专题06 离散型随机变量的分布列与数字特征五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第二册）

专题06 离散型随机变量的分布列与数字特征五种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、离散型随机变量的定义……………………………………………………2 类型二、离散型随机变量分布列及其性质…………………………………………3 类型三、离散型随机变量的期望 6 类型四、离散型随机变量的方差 10 类型五、离散型随机变量的期望与方差与其他章节的融合 13 压轴能力测评（10题） 18 1．离散型随机变量定义 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．离散型随机变量均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 4．离散型随机变量方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． (4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 类型一、离散型随机变量的定义 例．（1）5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（ ） A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 【答案】C 【解析】对于A，5件产品中有3件次品，从中任取2件，取到产品的件数是一个常量不是变量， BD也是一个定值，而C中取到次品的件数可能为0、1、2是随机变量. 故选：C （2）甲、乙两人下象棋，胜者得1分，平局得0分，负者得分，共下5局．用表示甲的得分，则表示（ ） A．甲胜3局负2局 B．甲胜4局负1局 C．甲胜3局平2局或甲胜3局负2局 D．甲胜4局负1局或甲胜3局平2局 【答案】D 【解析】由已知可得，当时，应该为3胜2平或4胜1负. 故选：D. 【变式训练1】下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③． 故选：B． 类型二、离散型随机变量分布列及其性质 例．（1）设随机变量的分布列为（），则实数的值为______. 【答案】15 【解析】由概率的基本性质知：，解得. 故答案为：15. （2）若随机变量的分布列为 且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据所给的分布列，可得， 由，可得，解得. 故选: A. （3）盒中有标记数字1，2的小球各2个. ①若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率； ②若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为（如1122，则），求的分布列. 【答案】①；②分布列见解析. 【解析】①设事件“取出的2个小球上的数字不同”，则. ②的所有可能取值为0，1，2. ①当相邻小球上的数字都不同时，如1212，有种， 则. ②当相邻小球上的数字只有1对相同时，如1221，有种， 则. ③当相邻小球上的数字有2对相同时，如1122，有种， 则. 所以的分布列为 0 1 2 【变式训练1】已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，随机变量的分布列为， 由分布列的性质，则有，解得， 故. . 故选：C. 【变式训练2】（多选）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（ ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【解析】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 对于B中，若，可得，则，故B正确； 对于C中，由概率的定义知，所以C不正确； 对于D中，由，，则，所以D正确． 故选：ABD. 【变式训练3】已知质量均匀的正面体，个面分别标以数字1到． (1)抛掷一个这样的正面体，随机变量表示它与地面接触的面上的数字．若求n； (2)在(1)的情况下，抛掷两个这样的正n面体，随机变量表示这两个正面体与地面接触的面上的数字和的情况，我们规定：数字和小于7，等于7，大于7，分别取值0，1，2，求的分布列． 【答案】(1)；(2)分布列见解析. 【解析】（1）因为，所以. （2）样本空间，共有36个样本点. 记事件“数字之和小于7”，事件“数字之和等于7"， 事件“数字之和大于7”. ， ，共15种， 故 ，共6种， 故； ， ，共15种， 故； 从而的分布列为： 0 1 2 类型三、离散型随机变量的期望 例．（1）一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4. 且，，. 因此X的分布列为： X 2 3 4 P 则， 故选：C. （2）（多选）甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，，且每局比赛结果相互独立． ①若，则甲运动员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为____________； ②若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数的期望的最大值为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】记事件为每局比赛“甲获胜”， 记事件为每局比赛“乙获胜”， 记事件为甲运动员恰好在第4局比赛后赢得比赛，则事件包括事件两种情况， 则； 每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，由题意得的所有可能取值为，则 ， ， . 所以的分布列为 2 4 5 所以的期望 ， 因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以， 故的最大值为. 故答案为：；. （3）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． ①求甲学校获得冠军的概率； ②用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】①；②分布列见解析，. 【解析】①设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． ②依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 【变式训练1】已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 3 若离散型随机变量，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故选：C. 【变式训练2】某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所辖的，，三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种，则三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率是 ；记，，三个区选择的疫苗批号的中位数为，则的期望是 . 【答案】 / 【解析】设三个区注射的疫苗批号恰好有两个区相同记为事件，则； 再设三个区选择的疫苗批号的中位数为，则的所有可能值为， 可得， ， ， 所以的数学期望为. 故答案为：；. 【变式训练3】现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，且三个人是否应聘成功是相互独立的. (1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求的值； (2)记应聘成功的人数为，若当且仅当为2时概率最大，求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因乙、丙有且只有一个人应聘成功包括两类情况：①乙成功且丙未成功，概率为，②乙未成功且丙成功，概率为，由题意得，解得； （2）的所有可能取值为0，1，2，3， ； ； ； . 故的分布列为： 0 1 2 3 P 所以. 由题意得：，得； ，得； ，得. 综上可得：，故. 类型四、离散型随机变量的方差 例．（1）某离散型随机变量的分布列如下，若，，则（ ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分布列的概率之和为1， ，即①． ， ②． ， ， 依次代入②､①，解得， 则． 故选：D． （2）（多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，下列说法正确的有（　　） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意可知，， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ，故A正确； ，故B错误； 当，1，2时，，1，4， ，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． （3）设随机变量的方差，则的值为 . 【答案】9 【解析】. 故答案为：9 【变式训练1】已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由分布列可得， 所以，， 又因为，则. 故选：A. 【变式训练2】设，随机变量的分布列是 0 p 1 P 则当p在区间内增大时，（ ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【解析】， ，令，则，易得单调递减，又，故存在，使得，则在单增，在单减，即先增大后减小. 故选：D. 【变式训练3】不透明袋中装有质地，大小相同的个红球，个白球，若从中不放回地取出个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为． (1)求白球的个数； (2)若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为，求的分布列、数学期望和方差． 【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，， 【解析】（1）解：因为第一个取出的球是红球的前提下，袋中还有个红球，个白球， 则第二个取出的球是白球的概率为，解得. （2）解：由题意可知，袋中有个红球，个白球， 若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为，则的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，， 类型五、离散型随机变量的期望与方差与其他章节的融合 例．甲、乙两人进行知识问答比赛，共有道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为和，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜. （1）若，，求甲获胜的概率； （2）若，设甲第题的得分为随机变量，一次比赛中得到的一组观测值，如下表.现利用统计方法来估计的值： ①设随机变量，若以观测值的均值作为的数学期望，请以此求出的估计值； ②设随机变量取到观测值的概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求. 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 1 0 0 ﹣1 1 1 ﹣1 0 0 0 题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 得分 ﹣1 0 1 1 ﹣1 0 0 0 1 0 表1：甲得分的一组观测值. 附：若随机变量，的期望，都存在，则. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】（1）记甲获胜为事件，甲抢到3道题为事件，甲抢到2道题为事件，甲抢到1道题为事件，甲抢到0道题为事件， 则，， ，， 而， ， ， ， 所以 . （2）①，，， 所以； 因为， 由表中数据可知， 所以，. ②因为取值相互独立， 所以 ， 所以； 令得， 又， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 即当时取到最大值，从而. 【变式训练1】随机变量的分布列如下所示，其中，则下列说法中正确的是（      ） 0 1 P A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据分布列可得：， 则， 因为，故，即． 令（） 则 当时，，单调递增； 当时，，单调递减 又因为 所以与大小无法确定 故选：D． 【变式训练2】甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为． (1)若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望； (2)若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值． 【答案】(1)分布列见解析；期望为(2) 【解析】(1)由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2、3， 则，，， 随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 则 (2)甲队只胜一场的概率为， 则． 故当时，，递增； 当时，，递增； 则 【变式训练3】现有两个静止且相互独立的粒子经过1号门进入区域一，运行一段时间后，再经过2号门进入区域二，继续运行.两粒子经过1号门后由静止等可能变为“旋转”运动状态或“不旋转”运动状态，并在区域一中保持此运动状态直到两粒子到2号门，经过2号门后，两粒子运动状态发生改变的概率为（运动状态发生改变即由区域一中的“旋转”运动状态变为区域二中的“不旋转”运动状态或区域一中的“不旋转”运动状态变为区域二中的“旋转”运动状态），并在区域二中一直保持此运动状态. （1）求两个粒子经过1号门后为“旋转”运动状态的条件下，经过2号门后状态不变的概率； （2）若经过2号门后“旋转”运动状态的粒子个数为2，求两个粒子经过1号门后均为“旋转”运动状态的概率； （3）将一个“旋转”运动状态的粒子经过2号门后变为“不旋转”运动状态，则停止经过2号门，否则将一个“旋转”运动状态的粒子再经过2号门，直至其变为“不旋转”运动状态.设停止经过2号门时，粒子经过2号门的次数为（，2，3，4，…，）.求的数学期望（用表示）. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】（1）记事件A：两个粒子经过1号门后旋转，：两个粒子经过2号门后状态不变， 则，，所以 （2）记事件：两个粒子经过1号门后均旋转，则， （3），， ，， …… ， ， ， 两式相减可得， 所以. 1．下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ； ②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η； ③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X； ④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y； 其中是离散型随机变量的为（ ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【解析】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③. 故选：C 2．已知随机变量的分布列如图：若，则（ ） 0 1 A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【解析】由题意可得，即， 则， 则， 化简得，即， 解得或，则或， 则或. 故选：C. 3．已知随机变量的分布列如下： 1 2 则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意可知， 若，则，得， 故充分性满足； 若，则，解得或. 当时，，此时， 当时，，此时， 则或，故必要性不满足. 故选：A. 4.已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合题意：， 因为，所以，解得：， 故选：A. 5．（多选）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，我国在航天事业中取得举世瞩目的成就．为了普及航天知识，某校举行了航天知识竞赛，竞赛中设置了多选题目（每题4个选项中有2个或3个正确选项），每题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．已知某一道多选题甲完全不会，他随机选择2个或3个选项，该题有2个正确选项的概率为．记表示甲的得分，则（ ） A．甲得2分的概率为 B．若甲选择2个选项，则 C．若甲选择3个选项，则 D．甲得5分的概率为 【答案】CD 【解析】由该题有2个正确选项的概率为，得该题有3个正确选项的概率为， 对于A，若甲得2分，则该题有3个正确选项，甲选择了2个正确选项，概率为， 因此甲得2分的概率，A错误； 对于B，若甲选择2个选项，则的可能取值为，则， ，则，B错误； 对于C，若甲选择3个选项，则的可能取值为0，5，则， ，因此，C正确； 对于D，由选项BC知，甲得5分的概率为，D正确． 故选：CD 6．（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为 X 0 a 2 P b 其中结论正确的是（     ） A． B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为 C． D．当最小时， 【答案】ABC 【解析】由题意，，，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为，故选项B正确；随机变量X的期望值，可知方差 ，当时，，故选项C正确；当时，，故选项D错误. 故选：ABC. 7．随机变量的概率分布列如下： －1 0 1 其中，，成等差数列，若随机变量的期望，则其方差＝ ． 【答案】 【解析】因为，，成等差数列，则，又由分布列的性质，则， 所以得， 又因为随机变量的均值且, 故解得，， 所以. 故答案为：. 8．在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 【解析】（1）由题可知， 因为，所以当时，的最小值为． （2）由题设知，的可能取值为1，2，3，4． ①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010． 因此，， ②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011． 因此，， ③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000． 因此，， ④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111． 因此，． 所以的分布列为 1 2 3 4 因此，的数学期望． 9．新鲜是水果品质的一个重要指标.某品牌水果销售店，为保障所销售的某种水果的新鲜度，当天所进的水果如果当天没有销售完毕，则第二天打折销售直至售罄．水果销售店以每箱进货价50元、售价100元销售该种水果，如果当天卖不完，则剩下的水果第二天将在原售价的基础上打五折特价销售，而且要整体支付包装更换与特别处理等费用30元．这样才能保障第二天特价水果售罄，并且不影响正价水果销售，水果销售店经理记录了在连续50天中该水果的日销售量x（单位：箱）和天数y（单位：天）如下表所示： 日销售量x（单位：箱） 22 23 24 25 26 天数y（单位：天） 10 10 15 9 6 (1)为能减少打折销售份额，决定地满足顾客需求（即在100天中，大约有70天可以满足顾客需求）．请根据上面表格中的数据，确定每天此种水果的进货量的值.（以箱为单位，结果保留一位小数） (2)以这50天记录的日需求量的频率作为日需求量的概率，设（1）中所求的值满足，请以期望作为决策依据，帮销售店经理判断每天购进此种水果是箱划算还是箱划算？ 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）地满足顾客需求相当于估计某类水果日销售量的分位数. 由表可知，把50个日需求量的数据从小到大排列， 由，日需求量在箱及以下（含箱）的天数为， 可知，可以估计日需求量的第分位数为， 所以能地满足顾客的需求，估计每天应该进货量为箱. （2）由（1）知，即， 设每天的进货量为箱的利润为， 由题设，每天的进货量为箱， 当天卖完的概率为， 当天卖不完剩下箱的概率为， 当天卖不完剩下箱的概率为， 若当天卖完元， 若当天卖不完剩下箱，元， 若当天卖不完剩下箱，元， 所以元. 设每天的进货量为箱的利润为， 由题设，每天的进货量为箱， 当天卖完的概率为， 当天卖不完剩下箱的概率为， 当天卖不完剩下箱的概率为， 当天卖不完剩下箱的概率为， 若当天卖完元， 当天卖不完剩下箱，则元， 当天卖不完剩下箱，则元， 当天卖不完剩下箱，则元， 所以元， 由于， 显然每天的进货量箱的期望利润小于每天的进货量为箱的期望利润， 所以每天购进此种水果箱划算一些. 10.某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为和，假设每次操作能否成功相互独立. ①②随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率； ②操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案： 方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作； 方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作. 假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值. 【答案】①；②方案一大于方案二 【解析】①用事件表示选择甲种无人运输机，用事件表示选择乙种无人运输机， 用事件表示“选中的无人运输机操作成功” 则， ②设方案一和方案二操作成功的次数分别为，，则，的所有可能取值均为0，1，2， 方案一：， ， ， 所以. 方案二： ， ， ， 所以. 所以，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 离散型随机变量的分布列与数字特征五种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、离散型随机变量的定义……………………………………………………2 类型二、离散型随机变量分布列及其性质…………………………………………3 类型三、离散型随机变量的期望 6 类型四、离散型随机变量的方差 10 类型五、离散型随机变量的期望与方差与其他章节的融合 13 压轴能力测评（10题） 18 1．离散型随机变量定义 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．离散型随机变量均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 4．离散型随机变量方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． (4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 类型一、离散型随机变量的定义 例．（1）5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（ ） A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 （2）甲、乙两人下象棋，胜者得1分，平局得0分，负者得分，共下5局．用表示甲的得分，则表示（ ） A．甲胜3局负2局 B．甲胜4局负1局 C．甲胜3局平2局或甲胜3局负2局 D．甲胜4局负1局或甲胜3局平2局 【变式训练1】下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型二、离散型随机变量分布列及其性质 例．（1）设随机变量的分布列为（），则实数的值为______. （2）若随机变量的分布列为 且，则的值为（ ） A． B． C． D． （3）盒中有标记数字1，2的小球各2个. ①若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率； ②若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为（如1122，则），求的分布列. 【变式训练1】已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（ ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【变式训练3】已知质量均匀的正面体，个面分别标以数字1到． (1)抛掷一个这样的正面体，随机变量表示它与地面接触的面上的数字．若求n； (2)在(1)的情况下，抛掷两个这样的正n面体，随机变量表示这两个正面体与地面接触的面上的数字和的情况，我们规定：数字和小于7，等于7，大于7，分别取值0，1，2，求的分布列． 类型三、离散型随机变量的期望 例．（1）一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（ ） A．2 B．3 C． D． （2）（多选）甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，，且每局比赛结果相互独立． ①若，则甲运动员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为____________； ②若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数的期望的最大值为____________． （3）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． ①求甲学校获得冠军的概率； ②用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【变式训练1】已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 3 若离散型随机变量，则（ ） A B. C. D. 【变式训练2】某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所辖的，，三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种，则三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率是 ；记，，三个区选择的疫苗批号的中位数为，则的期望是 . 【变式训练3】现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，且三个人是否应聘成功是相互独立的. (1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求的值； (2)记应聘成功的人数为，若当且仅当为2时概率最大，求的取值范围. 类型四、离散型随机变量的方差 例．（1）某离散型随机变量的分布列如下，若，，则（ ） 0 1 2 A． B． C． D． （2）（多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，下列说法正确的有（　　） 0 1 2 A． B． C． D． （3）设随机变量的方差，则的值为 . 【变式训练1】已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】设，随机变量的分布列是 0 p 1 P 则当p在区间内增大时，（ ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【变式训练3】不透明袋中装有质地，大小相同的个红球，个白球，若从中不放回地取出个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为． (1)求白球的个数； (2)若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为，求的分布列、数学期望和方差． 类型五、离散型随机变量的期望与方差与其他章节的融合 例．甲、乙两人进行知识问答比赛，共有道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为和，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜. （1）若，，求甲获胜的概率； （2）若，设甲第题的得分为随机变量，一次比赛中得到的一组观测值，如下表.现利用统计方法来估计的值： ①设随机变量，若以观测值的均值作为的数学期望，请以此求出的估计值； ②设随机变量取到观测值的概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求. 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 1 0 0 ﹣1 1 1 ﹣1 0 0 0 题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 得分 ﹣1 0 1 1 ﹣1 0 0 0 1 0 表1：甲得分的一组观测值. 附：若随机变量，的期望，都存在，则. 【变式训练1】随机变量的分布列如下所示，其中，则下列说法中正确的是（      ） 0 1 P A． B． C． D． 【变式训练2】甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为． (1)若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望； (2)若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值． 【变式训练3】现有两个静止且相互独立的粒子经过1号门进入区域一，运行一段时间后，再经过2号门进入区域二，继续运行.两粒子经过1号门后由静止等可能变为“旋转”运动状态或“不旋转”运动状态，并在区域一中保持此运动状态直到两粒子到2号门，经过2号门后，两粒子运动状态发生改变的概率为（运动状态发生改变即由区域一中的“旋转”运动状态变为区域二中的“不旋转”运动状态或区域一中的“不旋转”运动状态变为区域二中的“旋转”运动状态），并在区域二中一直保持此运动状态. （1）求两个粒子经过1号门后为“旋转”运动状态的条件下，经过2号门后状态不变的概率； （2）若经过2号门后“旋转”运动状态的粒子个数为2，求两个粒子经过1号门后均为“旋转”运动状态的概率； （3）将一个“旋转”运动状态的粒子经过2号门后变为“不旋转”运动状态，则停止经过2号门，否则将一个“旋转”运动状态的粒子再经过2号门，直至其变为“不旋转”运动状态.设停止经过2号门时，粒子经过2号门的次数为（，2，3，4，…，）.求的数学期望（用表示）. 1．下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ； ②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η； ③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X； ④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y； 其中是离散型随机变量的为（ ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 2．已知随机变量的分布列如图：若，则（ ） 0 1 A. B. C. 或 D. 或 3．已知随机变量的分布列如下： 1 2 则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 5．（多选）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，我国在航天事业中取得举世瞩目的成就．为了普及航天知识，某校举行了航天知识竞赛，竞赛中设置了多选题目（每题4个选项中有2个或3个正确选项），每题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．已知某一道多选题甲完全不会，他随机选择2个或3个选项，该题有2个正确选项的概率为．记表示甲的得分，则（ ） A．甲得2分的概率为 B．若甲选择2个选项，则 C．若甲选择3个选项，则 D．甲得5分的概率为 6．（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为 X 0 a 2 P b 其中结论正确的是（     ） A． B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为 C． D．当最小时， 7．随机变量的概率分布列如下： －1 0 1 其中，，成等差数列，若随机变量的期望，则其方差＝ ． 8．在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 9．新鲜是水果品质的一个重要指标.某品牌水果销售店，为保障所销售的某种水果的新鲜度，当天所进的水果如果当天没有销售完毕，则第二天打折销售直至售罄．水果销售店以每箱进货价50元、售价100元销售该种水果，如果当天卖不完，则剩下的水果第二天将在原售价的基础上打五折特价销售，而且要整体支付包装更换与特别处理等费用30元．这样才能保障第二天特价水果售罄，并且不影响正价水果销售，水果销售店经理记录了在连续50天中该水果的日销售量x（单位：箱）和天数y（单位：天）如下表所示： 日销售量x（单位：箱） 22 23 24 25 26 天数y（单位：天） 10 10 15 9 6 (1)为能减少打折销售份额，决定地满足顾客需求（即在100天中，大约有70天可以满足顾客需求）．请根据上面表格中的数据，确定每天此种水果的进货量的值.（以箱为单位，结果保留一位小数） (2)以这50天记录的日需求量的频率作为日需求量的概率，设（1）中所求的值满足，请以期望作为决策依据，帮销售店经理判断每天购进此种水果是箱划算还是箱划算？ 10.某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为和，假设每次操作能否成功相互独立. ①②随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率； ②操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案： 方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作； 方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作. 假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$