第一单元 圆柱和圆锥的体积（八个重难点突破）-2024-2025学年六年级下册数学重难点专题突破（北师大版）

第一单元 圆柱和圆锥的体积 一、圆柱的体积 二、圆柱的容积 三、圆柱与圆锥体积的关系 四、圆锥的体积或容积 五、体积的等积变形 六、立体图形的切拼 七、组合体的体积 八、不规则物体的体积 知识点1圆柱的体积 1、圆柱体积计算公式的推导。 圆柱的体积和拼成的长方体的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 长方体的体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高 如果V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆柱形容器的容积=圆柱形容器内部的底面积×内部的高，当容器壁的厚度忽略不计时，容器的体积等于容积。 3、圆柱体积的求法：①已知底面积和高，圆柱的体积V=Sh；②已知底面半径和高，圆柱的体积 V=πr2h；③已知底面直径和高，圆柱的体积 V=π()2h；④已知底面周长和高，圆柱的体积 V=π()2h。 重难点一 圆柱的体积 【典例1】一根圆木长3米，横截成2段后，表面积增加0.3平方米，则这根圆木的体积是( )立方米。 【分析】一根圆木长3米，横截成2段后，表面积增加的是两个截面的面积，由此可以求出圆木的底面积，然后根据圆柱的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答即可。 【解答】0.3÷2×3 ＝0.15×3 ＝0.45（立方米） 所以这根圆木的体积是0.45立方米。 【典例2】一个长方形，长8厘米，宽6厘米，以长为轴旋转一周，形成圆柱，以宽为轴旋转一周，形成圆柱（如图）。圆柱和圆柱体积的最简整数比是( )∶( )。 【分析】以长为轴旋转一周，形成圆柱体，将得到一个底面半径是6厘米，高是8厘米的圆柱。以宽为轴旋转一周，形成圆柱体，将得到一个底面半径是8厘米，高是6厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式分别求出这两个圆柱的体积，再求最简整数比即可。 【解答】 则圆柱与圆柱的体积的最简整数比是。 【变式1-1】把一根长5米的圆柱木料，截成3段，表面积增加了0.24平方米（如图所示）这根木料原来的体积是( )立方米。 【分析】由题意可知：把这根木料锯成3段，是把这个木头锯了两次，每锯一次增加2个面，总共增加了4个底面，再据表面积增加0.24平方米即可求出这根木料的底面积，从而利用圆柱的体积公式即可求出木料的体积。 【解答】 （立方米） 这根木料原来的体积是0.3立方米。 【变式1-2】把一个底面直径6厘米，高5厘米的圆柱平均分成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的体积是( )，表面积是( )。 【分析】将一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，高没变，体积没变；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，即可求出长方体的体积。 拼成的长方体表面积比圆柱多了两个长方形的面积，这两个长方形的长都和圆柱的高相等，宽都和圆柱的底面半径相等，根据长方形的面积公式S＝ab求出增加的表面积；再利用圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底＝πdh＋2πr2，求出原来圆柱的表面积，然后加上增加的表面积，即是长方体的表面积。 【解答】圆柱的体积（长方体的体积）为： （立方厘米） 切开后增加的表面积为： （平方厘米） 圆柱的表面积为： （平方厘米） 长方体的表面积为： （平方厘米） 所以，这个长方体的体积为141.3立方厘米；表面积为180.72平方厘米。 【变式1-3】王叔叔准备建一个圆形游泳池，底面直径是40米，深2米。这个游泳池的占地面积是( )平方米，在池的侧面和池底抹一层水泥，抹水泥的面积是( )平方米，挖成这个游泳池共挖土( )立方米。 【分析】求圆形游泳池的占地面积，就是求游泳池的底面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解； 已知在池的侧面和池底抹一层水泥，那么抹水泥的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的底面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，代入数据计算求解； 求挖成这个游泳池共挖土的体积，就是求圆柱的体积，根据圆柱的体积公式V＝Sh，代入数据计算求解。 【解答】游泳池的占地面积： 3.14×（40÷2）2 ＝3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方米） 抹水泥的面积： 3.14×40×2＋1256 ＝251.2＋1256 ＝1507.2（平方米） 体积： 1256×2＝2512（立方米） 这个游泳池的占地面积是1256平方米，在池的侧面和池底抹一层水泥，抹水泥的面积是1507.2平方米，挖成这个游泳池共挖土2512立方米。 重难点二 圆柱的容积 【典例3】如图中饮料瓶中装有1.8升饮料，正放时饮料的高度是15厘米，倒放时空余部分的高度是10厘米，这个瓶子最多还可以装进( )升的饮料。 【分析】由图可知，10厘米是15厘米的，倒放时空余部分的体积正好是正放时饮料体积的，把饮料的体积看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出倒放时空余部分的体积，也就是这个瓶子最多还可以装进饮料的体积。 【解答】 （升） 这个瓶子最多还可以装进1.2升的饮料。 【典例4】一个圆柱形玻璃杯，从里面量底面直径是10厘米，玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的。将两个同样大小的鸡蛋放入杯子中，浸没在水中。这时水面上升了8厘米，刚好与杯子口相平，这个玻璃杯的容积是( )毫升。 【分析】根据题意，可以先求出圆柱形杯子的高，已知原来杯子里面的水占杯子容量的，即杯中水的高也占杯子高的，将两个同样大小的鸡蛋放入杯子中，浸没在水中.这时水面上升8厘米，刚好与杯子口相平。把杯子的高看作单位“1”，8厘米占杯子高的（1－），由此可以求出杯子的高；再根据圆柱体的体积（容积）公式列式解答。 【解答】8÷（1﹣） ＝8×3 ＝24（厘米） ＝25×3.14×24 ＝1884（立方厘米） ＝1884毫升 这个玻璃杯的容积是（1884）毫升。 【点评】此题解答关键是求出杯子的高，再根据圆柱体的体积（容积）计算公式解答即可。 【变式2-1】要做一个无盖水桶，底面直径是4，高是5.5，至少需要( )的铁皮，这个水桶的容积是( )L。 【分析】要求做一个无盖水桶，至少需要多少铁皮，即求圆柱的一个底面积和侧面积的和，用公式：dh＋r²；要求水桶的容积即求水桶的体积，公式：V＝r²h，据此解答。 【解答】由分析可知： dh＋r² ＝3.14×4×5.5＋3.14×（4÷2）² ＝69.08＋12.56 ＝81.64（平方分米） r²h ＝3.14×（4÷2）²×5.5 ＝12.56×5.5 ＝69.08（立方分米） 69.08立方分米＝69.08升 所以要做一个无盖水桶，底面直径是4，高是5.5，至少需要81.64平方分米的铁皮，这个水桶的容积是69.08L。 【点评】本题考查圆柱表面积和体积公式的灵活运用，明确求无盖物体的表面积只算一个底面积和侧面积是此题解题关键。 【变式2-2】有一个注满水的圆柱形蓄水池，底面半径是10米，用去部分水后，水面比注满时下降60厘米，剩下的水正好是这个水池容积的，这个水池的容积是( )升。 【分析】把这个圆柱形蓄水池的容积看作单位“1”，用去部分水后，剩下的水正好是这个水池容积的，用去（1－），它对应的容积就是高是60厘米的圆柱的容积，根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，求出用去部分的水的容积，再用用去部分水的容积÷（1－），即可求出这个水池的容积。 【解答】10米＝100分米；60厘米＝6分米 （3.14×1002×6）÷（1－） ＝（3.14×10000×6）÷ ＝（31400×6）÷ ＝188400× ＝439600（立方分米） 439600立方分米＝439600升 有一个注满水的圆柱形蓄水池，底面半径是10米，用去部分水后，水面比注满时下降60厘米，剩下的水正好是这个水池容积的，这个水池的容积是439600升。 【点评】解答本题的关键明确求出用去部分的容积占这个水池总容积的分率，再利用圆柱的体积公式进行解答，注意单位名数的换算。 【变式2-3】如图，一块长方形铁皮，剪下图中的阴影部分，正好可以做一个圆柱形油桶。这个油桶的容积是( )立方分米。（铁皮厚度忽略不计） 【分析】圆的周长是直径π倍，所以用16.56除以π与1的和，就可以计算出这个油桶的底面直径，用油桶的底面直径乘2，可以计算出油桶的高，再根据圆柱的容积＝底面积×高，就可以计算出这个油桶的容积是多少。 【解答】油桶的底面直径： 16.56÷（3.14＋1） ＝16.56÷4.14 ＝4（分米） 油桶的高：4×2＝8（分米） 3.14×（4÷2）2×8 ＝3.14×4×8 ＝12.56×8 ＝100.48（立方分米） 【点评】本题解题关键是根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数＋1）＝1份数，计算出圆柱的直径，再计算出圆柱的高，最后根据圆柱的容积＝底面积×高，计算油桶的容积。 知识点2圆锥的体积 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆锥体积的求法：①已知底面积和高，圆锥的体积V=Sh；②已知底面半径和高圆锥的体积 v=πr2h；③已知底面直径和髙，圆锥的体积 V=π()2h；④已知底面周长和高，圆锥的体积 V=π()2h。 重难点三 圆柱与圆锥体积的关系 【典例5】已知一个圆锥与一个圆柱等底等高，且它们的体积和是32立方厘米，那么这个圆锥的体积是( )立方厘米。 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的倍，用它们的体积和除以，据此解答即可。 【解答】 （立方厘米） 所以这个圆锥的体积8立方厘米。 【典例6】如图，直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成的立体图形是( )，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3，与它等底等高的圆柱的体积是( )cm3。 【分析】根据圆锥的特征可知，直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成圆锥，那么这条直角边6cm是圆锥的高，另一条直角边3cm是圆锥的底面半径。 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积； 根据V锥＝Sh，求出圆锥的体积； 由V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此求出圆柱的体积。 【解答】圆锥的底面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 圆锥的体积：×28.26×6＝56.52（cm3） 圆柱的体积：56.52×3＝169.56（cm3） 填空如下： 直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成的立体图形是（圆锥），它的底面积是（28.26）cm2，体积是（56.52）cm3，与它等底等高的圆柱的体积是（169.56）cm3。 【变式3-1】等底等高的圆柱和圆锥体积之差是24立方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；可以把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积看作3份，相差（3－1）份； 已知等底等高的圆柱和圆锥体积之差是24立方厘米，用体积之差除以份数差，即可求出一份数，也就是圆锥的体积；再用圆锥的体积乘3，求出圆柱的体积。 【解答】圆锥的体积： 24÷（3－1） ＝24÷2 ＝12（立方厘米） 圆柱的体积： 12×3＝36（立方厘米） 那么圆柱的体积是36立方厘米，圆锥的体积是12立方厘米。 【变式3-2】琪琪用橡皮泥捏成了一个底面积为3cm2，高为8 cm的圆锥，亮亮用同样多的橡皮泥捏成一个等高的圆柱，亮亮捏成的圆柱的底面积是( )cm2。 【分析】等体积等高的圆柱和圆锥，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，直接用圆锥底面积÷3＝圆柱底面积，据此列式计算。 【解答】3÷3＝1（cm2） 亮亮捏成的圆柱的底面积是1cm2。 【变式3-3】等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是208立方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，可以把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，一共是（1＋3）份；用等底等高的圆柱和圆锥的体积之和除以总份数，求出一份数，即是圆锥的体积；再用圆锥的体积乘3，求出圆柱的体积。 【解答】圆锥的体积： 208÷（1＋3） ＝208÷4 ＝52（立方厘米） 圆柱的体积： 52×3＝156（立方厘米） 圆柱的体积是156立方厘米，圆锥的体积是52立方厘米。 重难点四 圆锥的体积或容积 【典例7】一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是( )cm3。 【分析】根据题意，若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，增加的是2个底面圆的面积；用增加的表面积除以2，求出底面积； 原来这个组合零件的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，代入数据计算即可求解。 【解答】底面积：50.42÷2＝25.21（cm2） 25.21×6＋×25.21×（12－6） 25.21×6＋×25.21×6 ＝151.26＋50.42 ＝201.68（cm3） 原来这个组合零件的体积是201.68cm3。 【典例8】一个圆柱和一个圆锥的体积和高都相等，圆锥的底面积是45平方厘米，圆柱的底面积是( )平方厘米。 【分析】根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，当圆柱和圆锥的体积、高分别相等时，圆锥的底面积是圆柱的底面积的3倍，由此求出圆柱的底面积即可。 【解答】45÷3＝15（平方厘米） 所以圆柱的底面积是15平方厘米。 【变式4-1】一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是( )cm3。 【分析】由图可知圆柱与圆锥等底，因此把圆柱和圆锥分开后，增加的表面积就是圆柱的一个底面面积和圆锥的底面面积的和，所以圆柱的底面积与圆锥的底面积均是50.42÷2＝25.21cm2；圆柱的高是6cm2，则圆锥的高是（12－6）cm，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，分别求出圆柱的体积和圆锥的体积，再把它们相加，即可解答。 【解答】50.42÷2＝25.21（cm） 25.21×6＋25.21×（12－6）× ＝151.26＋25.21×6× ＝151.26＋151.26× ＝151.26＋50.42 ＝201.68（cm3） 一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm²，那么原来这个组合零件的体积是201.68cm³。 【变式4-2】一个圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等。圆柱的体积是18.84立方分米，圆锥的体积比它少了( )立方分米。 【分析】一个圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，即圆柱和圆锥是等底等高；等底等高的圆锥的体积是圆柱的，用圆柱的体积×，求出圆锥的体积，再用圆柱的体积－圆锥的体积，即可解答。 【解答】18.84－18.84× ＝18.84－6.28 ＝12.56（立方分米） 圆锥的体积比它少了12.56立方分米。 【变式4-3】一个圆柱的侧面展开图是一个长方形，已知圆柱的高是20厘米，底面周长是62.8厘米，那么长方形的长是( )厘米，圆柱的底面直径是( )厘米。这个圆柱的侧面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )。（得数保留一位小数） 【分析】将一个圆柱的侧面展开，得到一个长方形，长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；圆柱的底面直径＝周长÷π；圆柱的侧面积＝底面周长×高；圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2；圆柱的体积＝底面积×高；与它等底等高的圆锥的体积＝圆柱的体积×，得数保留一位小数看小数点后面第二位，然后运用“四舍五入”法即可解答。 【解答】由分析可知，长方形的长是62.8厘米， 62.8÷3.14＝20（厘米） 即圆柱的底面直径是20厘米； 62.8×20＝1256（平方厘米） 即这个圆柱的侧面积是1256cm2； 1256＋3.14×（20÷2）2×2 ＝1256＋3.14×100×2 ＝1256＋314×2 ＝1256＋628 ＝1884（平方厘米） 即圆柱的表面积是1884cm2； 3.14×（20÷2）2×20 ＝3.14×100×20 ＝314×20 ＝6280（立方厘米） 即圆柱的体积是6280cm3； 6280×≈2093.3（立方厘米） 即与它等底等高的圆锥的体积是2093.3立方厘米。 重难点五 体积的等积变形 【典例9】一个圆锥形铁块的体积是200立方厘米，比与它等底等高的圆柱的体积少( )%（百分号前面保留一位小数），把它熔成一个正方体，这个正方体的体积是( )立方厘米。 【分析】当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，先求出圆柱的体积，圆锥的体积比圆柱的体积少的百分率＝（圆柱的体积－圆锥的体积）÷圆柱的体积×100%，把圆锥形铁块熔成一个正方体，铁块的形状发生变化，但是铁块的体积不变，据此解答。 【解答】圆柱的体积：200×3＝600（立方厘米） （600－200）÷600×100% ＝400÷600×100% ≈0.667×100% ＝66.7% 所以，一个圆锥形铁块的体积是200立方厘米，比与它等底等高的圆柱的体积少66.7%，把它熔成一个正方体，这个正方体的体积是200立方厘米。 【典例10】把一块底面直径是2厘米、高是3厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个底面直径是2厘米的圆锥，这个圆锥的高是( )厘米。 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，则圆柱的高＝体积÷底面积；圆锥的体积＝×底面积×高，则圆锥的高＝3×体积÷底面积。根据题意可知，圆柱和圆锥的体积相等，底面直径相等，也就是底面积相等，则圆锥的高＝3×圆柱的高，代入数据计算即可。 【解答】由分析得： 3×3＝9（厘米） 把一块底面直径是2厘米、高是3厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个底面直径是2厘米的圆锥，这个圆锥的高是9厘米。 【变式5-1】手工课上，湛湛用一块75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9厘米的圆锥，它的体积是( )立方厘米，底面积是( )平方厘米。 【分析】将圆柱形橡皮泥捏成圆锥形状，橡皮泥的大小不变，那么这个圆锥的体积也是75.36立方厘米。圆锥体积＝底面积×高÷3，那么圆锥底面积＝圆锥体积×3÷高，将数据代入求出这个圆锥的底面积即可。 【解答】75.36×3÷9 ＝226.08÷9 ＝25.12（平方厘米） 所以，它的体积是75.36立方厘米，底面积是25.12平方厘米。 【变式5-2】下图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器倒置后，水面高7cm，如果将这个容器正放，那么容器内水面高是( )cm。 【分析】从题意可知，容器中水的体积＝3cm高圆锥的体积＋（7－3）cm高的圆柱的体积。圆锥与圆柱的底面积相等。根据体积相等、底面积相等的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，当容器正放时，3cm高圆锥的水转换成底面积不变的圆柱，圆柱的高是3÷3＝1cm。用1＋（7－3）即可求出容器正放时水面高度。据此解答。 【解答】3÷3＋（7－3） ＝1＋4 ＝5（cm） 容器内水面高是5cm。 【变式5-3】把一块体积是78.5立方厘米的长方体钢块，熔铸成一个底面周长是6.28厘米的圆锥。这个圆锥的高是( )厘米。（π取3.14） 【分析】把长方体钢块熔铸成一个圆锥，体积不变，即这个圆锥的体积是78.5立方厘米。圆锥的底面周长是6.28，根据圆的周长＝2πr，用6.28除以2π即可求出圆锥的底面半径，再根据圆的面积＝πr2即可求出圆锥的底面积。最后根据圆锥的体积＝底面积×高×，用78.5除以和底面积，即可求出圆锥的高。 【解答】6.28÷3.14÷2＝1（厘米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 78.5÷÷3.14 ＝78.5×3÷3.14 ＝235.5÷3.14 ＝75（厘米） 则这个圆锥的高是75厘米。 重难点六 立体图形的切拼 【典例11】把高15厘米的圆柱平行于底面切成两段，表面积增加了40平方厘米，原来圆柱体的体积是( )立方厘米。 【分析】圆柱平行于底面切成两段，表面积会增加两个底面的面积，用增加的总面积除以2即可求出一个底面积，用底面积乘圆柱的高即可求出圆柱的体积。 【解答】40÷2＝20（平方厘米） 20×15＝300（立方厘米） 则原来圆柱体的体积是300立方厘米。 【典例12】在科技小组活动时，兰兰和同学们想制作神舟十五号的载人飞船模型，她把一根长8dm的圆柱截成4个小圆柱，表面积比原来增加了42dm2，这个圆柱原来的体积是( )dm3。 【分析】将一个圆柱截成4个小圆柱，表面积比原来增加了6个底面的面积，则一个底面的面积为7平方分米，那么再根据圆柱体积=底面积×高，即可得解。 【解答】42÷6×8 =7×8 =56（立方分米） 则这个圆柱原来的体积是56立方分米。 【变式6-1】一个正方体的体积是240立方厘米，把它削成一个最大的圆锥，那么圆锥的体积是( )立方厘米。 【分析】削成的最大的圆锥的底面直径等于正方体的棱长，高也等于正方体的棱长，那么，然后根据圆锥的体积公式解答即可。 【解答】用字母表示正方形的棱长，则。 （立方厘米） 当取近似值3.14时，（立方厘米）。 【点评】本题考查了圆锥的体积公式的灵活应用，本题的关键是得到最大的圆锥的直径和高与正方体的关系。 【变式6-2】一个木制圆锥形陀螺底面直径是6cm，高是4cm，沿底面直径把陀螺切成两个完全相同的两部分，表面积增加了( )，制作这个陀螺需要( )木料。 【分析】沿底面直径把陀螺切成两个完全相同的两部分，表面积增加了两个三角形的面积，三角形的底＝圆锥的底面直径＝6cm，三角形的高＝圆锥的高＝4cm，三角形的面积＝底×高÷2； 制作这个陀螺需要的材料大小即为圆锥的体积，圆锥的体积＝底面积×高÷3，据此代入数据进行解答。 【解答】6×4÷2×2＝24（cm2） 3.14×（6÷2）2×4÷3 ＝3.14×9×4÷3 ＝28.26×4÷3 ＝113.04÷3 ＝37.68（cm3） 所以，表面积增加了24cm2，制作这个陀螺需要37.68cm3木料。 【变式6-3】如图，圆柱直径4dm，高2dm，体积是( )dm3；如果把它加工成最大的圆锥，圆锥的体积是( )dm3。 【分析】根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解； 如果把圆柱加工成最大的圆锥，那么圆锥和圆柱等底等高；根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的，由此求出圆锥的体积。 【解答】圆柱的体积： 3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×4×2 ＝25.12（dm3） 圆锥的体积： 25.12×＝（dm3） 圆柱的体积是25.12dm3，圆锥的体积是dm3。 【点评】本题考查圆柱、圆锥体积公式的运用，明确等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系是解题的关键。 重难点七 组合体的体积 【典例13】求出下面图形的体积。 【分析】看图可知，组合体的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 【解答】2÷2＝1（m） 3.14×12×1.5＋3.14×12×0.6÷3 ＝3.14×1×1.5＋3.14×1×0.6÷3 ＝4.71＋0.628 ＝5.338（m3） 这个组合体的体积是5.338m3。 【典例14】如图，一个长方体的上面有一个圆锥，计算这个组合图形的体积。 【分析】长方体体积＝长×宽×高，圆锥体积＝×底面积×高，由此先分别求出长方体和圆锥的体积，再相加求出组合体的体积。 【解答】8×6×2＋×3.14×（2÷2）2×6 ＝96＋×3.14×12×6 ＝96＋×3.14×1×6 ＝96＋6.28 ＝102.28（m3） 【变式7-1】求出下面形体的体积。 【分析】图形是由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的体积，圆锥的体积，图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，将数据带入公式即可。 【解答】 （cm3） 【变式7-2】求下列图形的体积。（单位：厘米） 【分析】题干中的图形是正方体减去圆锥的体积，正方体的棱长为6厘米，圆锥的底面直径为6厘米，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝，图形的体积＝正方体体积－圆锥体积，据此可计算得出答案。 【解答】图形的体积为： （立方厘米） 【变式7-3】求下面图形的体积。 【分析】观察图形可知，体积＝底面直径是4cm，高是5cm的圆柱的体积＋底面直径是6cm，高是5cm的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（4÷2）2×5＋3.14×（6÷2）2×5× ＝3.14×22×5＋3.14×32×5× ＝3.14×4×5＋3.14×9×5× ＝12.56×5＋28.26×5× ＝62.8＋141.3× ＝62.8＋47.1 ＝109.9（cm3） 图形的体积是109.9cm3。 重难点八 不规则物体的体积 【典例15】一个内底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水中浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里的水面下降多少厘米？ 【分析】杯里的水面下降部分的体积等于圆锥形铅锤的体积，根据圆锥体积＝底面积×高，求出杯里的水面下降部分的体积，再用杯里的水面下降部分的体积除以圆柱的底面积，求出杯里的水面下降多少厘米即可。 【解答】下降水的体积：×3.14×（12÷2）2×10 ＝×3.14×36×10 ＝×36×3.14×10 ＝12×3.14×10 ＝12×31.4 ＝376.8（立方厘米） 下降高度：376.8÷（3.14×102） ＝376.8÷（3.14×100） ＝376.8÷314 ＝1.2（厘米） 答：杯里的水面下降1.2厘米。 【典例16】一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 【分析】首先求出水面上升的体积，这个体积就是圆锥形零件的体积。然后根据圆锥的体积公式＝×圆锥的底面积×高，反推出圆锥的高度。 【解答】玻璃缸底面积为：50×30＝1500（平方厘米） 水面上升的高度为：15－12＝3（厘米） 所以圆锥形零件的体积为：1500×3＝4500（立方厘米） 圆锥的高：h＝3V÷S＝3×4500÷900＝15（厘米） 答：这个零件的高度是15厘米。 【变式8-1】一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到9厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？ 【分析】通过观察可知，物体的体积＝上升部分水的体积，上升部分水的体积＝容器的底面积×上升部分的高度，根据圆柱的体积公式：S＝πr2h，代入数据即可求出上升部分水的体积，即两个铁块的体积，根据等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍，圆柱体积看作3份，圆锥体积看作1份，用上升部分水的体积除以（3＋1）即可求出圆锥形铁块的体积。 【解答】3.14×102×（9－5） ＝3.14×102×4 ＝3.14×100×4 ＝1256（立方厘米） 1256÷（3＋1） ＝1256÷4 ＝314（立方厘米） 答：这个圆锥形铁块的体积是314立方厘米。 【变式8-2】为测量一个不规则铁块的体积，一个学习小组做了以下实验： ①用天平称出这个铁块的重量是1.22千克；②测量出一个圆柱形容器的底面半径是5厘米；③用直尺量出圆柱形容器的高是10厘米；④在容器里注入一定量的水，量出水面高度为6厘米；⑤将铁块浸没水中（水没溢出），量出水面高度为8厘米。 要求出这个铁块的体积，记录单里，哪些信息是必须的？根据选出的信息，可得这个铁块的体积是多少？ 【分析】将铁块浸没水中（水没溢出），水面上升的体积就是铁块的体积，圆柱形容器底面积×水面上升的高度＝铁块的体积，因此需要知道②圆柱形容器的底面半径（求底面积），还需要知道④水面原来的高度和⑤浸入铁块后水面高度（求水面上升的高度），据此分析。 【解答】3.14×52×（8－6） ＝3.14×25×2 ＝157（立方厘米） 答：记录单里②④⑤这些信息是必须的，根据选出的信息，可得这个铁块的体积是157立方厘米。 【变式8-3】瑞瑞和安安用不同方法测量一块不规则的石块体积： 他们俩的方法都可行吗？请计算说明。（π取3） 【分析】瑞瑞的方法：石块的体积等于上升的水的体积，根据圆柱的体积＝底面积×上升的厘米数即可解答； 安安的方法：橡皮泥前后的体积差就是石块的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。 【解答】瑞瑞的方法：3×（10÷2）2×（8－6） ＝3×25×2 ＝75×2 ＝150（立方厘米） 安安的方法：10×4×6－10×1.5×6 ＝40×6－15×6 ＝240－90 ＝150（立方厘米） 答：他们俩的方法都可行，不规则的石块体积为150立方厘米。 一、填空题 1．把一根4米长的圆木锯成3段小圆柱，表面积比原来增加了60平方厘米，这根木料原来的体积是( )立方厘米。 【答案】6000 【分析】每锯一次就增加2个圆柱的底面，锯3次需要锯（3－1）＝2次，增加了4个底面面积，用增加的面积÷4，求出底面的面积，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】60÷4＝15（平方厘米） 4米＝400厘米 15×400＝6000（立方厘米） 把一根4米长的圆木锯成3段小圆柱，表面积比原来增加了60平方厘米，这根木料原来的体积是6000立方厘米。 【点评】解答本题的关键是明确增加的部分是圆柱的4个底面的面积，注意单位名数的换算。 2．把一个圆柱的底面直径和高都扩大到原来的3倍，它的侧面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】9 27 【分析】根据圆柱的侧面积公式：面积＝π×半径×2×高；设原来圆柱的半径为r，则直径为2r，高为h；扩大后直径是6r，高是3h；求出原来侧面积和扩大后的侧面积，进而求出它的侧面积扩大到原来的多少倍。再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，分别求出原来圆柱的体积和扩大后的体积，进而求出体积扩大到原来的多少倍，据此解答。 【解答】设圆柱底面半径为r，高为h，扩大后的底面半径径是3r，高是3h。 ＝（π×2r×3×h）÷（π×r×2×h） （π×6r×3h）÷（π2rh） ＝（18πRh）÷（π2rh） ＝18÷2 ＝9 π×（3r）2×3h÷（π×r2h） ＝（9r2π×3h）÷（πr2h） ＝27 把一个圆柱的底面直径和高都扩大到原来的3倍，它的侧面积扩大到原来的9倍，体积扩大到原来的27倍。 【点评】熟练掌握圆柱的侧面积公式和圆柱的体积公式是解答本题的关键。 3．一个圆柱，如果高增加，那么圆柱的侧面积就增加。现在这个圆柱的高是，它现在的体积是( )。 【答案】31.4 【分析】根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，底面周长＝侧面积÷高，代入数据，求出圆柱的底面周长，再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱的底面半径；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可求出高是10cm的圆柱的体积。 【解答】6.28÷1＝6.28（厘米） 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 3.14×12×10 ＝3.14×1×10 ＝3.14×10 ＝31.4（cm3） 一个圆柱，如果高增加，那么圆柱的侧面积就增加。现在这个圆柱的高是，它现在的体积是31.4cm3。 【点评】解答本题的关键明确增加部分的面积就是高1cm圆柱的侧面的面积，再利用圆柱侧面积公式、圆的周长公式，圆柱的体积公式进行解答。 4．一个深、底面周长为的圆柱形蓄水池。这个蓄水池的占地面积是( )。现在蓄水池中蓄有的水，水面高是( )。 【答案】1256 3.2 【分析】求占地面积，就是求这个圆柱形蓄水池的底面积，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱形蓄水池底面的半径，再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出这个蓄水池的占地面积；现在蓄水池中蓄水有的水，就是蓄水池的水的体积是原来水池数的，水面的高也就是原来蓄水池高的，再用这个蓄水池高×，即可求出现在水面的高。 【解答】125.6÷3.14÷2 ＝40÷2 ＝20（m） 3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（m2） 4×＝3.2（米） 一个深、底面周长为的圆柱形蓄水池。这个蓄水池的占地面积是1256m2。现在蓄水池中蓄有的水，水面高是3.2m。 【点评】熟练掌握和灵活运用圆的周长公式、面积公式是解答本题的关键。 5．如上图，我们用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，推导出了梯形的面积公式。用这样的思路，可以求出上图中立体图形的体积是( )立方分米。如果要为这个立体图形制作一个长方体包装盒，至少要用( )平方分米的硬纸板。（接头处忽略不计） 【答案】628 608 【分析】利用转化思想，立体图形的体积等于底面直径是8分米，高（10＋15）分米圆柱体积的一半；做包装盒，包装盒的表面积是长8分米，宽8分米，高15分米的长方体的表面积；根据圆柱的体积公式公式：V＝πr2h，长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据解答即可。 【解答】3.14×（8÷2）2×（10＋15）÷2 ＝3.14×16×25÷2 ＝628（立方分米） 8×8×2＋8×15×4 ＝128＋480 ＝608（平方分米） 【点评】本题主要考查立体图形的体积和表面积的计算，关键是利用转化思想解答。 6．一段长2分米的圆柱形钢材，把它沿直径锯成两个半圆柱后（如图），表面积比原来增加了160平方厘米，原来这段钢材的体积是( )立方厘米。 【答案】251.2 【分析】通过观察图形可知，把这个圆柱沿直径锯成两个半圆柱后，表面积比原来增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径，已知表面积增加了160平方厘米，据此可以求出圆柱的底面直径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】2分米＝20厘米 160÷2÷20 ＝80÷20 ＝4（厘米） 3.14×（4÷2）2×20 ＝3.14×4×20 ＝12.56×20 ＝251.2（立方厘米） 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱的表面积公式、体积公式及应用，关键是求出圆柱的底面直径。 7．一个圆柱和一个圆锥等底等高，若圆柱的体积是8cm3，则圆锥的体积是( )cm3，若圆锥的体积是8cm3，则圆柱的体积是( )cm3。 【答案】/ 24 【分析】 等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆柱体积÷3＝圆锥体积；圆锥体积×3＝圆柱体积，据此列式计算。 【解答】8÷3＝（cm3） 8×3＝24（cm3） 一个圆柱和一个圆锥等底等高，若圆柱的体积是8cm3，则圆锥的体积是cm3，若圆锥的体积是8cm3，则圆柱的体积是24cm3。 8．一个无盖的圆柱形水桶的底面周长是9.42厘米，高是3厘米，这个圆柱体的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】28.26 21.195 7.065 【分析】根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，求出这个圆柱形水桶的侧面积；再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出这个圆柱底面半径，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出这个圆柱形水桶的体积；等底等高的圆柱的体积是圆柱体积的3倍，据此求出与它等底等高的圆锥的体积。 【解答】9.42×3＝28.26（平方厘米） 3.14×（9.42÷3.14÷2）2×3 ＝3.14×（3÷2）2×3 ＝3.14×1.52×3 ＝3.14×2.25×3 ＝7.065×3 ＝21.195（立方厘米） 21.195×＝7.065（立方厘米） 一个无盖的圆柱形水桶的底面周长是9.42厘米，高是3厘米，这个圆柱体的侧面积是28.26平方厘米，体积是21.195立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是7.065立方厘米。 【点评】数量掌握圆柱的侧面积公式、圆柱的体积公式以及等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍是解答本题的关键。 9．张伯伯家有一个圆锥形状的麦堆，底面半径是3米，高是1.5米，把它刚好装入一个高是0.5米的圆柱形的麦囤内，这个麦囤的底面积是( )平方米，体积是( )立方米。 【答案】9.42 14.13 【分析】圆锥形状的麦堆的高是1.5米，圆柱形的麦囤的高是0.5米。因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积相等时，圆柱的高是圆锥高的，符合当圆柱与圆锥的体积相等，高相等时，圆柱的底面积是圆锥底面积的；据此可求出圆柱的底面积和体积，据此解答。 【解答】×3.14×32 ＝×3.14×9 ＝3.14×3 ＝9.42（平方米） ×3.14×32×1.5 ＝×3.14×9×1.5 ＝3.14×3×1.5 ＝9.42×1.5 ＝14.13（立方米） 张伯伯家有一个圆锥形状的麦堆，底面半径是3米，高是1.5米，把它刚好装入一个高是0.5米的圆柱形的麦囤内，这个麦囤的底面积是9.42平方米，体积是14.13立方米。 【点评】此题主要考查圆柱和圆锥的体积计算，及圆柱和圆锥之间的关系。 10．一个圆锥形煤堆，占地面积24平方米，高2米。这堆煤的体积是( )立方米。如果每立方米煤的质量是1.4吨，这堆煤有( )吨。用载重量为8吨的汽车运煤，( )次可以运完。 【答案】16 22.4 3 【分析】首先根据圆锥的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式求出这堆煤的体积，然后用煤的体积乘每立方米煤的质量即可，然后根据题意用煤的质量除以8解答即可。 【解答】×24×2 ＝8×2 ＝16（立方米） 16×1.4＝22.4（吨） 22.4÷8≈3（次） 这堆煤的体积是16立方米。如果每立方米煤的质量是1.4吨，这堆煤有22.4吨。用载重量为8吨的汽车运煤，3次可以运完。 【点评】本题考查了圆锥的体积公式的灵活运用以及小数乘除法计算知识，结合题意分析解答即可。 二、计算题 11．计算下面圆柱的体积。（单位：分米） （1）           （2） 【答案】（1）1256立方分米；（2）401.92立方分米 【分析】 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【解答】 （1）3.14×102×4 ＝3.14×100×4 ＝1256（立方分米） 圆柱的体积是1256立方分米。 （2）3.14×（8÷2）2×8 ＝3.14×42×8 ＝3.14×16×8 ＝401.92（立方分米） 圆柱的体积是401.92立方分米。 12．求下面空心钢管的体积。（单位：厘米） 【答案】753.6立方厘米 【分析】用直径是8厘米，高是20厘米的圆柱的体积－直径是4厘米，高是20厘米的圆柱的体积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（8÷2）2×20－3.14×（4÷2）2×20 ＝3.14×16×20－3.14×4×20 ＝50.24×20－12.56×20 ＝1004.8－251.2 ＝753.6（立方厘米） 13．计算下面图形的体积。（单位：dm） 【答案】11.14dm3 【分析】看图可知，圆锥的底面直径＝正方体棱长，组合图形的体积＝正方体体积＋圆锥体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 【解答】2×2×2＋3.14×（2÷2）2×3÷3 ＝8＋3.14×12×3÷3 ＝8＋3.14×1×3÷3 ＝8＋3.14 ＝11.14（dm3） 这个组合体的体积是11.14dm3。 三、解答题 14．一个圆锥沙堆，底面周长是62.8米，高是6米，用这堆沙铺宽为10米，厚为0.1米的长方体沙地，长方体沙地的长是多少米？（π取3.14） 【答案】628米 【分析】先求出这堆沙的体积，再根据沙子的体积不变，代入长方体的体积公式即可求出所铺沙子的长度。 【解答】沙堆的底面半径： 62.8÷（3.14×2） ＝62.8÷6.28 ＝10（米） 沙堆的体积： ×3.14×102×6 ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（立方米） 所铺沙子的长度： 628÷（10×0.1） ＝628÷1 ＝628（米） 答：长方体沙地的长是628米。 【点评】本题考查了圆锥的体积公式和长方体的体积公式，关键是沙子的体积不变。 15．一个底面周长是25.12厘米，高18厘米的圆柱形容器里面装有一些水，将一个底面积是37.68平方厘米的圆锥形铁块放入容器内，完全浸没在水中，拿出铁块后水面下降了3厘米。 （1）这个铁块的体积是多少？ （2）这个铁块的高是多少？ 【答案】（1）150.72立方厘米； （2）12厘米 【分析】（1）由题意可知：圆锥的体积等于下降的水的体积，下降的水的体积等于底面周长是25.12厘米，高是3厘米的圆柱的体积；将数据代入圆的周长公式C＝2πr求出圆柱的底面半径，再代入圆柱的体积公式：V＝πr2h计算即可； （2）将数据代入圆锥的体积公式：V＝Sh，即可求出高。 【解答】（1）25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 3.14×42×3 ＝3.14×16×3 ＝150.72（立方厘米） 答：这个铁块的体积是150.72立方厘米。 （2）150.72×3÷37.68 ＝452.16÷37.68 ＝12（厘米） 答：这个铁块的高是12厘米。 【点评】本题考查体积的等积变形，圆柱、圆锥的体积公式的灵活运用。 16．一个圆锥形粮囤，从里面量底面周长为12.56米，高是9米。每立方米稻谷大约重500千克，这个粮囤大约可存多少千克稻谷？ 【答案】18840千克 【分析】要求这个粮囤能装稻谷的重量，先求得粮囤的体积，粮囤的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积公式：求得体积，再进一步求得稻谷的重量。问题得解。 【解答】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 2×2×3.14××9×500 ＝12.56×3×500 ＝37.68×500 ＝18840（千克） 答：这个粮囤大约可存18840千克稻谷。 【点评】此题主要考查学生对圆锥的体积计算公式掌握与运用情况。 17．一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个铁质实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圆锥高的。圆锥的底面积是多少平方厘米？ 【答案】112平方厘米 【分析】根据题意可知，水面升高部分等圆锥浸在水中的部分体积，升高部分的高等于水面升高减去容器里水的高度，即12－8＝4厘米；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出浸在水中部分的圆锥的体积；水面升高到12厘米，这好是圆锥高的，则露在水面上部分的高是12厘米的小圆锥；高是圆锥的，半径也是大圆锥的；所以露出水面的小圆锥的体积是大圆锥的（）3＝；即露在水面上小圆锥体积与大圆锥的体积比是1∶8；所以浸在水中的体积是大圆锥体积的1－；再用求出圆锥在水中部分的体积，除以（1－），求出大圆锥的体积；再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，底面积＝体积÷（高×）。代入数据，即可解答。 【解答】浸在水中部分体积： 14×14×（12－8） ＝196×4 ＝784（立方厘米） 露出水面部分的小圆锥的高为12厘米；则大锥的高是12×2＝24（厘米）； 其高是大圆锥的，半径也是大圆锥的； 露在水面上小圆锥的体积是大圆锥体积的（）3＝ 小圆锥体积∶大圆锥＝体积1∶8 浸在水中部分体积： （1－）＝ 784÷ ＝784× ＝896（立方厘米） 大圆锥底面积： 896÷（12×2×） ＝896÷（24×） ＝896÷8 ＝112（平方厘米） 答：圆锥的底面积是112平方厘米。 【点评】解答本题的关键是明确露在水面外面的小圆锥的体积与大圆锥的体积之间的关系，即求出小圆锥是大圆锥的几分之几，进而解答问题。 18．在一个底面半径为10厘米，高为6厘米的圆锥形水杯中装满水，然后把里面的水倒入一个底面长10厘米，宽4厘米的空长方体的容器里，此时长方体容器里的水面高度是多少厘米？ 【答案】15.7厘米 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，求出水的体积，再除以长方体的底面积即可。 【解答】3.14×10×10×6÷3÷（10×4） ＝628÷40 ＝15.7（厘米） 答：此时长方体容器里的水面高度是15.7厘米。 【点评】熟练掌握圆锥和长方体的体积公式，是解答此题的关键。 19．王大爷要给在上海工作的儿子快递4罐茶叶（如图所示），为便于堆放，快递公司决定用长方体纸箱包装。请你帮忙设计一种包装方案（画出草图），并计算所需纸皮的面积（拼接部分忽略不计）。 底面直径8cm，高10cm 【答案】画图见详解；1312平方厘米 【分析】根据题意，用长方体纸箱包装4罐底面直径是8厘米，高是10厘米的茶叶，长方体的长可以是（厘米），宽是8厘米，高是10厘米，然后根据长方体的表面积公式解答即可。（方法不唯一） 【解答】（厘米） 如图： （平方厘米） 答：所需纸皮的面积是1312平方厘米。（设计方法不唯一，答案不唯一，合理即可。 20．李师傅要做一个零件（如图），有一个棱长6厘米的正方体铁块，在它的两个底面之间挖一个圆柱形圆孔，圆孔的底面直径是4厘米，剩下的部分就是这个零件了，此时零件的体积是多少立方厘米？ 【答案】140.64立方厘米 【分析】根据题意可知，这个最大圆柱的高等于正方体的棱长，根据正方体的体积公式：，圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出它们的体积差即可。 【解答】 ＝ ＝6×6×6－3.14×4×6 （立方厘米） 答：这个零件的体积是140.64立方厘米。 21．一个底面积150平方厘米的玻璃缸里有一块石头，如图所示，水深18厘米，拿出石块后水面下降到15厘米，这块石头体积是多少？ 【答案】450立方厘米 【分析】浸入物体体积＝容器底面积×水面上升或下降高度，据此代数解答即可。 【解答】150×（18－15） ＝150×3 ＝450（立方厘米） 答：这块石头体积是450立方厘米。 【点评】此题主要考查学生对浸入物体体积的解答应用，掌握公式很重要。 22．（1）茶杯中部的一圈装饰带好看吧，那是小红怕烫伤爸爸的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头处忽略不计） （2）这个茶杯的容积大约是多少毫升？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】（1）18.84厘米 （2）423.9毫升 【分析】（1）求这条装饰带的长，就是求这个圆柱的底面周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 （2）求茶杯的容积，就是这个茶杯的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】（1）3.14×6＝18.84（厘米） 答：长至少是18.84厘米。 （2）3.14×（6÷2）2×15 ＝3.14×9×15 ＝28.26×15 ＝423.9（立方厘米） 423.9立方厘米＝423.9毫升 答：这个茶杯的容积大约是423.9毫升。 【点评】熟记圆的周长公式和圆柱的体积公式是解答本题的关键，关键是熟记公式。 23．实验室有一个长方体水槽，长5分米，宽4分米，高3分米。根据实验要求，现在要用水至少填满这个容器的70%。请问用一个底面半径为2分米，高4分米的圆柱形小水桶装满水进行灌注，能否只用一次就满足实验要求？ 【答案】能 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高求出长方体水槽的体积，再用体积乘70%求出用水填满这个容器的70%所需要的水的体积；再根据圆柱的体积公式，圆柱的体积＝底面积×高求出圆柱形小水桶装满水的体积，跟长方体水槽的70%相比，如果小于长方体水槽的70%，就是一次不能满足实验要求，反之则能。 【解答】5×4×3×70% ＝60×70% ＝42（立方分米） 3.14×22×4 ＝12.56×4 ＝50.24（立方分米） 50.24立方分米＞42立方分米 答：能只用一次就满足实验要求。 【点评】此题考查的是长方体和圆柱的体积公式的熟练运用。要认真审题，看清问题要求，仔细解读。 24．笑笑家最近购买了一台电热水器（外壳和内胆均为近似的圆柱体），外壳长为6分米，底面直径为4分米，内胆从里边量长为5分米，底面直径为3分米。 （1）外壳的表面积是多少平方分米？ （2）内胆的容积约是多少升？（结果取整数） 【答案】（1）100.48平方分米 （2）35升 【分析】（1）将数据代入圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh计算即可。 （2）将数据代入圆柱的容积公式：V＝πr2h计算即可。 【解答】（1）3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×6 ＝3.14×8＋3.14×24 ＝3.14×32 ＝100.48（平方分米） 答：外壳的表面积是100.48平方分米。 （2）3.14×（3÷2）2×5 ＝3.14×2.25×5 ＝3.14×11.25 ≈35（立方分米） 35立方分米＝35升 答：内胆的容积约是35升。 【点评】本题主要考查圆柱的表面积、容积公式的实际应用。 25．在科学实验兴趣课上，笑笑制作了如图所示的简易滴水计时器，经测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴约为1毫升），下方为底面直径的圆柱形透明容器，笑笑于上午10点测得下方容器中水的高度为2厘米，经过一段时间后测得下方容器水面高度为6厘米，问此时的时间是多少？（取近似值3） 【答案】15时 【分析】先计算下方圆柱形容器增加水的毫升数，再算每分钟滴水的毫升数，用除法算出经过的时间，再加上原来的时刻即为此时的时间。 【解答】这段时间水增加的体积为： ＝1200mL 1200÷4＝300分钟＝5小时 上午10时＋5小时＝15时 答：此时的时间是15时。 【点评】考查了学生分析解决问题的能力，灵活应用圆柱容积公式是解答此题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 圆柱和圆锥的体积 一、圆柱的体积 二、圆柱的容积 三、圆柱与圆锥体积的关系 四、圆锥的体积或容积 五、体积的等积变形 六、立体图形的切拼 七、组合体的体积 八、不规则物体的体积 知识点1圆柱的体积 1、圆柱体积计算公式的推导。 圆柱的体积和拼成的长方体的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 长方体的体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高 如果V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆柱形容器的容积=圆柱形容器内部的底面积×内部的高，当容器壁的厚度忽略不计时，容器的体积等于容积。 3、圆柱体积的求法：①已知底面积和高，圆柱的体积V=Sh；②已知底面半径和高，圆柱的体积 V=πr2h；③已知底面直径和高，圆柱的体积 V=π()2h；④已知底面周长和高，圆柱的体积 V=π()2h。 重难点一 圆柱的体积 【典例1】一根圆木长3米，横截成2段后，表面积增加0.3平方米，则这根圆木的体积是( )立方米。 【典例2】一个长方形，长8厘米，宽6厘米，以长为轴旋转一周，形成圆柱，以宽为轴旋转一周，形成圆柱（如图）。圆柱和圆柱体积的最简整数比是( )∶( )。 【变式1-1】把一根长5米的圆柱木料，截成3段，表面积增加了0.24平方米（如图所示）这根木料原来的体积是( )立方米。 【变式1-2】把一个底面直径6厘米，高5厘米的圆柱平均分成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的体积是( )，表面积是( )。 【变式1-3】王叔叔准备建一个圆形游泳池，底面直径是40米，深2米。这个游泳池的占地面积是( )平方米，在池的侧面和池底抹一层水泥，抹水泥的面积是( )平方米，挖成这个游泳池共挖土( )立方米。 重难点二 圆柱的容积 【典例3】如图中饮料瓶中装有1.8升饮料，正放时饮料的高度是15厘米，倒放时空余部分的高度是10厘米，这个瓶子最多还可以装进( )升的饮料。 【典例4】一个圆柱形玻璃杯，从里面量底面直径是10厘米，玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的。将两个同样大小的鸡蛋放入杯子中，浸没在水中。这时水面上升了8厘米，刚好与杯子口相平，这个玻璃杯的容积是( )毫升。 【变式2-1】要做一个无盖水桶，底面直径是4，高是5.5，至少需要( )的铁皮，这个水桶的容积是( )L。 【变式2-2】有一个注满水的圆柱形蓄水池，底面半径是10米，用去部分水后，水面比注满时下降60厘米，剩下的水正好是这个水池容积的，这个水池的容积是( )升。 【变式2-3】如图，一块长方形铁皮，剪下图中的阴影部分，正好可以做一个圆柱形油桶。这个油桶的容积是( )立方分米。（铁皮厚度忽略不计） 知识点2圆锥的体积 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆锥体积的求法：①已知底面积和高，圆锥的体积V=Sh；②已知底面半径和高圆锥的体积 v=πr2h；③已知底面直径和髙，圆锥的体积 V=π()2h；④已知底面周长和高，圆锥的体积 V=π()2h。 重难点三 圆柱与圆锥体积的关系 【典例5】已知一个圆锥与一个圆柱等底等高，且它们的体积和是32立方厘米，那么这个圆锥的体积是( )立方厘米。 【典例6】如图，直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成的立体图形是( )，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3，与它等底等高的圆柱的体积是( )cm3。 【变式3-1】等底等高的圆柱和圆锥体积之差是24立方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 【变式3-2】琪琪用橡皮泥捏成了一个底面积为3cm2，高为8 cm的圆锥，亮亮用同样多的橡皮泥捏成一个等高的圆柱，亮亮捏成的圆柱的底面积是( )cm2。 【变式3-3】等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是208立方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 重难点四 圆锥的体积或容积 【典例7】一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是( )cm3。 【典例8】一个圆柱和一个圆锥的体积和高都相等，圆锥的底面积是45平方厘米，圆柱的底面积是( )平方厘米。 【变式4-1】一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是( )cm3。 【变式4-2】一个圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等。圆柱的体积是18.84立方分米，圆锥的体积比它少了( )立方分米。 【变式4-3】一个圆柱的侧面展开图是一个长方形，已知圆柱的高是20厘米，底面周长是62.8厘米，那么长方形的长是( )厘米，圆柱的底面直径是( )厘米。这个圆柱的侧面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )。（得数保留一位小数） 重难点五 体积的等积变形 【典例9】一个圆锥形铁块的体积是200立方厘米，比与它等底等高的圆柱的体积少( )%（百分号前面保留一位小数），把它熔成一个正方体，这个正方体的体积是( )立方厘米。 【典例10】把一块底面直径是2厘米、高是3厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个底面直径是2厘米的圆锥，这个圆锥的高是( )厘米。 【变式5-1】手工课上，湛湛用一块75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9厘米的圆锥，它的体积是( )立方厘米，底面积是( )平方厘米。 【变式5-2】下图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器倒置后，水面高7cm，如果将这个容器正放，那么容器内水面高是( )cm。 【变式5-3】把一块体积是78.5立方厘米的长方体钢块，熔铸成一个底面周长是6.28厘米的圆锥。这个圆锥的高是( )厘米。（π取3.14） 重难点六 立体图形的切拼 【典例11】把高15厘米的圆柱平行于底面切成两段，表面积增加了40平方厘米，原来圆柱体的体积是( )立方厘米。 【典例12】在科技小组活动时，兰兰和同学们想制作神舟十五号的载人飞船模型，她把一根长8dm的圆柱截成4个小圆柱，表面积比原来增加了42dm2，这个圆柱原来的体积是( )dm3。 【变式6-1】一个正方体的体积是240立方厘米，把它削成一个最大的圆锥，那么圆锥的体积是( )立方厘米。 【变式6-2】一个木制圆锥形陀螺底面直径是6cm，高是4cm，沿底面直径把陀螺切成两个完全相同的两部分，表面积增加了( )，制作这个陀螺需要( )木料。 【变式6-3】如图，圆柱直径4dm，高2dm，体积是( )dm3；如果把它加工成最大的圆锥，圆锥的体积是( )dm3。 重难点七 组合体的体积 【典例13】求出下面图形的体积。 【典例14】如图，一个长方体的上面有一个圆锥，计算这个组合图形的体积。 【变式7-1】求出下面形体的体积。 【变式7-2】求下列图形的体积。（单位：厘米） 【变式7-3】求下面图形的体积。 重难点八 不规则物体的体积 【典例15】一个内底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水中浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里的水面下降多少厘米？ 【典例16】一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 【变式8-1】一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到9厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？ 【变式8-2】为测量一个不规则铁块的体积，一个学习小组做了以下实验： ①用天平称出这个铁块的重量是1.22千克；②测量出一个圆柱形容器的底面半径是5厘米；③用直尺量出圆柱形容器的高是10厘米；④在容器里注入一定量的水，量出水面高度为6厘米；⑤将铁块浸没水中（水没溢出），量出水面高度为8厘米。 要求出这个铁块的体积，记录单里，哪些信息是必须的？根据选出的信息，可得这个铁块的体积是多少？ 【变式8-3】瑞瑞和安安用不同方法测量一块不规则的石块体积： 他们俩的方法都可行吗？请计算说明。（π取3） 一、填空题 1．把一根4米长的圆木锯成3段小圆柱，表面积比原来增加了60平方厘米，这根木料原来的体积是( )立方厘米。 2．把一个圆柱的底面直径和高都扩大到原来的3倍，它的侧面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 3．一个圆柱，如果高增加，那么圆柱的侧面积就增加。现在这个圆柱的高是，它现在的体积是( )。 4．一个深、底面周长为的圆柱形蓄水池。这个蓄水池的占地面积是( )。现在蓄水池中蓄有的水，水面高是( )。 5．如上图，我们用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，推导出了梯形的面积公式。用这样的思路，可以求出上图中立体图形的体积是( )立方分米。如果要为这个立体图形制作一个长方体包装盒，至少要用( )平方分米的硬纸板。（接头处忽略不计） 6．一段长2分米的圆柱形钢材，把它沿直径锯成两个半圆柱后（如图），表面积比原来增加了160平方厘米，原来这段钢材的体积是( )立方厘米。 7．一个圆柱和一个圆锥等底等高，若圆柱的体积是8cm3，则圆锥的体积是( )cm3，若圆锥的体积是8cm3，则圆柱的体积是( )cm3。 8．一个无盖的圆柱形水桶的底面周长是9.42厘米，高是3厘米，这个圆柱体的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。 9．张伯伯家有一个圆锥形状的麦堆，底面半径是3米，高是1.5米，把它刚好装入一个高是0.5米的圆柱形的麦囤内，这个麦囤的底面积是( )平方米，体积是( )立方米。 10．一个圆锥形煤堆，占地面积24平方米，高2米。这堆煤的体积是( )立方米。如果每立方米煤的质量是1.4吨，这堆煤有( )吨。用载重量为8吨的汽车运煤，( )次可以运完。 二、计算题 11．计算下面圆柱的体积。（单位：分米） （1）           （2） 12．求下面空心钢管的体积。（单位：厘米） 13．计算下面图形的体积。（单位：dm） 三、解答题 14．一个圆锥沙堆，底面周长是62.8米，高是6米，用这堆沙铺宽为10米，厚为0.1米的长方体沙地，长方体沙地的长是多少米？（π取3.14） 15．一个底面周长是25.12厘米，高18厘米的圆柱形容器里面装有一些水，将一个底面积是37.68平方厘米的圆锥形铁块放入容器内，完全浸没在水中，拿出铁块后水面下降了3厘米。 （1）这个铁块的体积是多少？ （2）这个铁块的高是多少？ 16．一个圆锥形粮囤，从里面量底面周长为12.56米，高是9米。每立方米稻谷大约重500千克，这个粮囤大约可存多少千克稻谷？ 17．一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个铁质实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圆锥高的。圆锥的底面积是多少平方厘米？ 18．在一个底面半径为10厘米，高为6厘米的圆锥形水杯中装满水，然后把里面的水倒入一个底面长10厘米，宽4厘米的空长方体的容器里，此时长方体容器里的水面高度是多少厘米？ 19．王大爷要给在上海工作的儿子快递4罐茶叶（如图所示），为便于堆放，快递公司决定用长方体纸箱包装。请你帮忙设计一种包装方案（画出草图），并计算所需纸皮的面积（拼接部分忽略不计）。 底面直径8cm，高10cm 20．李师傅要做一个零件（如图），有一个棱长6厘米的正方体铁块，在它的两个底面之间挖一个圆柱形圆孔，圆孔的底面直径是4厘米，剩下的部分就是这个零件了，此时零件的体积是多少立方厘米？ 21．一个底面积150平方厘米的玻璃缸里有一块石头，如图所示，水深18厘米，拿出石块后水面下降到15厘米，这块石头体积是多少？ 22．（1）茶杯中部的一圈装饰带好看吧，那是小红怕烫伤爸爸的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头处忽略不计） （2）这个茶杯的容积大约是多少毫升？（玻璃厚度忽略不计） 23．实验室有一个长方体水槽，长5分米，宽4分米，高3分米。根据实验要求，现在要用水至少填满这个容器的70%。请问用一个底面半径为2分米，高4分米的圆柱形小水桶装满水进行灌注，能否只用一次就满足实验要求？ 24．笑笑家最近购买了一台电热水器（外壳和内胆均为近似的圆柱体），外壳长为6分米，底面直径为4分米，内胆从里边量长为5分米，底面直径为3分米。 （1）外壳的表面积是多少平方分米？ （2）内胆的容积约是多少升？（结果取整数） 25．在科学实验兴趣课上，笑笑制作了如图所示的简易滴水计时器，经测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴约为1毫升），下方为底面直径的圆柱形透明容器，笑笑于上午10点测得下方容器中水的高度为2厘米，经过一段时间后测得下方容器水面高度为6厘米，问此时的时间是多少？（取近似值3） 学科网（北京）股份有限公司 $$