第2章 一元二次方程（中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第2章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的变形求值 【解惑】若为方程的一个解，则代数式的值为（   ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，根据方程的解得到，把代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的一个解， ∴， 则， ∴， 故选：D 【融会贯通】 1．已知为一元二次方程的根，那么的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程解的定义和求代数式的值．根据一元二次方程解的定义得，把代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：为一元二次方程的根， ∴， 则， ∴， 故选：A． 2．关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质；首先根据题意，得为方程的一个根，从而得到方程的另一个根，再通过列三元一次方程组并求解，即可得到答案． 【详解】∵， ∴为方程的一个根， ∵一元二次方程的两根分别为，，且， ∴方程的另一个根为2或者 当方程的两根分别为，2时，得 得， ∴ 当方程的两根分别为，时，得 得，即 ∴ 故答案为：或． 3．已知a是一元二次方程的一个解，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程得：，从而求出，的值，再整体代入是代数式进行计算即可． 【详解】解：把代入方程得：， ，， ， 故答案为：2． 类型二、一元二次方程的赋值求解 【解惑】已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，可得出，在等式的两边同时除以，可得出，进而可得出方程有一个根是2024． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 在等式的两边同时除以得：， 方程有一个根是2024． 故选：C． 【融会贯通】 1．已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的解，可得出，在等式的两边同时除以，可得出，进而可得出方程有一个根是． 【详解】关于的一元二次方程有一个根是， ， 在等式的两边同时除以得：， 方程有一个根是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键． 2．若关于的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为 【答案】 【分析】一元二次方程变形为，由于关于x的一元二次方程的一个根是，则关于的一元二次方程的一个根是，据此即可解答． 【详解】解：一元二次方程变形为， 所以此方程可看作关于的一元二次方程， 因为关于x的一元二次方程的一个根是， 所以关于的一元二次方程的一个根是， 即， 解得， 所以一元二次方程必有一根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．一元二次方程若，则方程必有一根为 ，若，则方程必有一根为 ． 【答案】 1 -1 【分析】由ax2+bx+c=0可得：当x=1时，有a+b+c=0；当x=-1时，有a-b+c=0，由此即可解答． 【详解】对于一元二次方程， ①当a+b+c=0时，x=1； ②当a-b+c=0时，x=-1. 故答案为：1；-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值． 类型三、一元二次方程的降次法 【解惑】若实数x满足，则的值为（   ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，由可得，，代入代数式，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．已知是方程的一个根，则代数式的值是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，准确计算是关键．根据一元二次方程的根的定义得到，再整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ， 故选：A． 2．若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到，进而得到，利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：2024 3．已知是一元二次方程的一个解，求值： ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的定义．理解一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．将代入即可求解． 【详解】解：已知是一元二次方程的一个解 ，即， 故答案为：． 类型四、根据一元二次方程的根求参 【解惑】若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得， 故选：． 【融会贯通】 1．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根与的关系列出不等式即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，， 解得：，且， 故选：C． 2．关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义可得且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：且，解得：且． 故答案为：且． 3．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程（是常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据题意得出，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：且， 故答案为：且 ． 类型五、根与系数关系变形求值 【解惑】若、是方程的两个根，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式等知识点，掌握、是一元二次方程的两个根，则，成为解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得、，再根据完全平方公式可得，然后再整体代入计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴、， ∴． 故选∶C． 【融会贯通】 1．已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确，； 求出，再整体代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， 则，， ， 故选：D． 2．若、是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，由方程的解可得，代入，再根据根与系数的关系得到，代入求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，根据题意，得到：，，利用整体代入法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴ ； 故答案为：11． 类型六、一元二次方程的应用——降低率/增长率问题 【解惑】为深入推进全民阅读，建设书香中国，某校七年级推出了“图书寄存漂流·建设校园书吧”的活动．七年级某班月份、月份书吧的图书存有量分别是本和本．设这两个月书吧图书存有量的月平均增长率为，则根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两个月书吧图书存有量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这两个月书吧图书存有量的月平均增长率为， 根据题意得：， 故选：． 【融会贯通】 1．年月日，在第个“世界读书日”到来之际，由河南省委宣传部、河南省直文明办指导，河南省文化和旅游厅主办，河南省图书馆、各省辖市文广旅局共同承办的“阅享新时代·书香润河南”——河南省“全民阅读”系列活动启动仪式在郑州举行．读书已经成为很多人的一种生活方式，城市图书馆是读书的重要场所之一，据统计，某图书馆对外开放的第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末三个月累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 根据题意，找准等量关系，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得： ， 故选：C． 2．某工业园区今年六月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位2500个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得， ， 故答案为：． 3．受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，年利润为亿元，年利润为亿元． (1)求该企业从年到年利润的年平均增长率； (2)若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过亿元？ 【答案】(1) (2)超过亿元 【分析】（）该企业从年到年利润的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解； （）根据（）的结果求出该企业年的利润，进而比较即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘法的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：该企业从年到年利润的年平均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该企业从年到年利润的年平均增长率为； （2）解：∵年保持前两年利润的年平均增长率不变， ∴企业年的利润为亿元， ∵， ∴该企业年的利润能超过亿元． 类型七、一元二次方程的应用——数字问题 【解惑】我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜逝世年龄的个位数字为，根据题意列出方程即可． 【详解】设周瑜逝世年龄的个位数字为， 根据题意得，． 故选：B． 【融会贯通】 1．两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这两个奇数分别为，由题意得方程，求得n的值，即可求得这两个奇数的和． 【详解】解：设这两个奇数分别为， 由题意得：， 即， 解得：， 而， 故两个奇数和为：或28； 故选：D． 2．已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可． 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 3．有一个两位数，个位数字与十位数字的和为，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大，求这个两位数． 【答案】这个两位数是68 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为，然后根据题意列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为， 根据题意，得：， 整理得， 解得，（舍去） ∴ 答：这个两位数是68． 类型八、一元二次方程的应用——传播问题 【解惑】秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选：B． 【融会贯通】 1．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键． 首先设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，则经过一轮感染，台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有台电脑被感染得出即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意，得， 故选：C． 2．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），据此列方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 列方程得：， 故答案为： 3．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 类型九、一元二次方程的应用——图形问题 【解惑】如图所示，有一个面积为的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为，求鸡场的长和宽各为多少米． 【答案】鸡场的长为米，宽为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．设鸡场平行于墙的一边长为米，则垂直于墙的一边长为米，根据鸡场的面积列一元二次方程，求解即可，注意墙长，即． 【详解】解：设鸡场平行于墙的一边长为米， 则垂直于墙的一边长为米， 根据题意，得， 化简得：， 解得：，， ∵墙长，即， ∴不合题意，舍去， ∴（米），（米）， 答：鸡场的长为米，宽为米． 【融会贯通】 1．用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒，设剪去的正方形的边长为（硬纸片厚度忽略不计）． (1)纸盒底面长方形的长为________，宽为________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)、 (2)剪去的正方形的边长为 【分析】本题主要考查列代数式，一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解几何问题的方法是解题的关键． （1）根据图示，列代数式即可求解； （2）根据题意，列式，求解即可． 【详解】（1）解：根据图示，设剪去的正方形的边长为（硬纸片厚度忽略不计）， ∴纸盒底面长方形的长为、宽为， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 整理得，， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：剪去的正方形的边长为． 2．如图所示，有一长方形的地，长为x米，宽120米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园． (1)请用含x的代数式表示正方形乙的边长： (2)若丙地的面积为3200平方米，请求出x的值． 【答案】(1)乙的边长为米 (2)x的值为200或160 【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据图形结合甲和乙为正方形即可得出正方形乙的边长； （2）由（1）可得：丙的长为米，从而得出丙的宽为米，结合“丙地的面积为3200平方米”得出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：因为甲和乙为正方形，结合图形可得丙的长为：米 同样乙的边长为米； （2）解：丙的长为米，则丙的宽为米， 所以丙的面积为： 列方程得， 去括号，得 移项，合并同类项，得 化简得， 因式分解，得 解方程得， 答：x的值为200或160． 3．《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． (1)若菜地的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 【答案】(1)的长为或 (2)要将这棵树围在矩形菜地内，菜地的面积不能是，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设的长为，则的长为，根据菜地的面积为建立方程，解方程即可得； （2）设，则，根据该菜地的面积为建立方程，解方程求出的值，从而可得的值，将其与进行比较，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， 由题意得：， 解得或， 答：的长为或． （2）解：要将这棵树围在矩形菜地内，菜地的面积不能是，理由如下： 设，则， 由题意得：， 解得， 当时，， 即当，时，这棵树没有被围在菜地里， 所以要将这棵树围在矩形菜地内，菜地的面积不能是． 类型十、一元二次方程的应用——营销问题 【解惑】某种服装，若进价为每件86元，按每件130元出售，平均每天可售出20件，后调查发现，单价每降低1元，平均每天的销量可增加5件，若想要每天获利1600元，且每件降价幅度不超过10元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价4元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识，设每件应降价x元，根据题意，列出一元二次方程，解方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每件应降价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每件降价幅度不超过10元， ∴每件应降价4元． 答：每件应降价4元． 【融会贯通】 1．某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件，已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件，为在一个月内赚取8000元利润，每件应涨价多少元？ 【答案】10元或30元 【分析】本题考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，找出等量关系式，进行正确求解是解题的关键． 根据等量关系式：单件利润销售量总利润，列方程求解即可． 【详解】解：设这种衬衫每件涨价元，由题意可得 ， 整理可得：， 解得：，， 答：每件应涨价10元或30元． 2．篮球纳入中考体育项目，有助于提升学生的身体素质、促进全面发展，因此倍受社会各界关注．某商场抓住商机将进价为80元的篮球以95元的价格售出，平均每月能售出600个．调查表明：售价在95元到115元范围内，篮球的售价每上涨1元，其销量就减少10个． (1)当售价上涨元时，那么销量为______个； (2)若要达到每月13500元利润的目标，售价应定为多少元？这时售出篮球多少个？ 【答案】(1) (2)110元；450个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系． （1）根据球的售价每上涨1元，其销量就减少10个列出代数式即可． （2）根据达到每月13500元利润的目标列出方程即可求出答案． 【详解】（1）解：篮球的售价每上涨1元，其销量就减少10个， 售价上涨元，销量就减少个， 销售量为个． （2）解：由题意可知：， 整理得，， 解得：． 售价在95元到115元范围内， （元）． （元） （个）． 答：售价应该定为110元，此时售出篮球450个． 3．商场销售的某种商品，每件进价100元，售价125元，平均每天售出20件．受经济形势的影响，该商品销量受到影响．为刺激消费，商场决定让利于顾客，经调查发现：该商品售价格每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)当该商品售价降低6元时，每天销售量可达到_____件，每天盈利_____元； (2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天的盈利可达到600元？ (3)在（2）的条件下，降价后每件商品的利润率是_____． 【答案】(1)32；608 (2)降价10元 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据每件进价100元，售价125元，平均每天售出20件，该商品售价格每降低1元，平均每天可多售出2件，列式计算即可； （2）设每件商品降价元，则现在售价是元，利润是元，售出件数是件，根据商场通过销售这种商品每天的盈利可达到600元，列出方程，解方程即可； （3）根据利润率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意知，当该商品售价降低6元时，则现在的售价是： （元）， 售出（件）， 每件的利润是（元）， 因此利润为：（元）． 答：当商品售价降低6元时，每天销售量可达到32件，每天盈利608元． （2）解：设每件商品降价元，则现在售价是元，利润是元，售出件数是件，根据题意得： ， 解得：． 为了让顾客得到更多的实惠， ，即商品降价10元． 答：为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价10元时，商场通过销售这种商品每天的盈利可达到600元． （3）解：在（2）的条件下，售价是元， 利润是：元， 利润率是． 【一览众山小】 1．一元二次方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用直接开平方解一元二次方程成为解题的关键． 直接运用直接开平方解一元二次方程即可． 【详解】解：， 所以， 所以、． 故选：A． 2．若是一元二次方程的一个解，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元一次方程，将代入方程，建立关于m的一元一次方程，求解方程即可． 【详解】解：由题意得，把代入， 得：， 解得：， 故选：D． 3．已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：C． 4．已知 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，设该方程的另一个根为，结合一元二次方程根与系数的关系可得：，再解一次方程即可得到答案． 【详解】解：是一元二次方程的一个根，设该方程的另一个根为， 则， ， 所以该方程的另一个根是． 故答案为：． 5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果（）的两个实数根是，，那么，．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后将其代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，， ， 故答案为：． 6．若实数，分别满足 且 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的求值，先根据题意可以把，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，，再 根据进行求解即可． 【详解】解：设，依题，满足方程，是这个方程的两根， ∴，， ∵； 故答案为：． 7．海螺水泥厂一月份的总产量为吨，三月份的总产量为吨，若平均每月的增长率相等，求该水泥厂的平均月增长率是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的增长率问题的解法是解题的关键．由增长率问题的数量关系 建立方程，求出其解即可． 【详解】解：设该水泥厂的平均月增长率是， 由题意，得， 解得：，（舍去）． 答：该水泥厂的平均月增长率是． 8．十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，求平均每月增长的百分率． 【答案】这两个月平均每月增长的百分率是 【分析】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，设出未知数，找出等量关系，列方程求解． 设这两个月平均每月增长的百分率是x，增长前为5000吨，增长后为7200吨，增长次数为2，由此列方程求解． 【详解】解：设这两个月平均每月增长的百分率是， 依题意得：， 解得：（舍去）， 答：这两个月平均每月增长的百分率是． 9．已知：关于x的方程 (1)求证：无论 取何值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长 ，另两边长，且，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）当时，，则，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． 【详解】（1）证明：∵， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 10．上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为60元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的变形求值 【解惑】若为方程的一个解，则代数式的值为（   ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 【融会贯通】 1．已知为一元二次方程的根，那么的值为（    ） A． B． C．0 D． 2．关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则 ． 3．已知a是一元二次方程的一个解，则代数式的值是 ． 类型二、一元二次方程的赋值求解 【解惑】已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（   ） A． B． C．2024 D． 【融会贯通】 1．已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（ ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为 3．一元二次方程若，则方程必有一根为 ，若，则方程必有一根为 ． 类型三、一元二次方程的降次法 【解惑】若实数x满足，则的值为（   ） A． B． C．2024 D．2025 【融会贯通】 1．已知是方程的一个根，则代数式的值是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．无法确定 2．若a是方程的一个根，则的值为 ． 3．已知是一元二次方程的一个解，求值： ． 类型四、根据一元二次方程的根求参 【解惑】若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则a的取值范围是 ． 3．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 类型五、根与系数关系变形求值 【解惑】若、是方程的两个根，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【融会贯通】 1．已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（   ） A． B． C． D． 2．若、是方程的两根，则的值为 ． 3．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 类型六、一元二次方程的应用——降低率/增长率问题 【解惑】为深入推进全民阅读，建设书香中国，某校七年级推出了“图书寄存漂流·建设校园书吧”的活动．七年级某班月份、月份书吧的图书存有量分别是本和本．设这两个月书吧图书存有量的月平均增长率为，则根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．年月日，在第个“世界读书日”到来之际，由河南省委宣传部、河南省直文明办指导，河南省文化和旅游厅主办，河南省图书馆、各省辖市文广旅局共同承办的“阅享新时代·书香润河南”——河南省“全民阅读”系列活动启动仪式在郑州举行．读书已经成为很多人的一种生活方式，城市图书馆是读书的重要场所之一，据统计，某图书馆对外开放的第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末三个月累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某工业园区今年六月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位2500个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 3．受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，年利润为亿元，年利润为亿元． (1)求该企业从年到年利润的年平均增长率； (2)若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过亿元？ 类型七、一元二次方程的应用——数字问题 【解惑】我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 2．已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 3．有一个两位数，个位数字与十位数字的和为，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大，求这个两位数． 类型八、一元二次方程的应用——传播问题 【解惑】秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 ． 3．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 类型九、一元二次方程的应用——图形问题 【解惑】如图所示，有一个面积为的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为，求鸡场的长和宽各为多少米． 【融会贯通】 1．用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒，设剪去的正方形的边长为（硬纸片厚度忽略不计）． (1)纸盒底面长方形的长为________，宽为________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长． 2．如图所示，有一长方形的地，长为x米，宽120米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园． (1)请用含x的代数式表示正方形乙的边长： (2)若丙地的面积为3200平方米，请求出x的值． 3．《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． (1)若菜地的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 类型十、一元二次方程的应用——营销问题 【解惑】某种服装，若进价为每件86元，按每件130元出售，平均每天可售出20件，后调查发现，单价每降低1元，平均每天的销量可增加5件，若想要每天获利1600元，且每件降价幅度不超过10元，每件应降价多少元？ 【融会贯通】 1．某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件，已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件，为在一个月内赚取8000元利润，每件应涨价多少元？ 2．篮球纳入中考体育项目，有助于提升学生的身体素质、促进全面发展，因此倍受社会各界关注．某商场抓住商机将进价为80元的篮球以95元的价格售出，平均每月能售出600个．调查表明：售价在95元到115元范围内，篮球的售价每上涨1元，其销量就减少10个． (1)当售价上涨元时，那么销量为______个； (2)若要达到每月13500元利润的目标，售价应定为多少元？这时售出篮球多少个？ 3．商场销售的某种商品，每件进价100元，售价125元，平均每天售出20件．受经济形势的影响，该商品销量受到影响．为刺激消费，商场决定让利于顾客，经调查发现：该商品售价格每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)当该商品售价降低6元时，每天销售量可达到_____件，每天盈利_____元； (2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天的盈利可达到600元？ (3)在（2）的条件下，降价后每件商品的利润率是_____． 【一览众山小】 1．一元二次方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若是一元二次方程的一个解，则m的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根是 ． 5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 6．若实数，分别满足 且 则 ． 7．海螺水泥厂一月份的总产量为吨，三月份的总产量为吨，若平均每月的增长率相等，求该水泥厂的平均月增长率是多少？ 8．十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，求平均每月增长的百分率． 9．已知：关于x的方程 (1)求证：无论 取何值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长 ，另两边长，且，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 10．上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$