第2章 一元二次方程（基础类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第2章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的定义 【解惑】下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、不是整式方程，故不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A. ，最高次数为3次，故此选项不符合题意；     B. ，是一元二次方程，故此选项符合题意； C. ，当时，是一元二次方程，故此选项不符合题意；     D. 不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．关于x的方程是一个一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式：得到即可求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 3．若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数最高次是次的整式方程，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：1． 类型二、一元二次方程的一般形式 【解惑】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：D． 【融会贯通】 1．已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由得，， ∵的常数项是， ∴，解得：， 故选：． 2．一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程一般形式的一次项系数的概念进行解答即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为： 3．若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 类型三、一元二次方程的解 【解惑】若是方程的一个根，则的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，根据题意可得，再代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：D． 【融会贯通】 1．若是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 2．如果是一元二次方程的一个根，那么常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，开平方，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．将代入，利用开平方即可求出． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入， 得， 解得：． 3．若是一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的解的问题，解题的关键是把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．先把方程的根代入一元二次方程，即可得到一个关于m的一元一次方程，解关于m的一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 将代入，得 解得： 故答案为：． 类型四、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【解惑】关于的一元二次方程根的情况，下面说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握方程根的判别式与根的情况的关系是解答本题的关键． 先求出方程根的判别式的值，然后根据方程根的判别式与根的情况的关系即可解答． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【融会贯通】 1．一元二次方程的根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：根据判别式判断一元二次方程根的情况，如果，则方程有两个不相等的实数根；如果，则方程有两个相等的实数根；如果，则方程没有实数根，据此即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 2．关于的一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，把原方程整理成一般形式，算出一元二次方程根的判别式的值，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解： 整理得到， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 3．定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①将代入的倒方程求出的值即可作出判断； ②利用和根的判别式进行判断即可； ③确定倒方程的判别式与零的关系即可作出判断； ④解一元二次方程与它的倒方程构成的方程组即可作出判断； 【详解】解：①∵的倒方程是， 又∵是的倒方程的解， ∴， 解得：，故结论①正确； ②一元二次方程是一元二次方程的倒方程， ∵， ∴， ∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故结论②正确； ③∵一元二次方程无解， ∴， ∴， ∵一元二次方程的倒方程是， 又∵， ∴它的倒方程也无解，故结论③正确； ④∵一元二次方程与它的倒方程有相同的根， ∴ 解得：， ∴这个根一定是，故结论④错误， 综上所述，正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查倒方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元一次方程，解方程组．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 类型五、列一元二次方程 【解惑】近几年，洛阳市文旅市场持续火热，从龙门石窟、应天门到洛邑古城、白马寺，处处都是灯火璀璨、人潮涌动的景象．从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键．从2021年到2023年平均增长率为，由此列式即可． 【详解】解：从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为， ∴， 故选：D ． 【融会贯通】 1．如图，要建一个面积为75平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系．设仓库的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为，而仓库的面积为75平方米，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题． 【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x米， 依题意得， 即， 故选：C． 2．2024年5月17日至19日，咸宁市第三届运动会青少年篮球比赛在通山县文体中心举行，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，问有多少支球队参赛？设有支球队参赛，依据题意列方程，化成一般式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，准确找到关键语句，从而根据等量关系准确列出方程是解答的关键．根据题意，每一个球队和其它球队可打场比赛，又赛制为单循环形式，则可列出方程求解． 【详解】解：设共有x个队参赛， 依题意，得， 化为一般式为， 故答案为：． 3．某县开展老旧小区改造，年投入此项工程的专项资金为万元，年投入资金一共为万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为， 根据题意， 故答案为：． 类型六、解一元二次方程——直接开平方法 【解惑】用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【融会贯通】 1．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）把常数移到右边，再利用直接开平方法解答即可； （）利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，． 2．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用直接开平方法解方程，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ∴， ，． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）用直接开平方法解方程即可； （2）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴，． 类型七、解一元二次方程——配方法 【解惑】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题先化为一般式，再利用配方法求解． 【详解】解： ， 解得：． 【融会贯通】 1． 解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活选择方法是解题的关键． （1）将-1移到方程右边，选用配方法求解即可； （2）移项后，选用因式分解法求解即可； （3）将3移到方程珠左边，选用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ； （3）解：， ． ∵， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 2．解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，把移到方程的右边，然后方程两边同时加4，然后利用完全平方公式即可得出，然后开平方即可得出答案． 【详解】解： ， 则， 3．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：，     直接开方得：，     即：，； （2）解：， 移项得：， 因式分解：， ，     即：，， 解得：，． 类型八、解一元二次方程——公式法 【解惑】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法，公式法求解是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）先确定，再运用求根公式，代入求值即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得，， ∴或， 解得，，； （2）解：， ∴， ∴， 解得，，． 【融会贯通】 1．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）根据公式法分解因式即可； （2）根据因式分解法分解因式即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴，； （2）解： ∴， ∴或， ∴，． 2．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解方法并灵活运用是解答的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：，，， ∴， ∴， ∴，； （2）即：方程化为 或 ∴，． 3．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解可得答案； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解： ，，， ， 则， ∴，． 类型九、解一元二次方程——因式分解法 【解惑】用适当的方法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 【融会贯通】 1．用适当的方法解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （4）解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，． 2．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，． （2）解：， ， ， 或， ，． 3．用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查用适当的方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法或公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得：， 即， 则：或， 解得：，； （2）解：， 其中，，，， ∴， ∴，， 即：，． 类型十、求证实数根 【解惑】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形的两边，的长是上述方程的两个根，当为5时，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为5或4． 【分析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出，的长，分当，时，两种情况讨论，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：， 即， 解得：，． 当时，三角形三边为5，5，6，，符合题意； 当时，即，三角形三边为5，5，4，，符合题意； 答：的值为5或4． 【融会贯通】 1．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【详解】（1）证明：， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， 即， 解得：，． 当为直角边时，， 解得：； 当为斜边时，， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为或 2．已知关于x的方程． (1)当时，求该方程的根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握“当时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此即可证出不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：当时，则方程为， ， 或， ； （2）证明：在方程中， ， ， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 3．已知：关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若此方程的解均为整数，请你求出所有符合条件的整数的值，并求出此时方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的解为或． 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了解方程． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用公式法得出，然后试算求解方程即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴方程总有两个实数根； （2）由（1）得， ∴， ∵此方程的解均为整数， ∴为奇数， 当时，， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，符合题意； ∴，方程的解为或． 【一览众山小】 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键． 根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，故A选项符合题意； B、方程的最高次数是，不是一元二次方程，故B选项不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用直接开平方法解一元二次方程成为解题的关键． 直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 故选D． 3．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：B． 4．写一个一元二次方程使它有一个解为1，另一个解为2，并且二次项的系数为1，这个方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，与一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到，将其化为一般式即可求出答案． 【详解】∵一元二次方程使它的根为1，2，二次项的系数为1， ∴． 整理得， 故答案为：． 故答案为：． 5．一元二次方程的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解． 【详解】解：一元二次方程的常数项是， 故答案为：． 6．若是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，代入求值，理解并掌握一元二次方程的根是解题的关键． 利用整体代入的思想解决问题即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点，可用公式法解方程，即可得到答案． 【详解】移项：． ∴，， ∴， ∴ ∴，． 8．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活掌握一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有直接开方法，因式分解法，公式法，配方法，属于中考常考题型． （1）用公式法先求出根的判别式再代入求根公式求解即可； （2）用十字相乘法将方程先变形成，再解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ，，， ， ． ，； （2）解：， ． 或． ，． 9．已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根是1，请求出k的值； (2)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式； （1）将1代入方程，即可求解； （2）由根的判别式得，即可求解； 理解方程的解，掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：； （2）证明：，，， ， 故无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 10．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是_____； (3)小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． (4)用配方法完整解方程 【答案】(1)降次；完全平方公式 (2)等式的基本性质 (3)三 (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． （1）根据降次思想，完全平方公式解答； （2）根据移项的依据是等式的性质解答； （3）由完全平方公式判断即可解答； （4）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次， 其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次，完全平方公式； （2）解：“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； （3）解：小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 故答案为：三； （4）解：二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得，即． 由此，可得． 所以，． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的定义 【解惑】下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的方程是一个一元二次方程，则a的取值范围是 ． 3．若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 类型二、一元二次方程的一般形式 【解惑】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【融会贯通】 1．已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的一次项系数是 ． 3．若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 类型三、一元二次方程的解 【解惑】若是方程的一个根，则的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【融会贯通】 1．若是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如果是一元二次方程的一个根，那么常数的值是 ． 3．若是一元二次方程的一个解，则的值是 ． 类型四、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【解惑】关于的一元二次方程根的情况，下面说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【融会贯通】 1．一元二次方程的根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有一个实数根 2．关于的一元二次方程根的情况是 ． 3．定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 类型五、列一元二次方程 【解惑】近几年，洛阳市文旅市场持续火热，从龙门石窟、应天门到洛邑古城、白马寺，处处都是灯火璀璨、人潮涌动的景象．从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，要建一个面积为75平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．2024年5月17日至19日，咸宁市第三届运动会青少年篮球比赛在通山县文体中心举行，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，问有多少支球队参赛？设有支球队参赛，依据题意列方程，化成一般式为 ． 3．某县开展老旧小区改造，年投入此项工程的专项资金为万元，年投入资金一共为万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 类型六、解一元二次方程——直接开平方法 【解惑】用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 【融会贯通】 1．解下列方程： (1)； (2)． 2．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 3．解方程： (1)； (2)． 类型七、解一元二次方程——配方法 【解惑】解方程： 【融会贯通】 1． 解下列方程． (1)； (2)； (3)． 2．解方程： 3．解下列方程： (1)； (2)． 类型八、解一元二次方程——公式法 【解惑】解方程： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．解方程： (1)． (2)． 2．解方程： (1) (2) 3．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 类型九、解一元二次方程——因式分解法 【解惑】用适当的方法解下列方程 (1)； (2)． 【融会贯通】 1．用适当的方法解方程 (1) (2) (3) (4) 2．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 3．用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 类型十、求证实数根 【解惑】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形的两边，的长是上述方程的两个根，当为5时，求k的值． 【融会贯通】 1．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值． 2．已知关于x的方程． (1)当时，求该方程的根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 3．已知：关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若此方程的解均为整数，请你求出所有符合条件的整数的值，并求出此时方程的解． 【一览众山小】 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．写一个一元二次方程使它有一个解为1，另一个解为2，并且二次项的系数为1，这个方程是 ． 5．一元二次方程的常数项是 ． 6．若是方程的解，则代数式的值为 ． 7．解方程：． 8．解方程： (1)； (2)． 9．已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根是1，请求出k的值； (2)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 10．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是_____； (3)小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． (4)用配方法完整解方程 6 学科网（北京）股份有限公司 $$