2.4 一元二次方程的根与系数的关系 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

2.4 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 通常称为韦达定理。对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在以下关系： 这个定理表明，不需要解方程，就可以直接通过方程的系数来求得两根之和与两根之积。 此外，在学习这一知识点时，还需要了解根的判别式△=b²-4ac。判别式的值可以帮助我们判断方程的根的情况： 当△>0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的实数根； 当△<0时，方程没有实数根（在实数范围内）。 巩固课内例1:根与系数关系变形求值 1．设，是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A．3 B．4 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到，再利用完全平方公式把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．熟记相关结论即可．由题意得：；即可求解； 【详解】解：由题意得：； ∴， 故答案为： 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，，代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得，所以的取值范围是； （2）解：根据题意得，，， 所以， 解得，， 又， 所以． 巩固课内例2:已知两根写出一元二次方程 1．已知是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用根与系数关系解决问题即可． 【详解】解：设另一个根为． ∵是关于的一元二次方程的一个根， ， ， 故选：A． 2．写出一个以和4为根的一元二次方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程，熟练运用根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设的两根分别是和4， ， ， 一元二次方程为：， 故答案为：． 3．关于的一元二次方程． (1)当时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程的两个实数根满足，写出一组满足条件的，的值． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根 (2)，（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程的知识，掌握根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由方程的系数结合根的判别式、 ，可得出，进而可找出方程有两个不相等实数根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，接下来结合已知条件，求得，故可得到a，b的值． 【详解】（1）解∶把代入，得， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴， ∴可取，． 类型一、直接求出根与系数关系 1．已知一元二次方程的两个实数解分别为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据，代入求解． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， 故选：A． 2．设，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，． 根据一元二次方程根与系数的关系即可直接得出答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 3．已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，； (2)3． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）设，是一元二次方程的两个实数根，则，． （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：方程中，， ，． 故答案为：1，． （2）解：， 故答案为：3． 类型二、公式变形求解 1．已知是方程的两个根，则的值为（   ） A．5 B．4 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系．由、是方程的两个实数根，则，，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：A． 2．若是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据方程的解，以及根与系数关系求得，再代值求解即可．本题考查一元二次方程的解以及根与系数的关系、代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：． 3．已知关于x的方程两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)设，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果是一元二次方程的两根，那么有，． （1）由方程有实根，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）利用根与系数的关系可分别表示出与的值，利用条件可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ，即， 解得； （2）解：∵方程的两个实数根为， ，， ， ∵， ∴，解得，， ∵， ∴． 类型三、与图形周长、面积结合 1．已知方程的两根分别是矩形相邻两边长，则矩形的周长是（    ） A．6 B．5 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，结合周长的意义解答即可． 【详解】∵方程的两根分别是矩形相邻两边长， ∴两邻边的和为5， 故矩形周长为10， 故选C． 2．已知矩形的周长为，面积为，且和的长恰好是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可得，，由此解答即可． 【详解】解：和的长恰好是方程的两根， ，， 矩形的周长为，面积为， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系是解此题的关键，已知一元二次方程、、为常数，的两根为，，则，． 3．已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，求这个长方形的周长和面积． 【答案】这个长方形的周长为24；面积为9 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和为12，两根之积为9，进而可求出这个长方形的周长和面积． 【详解】设一元二次方程的两个根分别为和， ∴，， ∵长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根， ∴这个长方形的周长为， 这个长方形的面积为． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，． 类型一、已知一个根求另一个根 1．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根是（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系来求方程的另一根即可． 【详解】解：设方程的另一根为，则， 解得． 故选：C． 2．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系；设该方程的另一个根为，然后根据“”可进行求解． 【详解】解：设该方程的另一个根为， 由关于x的一元二次方程的一个根是， 可得：， ∴； 故答案为：4． 3．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值和另一根； (2)试取的一个整数值，使方程有两个根都是正整数，写出的值，并求此时方程的解． 【答案】(1)，； (2)，，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解一元二次方程；如果一元二次方程的两个根分别为，，则有，． 把代入一元二次方程，可以求出，把代入方程可得原方程化为，解方程求出另一个根即可； 根据一元二方程根与系数的关系可知，又因为方程有两个根都是正整数，所以可知且为偶数，取，代入方程求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有一个根为， ， 解得：， 原方程化为， 分解因式得：， 解得：， 方程的另一根为； （2）解：设关于的一元二次方程的两个根分别为，， 则有， 方程的两个根都是正根， ， 解得：， 若， 解得：， 方程为， 整理可得：， 分解因式可得：， 方程的解为，． 类型一、新定义问题 1．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（    ） A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系．用因式分解法求解方程得出，，再根据一元二次方程根的判别式，得出m的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，， ∵总有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵n是正整数， ∴，2，3，4，5，6， ∵方程是“倍根方程”， ∴3能被整除或能被3整除， ∴或5． 故选：B． 2．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 根据新定义运算列出一元二次方程，再结合根与系数的关系求出和的值，最后通过对完全平方公式变形求出分式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m，n是方程的两根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2)k的值为9 (3)或 【分析】本题考查了根与系数的关系，也考查了解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）先利用根与系数的关系得，，再利用得到，则可求得，，然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方程”的定义确定的值； （3）利用因式分解法解方程得到或，再根据“限根方程”的定义得到时，当时，，然后解关于的不等式即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以，， ，， 所以一元二次方程为“限根方程”， 故答案为：是； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ，即， 解得，， 当时，方程化为， 解得，， ，， 方程是“限根方程”， 当时，方程化为， 解得，， ， 方程化不是“限根方程”， 综上所述，的值为9； （3）解：， ， 或， 解得或， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为或． 类型二、对称式问题 1．已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可求出，进而可得是关于t的方程的两个实数根，则由根与系数的关系可求出，据此可得答案． 【详解】解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴是关于t的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 2．若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ． 【答案】2030 【分析】本题考查根与系数的关系，根据，是两个不相等的实数，且满足，，可以得到、的值和，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是两个不相等的实数，且满足，， ∴，可以看作方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：2030． 3．阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形计算、分式的混合运算等知识，掌握一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系为“，”是解题的关键； （1）利用根与系数的关系，即可得出的值； （2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求解； （3）由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，进而求得的值，再将其代入中，即可求解； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ； （3）解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 即或 当时， ； 当时， ； 1．一元二次方程的一个根是3，则另一个根是（　　） A．2 B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．设方程的另一个根为m，由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 则有， 解得：， 故选：A． 2．若，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 3．有下列四个命题：①若，则；②若，则；③命题“若，则”的逆命题；④若一元二次方程的两根是1和2，则方程的两根是和．其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】对于①，利用直接开平方法求解；对于②，解分式方程中，最后需要检验增根；对于③，先写出逆命题，再判断；对于④，根据一元二次方程方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：①若，则，故①错误，是假命题，不符合题意； ②， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解， 故②错误，是假命题，不符合题意； ③命题“若，则”的逆命题为“若，则”这是错误的，由于时，不成立，故③错误，是假命题，不符合题意； ④若一元二次方程的两根是1和2，则，， ∴ ∴方程化为， 即 ， ∴， ∴④若一元二次方程的两根是1和2，则方程的两根是和正确，是真命题，符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，真假命题和逆命题，解分式方程，不等式的性质，综合性较强，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系； 根据一元二次方程的两根进行求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 5．若的两个根分别为，，且，则 ． 【答案】19 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【详解】解：的两个根分别为，，且， ，， ． 故答案为：19． 6．已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为 ． 【答案】0或8/8或0 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得或，分两种情况：①和②，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ①当时，这个方程有两个相等的实数根， 则这个方程根的判别式， 解得或； ②当时，则，符合题意； 综上，的值为0或8， 故答案为：0或8． 7．已知关于的一元二次方程的一个根为，求其另一根． 【答案】2 【分析】本题考查了根与系数的关系，设该一元二次方程的另一根为，则根据根与系数的关系得到，由此易求的值． 【详解】解：设关于的一元二次方程的另一个根为，则， 解得， ∴另一个根是2． 8．已知方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知方程的一个根是4，求m的值，并求出方程的另一个根． 【答案】(1) (2)，另一个根是 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，，然后解一次方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴的取值范围为； （2）设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，， 解得，， 即方程的另一根是． 9．已知关于的方程为常数）有两个实数根． (1)若，则的值是______，方程的解是______； (2)若，求的值； (3)请用含的代数式表示． 【答案】(1)36   (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）先把，代入，可得，再代入原方程，再利用因式分解法，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，再利用完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程为， ∴ ， 解得：； （2）∵于的方程为常数）有两个实数根， ∵ （3）∵于的方程为常数）有两个实数根， 10．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． (3)已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 【答案】(1)，，，6 (2)； (3)3 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么，． （1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到，即可得到p、q的值； （2）等式变形为，m、可看作方程的两根，利用根与系数的关系即可解答； （3）利用已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根， ∴，； ∵2，3是方程的两根， ∴，解得． 故答案为：，，，6； （2）解：∵， ∴，即， ∵两个不相等的实数m，n满足，， ∴m、可看作方程的两根， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵，而， ∴，即． ∴c的最小整数为3． 故答案为：3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 通常称为韦达定理。对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在以下关系： 这个定理表明，不需要解方程，就可以直接通过方程的系数来求得两根之和与两根之积。 此外，在学习这一知识点时，还需要了解根的判别式△=b²-4ac。判别式的值可以帮助我们判断方程的根的情况： 当△>0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的实数根； 当△<0时，方程没有实数根（在实数范围内）。 巩固课内例1:根与系数关系变形求值 1．设，是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A．3 B．4 C．13 D．14 2．已知a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 巩固课内例2:已知两根写出一元二次方程 1．已知是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是（  ） A． B． C． D． 2．写出一个以和4为根的一元二次方程 ． 3．关于的一元二次方程． (1)当时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程的两个实数根满足，写出一组满足条件的，的值． 类型一、直接求出根与系数关系 1．已知一元二次方程的两个实数解分别为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．设，是方程的两个根，则 ． 3．已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 类型二、公式变形求解 1．已知是方程的两个根，则的值为（   ） A．5 B．4 C．7 D．6 2．若是方程的两根，则的值为 ． 3．已知关于x的方程两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)设，求m的值． 类型三、与图形周长、面积结合 1．已知方程的两根分别是矩形相邻两边长，则矩形的周长是（    ） A．6 B．5 C．10 D．8 2．已知矩形的周长为，面积为，且和的长恰好是方程的两根，则 ． 3．已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，求这个长方形的周长和面积． 类型一、已知一个根求另一个根 1．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根是（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 2．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是 ． 3．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值和另一根； (2)试取的一个整数值，使方程有两个根都是正整数，写出的值，并求此时方程的解． 类型一、新定义问题 1．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（    ） A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6 2．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为 ． 3．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 类型二、对称式问题 1．已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 2．若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ． 3．阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 1．一元二次方程的一个根是3，则另一个根是（　　） A．2 B．3 C． D．6 2．若，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．有下列四个命题：①若，则；②若，则；③命题“若，则”的逆命题；④若一元二次方程的两根是1和2，则方程的两根是和．其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若，是方程的两个根，则的值为 ． 5．若的两个根分别为，，且，则 ． 6．已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为 ． 7．已知关于的一元二次方程的一个根为，求其另一根． 8．已知方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知方程的一个根是4，求m的值，并求出方程的另一个根． 9．已知关于的方程为常数）有两个实数根． (1)若，则的值是______，方程的解是______； (2)若，求的值； (3)请用含的代数式表示． 10．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． (3)已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$