第2章 一元二次方程（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第2章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的整体换根 【解惑】一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则所求的方程可转化为方程，从而可得，，将代入计算即可得． 【详解】解：令， 则方程可转化为方程， ∵一元二次方程的两根分别为，1， ∴方程的两根分别为，1， ∴，， 即，， ∴，， 即方程的两根分别为，， 故选：D． 【融会贯通】 1．若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 把化为： 再结合题意可得，从而可得方程的解． 【详解】解：可化为： 关于的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为． 故选D． 2．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，深刻理解换元法的思想是解题的关键． 依据题意可知，方程的解为或，进一步求解即可得出答案． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，， 故答案为：，． 3．已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为 ． 【答案】或， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据已知方程的解得出或，求出即可，能根据已知方程的解得出或是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程的两根分别为，， 方程中或， 解得：或， 方程的两根分别为或， 故答案为：或． 类型二、一元二次方程的换元法 【解惑】若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，把原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】设， 原方程变形为：， 或 解得或， ∵， ∴． 故选：D． 【融会贯通】 1．若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 2．如果，那么 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． 令，则原方程可化为，然后展开利用因式分解法求解即可． 【详解】解：令， 则原方程可化为， 整理得，， 或 解得或m， ∴或（无意义，舍去）， 故答案为：． 3．已知为实数，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程、根的判别式等知识点，运用根的判别式验证x的存在性是解此题的关键． 设，则原方程化为，解方程求出a的值，再根据根的判别式判定即可解答． 【详解】解：设，则原方程化为， 解得：或1， 当时，，即， ∴，此方程无解； 当时，，即， ∴，此方程有实数解； 综上，． 故答案为：1． 类型三、一元二次方程的新定义运算 【解惑】设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查定义新运算，解一元二次方程的运用，理解新定义，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：，即， 解得：． 故选：C． 【融会贯通】 1．对于任意个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，掌握一元二次方程根的判别式是解答本题的关键． 先根据新定义得到，再把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：根据题意得， 整理得， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 【答案】或2/2或 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或． 【详解】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：或2． 3．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确理解“好点”的定义是解题关键．先求出，设，则，，再分三种情况：①点在上；②点与点重合，③点在上，利用勾股定理求出的值，再根据“好点”的定义求出的值，两者建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ①如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“好点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； ②如图，当点与点重合时，则， ∴，， ∴，这与点是边上的“好点”矛盾，则的情形不存在； ③如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“好点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； 综上，线段的长为或5， 故答案为：或5． 类型四、一元二次方程的整数解 【解惑】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， ∴整数k的最大值为， 故选A． 【融会贯通】 1．如果关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此根据判别式和一元二次方程二次项系数不为0列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， ∴整数k的最大值是0， 故选：A． 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先根据一元二次方程有两个不相等实数解可得m的取值范围，再解分式方程得到且，最后结合整数解可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等实数解， ∴，且， 即且， 解关于y的分式方程，可得； ∴或或， ∵且，，y为整数，即， ∴或或， ∴足条件的所有整数m的和为：． 故答案为：． 3．若关于x的一元二次方程有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解分式方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式及分式方程的解法是解题的关键． 由“关于x的一元二次方程有解”可得，解得，求解可得，由可得，由“关于y的分式方程有非负整数解”且及可得或或或，于是即可得出满足条件的所有整数a的和． 【详解】解：关于x的一元二次方程有解， ， 解得：； ， 解得：， ， ， 关于y的分式方程有非负整数解，且，， 为非负整数，且，， ，，，， 满足条件的所有整数a的和是：， 故答案为：． 类型五、一元二次方程的估算 【解惑】观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 【融会贯通】 1．在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与二次函数关系．根据题意可知函数值正负之间即为一个根的范围． 【详解】解：∵，， ∴一元二次方程的一个根x的大致范围是：， 故选：C． 2．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 3．如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 类型六、一元二次方程的规律 【解惑】为美化市容，某广场用规格为的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推． 【规律总结】 （1）图5灰砖有________块，白砖有________块；图n灰砖有________块，白砖有________块； 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，请通过计算说明你的理由． 【答案】（1），；，；（2）存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，理由见解析 【分析】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质． （1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图5白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量； （2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少56的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设成立． 【详解】解：（1）图3的灰砖数量应为，白砖数量为； 图4的灰砖数量应为，白砖应比图3上下各多一行得图4白砖的数量为：； 图5的灰砖数量应为，白砖应比图4上下各多一行得图5白砖的数量为：； 图1灰砖的数量为1 图2灰砖的数量为4 图3灰砖的数量为9 图4灰砖的数量为16 得图灰砖的数量为 图1白砖的数量为 图2白砖的数量为 图3白砖的数量为 图4白砖的数量为 得图白砖的数量为 故答案为：25，24；，． （2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少56， 白砖数量为，灰砖数量为 ∴ ∴ ∴ ∴，或（舍去） 故当时，白砖的数量为，灰砖的数量为，白砖比灰砖少56， ∴存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形． 【融会贯通】 1．综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，⋯⋯，第n行有n个点，⋯⋯，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第n项相加，上式等号的右边变形为这n个小括号都等于，整个式子等于，于是得到．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【答案】（1）三角形点阵中前行的点数之和不可能是600，理由见解析；（2）前行的点数之和为；（3） 【分析】本题考查了图形类规律探索和一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据规律，令，计算即可； （2）结合题意知，再根据题目中的规律即可求解； （3）根据规律，令，计算即可． 【详解】解：（1）解：三角形点阵中前行的点数之和不可能是600． 理由：设三角形点阵中前行的点数之和是600， 根据题意，得， 整理得， ， 解方程，得，， 该方程没有正整数根， 所以三角形点阵中前行的点数之和不可能是600； （2）由题意得： ， ∴前行的点数之和为． （3）依题意得：， 整理得：，即， ∴（舍去），， 即：． 2．【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ． 【规律应用】 （2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 【答案】（1） （2）17 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第1个图案中有“”个，“△”个； 第2个图案中有“”个，“△”个； 第3个图案中有“”个，“△”个； 第4个图案中有“”个，“△”个； ∴第n个图案中有“”个，“△”个； 故答案为：． （2）解：依题意设第x个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍， ∴， 解得：（舍去）或． 故第17个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 3．阅读下列材料，并完成相应学习任务： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律． 学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题： (1)根据此规律可知第个三角形数是____________；（用含的代数式表示） (2)请判断是第几个三角形数？写出解答过程； (3)若相邻两个三角形数的和是，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果． 【答案】(1)； (2)78是第12个三角形数，见解析； (3)55和66． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律，根据图形找出规律是解答关键． （1）根据图形找出规律求解； （2）根据（1）的规律来求解； （3）设较小的三角形数是，则较大三角形数是，根据题意列出方程求解． 【详解】（1）解：因为第一个图三角形的个数为：， 第二个图三角形的个数为：， 第三个图三角形的个数为：， ， 第一个图三角形的个数为：． 故答案为：． （2）解：根据题意得：， 整理得， 解得，． 因为是正整数， 所以舍去， 是第12个三角形数． （3）解：设较小的三角形数是， 则较大三角形数是， 由题意得：， 解得，（舍去）， 当时，， ， 所以这两个三角形数是和． 类型七、一元二次方程的对称式 【解惑】阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为________； (2)问接应用： 已知实数，满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 【答案】(1)，，， (2)或 (3)15 【分析】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． （1）利用换元法降次解决问题； （2）分和两种情况，模仿例题解决问题即可； （3）令，，则原方程可以转化为，，再模仿例题解决问题． 【详解】（1）解：令，则有， ∴， ∴，， ∴或， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 （3）解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【融会贯通】 1．材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1)①1.5，；② (2) 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式． （1）①根据根与系数的关系解答； ②根据题意，得到实数，是方程    的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【详解】（1）解：①一元二次方程的两根分别为，， ，， 故答案为：1.5，； ②实数，满足：，， ，是方程的解， ，， ； 故答案为：； （2）解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，， 解得， ， ． 2．阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1)3； (2) (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． （1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系可得：，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （3）可把s与t看作是方程的两个实数根，则有，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：3；． （2）解：一元二次方程的两根分别为m，n， ， ． （3）解：实数s，t满足，且， s，t是一元二次方程的两个实数根， ． ， ． 3．阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 【答案】（1）5，1；（2）；（3）． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）根据根与系数的关系即可求解； （2）先验证，再在两边同时除以，得是一元二次方程的两个不等实数根，求出，变形代入即可； （3）先根据题意得到是一元二次方程的两个不等实数根，求出代入化简，又因为是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，； 解：（2）∵把代入得不合题意， ∴两边同时除以得 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出， ∴， ∴． 解：（3）将方程两边同时乘以2得， 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出 ∵是方程的两个不等实数根， ∴． 类型八、一元二次方程的应用——几何动点求t问题 【解惑】如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)存在， 【分析】本题借助动点问题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形的定义计算． （1）首先运用勾股定理求出边的长度，然后根据路程速度时间，分别表示出、的长度，由于，如果为等腰三角形，那么只有一种情况，即，可列出方程，从而求出x的值； （2）根据四边形的面积的面积的面积，列出方程，根据解的情况即可判断． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴当时，为等腰三角形； （2）解：假设存在x的值，使得四边形的面积等于， 则， 解得． 假设成立，所以当时，四边形面积的面积等于． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理： （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，，， 矩形中，， 由勾股定理知， ， 解得，（舍）， 即时，的长度等于； （2）解：如图， 由题意知， ， 的面积等于， ， ， 解得（舍），， 即时，的面积等于． 2．如图，在长方形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，利用含t的代数式表示各自线段的关系，根据题干数量关系即可确立等量关系式是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间先求出的长，进而可以求得得长； （2）根据（1）所求利用勾股定理建立方程求解即可； （3）求出长方形的面积，当五边形的面积等于时，可求出 的面积，进而根据三角形面积公式建立方程由此求得值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：存在使得五边形的面积等于．理由如下： 长方形的面积是：， ∵要使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴当时，五边形的面积等于， ∴存在使得五边形的面积等于． 3．如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，的面积能否等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)秒 (2)的面积不能等于； (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，得出等量关系是解决问题的关键． （1）设经过x秒，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和，可列方程求解； （2）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和，可列方程，根据方程有无实数根进行判断即可； （3）设经过x秒，的长度等于，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设后，，. 根据三角形的面积公式列方程， 得：. 解得：，. 当时，，不合题意，舍去. 所以秒后，的面积等于； （2）的面积不能等于， 理由：根据三角形的面积公式列方程， 得：， 整理，得：. ∵， ∴没有实数根， 所以的面积不能等于. （3）根据勾股定理得到，， 得：. 解得：，（不符合题意，舍去）. 所以后，的长度等于． 类型九、一元二次方程的新定义应用 【解惑】定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程的解为，，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的半隐二次方程． (1)方程是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由； (2)若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次不等式组、新定义、数轴与不等式的解集，理解题意新定义是解题的关键． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，再解一元一次不等式组，根据“半隐二次方程”的定义，分析得出答案即可； （2）先解一元二次方程，再解不等式组，画出数轴图，根据“半隐二次方程”的定义，得出且，解出答案即可． 【详解】（1）解：是，理由如下， 将方程左边因式分解，变形得：， ∴或， 解得：，； 解得：， ∴是不等式组的一个解，不是不等式组的解， ∴方程是不等式组的半隐二次方程； （2）解： 移项得：， 将方程左边因式分解，提取，变形得：， ∴或， 解得：，； 解得：， 如图，画出数轴图， ∵若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程， ∴且， 解得：． 【融会贯通】 1．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 【答案】(1)①② (2)7或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可； （2）由根与系数的关系可得，再根据“根差2方程”的定义可得，即，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可； （3）根据（2）可得：、，即，然后化简即可解答 【详解】（1）解：①的解为，，则该方程为“根差2方程”； ②的解为，，则该方程为“根差2方程”； ③的解为，，则该方程不是“根差2方程”； 故答案为：①②． （2）解：设关于x的方程的解为，则， ∵关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”， ∴，即， ∴，解得：或． （3）解：∵关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”， ∴，， ∴， ∵ ∴． 2．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2)5 (3)或 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，代入可求出的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，且，然后分两种情况：①和②，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， ， ∵，且， ∴一元二次方程是“限根方程”， 故答案为：是． （2）解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴， 解得或， ①当时，方程为， 由（1）可知，这个方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，方程为， 解得， ∵，， ∴方程不是“限根方程”， ∴不符合题意，舍去， 综上，的值为5． （3）解：， ， 解得或， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴这个方程有两个不相等的负实数根， ∴方程根的判别式，，且， 解得，且， ①当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设， 综上，的取值范围为或． 3．定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若且，则称这个方程为“特优方程”． 如：一元二次方程的两根为，，满足，所以一元二次方程为“特优方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“特优方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程是“特优方程”，且方程的两根，满足，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“特优方程”，求的取值范围． 【答案】(1)一元二次方程是“特优方程”，理由见解析 (2) (3)的取值范围是或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“特优方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“特优方程”的定义判断即可； （2）由可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求解； （3）解该一元二次方程，得出或，再根据此方程为“特优方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，分两种情况：当时，当时，根据可求出的取值范围． 【详解】（1）解：一元二次方程是“特优方程”，理由如下： ，，满足，， 一元二次方程是“特优方程”； （2）关于的一元二次方程为， ，， ， ， ， 整理得：， ， ， （不合题意，舍去），， 当时，原一元二次方程为， 解得：，， 满足，， ； （3） 或 解得：或， 是“特优方程”， ，， ， ，且， 当时，或， ， ， 解得：， 当时，或， ， ， 解得：， 综上所述，的取值范围是或． 类型十、配方法的应用 【解惑】我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式_____________； (2)已知，则的值是多少？ (3)数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值是2．请你解答，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）利用完全平方公式变形为，求得和的值即可解决； （3）将变形为即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ∴代数式的最小值为4． 【融会贯通】 1．【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，；当时， 【分析】（）利用配方法解答即可求解； （）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出，进而求出，最后根据的值判断即可求解； 本题考查了配方法，整式的运算，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：由题意得，，， ∴， 当时，，即， ∴当时，； 当时，，即， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 2．综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3． 【方法应用】 （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． 【问题迁移】 （2）若，求，． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查了配方法的应用，解题关键是熟练掌握配方法，根据题目给出的方法进行求解； （1）按照例题给出的方法计算即可； （2）按照题目给出的方法配方，再根据非负数的性质求出字母的值即可； （3）根据“勾系一元二次方程”的定义得出一元二次方程各系数的关系，再利用配方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 的最小值为； （2）， ， ， ， ，， ，， ，； （3）由（1）的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根， ， ， ，， ， ∴， ∴， ∴（负值舍去），， 四边形的周长为． 3．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，然后利用完全平方式的非负性即可得出答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，由可得，代入后配方得，于是得解． 【详解】（1）解：， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：四边形的面积为： ， 四边形面积的最大值为． 【一览众山小】 1．关于方程的根的说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．两实数根的和为 D．两实数根的积为 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数关系． 根据题意，表示出根的判别式，根据判别式的符号，可判断出方程实数根的情况，再根据根与系数关系进行解答即可． 【详解】解：∵， 方程有两个不相等的实数根．故选项A正确，选项B不正确， ∵两实数根的和为，两实数根的积为， 故选项C，D不正确， 故选：A． 2．已知a是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意将代入方程中，得到，从而得到，然后代入式子进行计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入方程中， 得：， ， ， 故选A． 3．已知是一元二次方程的实数根，，设，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是一元二次方程的实数根，即可得出，代入变形后的得出． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ， ， ， ， ． 故选：C． 4．若关于的一元二次方程有一个根是 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的定义和解，熟练掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程的定义是解题的关键．先将代入一元二次方程，求解出的值，再结合一元二次方程的二次项系数不为，即可求解． 【详解】解：将代入， 得：， 化简得：， 解得：，， ∵是一元二次方程， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 5．如果关于的一元二次方程的两根为1和，那么多项式可分解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将代入原方程，求出的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴把代入，得， 解得：． 则 故答案为：． 6．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为，按此法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为，x为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由构造的图形得，大正方形的面积为 ，即可求解；理解几何方法，能求出大正方形的面积是解题的关键． 【详解】解：， 阴影部分的面积为， ， 设， ， 大正方形的面积为： ， 大正方形的边长为 ， ； 故答案为：． 7．已知． (1)若，请求出x的值； (2)请比较A与B的大小，并说明理由． 【答案】(1)x的值为； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了直接开平方法和配方法的应用． （1）根据列方程求解即可； （2）求出，然后利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：x的值为； （2）解：，理由如下：∵ ， 又对于任意的x部有， ∴． ∴． 8．已知：如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 【答案】(1)2秒 (2)2秒或3秒 【分析】本题考查勾股定理和一元二次方程的应用： （1）设秒后，的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）设秒后，的面积等于，根据面积公式，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，的长度等于， 由题意，得：，则：， ∵， ∴，即：， 解得：（舍去）或， ∴P，Q分别从A，B同时出发2秒后，的长度等于； （2）解：设秒后，的面积等于， 由题意，得：， 解得：或； 答：P，Q分别从A，B同时出发2秒或3秒后，的面积等于． 9．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【详解】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 10．阅读下列范例，按要求解答问题． 例：已知实数、、满足，，求、、的值． 解法1：由已知得，①．② 将①代入②，整理得．③ 由①、③可知，、是关于的方程④的两个实数根． ，即．而，，， 将代入④，得．，即．，． 解法2：，、设，．① ，．② 将①代入②，得． 整理，得，即．，． 将、的值同时代入①，得，．，． 以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数、满足，，则、是关于的一元二次方程的两个实数根，然后利用判别式求解． 以上解法2是采用均值换元解决问题。若实数、满足，则可设，，一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决． 下面给出两个问题，解答其中任意一题： (1)用另一种方法解答范例中的问题． (2)选用范例中的一种方法解答下列问题： 已知实数、、满足，，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】此题考查了利用换元法根据根与系数的关系构造一元二次方程，还涉及非负数的性质等内容，解决本题的关键是掌握用换元法构造一元二次方程． （1）此题可以利用方程组的知识建立起与之间的关系，根据非负数的性质解答； （2）利用换元法构造一元二次方程，然后利用根与系数的关系解答． 【详解】（1）解：由已知等式消去，得， 即， ， 故，， 于是由，得， 故，； （2）证明：由已知得① ② 将①代入②得， ③ 由①③可知，、是关于的方程④的两个实数根． ， 化简得， 而， ． 将代入④， 解得， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的整体换根 【解惑】一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【融会贯通】 1．若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 2．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 3．已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为 ． 类型二、一元二次方程的换元法 【解惑】若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【融会贯通】 1．若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 2．如果，那么 ． 3．已知为实数，若，则 ． 类型三、一元二次方程的新定义运算 【解惑】设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．对于任意个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 3．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 类型四、一元二次方程的整数解 【解惑】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【融会贯通】 1．如果关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 ． 3．若关于x的一元二次方程有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和是 ． 类型五、一元二次方程的估算 【解惑】观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（    ） A． B． C． D． 2．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 3．如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 类型六、一元二次方程的规律 【解惑】为美化市容，某广场用规格为的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推． 【规律总结】 （1）图5灰砖有________块，白砖有________块；图n灰砖有________块，白砖有________块； 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，请通过计算说明你的理由． 【融会贯通】 1．综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，⋯⋯，第n行有n个点，⋯⋯，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第n项相加，上式等号的右边变形为这n个小括号都等于，整个式子等于，于是得到．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 2．【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ． 【规律应用】 （2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 3．阅读下列材料，并完成相应学习任务： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律． 学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题： (1)根据此规律可知第个三角形数是____________；（用含的代数式表示） (2)请判断是第几个三角形数？写出解答过程； (3)若相邻两个三角形数的和是，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果． 类型七、一元二次方程的对称式 【解惑】阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为________； (2)问接应用： 已知实数，满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 【融会贯通】 1．材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 2．阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 3．阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 类型八、一元二次方程的应用——几何动点求t问题 【解惑】如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在长方形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 3．如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，的面积能否等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 类型九、一元二次方程的新定义应用 【解惑】定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程的解为，，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的半隐二次方程． (1)方程是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由； (2)若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，求的取值范围． 【融会贯通】 1．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 2．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 3．定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若且，则称这个方程为“特优方程”． 如：一元二次方程的两根为，，满足，所以一元二次方程为“特优方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“特优方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程是“特优方程”，且方程的两根，满足，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“特优方程”，求的取值范围． 类型十、配方法的应用 【解惑】我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式_____________； (2)已知，则的值是多少？ (3)数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值是2．请你解答，求代数式的最小值． 【融会贯通】 1．【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 2．综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3． 【方法应用】 （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． 【问题迁移】 （2）若，求，． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长． 3．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【一览众山小】 1．关于方程的根的说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．两实数根的和为 D．两实数根的积为 2．已知a是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A．6 B．5 C．4 D． 3．已知是一元二次方程的实数根，，设，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程有一个根是 ，则的值为 ． 5．如果关于的一元二次方程的两根为1和，那么多项式可分解为 ． 6．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为，按此法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为，x为 ．    7．已知． (1)若，请求出x的值； (2)请比较A与B的大小，并说明理由． 8．已知：如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 9．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 10．阅读下列范例，按要求解答问题． 例：已知实数、、满足，，求、、的值． 解法1：由已知得，①．② 将①代入②，整理得．③ 由①、③可知，、是关于的方程④的两个实数根． ，即．而，，， 将代入④，得．，即．，． 解法2：，、设，．① ，．② 将①代入②，得． 整理，得，即．，． 将、的值同时代入①，得，．，． 以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数、满足，，则、是关于的一元二次方程的两个实数根，然后利用判别式求解． 以上解法2是采用均值换元解决问题。若实数、满足，则可设，，一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决． 下面给出两个问题，解答其中任意一题： (1)用另一种方法解答范例中的问题． (2)选用范例中的一种方法解答下列问题： 已知实数、、满足，，求证：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$