18.2 三角形全等的判定（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版五四制）

18.2三角形全等的判定 题型一 添加条件使三角形全等 1．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在四边形中，已知．添一个条件，使，则不能作为这一条件的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南邵阳·三模）如图，已知，添加选项______仍不能证明．（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）如图，在和中，只添加一个条件能判定的是（　　）    A． B． C． D． 题型二 用SSS证明三角形全等 1．（23-24八年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，若点、、、在同一直线上，，，．.那么吗？请说明理由. 2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点B、E、C、F在同一直线上，， 求证：． 3．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，与中，点B、F、C、E在同一直线上，若，求证：． 4．（23-24八年级上·陕西延安·期末）如图，，，．求证：． 题型三 用SAS证明三角形全等 1．（23-24八年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，，，，求证：． 2．（23-24八年级上·广西柳州·期中）如图，点A，D，C，F在同一直线上，，，．求证：．    3．（21-22八年级上·四川南充·阶段练习）如图，点、、、共线，，，．求证：．    4．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，点E，F在上，，，，求证：． 题型四 用ASA(AAS)证明三角形全等 1．（2024·山东淄博·二模）如图， 点在的外部，点在上，交于点， ，．求证： ． 2．（2024·陕西西安·一模）如图，点在上，，，．求证： 3．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 4．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，已知四边形中，，，，，垂足为E，求证：． 题型五 用HL证明三角形全等 1．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在与中，于点E，于点D，，．证明：． 2．（22-23八年级上·河北石家庄·开学考试）如图，已知，相交于点，且，． 求证：． 3．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，点B，E，F在同一直线上，，，求证． 4．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在与中，点E，F在线段上，，，，求证：． 题型六 全等的性质和判断应用 1．（2024·四川达州·一模）如图，在中，，于点D，，且，过C作． (1)求证：； (2)求证：． 2．（23-24八年级上·重庆江津·期中）已知：如图，、交于点，、为上的两点，，，，求证：．    3．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．    (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 4．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，于点，于点，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型七 倍长中线问题 1．（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 2．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，点E在的中线的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围； (3)若，求证：是直角三角形． 3．（21-22八年级上·河北保定·期末）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 4．（21-22八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，为中边上的中线． （1）求证：； （2）若，，求的取值范围． 题型八 旋转模型 1．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 2．（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 3．（20-21八年级上·河南周口·期中）如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 4．（21-22八年级上·陕西延安·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 题型九 垂线模型 1．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 2．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 3．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 4．（20-21八年级上·四川广安·期末）在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，点，，满足，若点P为射线上异于原点O和点A的一个动点． (1)如图1， ①直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； ②当点P位于点O与点A之间时，连接，以线段为边作等腰直角（P为直角顶点，B，P，E按逆时针方向排列），连接．求证：； (2)点D是直线上异于点A与点B的一点，使得，过点D作交y轴于点F，探究，，之间的数量关系，并证明． 2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）在中，，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．    (1)如图1，当，点A、B在直线m的同侧时，求证：； (2)如图2，当，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段、和三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由； (3)如图3，当，，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作于P，于Q．设运动时间为t秒，当t为何值时，与全等？ 3．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）（1）【初步探索】如图①，在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使．连接．先证明，再证，可得出结论，他的结论应是 （2）【灵活运用】如图②，在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． （3）【延伸拓展】如图③，在四边形中，．．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程 4．（2024·贵州·模拟预测）模型的发现： 如图 (1)如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系； (2)模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； (3)模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2三角形全等的判定 题型一 添加条件使三角形全等 1．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在四边形中，已知．添一个条件，使，则不能作为这一条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意，分别对每一项进行分析判断即可． 【详解】解：A.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意； B.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意； C.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意； D.已知，，添加不能得出，此项符合题意． 故选：D． 2．（2024·湖南邵阳·三模）如图，已知，添加选项______仍不能证明．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，根据全等的判定定理及推论，对选项一一分析即可，解题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，． 【详解】、添加，不能证明，原选项错误，符合题意； 、添加，利用证明，原选项正确，不符合题意； 、添加，利用证明，原选项正确，不符合题意； 、添加，利用证明，原选项正确，不符合题意； 故选：． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：还需要添加的条件是， 理由是：，， ， 在和中， ， ， 故选：D． 4．（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）如图，在和中，只添加一个条件能判定的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，先根据再结合每个选项的条件，分析出是通过什么方法进行证明，即可作答． 【详解】解：A、是图形中的隐含条件，判定还缺少一个条件，故A不符合题意； B、，和分别是和的对角，不能判定，故B不符合题意； C、由判定，故C符合题意； D、和是对应角，应该，由判定，故D不符合题意． 故选：C． 题型二 用SSS证明三角形全等 1．（23-24八年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，若点、、、在同一直线上，，，．.那么吗？请说明理由. 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，，根据全等三角形的判定定理证即可． 【详解】证明：， ， ， 在和中 ， ． 2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点B、E、C、F在同一直线上，， 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．由题意可知，，，即可证明全等． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 3．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，与中，点B、F、C、E在同一直线上，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．已知与两边相等，通过可得，即可判定． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在与中， ∴． 4．（23-24八年级上·陕西延安·期末）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的证明．由可得，从而通过“”即可证明． 【详解】∵， ∴，即． 在和中， ， ． 题型三 用SAS证明三角形全等 1．（23-24八年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定即可得解，根据，得，利用全等三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， 2．（23-24八年级上·广西柳州·期中）如图，点A，D，C，F在同一直线上，，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定； 根据平行线的性质可得，结合已知即可利用证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴． 3．（21-22八年级上·四川南充·阶段练习）如图，点、、、共线，，，．求证：．    【答案】证明见详解 【分析】 此题考查了全等三角形的判定，根据题意得出，利用即可证明. 【详解】 证明：， ， 即， 在和中， ， ∴． 4．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，点E，F在上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明，，再运用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，   ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴． 题型四 用ASA(AAS)证明三角形全等 1．（2024·山东淄博·二模）如图， 点在的外部，点在上，交于点， ，．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和，熟知判定方法是解题的关键．通过，，可得，即可通过证明． 【详解】证明：， ，即， ， ， 即， 在与中， ． 2．（2024·陕西西安·一模）如图，点在上，，，．求证： 【答案】见详解 【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据“”可判断．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：， ， 在和中， ， ． 3．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴． 4．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，已知四边形中，，，，，垂足为E，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据得到，结合， 得到，即可得到证明； 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ， ∴， 在和中， ∵， ． 题型五 用HL证明三角形全等 1．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在与中，于点E，于点D，，．证明：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 2．（22-23八年级上·河北石家庄·开学考试）如图，已知，相交于点，且，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用全等三角形判定定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴在和中， ， ∴（）． 3．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，点B，E，F在同一直线上，，，求证． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证出，由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ， ∴． 4．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在与中，点E，F在线段上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的证明，运用“”方法即可证明． 【详解】∵， ∴， 即， ∵， ∴在和中， ， ∴． 题型六 全等的性质和判断应用 1．（2024·四川达州·一模）如图，在中，，于点D，，且，过C作． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）证明，即可得到结论； （2）先证明，再证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·重庆江津·期中）已知：如图，、交于点，、为上的两点，，，，求证：．    【答案】见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．首先证明，推出，再根据可以证明． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ． 3．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．    (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 由，得出，再利用“”即可证明≌； 由，，得出，由外角的性质得出，由全等三角形的性质得出，由外角的性质得出，可得答案. 【详解】（1） 证明：， ∴， 即， 在和中， ， ≌； （2） ，， ∴. 是的外角， ∴. ≌， ∴， ∵是的外角， ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平角的定义，三角形外角的性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 4．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，于点，于点，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】此题考查了全等三角形的性质与判定，熟记三角形全等的判定与性质是解题的关键。 （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差求出，利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可。 【详解】（1）证明：在和中， , ∴. （2） 解：∵， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型七 倍长中线问题 1．（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 【答案】(1)全等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系； （1）根据中线的性质可得，延长到，使，根据证明 ，即可； （2）根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使， 又， ∴ （2）由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴. 2．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，点E在的中线的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围； (3)若，求证：是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）结合（1）根据三角形三边关系即可得的取值范围； （3）根据已知线段关系得到，利用等边对等角推出，，再利用三角形内角和求出即可． 【详解】（1）解：证明：是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2），， ， 即． ， 的取值范围是． （3）∵，，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即是直角三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、三角形三边关系． 3．（21-22八年级上·河北保定·期末）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使，且， ∴． （2）解：由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴． （3）证明：如图，延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 4．（21-22八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，为中边上的中线． （1）求证：； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1），（2） 【分析】 （1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，利用等量代换可得； （2）把，代入（1）的结论里，再解不等式即可． 【详解】（1）证明：如图延长至，使，连接， ∵为中边上的中线， ∴， 在和中： ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 在中，由三角形的三边关系可得， 即； （2）解：∵，， 由（1）可得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键． 题型八 旋转模型 1．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等． 2．（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【答案】（1）；（2），证明过程见解析；（3） 【分析】（1）根据已知条件证明即可得解； （2）根据已知条件证明即可得解； （3）根据已知条件证明即可得解； 【详解】（1）在和中， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即； 故答案是：； （2）答：； 证明：∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （3）∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键． 3．（20-21八年级上·河南周口·期中）如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析． 【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可求得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得． （2）根据题意画出图形，证明方法与（1）相同． 【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形， ，，， ， ，， 即． 在和中， ， (SAS)． ． 即AE=BD， （2）成立；理由如下： 如图2中，、均为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用．解决本题的关键是证明三角形全等，属于中考常考题型． 4．（21-22八年级上·陕西延安·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）结论不成立，应当是理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，由全等三角形的判定和性质得出，，，继续利用全等三角形的判定得出，结合图形及题意即可证明； （2）在上截取，使，连接，结合图形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明：如图①，延长到点，使，连接. 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：结论不成立，应当是， 理由：如图②，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 题型九 垂线模型 1．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可． （2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键． 2．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 【详解】（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 3．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 4．（20-21八年级上·四川广安·期末）在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）根据题目条件可以证明，然后根据全等的性质就可以证得结论； （2）依然是证明，再根据全等对应边相等即可得出结论； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴．   （2）解：．   ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变． 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，点，，满足，若点P为射线上异于原点O和点A的一个动点． (1)如图1， ①直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； ②当点P位于点O与点A之间时，连接，以线段为边作等腰直角（P为直角顶点，B，P，E按逆时针方向排列），连接．求证：； (2)点D是直线上异于点A与点B的一点，使得，过点D作交y轴于点F，探究，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；②见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性，求出a和b的值，即可得出点A和点B的坐标；②通过证明，得出，则，再推出，即可得出，即可求证； （2）根据题意进行分类讨论：①当点在线段上，过点作交延长线与点，通过证明，得出，即可得出结论；②当点在延长线上，过点作交延长线与点，通过证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为：，； ②证明：过点作交轴于点 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：①当点在线段上， 过点作交延长线与点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当点在延长线上， 过点作交延长线与点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等绝对值的非负性，三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）在中，，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．    (1)如图1，当，点A、B在直线m的同侧时，求证：； (2)如图2，当，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段、和三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由； (3)如图3，当，，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作于P，于Q．设运动时间为t秒，当t为何值时，与全等？ 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)或14或16秒 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键，还用到了分类讨论的思想． （1）根据于D，于E，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，于是； （2）同（1）易证，则，，于是； （3）只需根据点M和点N的不同位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：； 理由：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：①当时，点M在上，点N在上，如图，    ∵， ∴， 解得：，不合题意； ②当时，点M在上，点N也在上，如图，    ∵， ∴点M与点N重合， ∴， 解得：； ③当时，点M在上，点N在上，如图，    ∵， ∴， 解得：； ④当时，点N停在点A处，点M在上，如图，    ∵， ∴， 解得：； 综上所述：当或14或16秒时，与全等． 3．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）（1）【初步探索】如图①，在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使．连接．先证明，再证，可得出结论，他的结论应是 （2）【灵活运用】如图②，在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． （3）【延伸拓展】如图③，在四边形中，．．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程 【答案】（1）；（2）仍成立，理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可证明和，即可得到； （2）延长到点G，使，连接，也可证明和，即可得到； （3）延长到点G，使，连接，也可证明和，根据得到即可解答． 【详解】解：（1）延长到点G，使，如图1， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）仍成立，理由如下： 延长到点G，使，如图2， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， （3），理由如下： 延长到点G，使，如图3， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 4．（2024·贵州·模拟预测）模型的发现： 如图 (1)如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系； (2)模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； (3)模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 【答案】(1) (2)，见详解 (3)结论成立，见详解 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质． （1）利用AAS证明，由三角形全等的性质即可得出，再根据图中线段的关系即可得出结论； （2）通过证明得到，进一步得到即可求解； （3）通过证明得到，进一步得到． 【详解】（1）解： 理由如下：∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ （2）解： 证明如下：∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ （3）（1）的结论成立， 理由如下：∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ 1 / 46 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