≤汽油总量≤30， 则0≤x≤20． 故选：B． 【点评】考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意加的汽油的取值范围． 3．（2024•南海区一模）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为x m，另一边长为y m，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　） A．y＝20x B．y＝40﹣2x C． D．y＝x（40﹣2x） 【分析】由木栏的总长，可得出2x+y＝40，变形后，即可得出结论． 【解答】解：∵木栏总长为40m， ∴2x+y＝40， ∴y＝40﹣2x． 故选：B． 【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x满足的函数关系是解题的关键． 4．一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分（如图），与剩余木板的面积y（m2）与x（m）的关系式为（0≤x＜5）（　　） A．y＝2x B．y＝5x C．y＝10﹣2x D．y＝10﹣x 【分析】根据剩余木板的面积＝原长方形的面积﹣截去的面积． 【解答】解：依题意有：y＝2×5﹣2x＝10﹣2x． 故选：C． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 5．（2024春•裕华区校级期中）等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，则下列y与x的关系式及自变量x的取值范围中，正确的是（　　） A．y＝36﹣x（0＜x＜36） B．y＝36﹣x（O＜x＜18） C．y＝36﹣2x（0＜x＜18） D．y＝36﹣2x（9＜x＜18） 【分析】根据：底边长+两腰长＝周长，建立等量关系，变形可得y与x的关系式，根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围． 【解答】解：由题意得，2x+y＝36， 则y＝36﹣2x， 根据三角形的三边关系可得：， 解得：9＜x＜18． 综上可得：y＝36﹣2x（9＜x＜18）． 故选：D． 【点评】本题考查了根据实际问题抽象一次函数关系式，解答本题的关键是根据等腰三角形的周长表达式得出等式，熟练掌握三角形的三边关系． 6．（2024春•兴宁市期末）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝　 （0≤t≤5）． 【分析】蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米，则t小时燃掉4t厘米，已知蜡烛的总高度，即可表达出剩余的高度． 【解答】解：∵蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米， ∴t小时燃掉4t厘米， 由题意知：h＝20﹣4t． 【点评】根据实际问题列一次函数关系式，与根据实际问题列方程解应用题具有共性，即都需要确定等量关系，不同点是函数关系是两个变量，而方程一般是一个未知数． 7．（2022秋•东至县期末）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 　 　． 【分析】根据乘车费用＝起步价+超过3千米的付费得出． 【解答】解：依题意有：y＝14+2.4（x﹣3）＝2.4x+6.8． 故答案为：y＝2.4x+6.8． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题乘车费用＝起步价+超过3千米的付费． 8．（2024春•大东区期末）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是　 　． 【分析】每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升＝5毫升，则x分钟可滴5x毫升，据此即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝100×0.05x， 即y＝5x． 故答案为：y＝5x． 【点评】本题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确表示出一分钟滴的水的体积是解题的关键． 9．（2024秋•吴江区月考）一个长为120米，宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x米，宽增加y米，则y与x的函数关系式是　 ，自变量的取值范围是　 　，且y是x的　 函数． 【分析】正方形的边长相等，所以等量关系为：原长+x＝原宽+y． 【解答】解：依题意有120+x＝100+y， 则y＝x+20， x不能是负数，∴x≥0， 符合一次函数的一般形式． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值范围．一次函数的一般形式为y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）． 10．（2024春•启东市期末）图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的图形，按照如图（2）所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙． 则图形的总长度y与图形个数x之间的关系式为 　 ． 【分析】观察图形可得用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：10+6（x﹣1），根据规律即可求解． 【解答】解：观察图形可知： 当两个图拼接时，总长度为：10+6＝16； 当三个图拼接时，总长度为：10+2×6； 以此类推，可知：用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：10+6（x﹣1）＝6x+4， ∴y与x的关系式为y＝6x+4． 故答案为：y＝6x+4． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据图形的拼接规律得出y与x的关系式是解题的关键． 11．已知A，B两地相距200千米，一辆汽车以60千米/时的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后不再行驶．设汽车行驶的时间为x小时，汽车与B地的距离为y千米． （1）求y与x的关系式； （2）当汽车行驶了2小时，求汽车距B地有多远？ 【分析】（1）根据剩余的路程＝两地的距离﹣行驶的距离即可得到y与x的函数关系式； （2）将x＝2代入函数关系式，求得y值即可． 【解答】解：（1）根据题意，得 y＝200﹣60x（0≤x）． （2）将x＝2代入函数关系式得： y＝200﹣60×2＝80千米． 答：汽车距离B地80千米． 【点评】本题主要考查的是列函数关系式，读懂题意，明确剩余的路程＝两地的距离﹣行驶的距离是解答本题的关键． 12．（2024春•蒲城县期末）一辆汽车油箱内有油56升，在行驶过程中，油箱内剩油量（升）与行驶路程x（千米）满足关系式y＝56﹣0.08x． 用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．请将表格补充完整： 行驶路程x（千米） 100 200 300 400 油箱内剩油量y（升） a 40 b 24 （1）填空：a＝　 　，b＝　 　； （2）这辆汽车行驶350千米时，剩油量是多少？ （3）汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了多少千米？ 【分析】（1）将x＝100和x＝300分别代入该函数解析式进行计算求解； （2）将x＝350分别代入该函数解析式进行计算求解； （3）将y＝8代入该函数解析式进行计算求解． 【解答】解：（1）由题意得，当x＝100时， a＝56﹣0.08×100＝56﹣6＝48， 当x＝300时， b＝56﹣0.08×300＝56﹣24＝32， 故答案为：48，32； （2）当x＝350时， y＝56﹣0.08×350 ＝56﹣28 ＝28（升）， 答：这辆汽车行驶350千米时，剩油量是28升； （3）当y＝8时，得56﹣0.08x＝8， 解得x＝600， 答：汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了600千米． 【点评】此题考查了利用一次函数解决实际问题的能力，关键是能建立函数模型并能运用该模型解决实际问题． 13．（2024春•福山区期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润＝票款收入﹣支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： x（人） … 200 250 300 350 400 … y（元） … ﹣200 ﹣100 0 100 200 … 根据表格中的数据，回答下列问题： （1）观察表中数据可知，当乘客量达到 　 人以上时，该公交车才不会亏损； （2）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝　 　； （3）当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？ 【分析】（1）由表中数据可知，当x＝300时，y＝0，当x＞300时，y＞0，进行解答即可； （2）由表中数据可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，每增加50人，利润就增加100元，然后列出关系式即可解答； （3）把y＝1000代入（2）中的关系式进行计算即可解答． 【解答】解：（1）观察表中数据可知，当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损， 故答案为：300； （2）由题意得： y＝0100＝2x﹣600， ∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝2x﹣600， 故答案为：2x﹣600； （3）把y＝1000代入y＝2x﹣600中可得： 2x﹣600＝1000， 解得：x＝800， 答：当乘车人数为800人时，利润为1000元． 【点评】本题考查了函数关系式，正数和负数，根据表中的数据进行分析计算是解题的关键． 题型六 画正比例函数的图象 解题技巧提炼 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，因此可以用“两点法”画正比例函数的图象，所以经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 1．画出正比例函数y＝2x的图象． 【分析】根据直线的解析式知其图象过原点，再令x＝1求出y的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象． 【解答】解：如图所示： ． 【点评】本题考查了正比例函数的图象，解答此题的关键找出该直线上任意两点的坐标． 2．（2024秋•未央区校级期中）请画出正比例函数y＝2x和yx的图象（写出作图过程）． 【分析】根据两个函数的解析式，分别求出当x＝0和x＝2时，y的值，再过两点画直线即可得． 【解答】解：对于正比例函数y＝2x， 当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝2×2＝4， 即函数y＝2x的图象经过点（0，0）和（2，4），过这两点作直线即为此函数的图象． 对于正比例函数， 当x＝0时，y＝0；当x＝2时，， 即函数的图象经过点（0，0）和（2，1），过这两点作直线即为此函数的图象． 画出这两个函数的图象如下： 【点评】本题考查了画正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数图象的画法是解题关键． 3．在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，yx，y＝﹣0.6x的图象． 【分析】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答即可． 【解答】解： x 0 1 y＝2x 0 2 yx 0 y＝﹣0.6x 0 ﹣0.6 【点评】本题考查了画函数的图象，考查的是用描点法画函数的图象，解答此题的关键是描出各点，画出函数图象，再根据函数图象找出规律． 4．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象． （1）yx； （2）y＝﹣3x． 【分析】根据正比例函数图象的性质可得出它们所经过的两点：原点和（1，k），画图象即可． 【解答】解：采用两点法，并且取各点的坐标值为整数最简单． （1）该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线． 当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝3，则该直线经过点（0，0），（2，3）． 其图象如图所示． （2）该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线． 当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝﹣3，则该直线经过点（0，0），（1，﹣3）． 其图象如图所示． 【点评】本题考查了正比例函数的图象，正比例函数的图象一定过（0，0），（1，k）． 5．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． （1）y＝5x；（2）yx． 【分析】经过（0，0）和（1，k）作出正比例函数y＝kx的图象即可． 【解答】解：（1）y＝5x的图象经过（0，0）和（1，5）， 图象为： （2）正比例函数yx的图象经过（0，0）和（1，），其图象为： 【点评】本题考查了正比例函数的图象的知识，了解正比例函数的图象所经过的点是解答本题的关键． 6．（1）画出函数y＝﹣x的图象； （2）判断点A（，），B（0，0），C（，）是否在函数y＝﹣x的图象上． 【分析】（1）画出函数图象即可； （2）把各点坐标代入解析式判断即可． 【解答】解：（1）图象如图： （2）把x代入y＝﹣x，所以A在图象上； 把x＝0代入y＝﹣x＝0，所以B在图象上； 把x代入y＝﹣x，所以C在图象上． 【点评】此题考查正比例函数问题，关键是把各点坐标代入解析式判断． 7．已知函数为常数）是正比例函数且y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）作出函数的图象； （3）自变量x每增加1，y将作什么样的变化？自变量x每减少2，y将作什么样的变化？ 【分析】（1）根据此函数为正比例函数且正比例函数y随x的增大而增大，可得出k2﹣3＝1以及k0，即可求出答案； （2）利用描点法作图即可； （3）可令x分别等于a，a+1和a，a﹣2，求出相应的函数值，再求差即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意得k2﹣3＝1且k0， 解得k＝2； （2）∵k＝2， ∴yx， ∵图象过点（0，0）和（2，5）， ∴函数图象如图： （3）令x＝a，则ya， 令x＝a+1，则y（a+1）a， ∵aa， ∴当自变量x增加1时，y增加； 令x＝a，则ya， 令x＝a﹣2，则y（a﹣2）a﹣5， ∵a﹣5a＝﹣5， ∴当自变量x每减少2，y减小5． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，函数的图象，熟知正比函数的图象与系数的关系是解题的关键． 8．（2024秋•包河区期中）已知函数y＝2x﹣4． （1）填表，并画出这个函数的图象： x … 0 　 　 … y＝2x﹣4 … 　 　 0 … （2）根据函数y＝2x﹣4的性质或图象，直接写出x取何值时，﹣4≤y≤0． 【分析】（1）分别将x＝0，y＝0代入解析式求解，根据直线与坐标轴交点作图； （2）由图象在x轴上方时x的取值范围求解． 【解答】解：（1）如图， x … 0 2 … y＝2x﹣4 … ﹣4 0 … 图象如图： （2）由图象可得，当﹣4≤y≤0时，x的取值范围为0≤x≤2． 【点评】本题考查一次函数的图象和性质，解题关键是掌握一次函数图象以及一次函数与方程及不等式的关系． 题型七 画一次函数的图象 解题技巧提炼 一次函数的图象的画法是用“两点法”画：即经过两点（0，b）、（，0）作直线y＝kx+b． 1．（2023春•秀英区校级期中）如图，一次函数y＝2x﹣3的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3中，k＝2＞0，b＝﹣3＜0， ∴此函数的图象经过一、三、四象限． 故选：B． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 2．（2024春•河北期末）一次函数y＝﹣2x﹣2的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据k、b的值和一次函数的性质可以得到函数y＝﹣2x﹣2的图象经过哪几个象限，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0，b＝﹣2＜0， ∴函数y＝﹣2x﹣2的图象经过第二、三、四象限． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，写出该函数图象经过哪几个象限． 3．（2023春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象． （1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4． 【分析】首先根据一次函数解析式计算出两个函数y＝﹣3x+4和y＝3x+4的图象分别经过的两点的坐标，再画出图象即可． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0+4＝4， 当y＝﹣2时，x＝2， 因此一次函数y＝﹣3x+4的图象经过（2，﹣2）和（0，4）； （2）当x＝0时，y＝0+4＝4， 当y＝﹣2时，x＝﹣2， 因此一次函数y＝3x+4的图象经过（﹣2，﹣2）和（0，4）； 如图所示： 【点评】此题主要考查了一次函数的图象，关键是正确掌握计算两函数图象所经过的点坐标的方法． 4．在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1． 【分析】先作得直线y＝﹣2x，再通过平移得到直线y＝﹣2x+3； 先作得直线y＝2x，再通过平移得到直线y＝2x﹣1． 【解答】解：方法一：作直线y＝﹣2x． 当x＝0时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（﹣1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示． 将直线y＝﹣2x向上平移3个单位得到直线y＝﹣2x+3； 作直线y＝2x． 当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示． 将直线y＝2x向下平移1个单位得到直线y＝2x﹣1． 方法二：作直线y＝﹣2x+3． 当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，3），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示． 作直线y＝2x﹣1． 当x＝0时，y＝﹣1；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，﹣1），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示． 【点评】本题考查了一次函数图象和正比例函数图象．掌握直线的平移规律（“上加下减、左加右减”）是解题的技巧所在． 5．（2023春•盘山县期末）已知函数y＝﹣2x+4． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）求出这个函数的图象与x轴、y轴的交点的坐标． 【分析】（1）根据描点法画出图象即可； （2）将x＝0，代入y＝﹣2x+4，求出y的值，即得出这个函数的图象与y轴的交点；将y＝0，代入y＝﹣2x+4，求出x的值，即得出这个函数的图象与x轴的交点； 【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣2+4＝2， 当x＝2时，y＝﹣2×2+4＝0． ∴画出这个函数的图象如下： （2）当x＝0时，y＝4， ∴这个函数的图象与y轴的交点为（0，4）； 当y＝0时，即0＝﹣2x+4， 解得：x＝2， ∴这个函数的图象与x轴的交点为（2，0）． 【点评】本题考查画一次函数图象，求一次函数图象与坐标轴的交点．注意一次函数图象是一条直线是解题关键． 6．（2023春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数． （1）求m的值； （2）在如图中画出该函数图象； （3）y的值随x的值的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”） 【分析】（1）根据一次函数的定义，可得答案； （2）找出与x轴、y轴交点坐标，连线即可； （3）根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数，得 ， 解得m＝0， 函数解析式为y＝﹣2x+4， （2）∵y＝﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝0， 过（0，4）和（2，0）画一条直线即可， 〇 （3）∵k＝﹣2， ∴y的值随x的值的增大而减小， 故答案为：减小． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 7．求作y＝x﹣2的图象． （1）写出与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （2）求三角形AOB的面积． 【分析】（1）分别令y＝0和x＝0，即可找到A、B两点的坐标． （2）由图象易知△AOB为直角三角形，找到OA、OB的值即可计算出其面积． 【解答】解：y＝x﹣2图象如下图所示： （1）当x＝0，则y＝﹣2；当y＝0，则x＝2； 故A（2，0）、B（0，﹣2）， （2）由图象可知： △AOB为直角三角形，其中OA＝OB＝2， ∴S△AOB2． 【点评】本题考查一次函数的图象特点，熟练一次函数性质以及数形结合是解决本题的关键． 题型八 一次函数的图象上点的坐标特征 解题技巧提炼 一次函数解析式y＝kx+b（k≠0，且k, b为常数）的图象是一条直线，它与x轴 的交点坐标是（，0），与y轴的交点坐标是（0，b），直线上任意一点的坐 标都满足函数解析式y＝kx+b. 1．（2024•红桥区三模）若直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3），则该直线与x轴的交点坐标为 　 　． 【分析】根据直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3），可以求得k的值，然后令y＝0求出x的值即可． 【解答】解：∵直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3）， ∴2k+1＝3， 解得k＝1， ∴y＝x+1， 当y＝0时，x＝﹣1， 即该直线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）， 故答案为：（﹣1，0）． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出k的值． 2．（2024春•青秀区校级期中）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O1，正方形A2B2C2O1，…，正方形AnBn∁nOn，使得点A1，A2，A3…，在直线l上，点C1，C2，C3，…，在y轴正半轴上，则点B2023的坐标为 　 　． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5、…及B2、B3、B4、B5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）”，依此规律代入n＝2023即可得出点B2023的坐标． 【解答】解：当y＝0时，有x﹣1＝0， 解得：x＝1， ∴点A1的坐标为（1，0）． ∵四边形A1B1C1O为正方形， ∴点B1的坐标为（1，1）． 同理，可得出：A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），…， ∴B2（2，3），B3（4，7），B4（8，15），B5（16，31），…， ∴Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）， ∴点B2023的坐标是（22022，22023﹣1）． 故答案为：（22022，22023﹣1）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）”是解题的关键． 3．（2024秋•庐阳区校级期末）如图．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A（1，1），那么A2023的纵坐标是（　　） A． B． C． D． 【分析】设点A2，A3，A4…，A2023坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题． 【解答】解：如图， ∵A1（1，1）在直线上， ∴b， ∴yx， 设A2（x2，y2），A3（x3，y3），A4（x4，y4），…，A2022（x2022，y2022）， 则有y2x2， y3x3， … y2021x2021， 又∵△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形， ∴x2＝2y1+y2， x3＝2y1+2y2+y3， … x2023＝2y1+2y2+2y3+…+2y2022+y2023， 将点坐标依次代入直线解析式得到： y2y1+1， y3y1y2+1y2， y4y3， … y2022y2021， 又∵y1＝1， ∴y2， y3＝（）2， y4＝（）3， … y2023＝（）2022， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键． 4．（2024秋•茂南区期末）已知，一次函数yx+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标； （2）画出该函数图象； （3）求AB的长． 【分析】（1）分别令y＝0，x＝0求解即可； （2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可； （3）根据勾股定理求解． 【解答】解：（1）令y＝0，则x＝6， 令x＝0，则y＝3， ∴点A的坐标为（6，0）， 点B的坐标为（0，3）； （2）如图： （3）∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）， ∴OA＝6，OB＝3， 在Rt△ABC中，AB3． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键． 5．点P（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点A坐标（3，0），设△OPA面积为S． （1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围； （2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图象； （3）当△OPA面积是5时，求点P的坐标． 【分析】（1）根据题得出OA＝3，点P的纵坐标为y＝4﹣x，然后根据三角形面积公式得到S与x的关系，然后利用x＞0，y＞0确定x的范围； （2）利用两点法画出函数图象即可； （3）把S＝5代入解析式即可求得点P的横坐标，进而求得纵坐标． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（3，0）． ∴OA＝3， ∵x+y＝4， ∴y＝4﹣x， ∴S3×y（4﹣x）， 即Sx+6 （0＜x＜4）； （2）画出函数S的图象如图： （3）∵△OPA面积是5， x+6＝5， 解得x， ∴y＝4， ∴点P的坐标为． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 7．如图，等边△OAB边长为4，过点A的直线yx+m与x轴交于点E． （1）求点A、E的坐标及m的值； （2）求证：OA⊥AE． 【分析】（1）根据题意和图形，可以求得点A、点E的坐标和m的值； （2）根据（1）中的结果，可以求得OA、AE、OE的长，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【解答】解：（1）作AD⊥x轴于点D， ∵等边△OAB边长为4， ∴OB＝4， ∴OD＝BD＝2， ∴AD， ∴点A（2，2）， ∵点A在直线yx+m上， ∴， 解得，m， ∴yx， 当y＝0时，x＝8， ∴点E（8，0）， 即点A（2，2），点E（8，0），m； （2）证明：∵点D（2，0），点E（8，0）， ∴OD＝2，OE＝8， ∴DE＝OE﹣OD＝6， ∵AD＝2， ∴AE， ∵OA＝4，OE＝8， ∴，OE2＝82＝64， ∴OA2+AE2＝OE2， ∴△OAE是直角三角形，∠OAE＝90°， ∴OA⊥AE． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 8．（2024秋•宁波期末）已知一次函数y＝﹣x+5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B． （1）求点A，B的坐标； （2）若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标． 【分析】（1）根据直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，即可求点A、B的坐标； （2）根据△ABC是等腰三角形，分三种情况求点C的坐标即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B， 当y＝0时，x＝5，当x＝0时，y＝5， ∴点A，B的坐标为A（5，0）和B（0，5）； （2）∵A（5，0），B（0，5）， ∴OA＝5，OB＝5， ∴AB2， ∵点C在x轴上，且△ABC是等腰三角形， ①当AC＝BC时， ∴C（0，0）， ②当AB＝AC时， ∵AC＝2， ∴C（25，0）或（25，0）， ③当AB＝BC时， ∵OC＝OA＝5， ∴C（﹣5，0）， 综上所述：点C的坐标为（﹣5，0）或（25，0）或（25，0）或（0，0）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． 9．（2024春•柘城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长， （2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6）． （3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4， ∴B（0，4）． ∴OB＝4 令y＝0得：0x+4，解得：x＝3， ∴A（3，0）． ∴OA＝3． 在Rt△OAB中，AB5． （2）∵AC＝AB＝5， ∴OC＝OA+AC＝3+5＝8， ∴C（8，0）． 设OD＝x，则CD＝DB＝x+4． 在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6， ∴D（0，﹣6）． （3）存在，理由如下： ∵S△PABS△OCD， ∴S△PAB6×8＝12． ∵点P在y轴上，S△PAB＝12， ∴BP•OA＝12，即3BP＝12，解得：BP＝8， ∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）． 【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$