2.3 一元二次方程的应用 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

2.3 一元二次方程的应用 一元二次方程的应用 一、几何问题 利用一元二次方程可以解决与面积、周长、边长等相关的几何问题。例如，已知一个矩形的长和宽的和为定值，求使矩形面积最大的长和宽；或者已知一个三角形的两边长和夹角，求第三边的长度等。 二、物理问题 在物理学中，一元二次方程常用于描述物体的运动状态，如抛体运动、简谐振动等。通过求解一元二次方程，可以得到物体的速度、位移、加速度等物理量。 三、经济问题 在经济领域，一元二次方程常用于描述成本、收益、利润等经济指标之间的关系。例如，已知产品的固定成本和单位变动成本，以及产品的售价和销量，可以建立一元二次方程来求解最大利润或盈亏平衡点。 四、工程问题 在工程领域，一元二次方程常用于描述材料的强度、刚度、稳定性等性能指标之间的关系。通过求解一元二次方程，可以得到满足特定性能要求的材料尺寸、形状等参数。 五、其他问题 除了以上几种常见的应用分类外，一元二次方程还可以用于解决其他各种问题，如人口增长、化学反应速率、生物种群数量变化等。这些问题都可以通过建立一元二次方程模型来求解。 巩固课内例1:一元二次方程的应用——利润问题 1．某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，找出降价后的盈利与销售量是解题的关键． 根据题意，设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克，由此列式即可求解． 【详解】解：已知原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，每千克降价元，那么每天可多售出， 设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克， ∴， 故选：B ． 2．某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（营销问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设该小家电每个定价是元，根据“每个利润销量总利润”可得，解方程即可求出的值，再结合“定价不得超过55元”，即可得出答案． 【详解】解：设该小家电每个定价是元， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，， 定价不得超过55元， ， 即：该小家电每个定价是元， 故答案为：． 3．某种服装，若进价为每件86元，按每件130元出售，平均每天可售出20件，后调查发现，单价每降低1元，平均每天的销量可增加5件，若想要每天获利1600元，且每件降价幅度不超过10元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价4元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识，设每件应降价x元，根据题意，列出一元二次方程，解方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每件应降价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每件降价幅度不超过10元， ∴每件应降价4元． 答：每件应降价4元． 巩固课内例2:一元二次方程的应用——增长率问题 1．近几年，洛阳市文旅市场持续火热，从龙门石窟、应天门到洛邑古城、白马寺，处处都是灯火璀璨、人潮涌动的景象．从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键．从2021年到2023年平均增长率为，由此列式即可． 【详解】解：从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为， ∴， 故选：D ． 2．某工业园区今年六月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位2500个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得， ， 故答案为：． 3．海螺水泥厂一月份的总产量为吨，三月份的总产量为吨，若平均每月的增长率相等，求该水泥厂的平均月增长率是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的增长率问题的解法是解题的关键．由增长率问题的数量关系 建立方程，求出其解即可． 【详解】解：设该水泥厂的平均月增长率是， 由题意，得， 解得：，（舍去）． 答：该水泥厂的平均月增长率是． 巩固课内例3:一元二次方程的应用——图形问题 1．如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠的宽为，根据题意列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 把水平的水渠平移到矩形的上面，竖直的条水渠平移到矩形的左边，则平移后耕地的长为，宽为，根据耕地总面积列出方程即可． 【详解】解：设水渠的宽度为， 由题意得：． 故选：B． 2．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为，按此法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为，x为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由构造的图形得，大正方形的面积为 ，即可求解；理解几何方法，能求出大正方形的面积是解题的关键． 【详解】解：， 阴影部分的面积为， ， 设， ， 大正方形的面积为： ， 大正方形的边长为 ， ； 故答案为：． 3．用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒，设剪去的正方形的边长为（硬纸片厚度忽略不计）． (1)纸盒底面长方形的长为________，宽为________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)、 (2)剪去的正方形的边长为 【分析】本题主要考查列代数式，一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解几何问题的方法是解题的关键． （1）根据图示，列代数式即可求解； （2）根据题意，列式，求解即可． 【详解】（1）解：根据图示，设剪去的正方形的边长为（硬纸片厚度忽略不计）， ∴纸盒底面长方形的长为、宽为， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 整理得，， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：剪去的正方形的边长为． 类型一、一元二次方程的应用——数字问题 1．我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜逝世年龄的个位数字为，根据题意列出方程即可． 【详解】设周瑜逝世年龄的个位数字为， 根据题意得，． 故选：B． 2．已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可． 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 3．有一个两位数，个位数字与十位数字的和为，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大，求这个两位数． 【答案】这个两位数是68 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为，然后根据题意列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为， 根据题意，得：， 整理得， 解得，（舍去） ∴ 答：这个两位数是68． 类型二、一元二次方程的应用——降低率问题 1．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种药品原价为256元，在连续进行两次降价后价格调整为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解每次减价的计算，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． 根据题意，第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，由此列式即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的为元， ∴可列方程为． 故选：C． 2．某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的吨/(平方公里·月)，下降至2022年的吨/(平方公里·月)．若设降尘量的年平均下降率为x，则可列出关于x的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题的解法，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键． 根据“2020年的降尘量年平均下降率2022年的降尘量”求解即可． 【详解】解：若设降尘量的年平均下降率为，则， 故答案为：． 3．某制药厂将一种药剂价格逐年降低，2022年这种药剂价格为100元，2024年该药剂价格为81元． (1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； (2)若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？ 【答案】(1)2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； (2)预计2025年该药剂的价格为72.9元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘法的实际应用． （1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为． ， （舍），， 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； （2）解：（元） 答：预计2025年该药剂的价格为72.9元． 类型三、一元二次方程的应用——草坪绿化问题 1．某区两年前已有绿化面积300公顷，经过两年努力，绿化面积逐年增加，现在已达363公顷，设平均每年绿化面积的增长率为x，由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程增长率问题，关键是根据题意列出方程． 根据绿化面积经过两年变化到363公顷，设平均每年绿化面积的增长率为x，由题意可列出方程． 【详解】解：设平均每年绿化面积的增长率为x， 根据题意可得：． 故选：B． 2．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，设道路的宽为根据题意列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，根据题意，通过平移，则绿化的长为，宽为，根据长方形面积的计算方法列式即可求解． 【详解】解：根据题意，设道路的宽为，绿化的面积为， ∴，整理得，， 故答案为： ． 3．如图，为迎接创文验收，某单位对一块长为，宽为的空地进行改造，在空地中开辟了两条小道，其余部分进行绿化，若绿化面积为，请求出图中x的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键． 根据题意求出阴影部分的总面积，再列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ，（不合题意，舍去） 答：图中x的值为． 类型一、一元二次方程的应用——物理重力问题 1．以初速度竖直上抛的物体的高度和时间满足关系式（为重力加速度，）爆竹在地面点燃后以初速度上升，则爆竹离地米的时间是（    ） A． B．或 C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，可以将代入题目中的关系式，从而求得的值即可．解题的关键是明确题意，正确列出方程并求解即可． 【详解】解：由题意可得， 将，，代入， 得：， 解得：，， ∴经过秒或秒时，爆竹离地米． 故选：B． 2．对于竖直上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，有如下关系式：h＝v0t－gt2(其中h是上升的高度，v0是初速度，g是重力加速度，t是抛出后所经过的时间)．如果将物体以每秒30米的初速度向上抛，物体 秒处于离抛出点40米的地方(其中g＝10米/秒2)． 【答案】2或4 【分析】要求多长时间后它在离抛出点40米高的地方，只需求出h=40时t的值；把题目已知条件代入所给关系式，可以得到一个关于t的一元二次方程30t-×10t2=40；接下来对上述一元二次方程进行求解，再结合t为正整数即可求出答案. 【详解】根据题意，可列方程30t-×10t2=40， 化简，得t2-6t+8=0， 解得t1=2，t2=4. ∴2秒或4秒钟时它在离抛出点40米高的地方. 故答案为2或4. 【点睛】此类题目主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意得出一元二次方程是解答本题的关键. 3．某种爆竹点燃后，其上升高度和时间符合关系式：，其中g以计算．这种爆竹点燃后以的初速度上升，问：这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地面的高度为？ 【答案】或 【分析】先根据题意求出其上升高度h(m)和时间t(s)符合关系式，然后把h=15代入关系式解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， ∴当这种爆竹离地面的高度为时，， 整理，得， 解得，， 故这种爆竹在地面上点燃后，经过或离地面的高度为． 答：经过或离地面的高度为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确求出关系式和解一元二次方程． 类型二、一元二次方程的应用——银行储蓄问题 1．张明同学参加“献爱心”储蓄活动，把积蓄的100元存入银行，如果月利率是0.2%，那么x个月后，本金与利息的和是(　　) A．100(1+0.2%)x B．100×0.2%x C．100(1+0.2%x) D．100(1+x)×0.2% 【答案】C 【分析】利用本金与利息的和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数，即可求得答案. 【详解】解：利息＝100×0.2％×x,利用本金与利息的和＝100+100×0.2％×x.故选：C. 【点睛】熟练掌握本金和利息的和和利息的计算公式是本题解题的关键. 2．小明将500元压岁钱存入银行，参加教育储蓄，两年后本息共计615元，若设年利率为x，则方程为 . 【答案】500(1+x)2=615 【分析】根据题意可以直接列方程化简后即得到所求. 【详解】根据题意列方程：500+500x+(500+500x)x=615，整理得方程500（1+x）2=615. 【点睛】本题考查了生活中问题转化为方程来解答，掌握把题意转化为方程是解决此题的关键. 3．某人把2万元存入银行，定期一年（无利息税），到期时他支取了1万元，然后把其余的钱仍存入银行，定期一年（利率不变），再到期时他取得本利合计为1.1232万元．求这种定期储蓄的年利率． 【答案】这种定期储蓄的年利率为 【分析】设这种存款方式的年利率x，根据题意可知利息本金利率时间，代入数据就可以建立一元二次方程，求出其解就可以了． 【详解】解：设这种定期储蓄的年利率为x，则根据题意可得： ， 化简，得：， 解得：(不合题意，舍去)， 这种定期储蓄的年利率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握利率问题的几个数量关系：利息本金利率时间，本息和本金利息． 类型三、一元二次方程的应用——比例问题 1．已知一个菱形的边长是，两条对角线长的比是4：3，则这个菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于两条对角线长的比是4：3，设菱形的对角线分别为和，已知菱形菱形的边长为，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理得，求出x，所以菱形的面积，代入求值即可． 【详解】解：设菱形的对角线分别为和， 菱形的面积， 已知菱形菱形的边长为， 根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知， 解得， 所以菱形的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的面积问题，掌握菱形面积的两种求法，利用对角线的比关系，引进未知数，便可表示面积，利用勾股定理解决未知数使问题得解是关键． 2．已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为18，则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于 ． 【答案】2 【分析】设矩形的长、宽分别为a、b（a≥b），得到，令t＝，求解即可； 【详解】解：设矩形的长、宽分别为a、b（a≥b）． 则，即4a2+（8﹣18）ab+4b2＝0． 两边都除以b2， 得到：， 令t＝，则4t2+（8﹣18）t+4＝0． 解得，， ∵a≥b， ∴， ∴； 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． 3．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是．已知镜面的价格是每平方米元，边框的价格是每米元，另外制作这面镜子还需加工费元．如果制作这面镜子共花了元，求这面镜子的长和宽． 【答案】这面镜子的长米，宽米 【分析】按照长、宽比设未知数，用：镜面玻璃费用边框费用加工费共花费195元，建立方程，再解方程即可． 【详解】解：设长方形镜子的宽为，则长为， 依题意： 整理得： 解得：（舍去），， 所以，． 答：这面镜子的长米，宽米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确的列出方程是解题的关键．列方程时，应考虑有三个方面的花费．要根据未知数的实际意义进行取舍． 类型一、一元二次方程的应用——营销问题 1．某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选A． 2．山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米（如图），每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售，根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则该店铺每天可获得的最大利润为 元． 【答案】1250 【分析】本题考查了利用二次函数解决实际问题能力，根据：每天的总利润=每个玩具利润×降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式，将函数表达式配方成顶点式，可求出最大利润． 【详解】解：解：设每个玩具售价下降了x元，商场每天的销售利润为y元．降价后商场平均每天可售出箱装小米数量为箱； 由题意得， ∴当时，y有最大值1250． ∴该商场每天获得的利润最大利润是1250元． 故答案为：1250． 3．篮球纳入中考体育项目，有助于提升学生的身体素质、促进全面发展，因此倍受社会各界关注．某商场抓住商机将进价为80元的篮球以95元的价格售出，平均每月能售出600个．调查表明：售价在95元到115元范围内，篮球的售价每上涨1元，其销量就减少10个． (1)当售价上涨元时，那么销量为______个； (2)若要达到每月13500元利润的目标，售价应定为多少元？这时售出篮球多少个？ 【答案】(1) (2)110元；450个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系． （1）根据球的售价每上涨1元，其销量就减少10个列出代数式即可． （2）根据达到每月13500元利润的目标列出方程即可求出答案． 【详解】（1）解：篮球的售价每上涨1元，其销量就减少10个， 售价上涨元，销量就减少个， 销售量为个． （2）解：由题意可知：， 整理得，， 解得：． 售价在95元到115元范围内， （元）． （元） （个）． 答：售价应该定为110元，此时售出篮球450个． 类型二、一元二次方程的应用——几何动点求t问题 1．如图，已知在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当的面积等于时，共需的时间为（　　） A．1s B．2s或4s C．3s D．3.5s 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——几何问题，用运动路程表示相关线段的长度是解题的关键． 运动x秒后，，，根据三角形的面积公式建立一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设x秒后的面积等于，由题意得， ， 解得：，， 故选：B． 2．如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 【答案】2或4/4或2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则，， ∵，， ∴cm， ∵线段将分成面积的两部分， ∴或， ∴，或， 整理得：或（无实数解），     解得，， 即线段将分成面积的两部分，运动时间为2或4秒． 故答案为：2或4． 3．已知：如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 【答案】(1)2秒 (2)2秒或3秒 【分析】本题考查勾股定理和一元二次方程的应用： （1）设秒后，的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）设秒后，的面积等于，根据面积公式，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，的长度等于， 由题意，得：，则：， ∵， ∴，即：， 解得：（舍去）或， ∴P，Q分别从A，B同时出发2秒后，的长度等于； （2）解：设秒后，的面积等于， 由题意，得：， 解得：或； 答：P，Q分别从A，B同时出发2秒或3秒后，的面积等于． 1．2024年国庆假期期间，有着“悬塑绝唱”之称的隰县小西天景区迎来了有史以来最大游客量．国庆假期第一天，小西天景区游客量达9502人，第二天游客量继续增长，若保持相同的增长率，第三天游客量将达到27000人，远超小西天的最大客容量10000人，因此景区决定实行分批次游览和分时段限量售票机制．设第二天的游客量增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程式解题的关键． 根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得， 故选：C ． 2．今年月份某品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，月份的生产成本为万元．假设今年每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个月生产成本的下降率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每个月生产成本的下降率为， 根据题意得：， 故选：． 3．在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的运用，根据题意找出等量关系，列出方程式解题的关键． 根据等量关系是挂图的面积等于，而挂图的长和宽分别等于原风景画的长和宽加上两个金色纸边的宽度，通过设未知数，列出方程，即可解答。 【详解】解：设金色纸边的宽为，依题意得：                       ．     故选：B. 4．随着生产技术的进步，某制药公司近两年生产甲种药品的成本逐年下降．现在生产1千克甲种药品的成本为100元，而两年前生产1千克甲种药品的成本为120元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，则根据题意，列出关于x的方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据“现在生产1千克甲种药品的成本为100元，而两年前生产1千克甲种药品的成本为120元”列方程即可． 【详解】解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，列方程为， 故答案为：． 5．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如上面表格所示，设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，可列方程为 ． 观鸟记录年度总结 2020年：观测鸟类150种 2021年：观测鸟类 2022年：观测鸟类216种 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用；根据增长率问题的等量关系列方程即可． 【详解】解：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x， 由题意得：， 故答案为：． 6．某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设降价元，根据题意列出方程求出即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设降价元， 由故意得，， 整理得，， 解得，， ∵要让顾客得实惠， ∴， ∴应将销售单价定为元， 故答案为：． 7．如图所示，某学校有一道长为米的墙，计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的矩形草坪，求的长． 【答案】8米 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式面积的计算方法是解题的关键． 设矩形草坪边的长为米，则边的长为米，根据围成一个面积为平方米的矩形草坪，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设矩形草坪边的长为米，则边的长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 答：的长为米． 8．新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为130米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，沿着和修建宽度相同的充电桩区域，，剩余停车场的面积为5000平方米，求边和边减少的长度． 【答案】30米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设边和边减少的长度是米，则剩余部分是长为米，宽为米的矩形，根据剩余停车场的面积为5000平方米，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设边和边减少的长度是米，则剩余停车场是长为米，宽为米的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：边和边减少的长度是30米． 9．国庆期间，鲜花销售十分火爆，某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元． (1)若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？ (2)花店在第二次购进玫瑰的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰的数量在（1）中的最多进货量的基础上增加50m支，售价比第一次提高m元，最终这批玫瑰花全部销售完后获利1000元，求m的值． 【答案】(1)100支 (2)2 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设花店购进玫瑰支，则花店购进郁金香支，根据总获利不低于1500元建立不等式，解不等式即可得； （2）先求出这批玫瑰花的销售量为，每支玫瑰的利润为元，再根据这批玫瑰花全部销售完后获利1000元建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设花店购进玫瑰支，则花店购进郁金香支， 由题意得：， 解得， 所以的最大值为100， 答：花店最多购进玫瑰100支． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或， 答：的值为2． 10．如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示 ； ； (2)当为何值时？ (3)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 【答案】(1)t，； (2)当时，； (3)的值不可能为5；理由见解析； 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键： （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可； （3）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可 【详解】（1）解：∵点D从点C开始沿运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：t，； （2）解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当时，； （3）解：的值不可能为5；理由如下： 由题意可得， ， 假设的值可能为5得， ，即， ∵， ∴方程无解， 故的值不可能为5． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 一元二次方程的应用 一元二次方程的应用 一、几何问题 利用一元二次方程可以解决与面积、周长、边长等相关的几何问题。例如，已知一个矩形的长和宽的和为定值，求使矩形面积最大的长和宽；或者已知一个三角形的两边长和夹角，求第三边的长度等。 二、物理问题 在物理学中，一元二次方程常用于描述物体的运动状态，如抛体运动、简谐振动等。通过求解一元二次方程，可以得到物体的速度、位移、加速度等物理量。 三、经济问题 在经济领域，一元二次方程常用于描述成本、收益、利润等经济指标之间的关系。例如，已知产品的固定成本和单位变动成本，以及产品的售价和销量，可以建立一元二次方程来求解最大利润或盈亏平衡点。 四、工程问题 在工程领域，一元二次方程常用于描述材料的强度、刚度、稳定性等性能指标之间的关系。通过求解一元二次方程，可以得到满足特定性能要求的材料尺寸、形状等参数。 五、其他问题 除了以上几种常见的应用分类外，一元二次方程还可以用于解决其他各种问题，如人口增长、化学反应速率、生物种群数量变化等。这些问题都可以通过建立一元二次方程模型来求解。 巩固课内例1:一元二次方程的应用——利润问题 1．某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（       ） A． B． C． D． 2．某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 3．某种服装，若进价为每件86元，按每件130元出售，平均每天可售出20件，后调查发现，单价每降低1元，平均每天的销量可增加5件，若想要每天获利1600元，且每件降价幅度不超过10元，每件应降价多少元？ 巩固课内例2:一元二次方程的应用——增长率问题 1．近几年，洛阳市文旅市场持续火热，从龙门石窟、应天门到洛邑古城、白马寺，处处都是灯火璀璨、人潮涌动的景象．从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某工业园区今年六月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位2500个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 3．海螺水泥厂一月份的总产量为吨，三月份的总产量为吨，若平均每月的增长率相等，求该水泥厂的平均月增长率是多少？ 巩固课内例3:一元二次方程的应用——图形问题 1．如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠的宽为，根据题意列方程为（  ） A． B． C． D． 2．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为，按此法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为，x为 ．    3．用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒，设剪去的正方形的边长为（硬纸片厚度忽略不计）． (1)纸盒底面长方形的长为________，宽为________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长． 类型一、一元二次方程的应用——数字问题 1．我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 3．有一个两位数，个位数字与十位数字的和为，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大，求这个两位数． 类型二、一元二次方程的应用——降低率问题 1．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种药品原价为256元，在连续进行两次降价后价格调整为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的吨/(平方公里·月)，下降至2022年的吨/(平方公里·月)．若设降尘量的年平均下降率为x，则可列出关于x的方程为 ． 3．某制药厂将一种药剂价格逐年降低，2022年这种药剂价格为100元，2024年该药剂价格为81元． (1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； (2)若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？ 类型三、一元二次方程的应用——草坪绿化问题 1．某区两年前已有绿化面积300公顷，经过两年努力，绿化面积逐年增加，现在已达363公顷，设平均每年绿化面积的增长率为x，由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，设道路的宽为根据题意列方程 ． 3．如图，为迎接创文验收，某单位对一块长为，宽为的空地进行改造，在空地中开辟了两条小道，其余部分进行绿化，若绿化面积为，请求出图中x的值． 类型一、一元二次方程的应用——物理重力问题 1．以初速度竖直上抛的物体的高度和时间满足关系式（为重力加速度，）爆竹在地面点燃后以初速度上升，则爆竹离地米的时间是（    ） A． B．或 C． D．不能确定 2．对于竖直上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，有如下关系式：h＝v0t－gt2(其中h是上升的高度，v0是初速度，g是重力加速度，t是抛出后所经过的时间)．如果将物体以每秒30米的初速度向上抛，物体 秒处于离抛出点40米的地方(其中g＝10米/秒2)． 3．某种爆竹点燃后，其上升高度和时间符合关系式：，其中g以计算．这种爆竹点燃后以的初速度上升，问：这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地面的高度为？ 类型二、一元二次方程的应用——银行储蓄问题 1．张明同学参加“献爱心”储蓄活动，把积蓄的100元存入银行，如果月利率是0.2%，那么x个月后，本金与利息的和是(　　) A．100(1+0.2%)x B．100×0.2%x C．100(1+0.2%x) D．100(1+x)×0.2% 2．小明将500元压岁钱存入银行，参加教育储蓄，两年后本息共计615元，若设年利率为x，则方程为 . 3．某人把2万元存入银行，定期一年（无利息税），到期时他支取了1万元，然后把其余的钱仍存入银行，定期一年（利率不变），再到期时他取得本利合计为1.1232万元．求这种定期储蓄的年利率． 类型三、一元二次方程的应用——比例问题 1．已知一个菱形的边长是，两条对角线长的比是4：3，则这个菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为18，则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于 ． 3．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是．已知镜面的价格是每平方米元，边框的价格是每米元，另外制作这面镜子还需加工费元．如果制作这面镜子共花了元，求这面镜子的长和宽． 类型一、一元二次方程的应用——营销问题 1．某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米（如图），每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售，根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则该店铺每天可获得的最大利润为 元． 3．篮球纳入中考体育项目，有助于提升学生的身体素质、促进全面发展，因此倍受社会各界关注．某商场抓住商机将进价为80元的篮球以95元的价格售出，平均每月能售出600个．调查表明：售价在95元到115元范围内，篮球的售价每上涨1元，其销量就减少10个． (1)当售价上涨元时，那么销量为______个； (2)若要达到每月13500元利润的目标，售价应定为多少元？这时售出篮球多少个？ 类型二、一元二次方程的应用——几何动点求t问题 1．如图，已知在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当的面积等于时，共需的时间为（　　） A．1s B．2s或4s C．3s D．3.5s 2．如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 3．已知：如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 1．2024年国庆假期期间，有着“悬塑绝唱”之称的隰县小西天景区迎来了有史以来最大游客量．国庆假期第一天，小西天景区游客量达9502人，第二天游客量继续增长，若保持相同的增长率，第三天游客量将达到27000人，远超小西天的最大客容量10000人，因此景区决定实行分批次游览和分时段限量售票机制．设第二天的游客量增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．今年月份某品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，月份的生产成本为万元．假设今年每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（   ） A． B． C． D． 4．随着生产技术的进步，某制药公司近两年生产甲种药品的成本逐年下降．现在生产1千克甲种药品的成本为100元，而两年前生产1千克甲种药品的成本为120元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，则根据题意，列出关于x的方程是 ． 5．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如上面表格所示，设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，可列方程为 ． 观鸟记录年度总结 2020年：观测鸟类150种 2021年：观测鸟类 2022年：观测鸟类216种 6．某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为 元． 7．如图所示，某学校有一道长为米的墙，计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的矩形草坪，求的长． 8．新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为130米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，沿着和修建宽度相同的充电桩区域，，剩余停车场的面积为5000平方米，求边和边减少的长度． 9．国庆期间，鲜花销售十分火爆，某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元． (1)若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？ (2)花店在第二次购进玫瑰的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰的数量在（1）中的最多进货量的基础上增加50m支，售价比第一次提高m元，最终这批玫瑰花全部销售完后获利1000元，求m的值． 10．如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示 ； ； (2)当为何值时？ (3)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$