精品解析：2025年广东省广州市白云区部分学校中考一模数学试题

2025年广东省初中学业水平考试 数学 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时 120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处” 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，，答案不能答在试卷上， 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．在一条东西向的跑道上，小虎先向东走了6米，记作“米”，又向西走了9米，此时他的位置可记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】根据题意得：米． 故选：D． 2. 港珠澳大桥是目前世界上最长的跨海大桥，工程造价约1100亿元，1100亿元用科学记数法表示为（　　） A. 1100×108元 B. 11×1010元 C. 1.1×1011元 D. 1.1×1012元 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：1100亿＝110000000000＝1.1×1011， 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，掌握它们的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（ ） A. 6 B. 36 C. 64 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的相关计算，掌握以上知识及计算是解题的关键． 根据题意，正方形A的面积与8的和等于14，可得A得面积，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴正方形的边长为， 故选：D ． 5. 若一个等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x的取值范围是（　　） A. x＞3 B. x＞6 C. 0＜x＜3 D. 3＜x＜6 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形两腰相等和三角形中任意两边之和大于第三边列不等式，求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的底边长6，等腰三角形的两腰相等，且三角形中任意两边之和大于第三边 ∴2x＞6， ∴x＞3 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三边关系，掌握等腰三角形三边关系是解题的关键． 6. 若是的一个根，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值， 根据一元二次方程的解的定义得出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，菱形对角线与相交于点为边的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、三角形的中位线性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和三角形的中位线性质是解答的关键．先根据菱形性质得到，，，再利用勾股定理求得，然后根据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中，， ∵点E为边的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 8. 如图，都是的半径，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：都是的半径，， ， ， ， ， ， ， 故选：B ． 9. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，首先确定，然后再确定，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ， ， ∴直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 10. 如图，在中，，，是边上一点，且，过点作交于点，交于点，过点作于点，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，交于点．记的面积为，四边形的面积为，的面积为，请判断下列结论中正确个数为（ ） ①；②是等腰三角形；③；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．由作图知，是线段的垂直平分线，从而判断结论①；利用等角的余角相等求得，再利用三角形的外角性质，证明，利用等角对等边判断结论②；证明，利用相似三角形的性质，结合等量代换，从而判断结论③；证明，利用全等三角形的性质判断结论④． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线， ∴，，， ∵， ∴，结论①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，结论②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，显然， ∴，结论③错误； ∵，，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴，结论④错误； 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，则的值等于_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根等，根据几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0．求出x，y，再代入计算并求出算术平方根即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：8． 12. 分解因式__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解．先提公因式a，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 关于的一元二次方程有实数根，的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．根据题意得到，即可求出答案． 【详解】解：由于关于的一元二次方程有实数根， 且原方程是一个一元二次方程，则的系数不为0； ， 即， 解得． 故答案为：且． 14. 点既在反比例函数的图象上，又在一次函数的图象上，则以为根的一元二次方程为_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一次函数与反比例函数图象上的点的坐标特征．将P点代入反比例函数解析式中，可得出m、n的乘积；将P点坐标代入一次函数的解析式中，可得出m、n的和；根据韦达定理即可求出以为根的一元二次方程． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， ； 点在一次函数的图象上， ， ， 以为根的一元二次方程可以为：． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，是的边上的两点，连接交于点的面积为，的面积为，四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题为相似三角形和平行四边形的综合题，利用平移的性质做出辅助线是解题的关键．将向左平移，使边与边重合，已知，且，根据相似三角形的性质可得，从而得，继而得，所以，再由的面积为，可得，再求得，由即可得图中阴影部分的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 如图，将沿向左平移，使边与边重合，、、的对应点为，则 ∵的面积为，的面积为， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂及锐角三角函数分别化简，然后进行计算． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． （1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：AD＝AE． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可． （2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE． 【小问1详解】 解：如图所示，CE即为所求． 【小问2详解】 证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线， ∴，， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ACE≌△ABD（ASA）， ∴AD＝AE． 【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 18. 太阳能是清洁，安全和可靠的能源，我国的国土光照充沛，光能资源分布较为均匀．利用太阳能的最佳方式是光伏转换，使太阳光射到硅材料制作的面板上产生电流直接发电． 如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点是中点，，支架可绕点旋转，当太阳光线与面板垂直时，吸收光能的效率最高．当太阳光与地面夹角为时，为了让太阳能面板吸收光能的效率最高，那么支架端离地面的高度应该为多少？（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】作于点E，利用三角函数解即可． 【详解】解：如图，作于点E， 由题意知， ， ，点是的中点， ， 在中，， ， 即支架端离地面的高度应该为． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 某学校对学生最喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查共抽取了_______名学生，_______，_______； （2）已知该校共有名学生，请你估计该校喜欢阅读“”类图书的学生约有多少人？ （3）学校将举办读书知识竞赛，九年级（）班要在本班名优胜者（男女）中随机选送人参赛，请用画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 【答案】（1），， （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合，列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． （1）用喜欢阅读“”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到的值，然后用除以调查的总人数可以得到的值； （2）用乘以样本中喜欢阅读“”类图书的学生数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：， 所以本次调查共抽取了名学生， ， ，即； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：（人）． 答：估计该校喜欢阅读“”类图书的学生约有人． 【小问3详解】 解：画树状图如图． 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被选送的两名参赛者为一男一女的有种． （被选送的两名参赛者为一男一女） 20. 端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元 【解析】 【分析】（1）直接应用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据题意列出获日销售利润与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴求y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w， 由题意得： ， ∴当时，w有最大值，最大值为810， ∴当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式是解题的关键． 21. 综合与实践 [项目式学习]探索凸透镜成像的奥秘 [项目背景]某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． [项目素材] 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折 射后光线经过焦点． 素材二：设物距为，像距为和焦距为，小明在研究过程中发现了物距，像距和焦距之间在成实像时存在着一定的数量关系． 【项目任务】根据项目素材解决问题： （1）小明取物距，然后画出光路图（如图①，其中为物体，为凸透镜的光心，入射光线主光轴（即图中的点斜线），折射光线经过焦点为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成_______（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像； （2）小明取物距．当时，，物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像，请在图②中用三角形全等的知识解释； （3）小明取物距，探究一般情况下物距，像距和焦距之间在成实像时存在的数量关系．如图③，为物体，为凸透镜的光心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点为所成的像，主光轴，主光轴．焦距，物距，像距．求证：； 【答案】（1）放大 （2）解释证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，全等三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，，得到，继而得到，即可得到答案； （2）证明即可得到结论； （3）证明，得到，证明得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：由图①可知，，， ，， ，， 即，， ， ，即， ， ， ， 物体经凸透镜折射后成放大的倒立实像， 故答案为：放大； 【小问2详解】 证明：， ，即． 主光轴，主光轴， ． 在和中， ， ， 物高等于像高，即物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像． 【小问3详解】 证明：如图，设． 与主光轴平行， ， ，即， 整理得：．① 主光轴，主光轴， ． 又， ， ，即．② 把②代入①得：， 整理得：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 如图，是的直径，是上的点，弦和交于点，且是的切线，，连结． （1）求证：； （2）求证：是的内心； （3）若，求直径的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）10 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得，即可证明； （2）连结．证明平分，平分，即可得出结论； （3）解法一：过点作于点，过点作交的延长线于点．证明，得到，再证明四边形是正方形，利用正方形的性质与勾股定理求解即可； 解法二：将绕点逆时针旋转得到．证明三点共线，求得，从而求得，然后由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：如图①，连结． 是的切线， ， ， ． 又在中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是的直径， ， ， ，即平分． 由（1）得：， 设， ， ， ，即平分． 是的内心． 小问3详解】 解法一：如图②，过点作于点，过点作交的延长线于点． 平分， ． 由（2）得， ， ， ． 在和中，， ． ． ， 四边形是正方形． 在正方形中，， ， ， ． 在中，由勾股定理得． 直径的长为10． 解法二：如图③，将绕点逆时针旋转得到． 由（2）设， ， ， ． 由旋转的性质得， ， 三点共线． ， ． ． 在中，由勾股定理得． 直径的长为10． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，三角形的内心，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质．熟练掌握相关性质是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上． ① ： ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且轴，求点D的坐标； ③如图2，已知正方形顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 【答案】（1）①1；②；③1 （2）或． 【解析】 【分析】（1）①当时，，可知不在二次函数图像上，将代入，求解值即可；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为p，则，，由菱形的性质得：，，则轴，，根据，即，然后确定点D的坐标即可；③如图2，连接、交点为E，过B作轴于M，过C作于N，由正方形的性质可知，E为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，然后代入计算即可； （2）由题意知，分①当在y轴右侧时，②当在y轴左侧时，③当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，三种情况求解；①当在y轴右侧时，，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，解得；②当在y轴左侧时，求解过程同（2）①；③当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，且不垂直于y轴时，同理可求，当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，且垂直于y轴时，由正方形、二次函数的性质可得． 【小问1详解】 ①解：当时，， ∴不在二次函数图像上， 将代入，解得， 故答案为：1； ②解：由①知，二次函数解析式为， 设菱形的边长为p，则，， 由菱形的性质得：， ∴轴， ∴， ∵， ∴，解得（舍去），（舍去），， ∴； ③解：如图2：连接、交点为E，过B作轴于M，过C作于N，     由正方形的性质可知，E为、的中点，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由题意知: ，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧， ∴， ∴， ∴是定值，且值为1； 【小问2详解】 解：由题意知，分①当在y轴右侧时，②当在y轴左侧时，③当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，三种情况求解； ①当在y轴右侧时， ∵， 同理（1）③，，， 由题意知：，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， 化简得， ∵ ∴； ②当在轴左侧时， 同理可求； ③当B在y轴左侧，D在y轴右侧，且不垂直于y轴时， 同理可求， 当B在y轴左侧，D在y轴右侧，且垂直于y轴时， 由正方形、二次函数的性质可得，； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与几何综合、正方形、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握与灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省初中学业水平考试 数学 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时 120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处” 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，，答案不能答在试卷上， 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．在一条东西向的跑道上，小虎先向东走了6米，记作“米”，又向西走了9米，此时他的位置可记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 港珠澳大桥是目前世界上最长的跨海大桥，工程造价约1100亿元，1100亿元用科学记数法表示为（　　） A 1100×108元 B. 11×1010元 C. 1.1×1011元 D. 1.1×1012元 3. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 以直角三角形三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（ ） A. 6 B. 36 C. 64 D. 5. 若一个等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x的取值范围是（　　） A. x＞3 B. x＞6 C. 0＜x＜3 D. 3＜x＜6 6. 若是的一个根，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图，菱形的对角线与相交于点为边的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，都是的半径，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，是边上一点，且，过点作交于点，交于点，过点作于点，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，交于点．记的面积为，四边形的面积为，的面积为，请判断下列结论中正确个数为（ ） ①；②是等腰三角形；③；④． A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，则的值等于_______． 12. 分解因式__________． 13. 关于的一元二次方程有实数根，的取值范围是______． 14. 点既在反比例函数的图象上，又在一次函数的图象上，则以为根的一元二次方程为_______． 15. 如图，是的边上的两点，连接交于点的面积为，的面积为，四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． （1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：AD＝AE． 18. 太阳能是清洁，安全和可靠的能源，我国的国土光照充沛，光能资源分布较为均匀．利用太阳能的最佳方式是光伏转换，使太阳光射到硅材料制作的面板上产生电流直接发电． 如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点是的中点，，支架可绕点旋转，当太阳光线与面板垂直时，吸收光能的效率最高．当太阳光与地面夹角为时，为了让太阳能面板吸收光能的效率最高，那么支架端离地面的高度应该为多少？（结果精确到；参考数据：，，） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 某学校对学生最喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查共抽取了_______名学生，_______，_______； （2）已知该校共有名学生，请你估计该校喜欢阅读“”类图书的学生约有多少人？ （3）学校将举办读书知识竞赛，九年级（）班要在本班名优胜者（男女）中随机选送人参赛，请用画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 20. 端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？ 21. 综合与实践 [项目式学习]探索凸透镜成像的奥秘 [项目背景]某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． [项目素材] 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折 射后光线经过焦点． 素材二：设物距为，像距为和焦距为，小明在研究的过程中发现了物距，像距和焦距之间在成实像时存在着一定的数量关系． 【项目任务】根据项目素材解决问题： （1）小明取物距，然后画出光路图（如图①，其中为物体，为凸透镜的光心，入射光线主光轴（即图中的点斜线），折射光线经过焦点为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成_______（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像； （2）小明取物距．当时，，物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像，请在图②中用三角形全等的知识解释； （3）小明取物距，探究一般情况下物距，像距和焦距之间在成实像时存在的数量关系．如图③，为物体，为凸透镜的光心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点为所成的像，主光轴，主光轴．焦距，物距，像距．求证：； 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 如图，是的直径，是上的点，弦和交于点，且是的切线，，连结． （1）求证：； （2）求证：是内心； （3）若，求直径的长． 23. 平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上． ① ： ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且轴，求点D的坐标； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $